1 ZAJCIA WYRÓWNAWCZE Z METOD PROBABILISTYCZNYCH rok akad. 2008/2009 (MaÅ‚gorzata Murat) Zadnia przygotowano na podstawie nastÄ™pujÄ…cych podrÄ™czników i zbiorów zadaÅ„ " J. Burdzy, B. Kowal, Rachunek prawdopodobieÅ„stwa. " M. Cieciura, J. Zacharski, Rachunek prawdopodobieÅ„stwa w ujÄ™ciu praktycznym. " T. Gerstenkorn, T. Åšródka, Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieÅ„stwa. " H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieÅ„stwa i statystyka matematyczna. PrzykÅ‚ady i zadania. " W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieÅ„stwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część I. 1. Miara probabilistyczna, prawdopodobieÅ„stwo caÅ‚kowite, zdarzenia niezależne, schematy rachunku prawdopodobieÅ„stwa. Zadanie 1 Wykazać, że jeÅ›li P(A) + P(B) > 1, to zdarzenia nie mogÄ… siÄ™ wykluczać. Zadanie 2 Wykazać, że jeÅ›li (B )" C) ‚" A, to P(A) P(C) + P(B) - 1. Zadanie 3 Udowodnić, że jeÅ›li P(A/B) = P(A/B), to zdarzenia A i B sÄ… niezależne. p-q p Zadanie 4 Dowieść, że P(A/B) , gdzie p = P(A) i q = P(B). 1-q 1-q Zadanie 5 Niech A i B bÄ™dÄ… zdarzeniami niezależnymi. Czy zdarzenia A i B też sÄ… niezależne? Zadanie 6 Przypuśćmy, że pewien eksperyment prowadzi do rozpatrywania takich zdarzeÅ„ A i B, że P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 8 i P(A )" B) = 0, 4. Znajdz P(A *" B) oraz P(A *" B). 1 1 Zadanie 7 Dla danych P(B) = 3P(B), P(A/B) = i P(A/B) = , obliczyć P(A). 3 2 Zadanie 8 Losowo wybrano dwie liczby dodatnie takie, że każda z nich jest nie wiÄ™ksza niż jeden. Znalezć prawdopodobieÅ„stwo tego, że suma tych liczb bÄ™dzie niewiÄ™ksza niż 1, a ich iloczyn bÄ™dzie niemniejszy niż 0, 09. Zadanie 9 Na odcinku < 0, 1 > umieszczmy losowo i niezależnie dwa punkty x i y. Niech A bÄ™dzie zdarzeniem polegajÄ…cym na tym, że wybraliÅ›my punkty z koÅ‚a o Å›rodku (0, 0) i promieniu dÅ‚ugoÅ›ci 1, a B niech bÄ™dzie zdarzeniem polegajÄ…cym na tym, że x < y. Czy zdarzenia A i B sÄ… niezależne? Zadanie 10 Z odcinka < -1, 1 > wybrano losowo i niezależnie od siebie dwie liczby x i y. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że funkcja ln(x2 + y2 - 1) jest poprawnie okreÅ›lona, jeÅ›li wiadomo, że punkty 1 zostaÅ‚y wybrane z zewnÄ™trza koÅ‚a oÅ›rodku (0, 0) i promieniu dÅ‚ugoÅ›ci . 2 Zadanie 11 Z odcinka < 0, 1 > wybieramy losowo i niezależnie dwie liczby p i q. Jakie jest prawdo- podobieÅ„stwo tego, że równanie kwadratowe x2 + px + q = 0 bÄ™dzie miaÅ‚o dwa sprzężone pierwiastki zespolone? Zadanie 12 Na odcinku < 0, 1 > umieszczmy losowo i niezależnie dwa punkty x i y. Niech A bÄ™dzie zdarzeniem polegajÄ…cym na tym, że x > y, a B niech bÄ™dzie zdarzeniem polegajÄ…cym na tym, że x < 0, 5. Czy zdarzenia A i B sÄ… niezależne? 2 2 Zadanie 13 Dwóch strzelców strzela do tarczy. Pierwszy strzelec trafia z prawdopodobieÅ„stwem , a 3 1 drugi z prawdopodobieÅ„stwem . Po oddaniu strzaÅ‚u okazaÅ‚o siÄ™, że tarcza zostaÅ‚a trafiona dokÅ‚adnie raz. 2 Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że trafiÅ‚ pierwszy strzelec? Zadanie 14 Firma produkuje 98% wyrobów odpowiadajÄ…cych normie. WÅ›ród wyrobów speÅ‚niajÄ…cych nor- mÄ™ jest 75% wyrobów pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo, że losowo wybrany wyrób jest pierwszego gatunku. Zadanie 15 Wykonujemy ciÄ…g doÅ›wiadczeÅ„ w nastÄ™pujÄ…cy sposób. W pierwszym doÅ›wiadczeniu losu- jemy kulÄ™ z szuflady zawierajÄ…cej jednÄ… kulÄ™ biaÅ‚Ä… i jednÄ… czarnÄ…. JeÅ›li wyciÄ…gniemy czarnÄ… kulÄ™, to przerywamy doÅ›wiadczenie. W przeciwnym przypadku wrzucamy do szuflady wyciÄ…gniÄ™tÄ… biaÅ‚Ä… kulÄ™ i dodatkowÄ… kulÄ™ biaÅ‚Ä…. NastÄ™pnie losujemy jednÄ… kulÄ™ i postÄ™pujemy jak poprzednio. W każdym kroku dorzucamy jednÄ… kulÄ™ biaÅ‚Ä…, jeÅ›li wylosujemy biaÅ‚Ä…, bÄ…dz przerywamy doÅ›wiadczenie, gdy byÅ‚a czarna. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że postÄ™powanie zakoÅ„czymy w n-tym doÅ›wiadczeniu. Zadanie 16 Do samolotu oddano niezależnie trzy strzaÅ‚y. PrawdopodobieÅ„stwo trafienia samolotu pierw- szym strzaÅ‚em wynosi 0,4, drugim strzaÅ‚em - 0,5, a trzecim - 0,7. JeÅ›li w samolot trafi jeden pocisk, to nastÄ…pi zestrzelenie samolotu z prawdopodobieÅ„stwem 0,2, jeÅ›li dwa pociski, to z prawdopodobieÅ„stwem 0,6, a jeÅ›li trzy, to samolot zostanie na pewno zestrzelony. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że w re- zultacie trzech strzałów samolot zostanie zestrzelony. Zadanie 17 Z trzech pracujÄ…cych niezależnie elementów urzÄ…dzenia dwa zawiodÅ‚y. Znalezć prawdopodo- bieÅ„stwo tego, że zawiodÅ‚y elementy drugi i trzeci jeÅ›li prawdopodobieÅ„stwo awarii pierwszego elementu wynosi 0,2, drugiego - 0,4, a trzeciego - 0,3. Zadanie 18 Do sygnalizowania wadliwej pracy ukÅ‚adu sterujÄ…cego pewnego urzÄ…dzenia zastosowano czujnik. PrawdopodobieÅ„stwo tego, że jest on typu A wynosi 0,6, typu B - 0,3, a typu C - 0,1. Wia- domo, że czujnik typu A sygnalizuje zÅ‚Ä… pracÄ™ ukÅ‚adu sterujÄ…cego z prawdopodobieÅ„stwem 1, typu B z prawdopodobieÅ„stwem 0,8, a typu C - 0,6. Czujnik zasygnalizowaÅ‚ zÅ‚Ä… pracÄ™ ukÅ‚adu sterujÄ…cego. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że jest on typu C? Zadanie 19 Pewna choroba wystÄ™puje u 0, 2% ogółu ludnoÅ›ci. Przygotowano test do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że losowo wy- brana osoba jest chora jeÅ›li test tej osoby daÅ‚ wynik pozytywny. Zadanie 20 Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że sztuka wybrana na chybiÅ‚ trafiÅ‚ z partii wyproduko- wanych przedmiotów jest pierwszego gatunku, jeÅ›li wiadomo, że 4% caÅ‚ej produkcji to sztuki wadliwe, a 75% to sztuki zaliczone do pierwszego gatunku. Zadanie 21 Załóżmy, że 53% bezrobotnych stanowiÄ… kobiety. Załóżmy, że wÅ›ród bezrobotnych kobiet 9%, a wÅ›ród bezrobotnych mężczyzn 12% ukoÅ„czyÅ‚o 45 lat. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że losowo wybrana osoba spoÅ›ród bezrobotnych ma powyżej 45 lat. Zadanie 22 PrawodopodobieÅ„stwo tego, że wyprodukowany przedmiot odpowiada standardowi wynosi 0,96. Przy badaniu jakoÅ›ci przedmiotu stosuje siÄ™ badanie uproszczone, które dla przedmiotu zgodnego ze standardem daje pozytywny wynik z prawdopodobieÅ„stwem 0,98, a dla przedmiotu niestandardowego tylko z prawdopodobieÅ„stwem 0,05. Badanie uproszczone daÅ‚o wynik pozytywny. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że przedmiot odpowiada standardowi? Zadanie 23 Dane sÄ… trzy maszyny typu A, pięć typu B i dwie typu C. Każda z nich produkuje wyroby I i II gatunku oraz braki, których procentowy udziaÅ‚ podaje tabelka typ maszyny I gatunek II gatunek braki A 50% 45% 5% B 80% 17% 3% C 30% 69% 1% 3 Ponadto maszyny produkujÄ… tÄ… samÄ… ilość towaru. a) Wybieramy losowo i niezależnie po jednej sztuce z każdego typu maszyny. Obliczyć prawdopodo- bieÅ„stwo tego, że dwie sztuki bÄ™dÄ… piewszego gatunku, a jedna drugiego. b) Wybieramy losowo i niezależnie z caÅ‚ej masy towarowej cztery sztuki, zwracajÄ…c je po każdym losowaniu. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo, tego, że co najmniej trzy sztuki bÄ™dÄ… drugiego gatunku. c) Wybieramy losowo i niezależnie z caÅ‚ej masy towarowej 200 sztuk ze zwracaniem. Obliczyć praw- dopodobieÅ„stwo, tego że co najwyżej jedna sztuka bÄ™dzie brakiem. d) Wybieramy ze zwracaniem, z caÅ‚ej masy towarowej po jednej sztuce tak dÅ‚ugo, aż otrzymamy trzy sztuki pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo, że wybierzemy osiem sztuk. Zadanie 24 Trzy fabryki X, Y , Z produkujÄ… towar tak, że fabryka X pokrywa 30% zapotrzebowania rynku, fabryka Y -50%, a fabryka Z-20%. Jakość towaru produkowanego przez poszczególne fabryki podano w tabelce fabryka I gatunek II gatunek braki X 80% 18% 2% Y 40% 55% 5% Z 80% 15% 5% a) Kupujemy na rynku jednÄ… sztukÄ™ towaru. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że bÄ™dzie to brak? b) Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że zakupimy jednÄ… sztukÄ™ poniżej pierwszego gatunku? c) Kupujemy dwie sztuki. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że jedna jest pierwszego gatunku, a druga drugiego? d) Kupujemy trzy sztuki. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że dwie bÄ™dÄ… pierwszego gatunku? e) Kupujemy na rynku w sposób losowy po jednej sztuce tak dÅ‚ugo aż otrzymamy dwie sztuki pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że kupiono pięć sztuk. Zadanie 25 Gracz wykonuje rzuty monetÄ… tak dÅ‚ugo, aż otrzyma orÅ‚a. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że liczba rzutów nie przekroczy czterech. Zadanie 26 PrawdopodobieÅ„stwo, że obiekt nie zostanie wykryty przy jednym obrocie anteny radarowej wynosi p. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że obiekt zostanie co najmniej raz wykryty w ciÄ…gu n obrotów anteny. ZakÅ‚adamy, że wykrycia obiektów przy każdym obrocie anteny sÄ… niezależne. Zadanie 27 Obszar powietrzny jest kontrolowany przez m stacji radiolokacyjnych, z których każda nie- zależnie od pozostaÅ‚ych wykrywa obiekt z prawdopodobieÅ„stwem p w ciÄ…gu jednego obrotu. Każda antena wykonaÅ‚a n obrotów. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że a) obiekt zostanie wykryty przynajmniej przez jednÄ… stacjÄ™, b) obiekt zostanie wykryty przez każdÄ… stacjÄ™. Zadanie 28 W celu zwiÄ™kszenia niezawodnoÅ›ci przyrzÄ…du dubluje siÄ™ go za pomocÄ… n - 1 pracujÄ…cych niezależnie takich samych przyrzÄ…dów o niezawodnoÅ›ci p każdy. Znalezć niezawodność caÅ‚ego ukÅ‚adu. Zadanie 29 Mamy m liczników czÄ…stek elementarnych, na które padÅ‚o Å‚Ä…cznie n czÄ…stek, przy czym prawdopodobieÅ„stwo trafienia każdej czÄ…stki na dowolny z liczników jest takie samo. Obliczyć prawdopo- dobieÅ„stwo tego, że do pewnego licznika trafi dokÅ‚adnie k czÄ…stek elementarnych (k n). 4 Zadanie 30 SzufladÄ™ o polu podstawy równym metrowi kwadratowemu podzielono na przegródki o polach podstaw równych centymetrowi kwadratowemu. Do tej szyflady wrzucono losowo 1000 kulek. ZakÅ‚adajÄ…c, że prawdopodobieÅ„stwo wpadniÄ™cia kulki do przegródki jest dla każdej przegródki jednakowe. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że do wyróżnionej przegródki wpadnÄ… wiÄ™cej niż dwie kulki. Zadanie 31 PrawdopodobieÅ„stwo przepalenia siÄ™ lampy w ciÄ…gu 100 godzin eksploatacji wynosi 0,4. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że po 100 godzinach eksploatacji spoÅ›ród 20 lamp Å›wieci siÄ™ jeszcz 15. Zadanie 32 Aparat skÅ‚ada siÄ™ z 1000 elementów pracujÄ…cych niezależnie. PrawdopodobieÅ„stwo awarii dowolnego elementu w okreÅ›lonym czasie t jest równe 0,002. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że w czasie t nastÄ…pi awaria dokÅ‚adnie 3 elementów. Zadanie 33 Automat produkuje oporniki. PrawdopodobieÅ„stwo tego, że wyprodukowany opornik jest wy- brakowany wynosi 0,01. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że wÅ›ród 300 oporników nie bÄ™dzie wybrako- wanych. Zadanie 34 PrawdopodobieÅ„stwo, że dany przedmiot nie wytrzyma dokonanej na nim próby jest równe 0,001. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że wÅ›ród 5000 przedmiotów wiÄ™cej niż jeden nie wytrzyma próby. Zadanie 35 Na karcie egzaminacyjnej jest 5 pytaÅ„ i 3 możliwe odpowiedzi na każde z nich. Należy wybrać jednÄ… poprawnÄ… odpowiedz na każde pytanie. Ile wynosi prawdopodobieÅ„stwo otrzymania czterech poprawnych odpowiedzi, jeżeli egzaminowany zgaduje odpowiedzi. Zadanie 36 Aparatura zawiera 3000 elementów. PrawdopdobieÅ„stwo awarii każdego z nich wynosi 0,0006. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że aparatura przestanie dziaÅ‚ać jeżeli ma to miejsce przy uszkodzeniu jednego lub wiÄ™cej elementów? 5 2. Zmienna losowa jednowymiarowa. Zadanie 37 Dokonuje siÄ™ próby wyprodukowanych przedmiotów. Dla każdego przedmiotu prawdopodo- bieÅ„stwo pomyÅ›lnego przejÅ›cia przez próbÄ™ wynosi 0,8 i sÄ… to zdarzenia niezależne. PróbÄ™ koÅ„czy siÄ™ po dojÅ›ciu do pierwszego przedmiotu który próby nie wytrzyma. Znalezć rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa iloÅ›ci prób. Obliczyć wartość oczekiwanÄ… i wariancjÄ™ wyznaczonego rozkÅ‚adu. Zadanie 38 Na trasie, po której porusza siÄ™ samochód znajdujÄ… siÄ™ cztery sygnaÅ‚y Å›wietlne. Każdy z nich z prawdopodobieÅ„stwem 0,5 albo przepuszcza samochód albo zatrzymuje. Znalezć rozkÅ‚ad prawdopo- dobieÅ„stwa liczby sygnałów, które minÄ…Å‚ samochód nie zatrzymujÄ…c siÄ™, a nastÄ™pnie wyznaczyć a) dystrybuantÄ™, b) medianÄ™, odchylenie standardowe, c) funkcjÄ™ charakterystycznÄ…, otrzymanego rozkÅ‚adu. Zadanie 39 Po okreÅ›lonej trasie jezdzi pięć autobusów. Awarie poszczególnych autobusów sÄ… zdarze- niami niezależnymi i prawdopodobieÅ„stwo każdej z nich w okreÅ›lonym przedziale czasu jest równe 0,2. Znalezć rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa liczby autobusów, które w ciÄ…gu okreÅ›lonego przedziaÅ‚u czasu ulegÅ‚y awarii, a nastÄ™pnie wyznaczyć a) dystrybuantÄ™, b) medianÄ™, odchylenie standardowe, c) funkcjÄ™ charakterystycznÄ…, otrzymanego rozkÅ‚adu. Zadanie 40 Robotnik obsÅ‚uguje cztery automaty funkcjonujÄ…ce niezależnie od siebie. PrawdopodobieÅ„- stwo, że w ciÄ…gu godziny automat bÄ™dzie wymagaÅ‚ interwencji robotnika wynosi 0,9. Znalezć rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa liczby automatów, które wymagaÅ‚y interwencji robotnika w ciÄ…gu godziny, a nastÄ™p- nie wyznaczyć a) dystrybuantÄ™, b) medianÄ™, odchylenie standardowe, c) funkcjÄ™ charakterystycznÄ…, otrzymanego rozkÅ‚adu. Zadanie 41 Niech X oznacza czas oczekiwania na wyrzucenie szóstki przy rzucie symetrycznÄ… kostkÄ… do gry. Znalezć rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa zmiennej losowej X, a nastÄ™pnie wyznaczyć a) odchylenie standardowe, b) funkcjÄ™ charakterystycznÄ…, tej zmiennej. Zadanie 42 Rzucamy dwukrotnie kostkÄ… do gry. Niech Xi bÄ™dzie liczbÄ… oczek w i-tym rzucie, i = 1, 2. OkreÅ›lamy zmiennÄ… losowÄ… Z =| X1-X2 |. Znalezć rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa zmiennej Z, a nastÄ™pnie wyznaczyć a) dystrybuantÄ™, b) medianÄ™, odchylenie standardowe, c) funkcjÄ™ charakterystycznÄ…, tej zmiennej. 6 Zadanie 43 Zmienna losowa X przyjmuje wartoÅ›ci caÅ‚kowite nieujemne z prawdopodobieÅ„stwami P[X = k] = C · qk, k = 0, 1, 2, . . . . Znalezć staÅ‚e C i q, a nastÄ™pnie wyznaczyć a) odchylenie standardowe, b) funkcjÄ™ charakterystycznÄ…, tej zmiennej. Zadanie 44 Niech P[X = 2n] = Ä… · ²-n, n = 1, 2, 3, . . . . Dla jakich Ä…, ² jest to funkcja prawdopodo- bieÅ„stwa? Dla jakich ² istniejÄ… momenty zwykÅ‚e dowolnego rzÄ™du zmiennej losowej X? Zadanie 45 Niech P[X = 3n] = C · 5-n, n = 1, 2, 3, . . . . Wyznaczyć staÅ‚Ä… C tak, aby byÅ‚a to funkcja prawdopodobieÅ„stwa. Dla jakich k istniejÄ… momenty EXk? Obliczyć jeÅ›li to możliwe, odchylenie standar- dowe zmiennej X, a nastÄ™pnie wyznaczyć jej funkcjÄ™ charakterystycznÄ…. n Zadanie 46 Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad P[X = n] = Ak , n = 0, 1, 2, 3, . . . . Wiadomo, że EX = n! a > 0. Znalezć k i A. x Zadanie 47 Dystrybuanta zmiennej losowej ciÄ…gÅ‚ej ma postać F (x) = c + b arg tg , x " R, a > 0. a Wyznaczyć a) staÅ‚e b i c, b) gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa, c) medianÄ™ i modÄ™, odchylenie standardowe, tej zmiennej. c Zadanie 48 Zmienna losowa X ma gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa danÄ… wzorem f(x) = , x " R. ex+e-x Wyznaczyć a) staÅ‚Ä… c, b) dystrybuantÄ™, c) medianÄ™ i modÄ™, tej zmiennej. a Zadanie 49 Zmienna losowa X ma gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa danÄ… wzorem f(x) = , x " R. 1+(bx)2 Wyznaczyć a) staÅ‚e a i b, b) dystrybuantÄ™, c) medianÄ™ i modÄ™, tej zmiennej. Zadanie 50 Zmienna losowa X ma gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa danÄ… wzorem f(x) = ce-|x| Wyznaczyć a) staÅ‚Ä… c, b) dystrybuantÄ™, c) medianÄ™ i modÄ™, wartość oczekiwanÄ…, d) funkcjÄ™ charakterystycznÄ…, tej zmiennej. Zadanie 51 WiedzÄ…c, że zmienna losowa X ma gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa okreÅ›lonÄ… wzorem
ax + bx2, 0 x 2, f(x) = 0, poza tym oraz, że EX = 1, wyznaczyć dystrybuantę, medianę oraz modę tej zmiennej. 7 Zadanie 52 Znalezć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y wyrażającej objętość sześcianu, jeśli długość krawędzi sześcianu jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0, a). Zadanie 53 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości fX i dystrybuancie FX. Znalezć dystrubuantę i gęstość zmiennych losowych " " 3 Y = aX + b, a = 0; Z = X2; U = X; V = X.
e-x, x 0 Zadanie 54 PromieÅ„ koÅ‚a jest zmiennÄ… losowÄ… o gÄ™stoÅ›ci f(x) = Znalezć dystrybuantÄ™ 0, x < 0. gÄ™stość zmiennej losowej bÄ™dÄ…cej polem tego koÅ‚a. Zadanie 55 Niezależne zmienne losowe X o rozkÅ‚adzie jednostajnym na przedziale < 0, a > i Y o rozkÅ‚adzie jednostajnym na przedziale < 0, b >, sÄ… bokami prostokÄ…ta. Wyznaczyć odchylenie standardowe obwodu i pola tego prostokÄ…ta. Zadanie 56 Zmienne losowe Xi, i = 1, 2, . . . , 50 sÄ… niezależne o jednakowym rozkÅ‚adzie danym gÄ™stoÅ›ciÄ… x2 1 " f(x) = e- 4 . Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo tego, że suma tych zmiennych bÄ™dzie ujemna. 2 Ä„ Zadanie 57 Niech X i Y bÄ™dÄ… niezależnymi zmiennymi losowymi o tych samych funkcjach charaktery- stycznych. Wyznaczyć funkcjÄ™ charakterystycznÄ… zmiennej losowej Z = X - Y . Zadanie 58 Niech {Xn} bÄ™dzie ciÄ…giem niezależnych zmiennych losowych o rozkÅ‚adzie jednostajnym na 1 przedziale (-1, 1). Znalezć rozkÅ‚ad zmiennych losowych Y = X1 + X2 + · · · + Xn i Z = Y . n Zadanie 59 Niech X1, X2, . . . , Xn bÄ™dÄ… niezależnymi zmiennymi losowymi o standaryzowanym rozkÅ‚a- 1 " dzie normalnym. Znalezć rozkÅ‚ad zmiennej losowej Y = (X1 + X2 + · · · + Xn). n Zadanie 60 Niech dane bÄ™dÄ… niezależne zmienne losowe Xn o rozkÅ‚adach Poissona z parametrami n odpowiednio. Wyznaczyć rozkÅ‚ad zmiennej losowej Y = X1 + X2 + · · · + Xn. Zadanie 61 Wyznaczyć rozkÅ‚ad zmiennej losowej X o funkcji charakterystycznej a) Õ(t) = cos t, 1 b) Õ(t) = (1 + eit)2, 4 Zadanie 62 WykorzystujÄ…c wÅ‚asnoÅ›ci funkcji charakterystycznej wyznaczyć rozkÅ‚ad sumy n niezależnych miennych losowych o rozkÅ‚adzie Bernoulliego z parametrami n, p. Zadanie 63 WykorzystujÄ…c wÅ‚asnoÅ›ci funkcji charakterystycznej wyznaczyć rozkÅ‚ad zmiennej losowej Y = -X wiedzÄ…c, że X ma rozkÅ‚ad jednostajny. 8 3. Dwuwymiarowa zmienna losowa, regresja. Zadanie 64 Wyprowadzić wzór na wariancjÄ™ iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych X, Y . W jakim przypadku D2(XY ) = D2X · D2Y ? Zadanie 65 Wyprowadzić wzór na wariancjÄ™ sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych X, Y . W jakim przypadku D2(X + Y ) = D2X + D2Y ?
Zadanie 66 Udowodnić, że (aX + b, Y ) = (X, Y ), gdzie (X, Y ) oznacza współczynnik korelacji a,b"R zmiennych X i Y . Zadanie 67 Niech X, Y będą dowolnymi zmiennymi losowymi posiadającymi momenty do rzędu drugie- go włącznie. Znalezć kowariancję zmiennych losowych U = aX + bY , V = cX + dY , gdzie a, b, c, d " R. Zadanie 68 Wiadomo, że współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y równa się . Wyznaczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych U = aX + b, V = cY + d, gdzie a, b, c, d " R, ac = 0.
Zadanie 69 Pewien nadajnik wysyÅ‚a sygnaÅ‚, który jest zmiennÄ… losowÄ… X. W rezultacie szumów odbior- nik odbiera sygnaÅ‚ Y = aX + Z, gdzie a jest staÅ‚ym współczynnikiem wzmocnienienia, zaÅ› Z losowym szumem niezależnym od sygnaÅ‚u X. Wiadomo, że EX = m, DX = 1, EZ = 0, D2Z = 1à > 0. Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych X i Y . Zadanie 70 Niech Y i X bÄ™dÄ… niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkÅ‚adach 1 2 1 1 P[X = 1] = , P[X = 5] = , P[Y = 0] = , P[Y = 2] = . 3 3 2 2 Obliczyć wartość oczekiwanÄ… zmiennych losowych min(X, Y ), max(X, Y ). Zadanie 71 Funkcja prawdopodobieÅ„stwa dwuwymiarowej zmiennej losowej okreÅ›lona jest wzorem (i) P[X = k, Y = j] = C · kj, k, j = 1, 2, . . . , n; j 1 k (ii) P[X = k, Y = j] = C , > 0; k = 0, 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . . 2 k! a) Wyznaczyć staÅ‚Ä… C. b) Znalezć rozkÅ‚ady brzegowe. c) Obliczyć wartość oczekiwanÄ… zmiennej (X, Y ). d) Sprawdzić, czy zmienne X i Y sÄ… niezależne. Zadanie 72 Dane sÄ… niezależne zmienne losowe U i V przyjmujÄ…ce wartoÅ›ci -1, 0, 1 z jednakowym prawdopodobieÅ„stwem. OkreÅ›lamy zmienne losowe X = U + V , Y = U - V . a) Znalezć rozkÅ‚ad dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ). b) Obliczyć kowariancjÄ™ zmiennych X i Y . c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y sÄ… niezależne. 9 Zadanie 73 W pudeÅ‚ku znajdujÄ… siÄ™ ponumerowane liczbami naturalnymi o 1 do 21 kartki. Niech zmien- na losowa X przyjmuje wartość 1 jeÅ›li wylosujemy z pudeÅ‚ka kartkÄ™ o numerze parzystym i wartość 0, jeÅ›li z nieparzystym, zaÅ› zmienna losowa Y niech przyjmuje wartość 1 jeÅ›li ten numer jest podzielny przez 3 i 0 w rzeciwnym przypadku. a) Znalezć rozkÅ‚ad dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ). b) Obliczyć kowariancjÄ™ zmiennych X i Y . c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y sÄ… niezależne. d) Wyznaczyć linie regresji Igo rodzaju. Zadanie 74 Rzucamy dwukrotnie symetrycznÄ… kostkÄ… do gry. Niech X = 1, jeÅ›li w pierwszym rzucie wypadÅ‚o sześć oczek i X = 0 w przeciwnym przypadku. Niech Y = 1, jeÅ›li suma wyrzuconych oczek bÄ™dzie wiÄ™ksza od 7 i Y = 0 w przeciwnym razie. a) Wyznaczyć funkcjÄ™ prawdopodbieÅ„stwa zmiennej losowej (X, Y ). b) Wyznaczyć dystrybuantÄ™ zmiennej (X, Y ). c) Naszkicować krzywe regresji pierwszego rodzaju. Zadanie 75 Dwie identyczne urny zawierajÄ… po trzy kule ponumerowane od 1 do 3. Losujemy po jednej kuli z każdej urny. Niech X przyjmuje wartoÅ›ci równe liczbie wylosowanej z jednej urny, a Y z drugiej. Zdefiniujmy zmienne losowe U = X + Y i V = X - Y . Zbadać, czy zmienne losowe sÄ… niezależne i czy sÄ… nieskorelowane. Zadanie 76 Czas X zakoÅ„czenia pierwszego etapu i czas Y zakoÅ„czenia drugiego etapu pewnej opera- cji sÄ… zmiennymi losowymi skorelowanymi o współczynniku korelacji . Obliczyć drugi moment zwykÅ‚y caÅ‚kowitego czasu zakoÅ„czenia tej operacji wiedzÄ…c, że EX = EY = Ä… i DX = DY = Ã. Zadanie 77 Koszt K pewnej operacji równy jest kwadratowi caÅ‚kowitego czasu jej zakoÅ„czenia. Operacja jest dwuetapowa, przy czym czasy X zakoÅ„czenia pierwszego etapu i Y drugiego etapu sÄ… zmiennymi losowymi skorelowanymi o współczynniku korelacji . Obliczyć wartość oczekiwanÄ… kosztu K wiedzÄ…c, że EX = EY = Ä… i DX = DY = Ã. \X 0 1 Y Zadanie 78 Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa o funkcji prawdopodobieÅ„stwa 2 0, 2 0, 4 3 0, 1 0, 3 a) Wyznaczyć dystrybuantÄ™ tej zmiennej. b) Wyznaczyć krzywe regresji pierwszego rodzaju. c) Czy zmienne X i Y sÄ… niezależne? Odpowiedz uzasadnij. d) Wyznacz funkcjÄ™ charakterystycznÄ… zmiennej (X, Y ). Zadanie 79 W urnie znajdujÄ… siÄ™ cztery kule w tym dwie biaÅ‚e. Niech X i Y przyjmujÄ… wartoÅ›ci równe liczbie wyjÄ™tych kul biaÅ‚ych odpowiednio w pierwszym oraz drugim losowaniu kuli z urny. a) Wyznaczyć funkcjÄ™ prawdopodbieÅ„stwa zmiennej losowej (X, Y ). b) Zbadać czy zmienne losowe sÄ… niezależne i czy sÄ… nieskorelowane. c) Naszkicować krzywe regresji pierwszego rodzaju. d) Wyznacz funkcjÄ™ charakterystycznÄ… zmiennej (X, Y ). 10 4. CiÄ…gi zmiennych losowych, prawa wielkich liczb Zadanie 80 Niech (&!, F, P) bÄ™dzie przestrzeniÄ… probabilistycznÄ… takÄ…, że &! =< 0, 1 >, F jest rodzinÄ… wszystkich podzbiorów borelowskich &!, P jest miarÄ… probabilistycznÄ… okreÅ›lonÄ… wzorem P(< a, b >) = b-a dla dowolnego podzbioru < a, b >" F, a < b. Dla podanych ciÄ…gów rozstrzygnąć czy sÄ… one zbieżne do zera wedÅ‚ug rozkÅ‚adu, wedÅ‚ug prawdopodobieÅ„stwa, prawie pewnie, Å›redniokwadratowo.
1 0, dla É "< 0, 1 - >, n a) Xn(É) = 1 n, dla É " (1 - , 1 >, n
1 (-1)n, dla É "< 0, >, 2 b) X(É) = (-1)n+1, dla É " (1, 1 >, 2
1 0, dla É "< 0, 1 - >, n c) X(É) = 1 2, dla É " (1 - , 1 >, n
1 1 1 - , dla É "< 0, >, n 2 d) X(É) = 1 , dla É " (1, 1 > . n2 2 Zadanie 81 Dany jest ciÄ…g {Xn} niezależnych zmiennych losowych o funkcji prawdopodobieÅ„stwa 1 1 1 1 P[Xn = - ] = , P[Xn = ] = . n 2 n 2 Sprawdzić czy ten ciÄ…g jest zbieżny wedÅ‚ug rozkÅ‚adu, wedÅ‚ug prawdopodobieÅ„stwa, prawie pewnie, Å›red- niokwadratowo. 1 1 Zadanie 82 Niech zmienna losowa Xn ma dystrybuantÄ™ danÄ… wzorem Fn(X) = + arc tg(nx). Zbadać, 2 Ä„ czy ciÄ…g zmiennych losowych (Xn) jest zbieżny wedÅ‚ug rozkÅ‚adu, wedÅ‚ug prawdopodobieÅ„stwa i Å›rednio- kwadratowo.