Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2009
W kluczu sÄ… prezentowane przyk"adowe prawid"owe odpowiedzi. NaleÅ»y równieÅ» uznaç odpowiedzi ucznia, jeĘli sÄ…
inaczej sformu"owane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oraz inne odpowiedzi, nieprzewidziane w klu-
czu, ale poprawne.
Numer Liczba
Etapy rozwiązywania zadał

zadania punktów
1. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
Sprowadzenie uk"adu równał
do równania z jedną niewiadomą.
3 - y = x
*
3 = 6 - 2 y + y
-2 y + y =-3
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Obliczenie zmiennej y.
y H 0 i -2y + y =-3 lub y < 0 i 2y + y =-3
y = 3 y =-1
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… niewielkie usterki. 1
Obliczenie zmiennej x.
x = 3 - 3 = 0 lub x = 3 - -1 = 2
x = 0 lub x = 2 lub x =-2
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
x = 0, y = 3 lub x = 2, y =-1 lub x =-2, y =-1
2. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
Wykorzystanie zaleÅ»noĘci mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kÄ…ta.
1 1
_1 + sin xiccos x - tg x + = 0
m
3
_1 + sin xic1 - sin xm=-1
cos x
3
Dokonanie istotnego post´pu. 1
Sprowadzenie równania do równania z jedną niewiadomą.
1 - sin2 x
=-1
cos x
3
cos2 x
=-1
cos x
3
1
cos x =-
3
Pokonane zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Uwzgl´dnienie za"oÅ»eÅ‚
i obliczenie sin x.
1 8
sin2 x = 1 - =
9 9
2 2
sin x =
3
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
Obliczenie sin x + cos x.
2 2 2 2 - 1
1
sin x + cos x = - =
3 3 3
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Etapy rozwiązywania zadał

zadania punktów
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
OkreĘlenie znaku liczby sin x + cos x.
2 2 - 1
. 0,6 > 0
3
3. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
ZauwaŻenie, Że P = (x, 0) i zapisanie odpowiednich równoĘci.
PD = k$PB
PC = k$PA
PC = 4 - x, 0 i PD = 6 - x, 2
7 A 7 A
PA = 1 - x, 0 i PB = 2 - x, 1
7 A 7 A
Dokonanie istotnego post´pu. 1
Zapisanie równoĘci pozwalających na wyznaczenie k oraz x.
k$PA = k (1 - x), 0
7A
k$PB = k (2 - x), k
7A
k (1 - x) = 4 - x i k (2 - x) = 6 - x
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Rozwiązanie uk"adu równał
.
k = 2, x =-2
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
Obliczenie d"ugoĘci promienia okr´gu i wspó"rz´dnych punktu P.
2
2
r = _2 - 1i +_1 - 0i = 2
P =_-2, 0i
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
Zapisanie równania okr´gu.
(x + 2)2 + y2= 2
4. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
Obliczenie log 100 i sprowadzenie logarytmów do tej samej podstawy.
loga x + logx a H 2
1
logx a =
loga x
1
loga x + H 2
loga x
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Dokonanie odpowiedniego podstawienia i sprowadzenie nierównoĘci do postaci
nierównoĘci kwadratowej.
k = loga x
1
k + H 2
k
k2 + 1 H 2k, gdyÅ» k > 0
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
Wykorzystanie wzoru skróconego mnoŻenia do przekszta"cenia nierównoĘci.
2
_k - 1i H 0
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
2
ZauwaŻenie, Że dla kaŻdej liczby k spe"niającej warunki zadania liczba _k - 1i jest zawsze
2
nieujemna, zatem loga x - 1 H 0.
_i
NierównoĘç loga x + logx a H 2 jest zatem prawdziwa.
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Etapy rozwiązywania zadał

zadania punktów
5. Dokonanie istotnego post´pu. 1
Zapisanie d"ugoĘci spirali.
1 1
L =rr + rr + .... + rr
2
29
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
1
ZauwaŻenie, Że wyrazy sumy tworzą ciąg geometryczny o ilorazie i pierwszym wyrazie rr.
2
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
Obliczenie sumy ciÄ…gu geometrycznego.
10
1
1
1 -c2m
1 -
1024 1023rr
l =rr$ =rr$ =
1 1 512
1 -
2 2
6. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
OkreĘlenie dzielników wyrazu wolnego: -1, 1, -2, 2, -4, 4.
Sprawdzenie, Że jednym z pierwiastków wielomianu jest liczba 1.
Dokonanie istotnego post´pu. 1
Wykonanie dzielenia wielomianu przez dwumian x - 1 i zapisanie wielomianu w postaci
iloczynu.
W (x) = (x - 1)(x3 + 2x2 - 2x - 4)
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Roz"oŻenie wyraŻenia x3 + 2x2 - 2x - 4 na czynniki.
x3+ 2x2 - 2x - 4 = x2(x + 2) - 2 (x + 2) = (x + 2)( x - 2)( x + 2)
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
OkreĘlenie pierwiastków wielomianu: 1, -2, 2, - 2.
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
Obliczenie sumy odwrotnoĘci pierwiastków wielomianu.
1 1 1 1
1 - + - =  liczba wymierna
2 2
2 2
7. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
Zapisanie odpowiedniej równoĘci, wynikającej z faktu, Że punkt A = (x, y) leŻy w tej samej
odleg"oĘci od prostej i punktu P.
1
2 y +
2
1
(0 - x)2 + - y =
c2 m
0 + 12
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Podniesienie obu stron równania do kwadratu i wykonanie redukcji wyrazów podobnych.
x2 - 2y = 0
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
OkreĘlenie wzoru odpowiedniej krzywej.
1
y = x2
2
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
Zapisanie wzoru funkcji.
1
f (x) = x2
2
www. operon. pl
3
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Etapy rozwiązywania zadał

zadania punktów
8. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
C
b
a
A
b
c
B
Wykorzystanie wzoru cosinusów.
s  d"ugoĘç Ęrodkowej
2
a a
s2= + c2 - 2$ $c$cosb
c2m
2
a2
s2= + c2 - ac cosb
4
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Obliczenie cosb.
b2= c2 + a2 - 2ca cosb
a2 + c2 - b2
cosb=
2ac
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
Dokonanie odpowiedniego podstawienia i obliczenie s.
Jc2 N
a2 -
s2= + c2 - ac$K + a2 b2 O
K O
4 2ca
L P
2c2 + 2b2 - a2
s2=
4
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
s = 05 2c2 + 2b2 - a2
,
9. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
Zapisanie sumy cyfr liczby a.
a = 24681012...98100
S = 2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 0 + 1 + 2 + 1 + 4 + 1 + 6 + ... + 9 + 8 + 1 + 0 + 0
Dokonanie istotnego post´pu. 1
Pogrupowanie sk"adników w odpowiedni sposób.
S = (2 + 4 + 6 + 8) + (0 + 2 + 4 + 6 + 8) + 5 + + 2 + 4 + 6 + 8i+ 10 +
7 A 8_0 B
+ ... + + 2 + 4 + 6 + 8i+ 45 + 1
8_0 B
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Obliczenie sumy cyfr z wykorzystaniem wzoru na sum´ ciÄ…gu arytmetycznego.
S = 20 + (20 + 5) + (20 + 10) + ... + (20 + 45) + 1 =
7A
5 + 45
= 10$20 + (5 + 10 + ... + 45) + 1 = 201 + $9 = 426
2
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
Obliczenie sumy cyfr liczby 426 i stwierdzenie, Że jest to liczba podzielna przez 3, ale
niepodzielna przez 9.
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
JeĘli liczba a by"aby kwadratem pewnej liczby, musia"aby dzieliç si´ przez 32= 9. Liczba a
dzieli si´ przez 3, a nie dzieli si´ przez 9, nie jest wi´c kwadratem liczby naturalnej.
www. operon. pl
4
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Etapy rozwiązywania zadał

zadania punktów
10. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
OkreĘlenie warunków istnienia dwóch róŻnych pierwiastków dodatnich.
Z
]
]" > 0
x1+ x2> 0
[
]
] x1$x2> 0
\
Dokonanie istotnego post´pu. 1
OkreĘlenie, kiedy wyróŻnik jest wi´kszy od zera
" = k2 - 9 = (k - 3)(k + 3)
" > 0 dla k ! (-3, -3),(3,3)
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
OkreĘlenie, kiedy suma i iloczyn pierwiastków sÄ… wi´ksze od zera  wykorzystanie wzorów
ViŻte a.
x1+ x2>0 + -(k +1) >0 + k <-1
x1$x2H0 + 0,5 (k +5) >0 + k >-5
StÄ…d k ! (-5, -1)
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
OkreĘlenie iloczynu odpowiednich zbiorów.
k ! [(-3, -3),(3,3)]+(-5, -1)
k ! _-5, -3i
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
k ! (-5, -3)
11. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
D C
E
K L
A F B
Uwzgl´dnienie w"asnoĘci czworokÄ…ta opisanego na okr´gu.
AD + CB = AB + CD
Dokonanie istotnego post´pu. 1
OkreĘlenie d"ugoĘci odcinka LK.
AB + DC AD + CB
LK = = = 8
22
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Wykorzystanie zaleÅ»noĘci mi´dzy polami odpowiednich czworokÄ…tów i bokami czworokÄ…ta.
P 3
P1 = 5
05`8 + DC j$ DE
,
3
=
5
05`8 + AB j$ FE
,
DE = EF  z twierdzenia Talesa
AB + DC = 16 & DC = 16 - AB
www. operon. pl
5
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Etapy rozwiązywania zadał

zadania punktów
RozwiÄ…zanie cz´Ä˜ci zadania. 1
Obliczenie d"ugoĘci jednej z podstaw.
3
05 (8 + DC )$ DE = $05 (8 + AB )$ FE
, ,
5
16 3
= AB - DC
5 5
16 3
= AB - (16 - AB )
5 5
AB = 12
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… drobne usterki. 1
Obliczenie d"ugoĘci drugiej podstawy.
CD = 16 - 12 = 4
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
AB = 12, CD = 4
www. operon. pl
6