Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki WykÅ‚ad 27 27. Optyka geometryczna i falowa 27.1 WstÄ™p 27.1.1 Odbicie i zaÅ‚amanie Przypomnienie kilku podstawowych wiadomoÅ›ci: " współczynnik zaÅ‚amania; bezwzglÄ™dny i wzglÄ™dny n = c/ , n2,1 = / (27.1) v v1v2 " prawo odbicia i zaÅ‚amania: promieÅ„ odbity i zaÅ‚amany leżą w jednej pÅ‚aszczyznie utworzonej przez promieÅ„ padajÄ…cy i prostopadÅ‚Ä… do powierzchni odbijajÄ…cej w punkcie padania (normalna padania) tzn. W pÅ‚aszczyznie rysunku poniżej. " dla odbicia = 1 1 sin 1 " dla zaÅ‚amania = n2,1 sin 2 normalna promieÅ„ padajÄ…cy ¸1 promieÅ„ odbity ¸1 czoÅ‚o fali pÅ‚askiej ¸2 promieÅ„ zaÅ‚amany Prawa te można wyprowadzić z równaÅ„ Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud- ne. Jednak te prawa optyki można wyprowadzić w oparciu o prostÄ… (ale ważnÄ…) zasadÄ™ odkrytÄ… w 1650 r przez Pierre Fermata. 27.1.2 Zasada Fermata ZasadÄ™ tÄ™ formuÅ‚ujemy w nastÄ™pujÄ…cy sposób: PromieÅ„ Å›wietlny biegnÄ…cy z jednego punktu do drugiego przebywa drogÄ™, na której przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi, sÄ…siednimi drogami, minimum albo maksimum czasu. 27-1 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki Np. najkrótszy czas miÄ™dzy dwoma punktami w próżni - linia prosta. Z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i zaÅ‚amania. Na rysunku sÄ… przedstawione dwa punkty A i B oraz Å‚Ä…czÄ…cy je promieÅ„ APB. B A ¸ 1 ¸ 1 ¸ 1 b a ¸ 1 x d-x P d CaÅ‚kowita dÅ‚ugość drogi promienia wynosi l = a2 + x2 + b2 + (d - x)2 gdzie x jest zmiennÄ… zależnÄ… od poÅ‚ożenia punktu P (punkt odbicia promienia). Zgodnie z zasadÄ… Fermata punkt P (zmiennÄ… x) wybieramy tak, żeby czas przebycia drogi APB byÅ‚ minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza to warunek dl = 0 dx czyli dl 1 1 = (a2 + x2 )-1/ 2 2x + [b2 + (d - x)2 ]-1/ 2 2(d - x)(-1) = 0 dx 2 2 lub przeksztaÅ‚cajÄ…c x d - x = a2 + x2 b2 + (d - x)2 PorównujÄ…c z rysunkiem widzimy, że jest to równoważne zapisowi sin = sin czyli = co jest prawem odbicia. Podobnie postÄ™pujemy w celu wyprowadzenia prawa zaÅ‚amania. Rozpatrzmy sytuacjÄ™ przedstawionÄ… na rysunku poniżej. 27-2 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki A l1 a ¸ 1 ¸1 n1 x d-x v1 n2 P l2 v2 ¸2 b ¸2 B d Czas t, przelotu Å›wiatÅ‚a, z A do B dany jest wzorem l1 l2 t = + v1 v2 UwzglÄ™dniajÄ…c n = c/v możemy przepisać to równanie w postaci n1l1 + n2l2 l t = = c c Wielkość l = n1l1 + n2l2 nazywamy drogÄ… optycznÄ… promienia (nie mylić z drogÄ… geome- trycznÄ… równÄ… l1 + l2). Ponownie dobieramy x (punkt P), aby droga l byÅ‚a minimalna czyli, aby dl/dx = 0. Ponieważ droga optyczna wynosi l = n1l1 + n2l2 = n1 a2 + x2 + n2 b2 + (d - x)2 otrzymujemy dl 1 1 = n1(a2 + x2 )-1/ 2 2x + n2[b2 + (d - x)2 ]-1/ 2 2(d - x)(-1) = 0 dx 2 2 lub po przeksztaÅ‚ceniu x d - x n1 = n2 a2 + x2 b2 + (d - x)2 PorównujÄ…c to z rysunkiem otrzymujemy n1sin = n2sin 1 2 27-3 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki co jest prawem zaÅ‚amania. W omawianych obu przypadkach czas (i droga) byÅ‚ minimalny. 27.2 Warunki stosowalnoÅ›ci optyki geometrycznej OmawiajÄ…c odbicie i zaÅ‚amanie fal (pÅ‚askich) posÅ‚ugiwaliÅ›my siÄ™ pojÄ™ciem pro- mienia. Ta wygodna konstrukcja myÅ›lowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest po- mocna przy opisie ugiÄ™cia Å›wiatÅ‚a (fal) gdyż niemożliwe jest wydzielenie pojedynczego promienia z padajÄ…cej fali pÅ‚askiej. Å»eby to sprawdzić przeÅ›ledzmy zachowanie fali pÅ‚a- skiej padajÄ…cej na szczeliny o różnej szerokoÅ›ci. To zachowanie jest przedstawione schematycznie na rysunku poniżej dla szczelin o szerokoÅ›ci a = 5 , a = 3 oraz a = . Widzimy, że ugiÄ™cie staje siÄ™ coraz bardziej wyrazne gdy a/ 0. a=5 a=3
a=
To ugięcie jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal. Dzięki temu możemy np. słyszeć fale głosowe znajdując się za załomem muru. Ugięcie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa. 27-4 Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki 27.2.1 Zasada Huyghensa W tej teorii światła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada się, że światło jest falą ( a nie strumieniem cząstek). Nie wspomina ona o elektromagne- tycznym charakterze światła ani nie wyjaśnia, że światło jest falą poprzeczną. Teoria Huyghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która pozwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w dowolnej chwili w przyszłości, je- żeli znamy jej obecne położenie. Zasada ta głosi, że wszystkie punkty czoła fali można uważać za zródła nowych fal kulistych. Położenie czoła fali po czasie t będzie dane przez powierzchnię styczną do tych fal kulistych. Poniżej przedstawiony jest na rysunku elementarny przykład obrazujący, za pomocą elementarnych fal Huyghensa, rozchodze- nie się fali płaskiej w próżni. ct czoło fali nowe położenie w chwili czoła fali t = 0 Dane jest czoło fali płaskiej w próżni. Zgodnie z zasadą Huyghensa kilka dowolnie wy- branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako zródła fal kulistych. Po czasie t promienie tych kul będą równe ct, gdzie c jest prędkością światła. Powierzchnia styczna do tych kul po czasie t jest nową powierzchnią falową. Oczywiście powierzchnia falowa fali płaskiej jest płaszczyzną rozchodzącą się z prędkością c. Uwaga: Można by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), że wbrew obserwacji fala Huy- ghensa może się rozchodzić zarówno do tyłu jak i do przodu. Tę trudność w modelu eliminuje się poprzez założenie, że natężenie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia się w sposób ciągły od maksimum dla kierunku w przód do zera dla kierunku w tył . Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do wszelkich zjawisk falowych. Można przedstawić za pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak i ich załamanie. My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na szczelinie (przeszkodzie). 27-5 Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny. Każdy jej punkt możemy potraktować jako zródło fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi tylko część fal. Fale leżące poza brzegami szczeliny zostają wyeliminowane i z tym jest związane zagi- nanie wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły dotyczące fal ugiętych zostaną przedstawione dokładnie w dalszych wykładach. Tutaj zwróćmy jedynie uwagę na to, że gdy szerokość szczeliny staje się duża (w stosunku do długości fali) a >> to ugięcie można zaniedbać. Wydaje się, że światło rozchodzi się po liniach prostych co można przedstawić w postaci promieni podlegających prawom odbicia i załamania. Mówimy, że mamy do czynienia z optyką geometryczną. Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej jest więc aby wymiary liniowe wszyst- kich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele większe od długości fali. Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie światła posługiwać się promieniami, lecz trzeba wziąć pod uwagę falowy charakter światła. Widać jak znaczące jest ugięcie fali gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z długością fali. Mamy wtedy do czynienia z optyką falową. Optyka geometryczna jest więc szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falowej. Zajmiemy się teraz właśnie optyką falową. 27-6