20. Określić dziedziny funkcji: (a) f(x) — arcsin(2x + 1);
(b) f(x) = arccos ^®2 + ^;
(c) f(x) = arctg^-jS (d) f(x) = arcctg23:.
21.* Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:
r 7r Sir j
(a) f(x) = sin®, x € —, — ; (b) f(x) = cosx, x € [tt, 27r];
(c) f(x) = tgx, x € (d) f(x) = ctgx, x e (tt,2tt).
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.
Lista 4
22. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: 2 + cosn
(a) an =
3 — 2sinn’
(d) a„ = y/n + 8 — Vn + 3; (e*) an
(b) an = \/2n - 1; (c) an = 1 - \/ń;
23. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: 2n + 1
(d) an
(b) an = (e) an =
(i)an
24. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:
3 — n
(a) lim —— = —1;
(c) lim 2n = oo.
n + 4
25. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
Sn — 1 /i.\ i- ra+1 / x n3 + 2n2 + 1
2n2 + 1 ’
1 + 3 + ... + (2n - 1)
(a) lim
(d) lim
n + 4 ’
(n2 + 2)3C
n—*°° (n3 + 1)2C
(c) Jim^ (f) hm
n — Sn3
gn+l _ ąn
5n _ Ąri+2 1
(g)^(t2+i1)^++i)r
26. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:
2 n + (-l)n |
JseI, | ||
n—*°° |
3n + 2 ’ |
n-oo |
n |
(d) |
V --1--2 --3 ’ V n nz nó |
(e) lim |
fzr- |
27. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
1\3“-2 /5n + 2\15n . . ( 3n \n ,/n + 4\s~2”
(a) „lSS, (1 + - )
28. Kórz;
(a) lim -
(b) lim |
(c) lim |
(d) lim |
28. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n2 + 1
(b) lim (n4 — 3n3 — 2n2 - 1 j:
(d) lim
f n + IN™
(e) lim
l-(n + l)! n! + 2 ’
(c) flimo(l + 2n-3n); . . arctgra
4