70520495

29. Będziemy mówili, że ciągi (a_ra), (b_n) o dodatnich wyrazach, zbieżne do granicy właściwej lub niewłaściwej, są asymptotycznie równe, gdy lim a_n/b_n = 1. Zbadać, czy podane ciągi są asymptotycznie równe:

(a) a_n = n² + 2, b_n = \/2n⁴ + 1;    (b) a_n = n⁴ - n³ - 10, b_n = n⁴; (c) a_n = VI + 2” + 3ⁿ, 6„ = 3;

3” + 5” ’    2" + 6ⁿ ’

Jeżeli zaś granica lim a_n/6_n jest liczbą dodatnią, to mówimy, że ciągi (a_n), (&„) są tego samego rzędu. Które z podanych par ciągów są tego samego rzędu?

(d) a„ = —-—, b_n = —-—;    (e) a_n = (n+ 1)!, b_n = n ■ n\:    (f*) a_n = n\, b_n = aⁿ, (a > 1).

' ¹    “    Kra ’    " onifin¹ ' '    "    '    '    ’    ™    ’    \    ) n i n    ’ V    /

Lista 5

30. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: (a) lim(x — 2)⁵ = 1;    (b) lim — = 0;    (c) lim₊ ——^ ⁼ °°-

31. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:

⁴ t \ v ^X+V^X (c) lim--=—:

*-0 y/ź

(a) lim -

(^e) to*

:² - x + 1 ’ z² - 5x + 4

(b) lim

x—2 X² — X — 2 ’

x(x — 5)

x - 6

_{(i) lim} l£±L

tg²x + 5

O)

(k) lim

^Vx² + 1 + x

Vv^rTź + 2

^(d) M

(h) lim

r³ - 1 r⁴ - 1’ 2^a + 1 3*+ 2’

■o 1 -cosx ' ' *-oo x + l 32. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:

(a) limxsgnx; (b) lim 2^a ;    (c) lim-;-—;    (d) limxarctg—.

^v ' z-o ⁶    ' ’ z-o ^v ' i-2 |x — 2|    i—o    ⁶ x 33. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:

(a) lim v/x cos —~ = 0: (b) limx³ arctg— = 0; (c) lim ——-—- = 0. z—0+    x^Ł    a:—0    x    *-*oo

34. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:

(a) lim-

(b) lim

sin (x² — 5x + 4)

(d) Jim^ x² arc tg —; ln(l + Vx)

, , cos5x

(e) hm -—;

' z—f cos 3x

(g) Bm-

(j) lim(l + 2x)‘;

(k) lim[l+tg(2x)f

(^c) 1™

(f) lim

^v ’ z-0 (i) lim

w ja

arc sin 2x

0 arc tg x 1

^:ó sin 2x ’ X⁵⁷ — 1

x — 1

35. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji ~3 , Ji    o~3

w m =

(a) f(x) = -

(d) m = ■

;² — 4 ’ + x²

(g) /(*)^:

(x + l)² ’

3^X

3z _ 2* ’

(h) /(x) = x — arc tg x;

(e) /(x) =

(c) /(*) =

(f) f{<

\/x² — 9’ sin²x

(i) /(*)

(x + 1) \Jx - 2

Lista 6 36. Dobrać parametry a, b € R tak, aby podane funkcje były ciągłe na R: