7025752576

7

rolę odgrywa w tym momencie organizacja algorytmu, który przygotowuje macierz współczynników (np. zastosowanie optymalnej numeracji węzłów). W algorytmach pasmowych w miejsce całej macierzy współczynników przechowywana jest jedynie niezerowa część macierzy oraz infor-maq'a o elementach zerowych w zwartej postaci. W przypadku macierzy symetrycznych możliwa jest dalsza redukcja pamięci zajmowanej przez tablicę współczynników, gdyż wystarcza wówczas przechowanie w pamięci danych dla połowy szerokości pasma. Operacje eliminacji opisane wyżej stosuje się wtedy do tablicy zawierającej elementy niezerowe.

Metody frontalne, obecnie rzadziej stosowane z uwagi na efektywność metod pasmowych oraz intensywny rozwój elektroniki obliczeniowej, polegają na naprzemiennym wprowadzaniu do układu równań kolejnych macierzy składowych oraz ewentualnej eliminacji zmiennych nie występujących w pozostałych równaniach. Pełna macierz składowa wprowadzana do układu stanowi „front" obliczeń, stąd nazwa metody.

1.0.6. Algorytmy iteracyjne

W przypadku bardzo dużych układów równań charakteryzowanych rzadką macierzą współczynników, których wartości można stosunkowo łątwo wyznaczyć stosowane są metody iteracyjne. Polegają one na wyznaczeniu rozwiązania metodą kolejnych przybliżeń rozwiązania początkowego (wektor xo). Pozwala to uniknąć przechowywania w pamięci całej macierzy współczynników. Najbardziej istotnym kryterium ocenny metod iteracyjnych jest tempo zbieżności. [?,?].

Metoda Jacobiego

Metoda Jacobiego nie jest stosowana w praktyce z uwagi na wolną zbieżność algorytmu, jednak dla pozostałych metod iteracyjnych stanowi podstawę odenisienia. Każda z bardziej zaawansowanych metod iteracyjnych oparta jest właśnie na tej metodzie.

Istotą każdej metody iteracyjnej jest wyznaczenie wektora początkowego dla kolejnej iteracji. Przyjmując układ równań:

(1.27)

5*i - 2x2    = 8

3xi - 20x₂ = 26

można przekształcić ten układ do postaci macierzowej, umożliwiającej wyznaczenie nowej wartości początkowej (x'):

b	| = f°	0,4 1	b 1+1	1,6 1
	j [ 0,15	^0 J	L ^2 J 1	-1,3 J

(1.28)

Zakładając początkowy wektor xq:

(1.29)

^x° = [o

z równania (1.28) otrzymuje się:

O O 4^	°1 [ 1,6 1	1,6 1	^x\
[ 0,15 0	°n -1,3 j ■	-1,3 J “	^X2 .

(1.30)

W kolejnych iteracjach do wzoru (1.28) podstawiane są rozwiązania Xq.