3331456995

34

ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY OPCJI EGZOTYCZNYCH

Rysunek 2.1: Funkcje wypłaty kwadratowych opcji binarnych

Funkcję wypłaty takiej opcji dla n = 2 (jest to więc opcja kwadratowa) przedstawia Rysunek 2.1. Dla n = 0 i n = 1 dostajemy znane nam już „zwykłe” opcje binarne typu „gotówka albo nic“ oraz „aktywa albo nic.” Wyliczmy wartość binarnej opcji potęgowej w chwili t = 0 (dla uproszczenia instrumentem bazowym będą akcje bez dywidendy):

Cbpn.c ⁼ e~^rTEQ(Sⁿ(T)l {s_t^k})-    (2-5)

Zaczniemy od wyprowadzenia wzorów na wartość oczekiwaną wypłaty opcji cali, liczoną względem miary fizycznej¹, zob. wzór (1.42). Oznaczymy ją przez p(ⁿ\K), gdzie K to cena realizacji opcji:

P^{n)(K) := Ep(S"(r)l_{s_T>K_}).    (2.6)

Korzystamy ze wzoru (1.44) na gęstość rozkładu St-

p{n)^K) = J xⁿ(f){x)dx = — J xⁿN'(d_(x))d'_(x)dx

rd-W

= J xⁿN (y)dy.

W ostatniej linii stosujemy narzucające się podstawienie y = d-(x). Wyliczamy x:

x = (d-r¹)?/) = Se-^y‘’'^/T+(‘‘-^^1)T,

1

Wzory te przydadzą się do szacowania ryzyka portfeli opcyjnych w rozdziale 4.