8857685855

Rozdział 4

Wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych (EVT)

W tym rozdziale przedstawiona zostanie metoda doboru modelu GPD (uogólniony rozkład Pareto) do ogona rozkładu wielkości strat X z wykorzystaniem teorii wartości ekstremalnych (patrz dodatek A). Dystrybuanta rozkładu GPD przedstwia się następująco:

GPD_(flJx) =

1 — (l+£*=“) b jeśli tytO

1 — exp    , jeśli £ = 0

(4.1)

Używana będzie również dwuparametrowa wersja uogólnionego rozkładu Pareto: GPDę_)(T, która jest równoważna GPD^o-4.1. Wybór progu

Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, część ogonowa rozkładu strat jest najbardziej istotna przy ocenie ryzyka operacyjnego. Straty z tego obszaru występują rzadko, ale charakteryzują się dużymi wartościami. Metoda wartości ekstremalnych polega na modelowaniu tylko ogona rozkładu. Kluczowy będzie odpowiedni wybór progu u. Wartości poniżej progu są ignorowane, a te powyżej modelowane jednym z rozkładów wartości ekstremalnych. W niniejszej pracy wykorzystany zostanie uogólniony rozkład Pareto (GPD), ponieważ jest on najczęściej używany do modelowania strat operacyjnych. Rysunek 4.1 przedstawia ideę podziału danych na dane poniżej i powyżej progu u. W kolejnych paragrafach zostaną przedstawione najpopularniejsze metody wyboru odpowiedniej wartości progu.

4.1.1. Mean Excess Plot

Użytecznym narzędziem do oceny gruboogonowej natury rozkładu jest zastosowanie tzw. wykresu średniej nadwyżki ponad próg - mean excess. Estymatorem funkcji

e(u) = E{X — u\X > u)

jest

e_n(u) =

#{1 < i < n : Xi > u}

EW-«

(4.2)

Wykres mean excess dla rozkładów gruboogonowych jest liniowy i rosnący, rozkładów wykładniczych jest stały, natomiast rozkłady lekkoogonowe charakteryzują się wykresem malejącym do zera. Na rysunku 4.2 przedstawiono wykres estymatora (4.2) w zależności od progu u.