8857686342

Nie jest to układ równań bardzo łatwy do rozwiązania, wręcz przeciwnie. Jednak skrócony ale równoważny jednocześnie zapis (12) pozwala go rozwiązać w prostszy sposób, szczególnie prosty wtedy gdy m = n, to znaczy, gdy ilość równań jest taka sama jak ilość niewiadomych. Do tego jednak potrzebne będzie jeszcze jedno pojęcie, mianowicie pojęcie wyznacznika, które przytaczamy poniżej.

Definicja 1

Dla macierzy kwadratowej stopnia k, określamy jej wyznacznik w sposób indukcyjny, to znaczy, przyjmując że potrafimy już obliczać wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej stopnia k-1. Aby ta metodologia miała sens, musimy wiedzieć jak obliczać wyznacznik najmniejszej macierzy, to jest macierzy stopnia 1, która jest po prostu liczbą. Poniższa metoda nazywa się obliczaniem wyznacznika macierzy kwadratowej za pomocą rozwinięcia Laplace’a według dowolnego wiersza albo dowolnej kolumny

1.    Jeśli A = [a], to jej wyznacznik det(A) = a;

2.    Zakładając że potrafimy obliczać wyznaczniki macierzy kwadratowych stopnia k-1, poniższy wzór określa jak obliczyć wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej stopnia k za pomocą rozwinięcia Laplace’a według 1-go wiersza:

det(A) = det

A A_n ... A_u A A -■ K

Ai Ai A-

i(-f« =(-l)^wĄ,r„ +(-l?*²A,₁W_n + ... + (-\)^HkA_uW,_l gdzie Wy = det(B), przy czym B jest podmacierzą A, która powstaje z A po skreśleniu i-ego wiersza oraz j-ej kolumny macierzy A.

Przykład 3

Oblicz det(A) = det

1	1	0	0'
0	1	1	0
0	0	1	1
1	0	0	1

za pomocą rozwinięcia Laplace’a według

(a) 1-go wiersza, a następnie (b) 4-ej kolumny.