3331456986

38

ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY OPCJI EGZOTYCZNYCH

Wracając do poprzedniego przykładu, wypłata binarnej opcji złożonej cali na cali wynosi

„ (q^-\^St-^k jeśli S_t>S*,S_t>K,

^Hbcc [OT) — \

10    w przeciwnym razie.

Wyprowadzimy wzór na cenę tej opcji. Wiemy, że Cbcc = e ^,TEQ(i/bcc)-

Z równania 1.3 (pomijamy tyldę nad W(£)) mamy:

S_T = Se^°^2)T+(TW^\

S_T = Se^^2)T+aW^.

Interesuje nas sytuacja gdy S_T > S* oraz St ^ K. Wyznaczając W(t) i W(T) z powyższych wzorów i stosując przekształcenia jak we wzorze 1.41

otrzymujemy:

,9_ R* --W(t\ < d (R*. t^:

Łatwo sprawdzić, korzystając z własności procesu Wienera, że zmienne losowe

X = —\=W_T, oraz Y = —\=W_T

Vf

mają standardowy rozkład normalny, korelację

oraz wektor losowy (X, y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny. Jego gęstość dana jest wzorem

_e~ ■2(\-p*)⁽'^x2~^2pxy+y2'⁾