3893820044

§3.3. IY-16

Twierdzenie 2. * Niech V będzie przestrzenią wektorową, a f : V¹ —> F funkcją wieloliniową i altemującą. Jeśli Ui,...,Ufc G V i V; := ^aij^uj dla i = 1 to

/(Vi,    I^A0'i>~> A)l/(“ń>-> u,i),    (6)

l<ji<...<ji<k

gdzie A(ji,jj) jest podmacierzą macierzy (a^).., wyznaczoną przez kolumny ji, ...,ji. (Gdy l > k, prawą stronę powyższego wzoru należy rozumieć jako 0.)

Przed dowodem pokażemy, jak wynika stąd twierdzenie Bineta-Cauchy’ego. W tym celu ustalmy B G Mk,i i połóżmy /(vi,vj) = |AB|, gdzie A jest macierzą o wierszach vi,V/ € F^fc. Żądaną tezę otrzymamy wprost ze wzoru (6), jeśli za Ui,u/, obierzemy wektory ei,e* G F^k. (Zauważmy, że /(e^,..., e_J() jest wyznacznikiem macierzy utworzonej przez wiersze j\,..., ji macierzy B.)

Przejdźmy do dowodu twierdzenia 2. Wobec wieloliniowości funkcji /, k

/(v    = ^ai,/(u.„ v₂,

Podobnie

k

f(U_s, V₂, .... Vi) = 2j <>2t/(u_s, U₍, V₃,V,), i=l

skąd

k

/(vi,...,V|) =    ai,0₂₍/(u,.u₁,V3....,v_l).

S,(=l

Kontynuując w ten sposób otrzymujemy k

/(v 1,...,V,)=    a₁,₁a_2M...ai„/(u,₁,u,_J,...,u„).

Sl,S2,-.,«I=l

Ponieważ funkcja / jest alternująca, więc /(u_s,,u_S2,..., u_Sj) = 0 gdy ciąg (s_n)|j₌₁ nie jest różnowartościowy. Stąd /(vi,..., v/) = 0 przy k < l, a gdy k > l możemy sumowanie po prawej stronie ograniczyć do różnowartościowych ciągów (s_n)ń=i- Każdy taki ciąg jest przez dokładnie jeden ciąg rosnący (j_n)h=i i permutację uGSj wyznaczony wzorem s_n = j_at_n\ dla n = 1,...,/. (Należy elementy zbioru {si,..., s/} uporządkować, otrzymując ji,...,ji, a o(n) określić powyższą równością.)

Wykorzystamy teraz rezultaty z §§2.1 i 2.3. Funkcja / jest antysymetryczna, patrz zad. uzup. 2 w §2.1, wobec czego /(u_Sl, ...,u_Sfc) = Sgn((7)/(u_jl, ...,u_Jfc) i dalej

/(vi,...,v,) =    /(“*.“»>-i"*) (X!^SSⁿ(⁰')^aiJ»m'-'“'wi)

l<łi<...<jj<fc    \<res,

(7)