2t
1 Pochodne funkcji elementarnych tan x =
1-t2
1-t2
cot x =
2t
(c) = 0
(xÄ…) = Ä…xÄ…-1
(sin x) = cos x
5 Całka oznaczona
(cos x) = - sin x
1
(tan x) = = 1 + tan2 x 1. Długość łuku krzywej y = f(x) dla a x b wyraża
cos2 x
-1
(cot x) = = -1 - cot2 x wzór:
sin2 x
b
(ax) = ax ln a l = 1 + f (x)2dx
a
(ex) = ex
1 2. Długość łuku krzywej określonej parametrycznie x =
(loga x) =
x ln a
1 x(t), y = y(t) dla Ä… t ² wyraża wzór:
(ln x) =

x
²
1
l = (x (t))2 + (y (t))2dt
"
(arcsin x) =
Ä…
1-x2
-1
"
(arccos x) =
3. Objętość bryły powstałej przy obrocie wokół osi Ox krzy-
1-x2
1
(arctan x) = wej o równaniu y = f(x) dla a x b wyraża wzór:
1+x2

b
-1
(arc ctg x) = V = Ä„ f2(x)dx
1+x2 a
(sinh x) = cosh x
4. Powierzchnie boczną bryły powstałej przy obrocie wokół
(cosh x) = sinh x
1 osi Ox krzywej o równaniu y = f(x) dla a x b
(tanh x) =
cosh2 x
wyraża wzór:
-1
(coth x) =
b
sinh2 x
S = 2Ä„ f(x) 1 + (f (x))2dx
a
5. Objętość bryły powstałej przy obrocie wokół osi Ox krzy-
2 Wzory na podstawowe całki
wej określonej parametrycznie x = x(t),y = y(t) dla

Ä… t ² wyraża wzór:
xn+1

xndx = + C
²
n+1

V = Ä„ y2(t)|x (t)|dt
1 Ä…
dx = ln |x| + C
x
sin xdx = - cos x + C 6. Powierzchnie boczną bryły powstałej przy obrocie wokół

cos xdx = sin x + C osi Ox krzywej określonej parametrycznie x = x(t),y =

dx
= tan x + C y(t) dla Ä… t ² wyraża wzór:
cos2 x


dx ²
= - cot x + C
S = 2Ä„ |y(t)| (x (t))2 + (y (t))2dt
sin2 x
Ä…

ax
axdx = + C
ln a
exdx = ex + C

dx 6 Zastosowania fizyczne
= arctan x + C
1+x2

dx
"
= arcsin x + C
1-x2 M = y)dxdy-Masa obszaru

Á(x,
sinh xdx = cosh x + C
Mx = yÁ(x, y)dxdy-moment statyczny wzglÄ™dem osi OX

D

cosh xdx = sinh x + C
My = xÁ(x, y)dxdy-moment statyczny wzglÄ™dem osi OY

D
dx
= tanh x + C
Ix = y2Á(x, y)dxdy-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi
cosh2 x
D
dx
= - coth x + C OX
sinh2 x


f (x)
Iy = x2Á(x, y)dxdy-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi
= ln |f(x)| + C D
f(x)
OY

I0 = (x2 + y2)Á(x, y)dxdy-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci zglÄ™dem
D
punktu (0, 0)
3 Dodatkowe wzory całek

M = Á(x, y, z)dxdydz-Masa bryÅ‚y
V

dx 1 x
= arctan C Mxy = zÁ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny wzglÄ™dem
x2+a2 a a V
+

płaszczyzny XOY
dx 1 x-a

= ln + C

x2-a2 2a x+a
Myz = xÁ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny wzglÄ™dem

V


dx 1 a+x
= ln + C płaszczyzny YOZ

a2-x2 2a a-x

Mzx = yÁ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny wzglÄ™dem
dx x
" V
= arcsin + C
2
a
płaszczyzny ZOX
"a -x2 "

a2 x x
a2 - x2 = arcsin + a2 - x2 + C
2 a a Ixy = z2Á(x, y, z)dxdydz-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™-
"
V
dx
x
"
= ln + x2 + a + C
dem płaszczyzny XOY
2

"x +a " "
a x
x Iyz = x2Á(x, y, z)dxdydz-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™-
x2 + adx = ln + x2 + a + x2 + a + C
V
2 2
dem płaszczyzny YOZ

Izx = y2Á(x, y, z)dxdydz-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™-
V
4 Uniwersalne podstawienie trygo- dem płaszczyzny ZOX

Ix = (y2 + z2)Á(x, y, z)dxdydz-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci
V
nometryczne
względem X
osi
Iy = (z2 + x2)Á(x, y, z)dxdydz-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci
x
V
Jeśli t = tan
2
względem osi Y
2dt

to dx =
1+t2
Iz = (x2 + y2)Á(x, y, z)dxdydz-moment bezwÅ‚adnoÅ›ci
V
2t
sin x =
1+t2 względem osi Z
1-t2
cos x =
1+t2
1