(b) Zakładamy, że cena akcji S(t) spełnia (w świecie wolnym od ryzyka) równanie

d5 = rSdt + oS&Wt-

S(T) = 5(0)exp ((r - ł<r2)T + uW,).

Zgodnie z zasadą wyceny innstrumentów pochodnych w świecie wolnym od ryzyka Cbinary = exp(-rT)E(tf (S(T) - K)) = exp(-rT)E(l | S(T) > K).

Wj1 > -


Ale warunek S(T) > K jest równoważny następującej nierówności ln(ir/S(0))-(r-ia2)T

gdzie jak pamiętamy Wt ~ iV(0, T). Proces Wt możemy zapisać jako WT = VfZT, gdzie ZT ~ N(0,1).

Tak więc, warunek wykonania opcji cali zapiszemy jako

gdzie "standardowo”


„ _ ln(ir/S(0))-(r-i<72)r J

Zjt > -;=- = —U2,


d2 =


as/T

ln(S(0)/ir) + (r-l^)T


ct\/T


Stąd


^binary = exp(-rT)E(l | ZT > ~d2) = exp(-rT)P(ZT > -d2)

= exp(-rT)P(Zr < d2) = exp(-rT)$(d2),

gdzie skorzystaliśmy z symetrii rozkładu N{0,1), a $ jest dystrybuantą rozkładu AT(0,1)