2t 1 Pochodne funkcji elementarnych tan x = 1-t2 1-t2 cot x = 2t (c) = 0 (xą) = ąxą-1 (sin x) = cos x 5 Całka oznaczona (cos x) = - sin x 1 (tan x) = = 1 + tan2 x 1. Długość łuku krzywej y = f(x) dla a x b wyraża cos2 x -1 (cot x) = = -1 - cot2 x wzór: sin2 x b (ax) = ax ln a l = 1 + f (x)2dx a (ex) = ex 1 2. Długość łuku krzywej określonej parametrycznie x = (loga x) = x ln a 1 x(t), y = y(t) dla ą t � wyraża wzór: (ln x) =
x � 1 l = (x (t))2 + (y (t))2dt " (arcsin x) = ą 1-x2 -1 " (arccos x) = 3. Objętość bryły powstałej przy obrocie wokół osi Ox krzy- 1-x2 1 (arctan x) = wej o równaniu y = f(x) dla a x b wyraża wzór: 1+x2
b -1 (arc ctg x) = V = Ą f2(x)dx 1+x2 a (sinh x) = cosh x 4. Powierzchnie boczną bryły powstałej przy obrocie wokół (cosh x) = sinh x 1 osi Ox krzywej o równaniu y = f(x) dla a x b (tanh x) = cosh2 x wyraża wzór: -1 (coth x) = b sinh2 x S = 2Ą f(x) 1 + (f (x))2dx a 5. Objętość bryły powstałej przy obrocie wokół osi Ox krzy- 2 Wzory na podstawowe całki wej określonej parametrycznie x = x(t),y = y(t) dla
ą t � wyraża wzór: xn+1
xndx = + C � n+1
V = Ą y2(t)|x (t)|dt 1 ą dx = ln |x| + C x sin xdx = - cos x + C 6. Powierzchnie boczną bryły powstałej przy obrocie wokół
cos xdx = sin x + C osi Ox krzywej określonej parametrycznie x = x(t),y =
dx = tan x + C y(t) dla ą t � wyraża wzór: cos2 x
dx � = - cot x + C S = 2Ą |y(t)| (x (t))2 + (y (t))2dt sin2 x ą
ax axdx = + C ln a exdx = ex + C
dx 6 Zastosowania fizyczne = arctan x + C 1+x2
dx " = arcsin x + C 1-x2 M = y)dxdy-Masa obszaru
�(x, sinh xdx = cosh x + C Mx = y�(x, y)dxdy-moment statyczny względem osi OX
D
cosh xdx = sinh x + C My = x�(x, y)dxdy-moment statyczny względem osi OY
D dx = tanh x + C Ix = y2�(x, y)dxdy-moment bezwładności względem osi cosh2 x D dx = - coth x + C OX sinh2 x
f (x) Iy = x2�(x, y)dxdy-moment bezwładności względem osi = ln |f(x)| + C D f(x) OY
I0 = (x2 + y2)�(x, y)dxdy-moment bezwładności zględem D punktu (0, 0) 3 Dodatkowe wzory całek
M = �(x, y, z)dxdydz-Masa bryły V
dx 1 x = arctan C Mxy = z�(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem x2+a2 a a V +
płaszczyzny XOY dx 1 x-a
= ln + C
x2-a2 2a x+a Myz = x�(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem
V
dx 1 a+x = ln + C płaszczyzny YOZ
a2-x2 2a a-x
Mzx = y�(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem dx x " V = arcsin + C 2 a płaszczyzny ZOX "a -x2 "
a2 x x a2 - x2 = arcsin + a2 - x2 + C 2 a a Ixy = z2�(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę- " V dx x " = ln + x2 + a + C dem płaszczyzny XOY 2
"x +a " " a x x Iyz = x2�(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę- x2 + adx = ln + x2 + a + x2 + a + C V 2 2 dem płaszczyzny YOZ
Izx = y2�(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę- V 4 Uniwersalne podstawienie trygo- dem płaszczyzny ZOX
Ix = (y2 + z2)�(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności V nometryczne względem X osi Iy = (z2 + x2)�(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności x V Jeśli t = tan 2 względem osi Y 2dt
to dx = 1+t2 Iz = (x2 + y2)�(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności V 2t sin x = 1+t2 względem osi Z 1-t2 cos x = 1+t2 1