Przykład 0.3.3 (Ujemny rozkład dwumianowy). Powtarzamy próby o możliwych wynikach sukces (S), porażka (P), do czasu uzyskania dokładnie k sukcesów. Wtedy dla T/. , liczby potrzebnych prób zachodzi

P(T„ = m + k)=(jⁿ⁺^    ¹) (1 - j>)V

dla dowolnego k = 1,2,... oraz m = 0,1,2,...

0.3.2 Istnienie nieskończonego ci§gu zmiennych losowych niezależnych

Niech fi = [0,1],P = | | (miara Lebesgue’a, miara długości). Zdarzeniami będą wszystkie zbiory borelow-skie w [0,1]. Dla dowolnego u> € [0,1] niech w = -^ +    + ff + ••■ bedzie rozwinięciem dwójkowym (dla

jednoznaczności przyjmujemy rozwinięcia o skończonej ilości jedynek, jeśli takie są dopuszczalne). Wtedy ciąg (Z\. Zi....) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o wartościach 0 i 1. Uzasadnienie: Wystarczy pokazać, że

P(Zi = di,...,Z_n = d_n) = P(Zi = di)...P(Z_n = d_n) dla dowolnego układu zer i jedynek d = (di,..., d_n), (di € {0,1}).

Niech

A_d = {Zi = d₁,...,Z_n = d_n}

wtedy fi = Ua-dd jest rozłączną sumą 2ⁿzbiorów, gdzie sumowanie jest po wszystkich układach zer i jedynek na n miejscach. Rozpatrzmy dwa dowolne takie układy d. d'. Niech

dla u G [0,1]. Wtedy oczywiście _d'(Ai) = Aj' > ^a ponieważ T_d d' jest przesunięciem i w związku z tym nie zmienia miary P zbioru A_d , tzn. P(A_d) = P(Td,d'(-^d)) = P(Ad'), wynika stąd, że wszystkie zbiory A_d mają to samo prawdopodobieństwo niezależnie od indeksu d. Ponieważ jest ich 2" i w sumie dają one fi, wnioskujemy, że P(A_d) = dla każdego d. Mamy więc P(Z\ = d\,..., Z_n = d_n) = P(A_d) = Zauważmy teraz, że P(Z\ = d\) = 1/2, bo wystarczy podstawić n = 1 w poprzedniej równości. Ponadto P(Z2 = (fe) = P(Z\ =0,Z2 = 2)+P(Zj = 1, Z2 = d2) = 1/4+1/4 = 1/2, wykorzystując tę samą równość dla n = 2 . Rozumując przy pomocy indukcji matematycznej otrzymujemy ogólnie P(Z_n = d_n) = 1/2, a stąd warunek niezależności bezpośrednio wynika.

Aby skonstruować ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dowolnych przy użyciu ciągu (Zi,Z₂,...) ustawiamy go w tablicę (Zjfc)i=i,2,...k=i,2,...- Niech teraz

u, = f; Za,/2”

Wtedy (Ui, U-2, •--•) tworzą ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładach jednostajnych na [0,1]. Rzeczywiście dla x 6 [0,1]

P(Ui < x) = lim P(U_tP < x) = lim

gdzie

U_t^N = J2 Z_ik/2^k

fc=1

Biorąc teraz Xi = F ^l(U/), dla dowolnej ciągłej dystrybuanty F otrzymujemy ciąg (Xi,X2, -••) niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o dystrybuancie F.