7025752572

Wykład 1

Metody numeryczne - równania liniowe

Układy równań liniowych towarzyszą problemom Elektroenergetyki od samych jej początków. Analizy obwodów elektrycznych w oparciu o równania „oczkowe" lub „węzłowe", rozpływy mocy w sieciach energetycznych, analizy pól elektromagnetycznych metodami numerycznymi czy wreszcie szeroko stosowane algorytmy optymalizacyjne zagadnień wielowariantowych opierają sie, bądź wykorzystują w swoich procedurach, metody rozwiązywania równań liniowych w postaci:

Cl\\X\ + U\2X2 + •.	, . + Cl\nXn	= h	(1.1)
fl21*l + 022*2 + • ■	• • + 01 n*«	= h	(1.2)
		= :	(1.3)
an\X\ + 0„2*2 + • ■	• • + 0««*n	= K	(1.4)
w ujęciu rachunku macierzowego, tj.: Ax =	b		(1.5)

Zastosowanie rachunku macierzowego polega przede wszystkim na prowadzeniu odpowiednich operaq'i i przekształceń macierzy współczynników równań liniowych. Stosowane algorytmy w większości wypadków zależą bezpośrednio od wymiaru takiej macierzy oraz obszaru pamięci dostępnego dla prowadzonych obliczeń. Obydwa parametry są o tyle istotne, że decydują o możliwości (lub braku tejże) alokowania w pamięci całej macierzy współczynników.

Niezależnie od stosowanego algorytmu, prowadzenie obliczeń na liczbach o skończonej precyzji prowadzi do problemu dotyczącego błędów zaokrągleń i propagacji tych błędów we wszystkich etapach rozwiązywania układu.

1.0.1. Czy liczba równań jest odpowiednia ?

Wbrew pozorom odpowiedź na powyższe pytanie nie zawsze jest oczywista. Każda analiza problemu zmierza do ustalenia odpowiedniej liczby niezależnych równań koniecznych do rozwiązania. W większości przypadków liczba ta odpowiada liczbie poszukiwanych zmiennych. Określony w ten sposób układ jest jednoznacznie określony. Mniejsza liczba równań uniemożliwia rozwiązanie zagadnienia. Czasami zdarza się jednak, że liczba równań jest większa od liczby zmiennych. Niektóre środowiska obliczeniowe (np. MATLAB) pozwalają na wyznaczenie rozwiązania przybliżonego, które spełnia wszystkie równania z możliwie najmniejszym błędem (patrz, wykład 5) [?].