3576900825

(b) Zakładamy, że cena akcji S(t) spełnia (w świecie wolnym od ryzyka) równanie

d5 = rSdt + oS&Wt-

S(T) = 5(0)exp ((r - ł<r²)T + uW,).

Zgodnie z zasadą wyceny innstrumentów pochodnych w świecie wolnym od ryzyka Cbinary = exp(-rT)E(tf (S(T) - K)) = exp(-rT)E(l | S(T) > K).

Wj¹ > -

Ale warunek S(T) > K jest równoważny następującej nierówności ln(ir/S(0))-(r-ia²)T

gdzie jak pamiętamy Wt ~ iV(0, T). Proces Wt możemy zapisać jako W_T = VfZ_T, gdzie Z_T ~ N(0,1).

Tak więc, warunek wykonania opcji cali zapiszemy jako

gdzie "standardowo”

„ _ ln(ir/S(0))-(r-i<7²)r _J

Zjt > -;=- = —U₂,

d₂ =

as/T

ln(S(0)/ir) + (r-l^)T

ct\/T

Stąd

^binary = exp(-rT)E(l | Z_T > ~d₂) = exp(-rT)P(Z_T > -d₂)

= exp(-rT)P(Z_r < d₂) = exp(-rT)$(d₂),

gdzie skorzystaliśmy z symetrii rozkładu N{0,1), a $ jest dystrybuantą rozkładu AT(0,1)