70520494

20. Określić dziedziny funkcji: (a) f(x) — arcsin(2x + 1);

(b) f(x) = arccos ^®² + ^;

(c) f(x) = arctg^-jS    (d) f(x) = arcctg2^3:.

21.* Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:

r 7r Sir j

(a) f(x) = sin®, x € —, — ;    (b) f(x) = cosx, x € [tt, 27r];

(c) f(x) = tgx, x €    (d) f(x) = ctgx, x e (tt,2tt).

Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.

Lista 4

22. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: 2 + cosn

(a) a_n =

3 — 2sinn’

(d) a„ = y/n + 8 — Vn + 3;    (e*) a_n

(b) a_n = \/2ⁿ - 1;    (c) a_n = 1 - \/ń;

23. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: 2n + 1

(d) a_n

(b) a_n = (e) a_n =

(i)a_n

24. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:

3 — n

(a) lim —— = —1;

(^b)„¹iE,3 ^{= 0;}

(c) lim 2ⁿ = oo.

n + 4

25. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:

Sn — 1    /i.\ i- ra+1    _{/ x} n³ + 2n² + 1

2n² + 1 ’

1 + 3 + ... + (2n - 1)

(a) lim

(d) lim

n + 4 ’

(n² + 2)^3C

^n—*°° (n³ + 1)^2C

(b) „Ibo,;

(e) lim -

(c) Jim^ (f) hm

n — Sn³

gn+l _ ąn

5n _ Ąri+2 ¹

^(g)^(t²+i¹)^+⁺i)r

26. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:

	2 n + (-l)^n		JseI,
^n—*°°	3n + 2 ’	n-oo	n
(d)	V    --^1--2 --3 ’ V    n n^z n^ó	(e) lim	fzr-

27. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:

1\³“-²    /5n + 2\¹⁵ⁿ    . .    ( 3n \ⁿ ,/n + 4\^s~²”

^(a) „^lSS, (^{1 +} - )

28. Kórz;

(a) lim -

(b) lim |

(c) lim |

(d) lim |

28. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n² + 1

(b) lim (n⁴ — 3n³ — 2n² - 1 j:

(d) lim

f n + IN™

(e) lim

l-(n + l)! n! + 2    ’

(c) _flim_o(l + 2ⁿ-3ⁿ); . . arctgra

4