8504862405

4 l. Wstęp

todę elementów brzegowych - MEB [39], metodę elementów skończonych - MES [138, 137, 315, 22], różnorodne metody bezsiatkowe, jak np. metodę cząstek rozmytych (ang. SPH - smoothed particie hydrodynamics) [171], metodę punktów swobodnych [126], metodę punktów materialnych, zwaną również metodą „cząstki w komórce"^#. materiał point method lub particle-in-cell-method) [295, 296].

Istotą metody różnic skończonych [205] jest zastąpienie pochodnych odpowiednimi ilorazami różnicowymi określonymi na dyskretnym zbiorze punktów. Metodę różnic skończonych początkowo stosowano do równań różniczkowych (sformułowanie lokalne), później rozszerzono zakres jej zastosowań na zagadnienia sformułowane w postaci wariacyjnej (sformułowanie globalne). W standardowym sformułowaniu MRS stosowano regularną (kwadratową, prostokątną lub sześcienną) siatkę węzłów. W zaawansowanych sformułowaniach stosuje się dowolną siatkę węzłów [170]. Ilorazy różnicowe można zbudować na dowolnie wygenerowanych punktach, dzięki temu to sformułowanie MRS można zaliczyć do metod bezsiatkowych [206]. Zaletą MRS jest prostota sformułowania i łatwość implementacji. Sformułowanie MRS dla dowolnych siatek pozwala wyeliminować problemy z dyskretyzacją skomplikowanych kształtów geometrycznych. W dalszym ciągu jedną z wad jest kłopotliwe zadanie warunków brzegowych typu von Neumanna. Metoda różnic skończonych jest szeroko stosowana w mechanice płynów. Jest również stosowana w mechanice ciał stałych, np. znany program do rozwiązywania zagadnień z geomechaniki FLAC [79] jest oparty na metodzie różnic skończonych.

W niniejszej pracy jako metoda dyskretyzacji zagadnienia ciągłego będzie stosowana metoda elementów skończonych. Ideą metody elementów skończonych jest podział rozpatrywanego obszaru ciągłego na skończoną liczbę podobszarów (elementów skończonych) połączonych ze sobą w punktach węzłowych oraz aproksymacja rozwiązania w obszarze elementów za pomocą funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu) i wartości w węzłach [138, 137, 315, 18]. Równania metody elementów skończonych otrzymuje się ze sformułowania całkowego (globalnego) zagadnienia, korzystając z zasady wariacyjnej lub z metody residuów (reszt) ważonych. W metodzie wariacyjnej wykorzystuje się słabe sformułowanie analityczne, np. równanie zasady prac przygotowanych lub definiuje się problem minimalizacji pewnego funkcjonału. Metoda residuów ważonych przekształca lokalne sformułowanie zagadnienia brzegowego w całkową postać słabą. Do przybliżonego rozwiązania zagadnienia minimalizacji stosuje się metodę Ritza, a do słabej postaci stosuje się metodę Galerkina. Metoda Galerkina jest metodą bardziej ogólną niż metoda Ritza, można ją stosować również wtedy, gdy nie możliwe jest zdefiniowanie zagadnienia minimalizacji i nie istnieje sformułowanie wariacyjne (słabą postać otrzymuje się wówczas z metody residuów ważonych). MES jest metodą stosunkowo najbardziej uniwersalną i wszechstronną. Do zalet MES na-