4531591928

Jeśli domkniemy w normie Ljw(O) zbiór L°°(fi) C La/(fi), otrzymamy ośrodkową przestrzeń Em{fi)> której przestrzeń sprzężona jest izometrycznie izomorficzna z La/*(fi). La/(fi) jest maksymalnym liniowym podzbiorem Cm (Cl).

Dowody wszystkich powyższych faktów dla izotropowych, tj. z modularem M radialnie symetrycznym (M(£) = Afflfl)) można znaleźć w [11] lub [1]. Uogólnienie na przestrzenie anizotropowe nie nastręcza trudności i znajduje się w [18] lub (w jeszcze większej ogólności) w pracy [19].

W naszym przypadku istotna będzie przestrzeń z zerowymi warunkami brzegowymi, którą zdefiniujemy jako domknięcie funkcji gładkich o zwartym nośniku w słabej z * (zwanej też słabą wstecz) topologii, w której, dzięki twierdzeniu Banacha-Alaoglu, mamy prezwartość kuli jednostkowej. Wkrótce okaże się jednak, że topologia domykania może być istotnie mocniejsza - na tyle, by na przykład dla przestrzeni Sobolewa W^1,p otrzymać klasyczne pojęcie Wq'^p . Definicja 5. Lh,m(fi,R^m) będzie oznaczać domknięcie funkcji gładkich o zwartym nośniku w słabej wstecz topołogii wzgłędem Lh i Lm- Dokładniej, u € L//_tA/(fi, R^m) wtedy i tytko wtedy, gdy istnieje ciąg funkcji Uk 6 C£°(fi, R^m) taki, że Uk —*• u w L//(fi,R^m) oraz Vuk —Vu w LA/(fi,R^rfxm). Dła przypomnienia, ośrodkową przestrzenią preduałną do Lh jest Eh* i analogicznie do Lm - Em*•

Do dalszych zastosowań będziemy potrzebować „nierówności Poincarego” w wersji dla anizotropowych przestrzeni Orlicza. Tego typu, w pewnym sensie optymalne, nierówności uzyskał Cianchi (patrz na przykład [2]). Dla naszych celów optymalna nierówność jest z jednej strony za słaba, a z drugiej za mocna, więc ograniczymy się do jej trywialnej wersji. W poniższym lemacie | • | oznacza normę euklidesową (wektora lub macierzy).

Lemat 1. Niech H : R^m —► R będzie określone przez H(r) = inf^|_|₇.|_ię_6Rdxm_=RA' M(£). Wówczas dla u € C£°(fi,R^m)

[ H(u(x))dx < [ M(diam(D)Vu(x))dx.

Jo.    Jo

Uwaga 1. Od tej pory Lh,m będzie zawsze określona przez modular M, zaś funkcja H będzie związana z nim jak w treści lematu.

Uwaga 2. H jest N-funkcją, natomiast Lh,m - przestrzenią Banacha. Sprawdzenie tych dwóch faktów jest prostym ćwiczeniem.

Dowód lematu.. Dowód jest taki sam jak w przypadku trywialnej wersji nierówności Poincarego w przestrzeniach L^p:

/ H(ui(x),... ,u_m(x))dx =

Jo

J_q^h (f d_xiui(y,x₂,...,x_d)dy,..., J d_xiu_m(y,x₂,... ,Xd)dyj dx <

\Vui\(y,x₂,...,Xd)dy,...,    |Vu_m|(y,x₂,... ,x_d)dy) dx =

Jo    \J r    J r    /

fo^H (_Kf_R^^u\\\(^y,X2’ ■ ■ ■ ^,Xd)^dy) ^dx ^

dk^ttj i i ^/f(*^am(^!!)lll^v“lllfe. ■ ■ -,x_d))dydx «

[ /f(dżam(fi)|||V?i|||(a;))(ia; < [ M(diam(ęi)Vu(x))dx,

Jo    Jo

gdzie użyliśmy oznaczenia |||Vm||| = (|Vui|,..., |VM_m|) i wykorzystaliśmy wypukłość H.