Uniwersytet Warszawski Wydzial Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Zadania z ukladów dynamicznych 2 VI 2007, Termin: 8 VI 2007, g.12.
1. Dana jest przestrzeń zwarta X, przeksztalcenie ciagle f : X X i punkt p " X.

n
Przypuśćmy, że f(X) = X oraz p " int f (X) dla każdego n " N. Udowodnić, że

n
istnieje taki punkt a " X, że f (a) = p dla każdego n " N.

2. Rozpatrzmy okrag jednostkowy S1 i funkcje f : S1 S1 klasy C1, spelniajaca
   
warunek |f (s)| > 1 dla każdego s " S1. (a) Dowieść, że punkty okresowe
przeksztalcenia f tworza zbiór gesty w S1. (b) Dowieść, że entropia topologiczna H(f)
 
spelnia warunek: 2 d" 2H(f) " N.
3. Dla dowolnej liczby calkowitej m > 0 i dowolnego ciagu m liczb dodatnich o sumie

1, (p1, . . . , pm), rozważamy przestrzeń ciagów

&! = &!m = {1, 2, . . . , m}N
z topologia produktowa (traktujac zbiór {1, . . . , m} jako przestrzeń dyskretna) i miara
    
borelowska µ = µm spelniajaca warunek
  
µ{x " &! : x0 = k0, . . . , xn = kn} = pk · · · pk
0 n
dla każdego n " N i dowolnych k0, . . . , kn " {1, . . . , m}. Rozważamy przesuniecie

à : &! &!, tzn. Ã((x0, x1, . . .)) = (x1, x2, . . .).
(a) Czy każda iteracja Ãn jest ergodyczna?
(b) Czy uklad dynamiczny (&!, µ, Ã) jest metrycznie sprzeżony z jakimÅ› ukladem

{I, , Õ}, gdzie I = [0; 1], a  jest miara Lebesgue a?

4. Liczbe rzeczywista x nazwiemy liczba typu A, jeśli dla każdej podstawy
  
d " N \ {0, 1} (każde) rozwiniecie x = . . . , c1c2c3c4 . . . przy podstawie d ma te wlasność,
 
że
lim (c1 + . . . cn)/n = (d - 1)/2.
n"
Podobnie liczbe typu B określmy przez wlasność

n
1
lim (-1)kck = 0.
n"
n
k=1
Zbadać, czy prawie każda liczba rzeczywista x jest: (a) typu A, (b) typu B.
1
5. Rozważmy domkniety odcinek jednostkowy I z miara Lebesgue a  oraz ciagle
  
przeksztalcenie Õ : I I zachowujace miare . Czy jest możliwe, aby: (a) f bylo
 
ergodyczne, a f2 nie? (b) f2 bylo ergodyczne, a f nie?
6. Na otwartym pelnym torusie T = S1 × D (gdzie D ‚" C jest otwartym dyskiem
jednostkowym) określone jest przeksztalcenie
1
f(z, u) = (zm, zm + cu),
2
gdzie m jest ustalona liczba naturalna (m > 1), a c ustalona liczba rzeczywista,
     
Ä„
0 < c < . Niech
4m
› = fn(T ).
n"N
(a) Znalez
ć wszystkie punkty okresowe ukladu (›, f).
0
(b) Dowieść, że dla każdego punktu (eit , u0) " › istnieje funkcja F : R D klasy
C", spelniajaca warunek F (t0) = u0 i określajaca różnowartościowe odwzorowanie
 
R t (eit, F (t)) " ›.
7. Niech f : D D bedzie funkcja holomorficzna, gdzie D oznacza otwarty dysk
 
jednostkowy na plaszczyz
nie zespolonej. Zalóżmy, że f(0) = 0 i 0 < |f (0)| < 1, i niech
g(z) = f (0)z (z " C). Dowieść, że istnieje otoczenie U 0, na którym ciag funkcji

hn = g-n ć% fn jest jednostajnie zbieżny do holomorficznej, różnowartościowej funkcji
h : U C, spelniajacej warunek: g ć% h = h ć% f na zbiorze U.

2 2
8. Niech f : T T 2 bedzie przeksztalceniem dwuwymiarowego torusa T , danym

2 1
2 2
macierza A = , tzn. f(v) = Av (mod 1). Podobnie, niech g : T T bedzie
 3 2 
2 0
dane macierza B = . Obliczyć entropie topologicznna H(f) oraz H(g).
 0 3  
9. Niech Õ : &! &! bedzie endomorfizmem przestrzeni probabilistycznej (&!, µ). Niech

A i B beda dwoma (skończonymi) rozbiciami mierzalnymi przestrzeni &!. Wykazać
 
nastepujaca nierówność dla entropii metrycznej H = Hµ:
  
H(Õ, B) d" H(Õ, A) + H(B|A).
10. Niech µ i ½ beda miarami probabilistycznymi na Ã-ciele M podzbiorów
 
przestrzeni &!. Przypuśćmy, że przeksztalcenie Õ : &! &! jest ergodyczne wzgledem µ i

wzgledem ½. Wykazać, że albo µ = ½, albo &! = A *" B, gdzie µ(A) = ½(B) = 0.

2