7025752577

Wykład 1. Metody numeryczne - równania liniowe

Ogólnie kolejne przybliżenie wyznacza się wzorem:

(1.31)

Metoda Seidla

Metoda Seidla polega na niewielkiej modyfikacji metody Jacobiego. W przypadku tego algorytmu każdy obliczony w danej iteracji składnik wektora x'_Q/ uwzględniany jest przy wyznaczaniu wartości w kolejnych wierszach jako wartość początkowa (np. przy określania elementu x'₂ przyjmuje się X\ = x'j wyznaczone w pierwszym wierszu).

(1.32)

Ważną własnością iteraq'i Jacobiego i Seidla jest ich liniowość, co oznacza, że w pobliżu rozwiązania dokładnego błąd rozwiązania przybliżonego zmniejsza się liniowo. Umożliwia to na podstawie prostych zależności ekstrapolaqę rozwiązania dokładnego.

Metoda nadrelaksacji

Metoda nadrelaksacji stanowi modyfikację metody Siedla. Analiza równania (1.32) wskazuje, że przybliżenie (i + 1) otrzymuje się przez dodanie do przybliżenia (i) pewną poprawkę, tj:

\kj    k>j

W metodzie nadrelaksacji poprawkę tę mnoży się przez współczynnik a, zwany współczynnikiem nadrelaksacji. Wartości tego współczynnika dobierane są z zakresu a e (0;2). Ostatecznie wzór iteracyjny przyjmuje postać:

Porównanie opisanych wyżej metod ma znaczenie jedynie w przypadku dużej macierzy współczynników rozwiązywanego układu. Metody iteracyjne stosowana są niemal wyłącznie w przypadku bardzo dużych układów równań, w których znaczenie ma prowadzenie operacji jedynie na oryginalnej macierzy współczynników.

Porównanie wydajności algorytmów w analizie równania Laplace'a metodą różnic skończonych z aproksymacją pięcioelementową funkqą drugiego lub trzeciego rzędu z podziałem bloku na s węzłów prowadzi do konieczności wyznaczenia odpowiednio s² lub s³. W metodach skończonych maksymalne półpasmo dla macierzy spółczynników wynosi odpowiednio s lub s², zaś liczba operaqi mnożenia jest szacowana na odpowiednio |s⁴ i ^s⁷. Zastosowanie metod iteracyjnych wymaga odpowiednio 2s² i 2s³. Poprawa dokładności obliczeń o jeden rząd wymaga wykonania metodą Seidla i ^ dla metody nadrelaksaqi.