1.3 Metoda Simpsona

Przedział < a; b > dzielimy punktami

xi~ = a+ -——k [k = 1,2,... , 2n — 1)

2 n

na parzystą liczbę 2n podprzedziałów o wspólnej długości    Bierzemy następnie pod uwagę

podprzedziały < X2i-i',X2i > (ż — 1,2,... , n), przy czym oznaczamy xq — a, X2_n = b. W każdym punkcie Xk (k = 0,1,2,..., 2n) obliczamy wartość funkcji podcałkowej /(a:*) = j/fc. Metoda Simposna polega na tym, że całkę

j f(x)dx (i = 1,2, ...,n)

zastępujemy całka z funkcji

= a,iX² + biX + Cj

tak dobranej, aby spełnione były następujące warunki:

hi(x₂i-2) = 2/2i-2, hi(x2i-i) = y₂*-i, ^i(ai2i) = to    (1-6)

Interpretacja geometryczna takiego postępowania jest przedstawiona na rys. 1.3.

Rysunek 1.3: Metoda Simpsona.

Okazuje się, że obliczanie współczynników Oj, bi oraz c*, i = 1,2,..., n, nie jest konieczne, choć - jak łatwo sprawdzić - układ równań

jest układem Cramera względem niewiadomych aj, b_t i Cj, a więc dla każdego i = 1,2,... ,n istnieje dokładnie jedna trójka uporządkowana liczb (ai,ói,Ci) taka, dla której warunki (1.6) są spełnione.

7