357502988

4

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

(c) Jeszcze jedną serię nieskończoną skończonych grup prostych otrzymuje się jako grupy ilorazowe specjalnych grup liniowych. Grupa SL(n, K) ma centrum złożone z macierzy skalarnych o wyznaczniku 1, a więc

Z(SL(n, lif)) = {aI:aeK*, a” = 1}.

Grupa ilorazowa SL(n, K)/Z(8L(n, K)) nazywa się rzutową grupą specjalną stopnia n nad ciałem K i oznacza się ją PSL(n, K). Można udowodnić, że dla każdego ciała K, które ma co najmniej 4 elementy i dla każdej liczby naturalnej n > 2 grupa PSL(n, K) jest prosta (zob. [KM], str. 125).

1.1.4 Homomorfizmy

Homomorfizmem grupy G w grupę G' nazywamy każde odwzorowanie h : G —* G' takie, że h(ab) = h(a)h(b) dla każdych a,b G G.

Jeśli / : G' —> G" jest także homomorfizmem grup, to złożenie / o h : G —» G" jest także homomorfizmem grup. Często zamiast f oh będziemy w takiej sytuacji pisać po prostu fh.

Obrazem im h homomorfizmu h : G —> G¹ nazywamy obraz h(G) grupy G w grupie G'. Jest to podgrupa grupy G'. Jądrem ker h homomorfizmu h nazywamy zbiór ń^-1(l^/), czyli zbiór tych elementów grupy G, których obrazem poprzez h jest jedynka 1' € G' grupy G'. Łatwo sprawdza się, że ker h jest podgrupą grupy G.

Jeśli h : G —* G' jest homomorfizmem, to dla każdego a G G

kerh ■ a = h~¹(h(a)) = a ■ ker h.    (1.1)

Zatem ker h jest podgrupą normalną grupy G.

Dla dowodu (1.1) zauważmy, że

ń^-1(/i(a)) = {6eG: h(b) = h(a)} — {b e G : a^-16 G kerń}

= {6 € G : b G a ■ ker h} = a - ker h.

Ponieważ h(a) = h(b) pociąga również ba~^l G ker h, czyli b G ker h ■ a, więc także ker h ■ a = h~¹(h(a)).

Formułę (1.1) łatwo uogólnimy w następujący sposób: dla dowolnej podgrupy H grupy G

kerh • H —    — H ■ kerh.    (1.2)

Rzeczywiście,

h~^l(h(H)) — |^J h~¹(h(a)) = a ■ ker h = H ■ kerh

a€H    a€H

i podobnie otrzymamy drugą część równości (1.2). Z równości (1.2) otrzymujemy teraz

ker h < H < G =>    /i^_1(/i(Jl)) = H    (1.3)

dla dowolnego homomorfizmu h: G —* G'.

Jeśli homomorfizm h jest odwzorowaniem różnowartościowym (injektywnym), to dla każdego a G G zbiór h~ⁱ(h(a)) jest jednoelementowy. A więc na podstawie (1.1) homomorfizm h jest injektywny wtedy i tylko wtedy gdy kerh = {1}.

Definicja 1.1.1. Homomorfizm grup h \ G —* G' nazywa się monomorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G' jeśli dla dowolnej grupy K i homomorfizmów /i,/2 : K —* G mamy następującą implikację:

hfi = hf₂ => fi = f₂.

Homomorfizmy występujące w tej definicji wygodnie jest zapisać w postaci następującego diagramu: