materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl Wierzchołki B i C leżą na osi Ox, a ramię BC tego trapezu ma długość 2. Wyznacz równania
prostych AB i CD.
matura z matematyki: poziom rozszerzony - sierpień 2013
Zadanie 8 (5 pkt)
Zadanie 1 (5 pkt)
Wykres funkcji logarytmicznej f(x) logp x , którego fragment przedstawiony jest na ry-
=
9
Liczba 2 jest jednym z pierwiastków wielomianu W (x) = x4 + x3 + ax2 + x + b. Reszta z
sunku, przechodzi przez punkt A = , 2 .
4
dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x + 1 jest równa -12. Oblicz a i b oraz wyznacz
pozostałe pierwiastki rzeczywiste wielomianu W (x).
y
5
Zadanie 2 (4 pkt)
Rozwiąż równanie cos x + cos 2x = 0 dla x " -Ą, Ą .
4
3
Zadanie 3 (5 pkt)
A
2
Ciąg arytmetyczny (an), określony dla n 1 jest malejący i a1 = 6. Siódmy, dziesiąty i
szesnasty wyraz tego ciągu w podanej kolejności są równe trzem początkowym wyrazom ciągu
1
geometrycznego (bn), określonego dla n 1. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów
21
4
ciÄ…gu (bn).
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x
-1
Zadanie 4 (6 pkt)
-2
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
-3
x2 - (m - 4)x + m2 - 7m + 12 = 0
ma dwa różne pierwiastki x1, x2 spełniające warunek (x1 + x2)(x1 + x2 - 1) = x2 + x2.
1 2
a) Oblicz wartość p.
b) Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = |f(x + 2)| - 3.
Zadanie 5 (4 pkt)
c) Podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie g(x) = m ma dwa rozwiązania
Dane są dwa okręgi o promieniach R i r, styczne zewnętrznie i styczne do tej samej prostej l
"
ujemne.
w punktach A i B (tak jak na rysunku). Udowodnij, że |AB| = 2 R · r.
Zadanie 9 (4 pkt)
Oblicz, ile jest liczb pięciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie jedna cyfra 9 oraz
dokładnie dwie cyfry 0.
Zadanie 10 (5 pkt)
l
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC. Krawędz
podstawy tego
A B
ostrosłupa ma długość a. Punkt P jest środkiem wysokości SO ostrosłupa. Odcinki AP i BP
są prostopadłe. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Zadanie 6 (4 pkt)
Zadanie 11 (3 pkt)
Ze zbioru {1, 2, 3, . . . , 341} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
Udowodnij, że jeżeli ciąg (an) określony dla n 1 jest geometryczny, to dla dowolnych liczb
polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb będzie podzielny przez 11 i 31.
caÅ‚kowitych dodatnich n takich, że n 11 prawdziwa jest równość (an+1)2 = an-10 ·an+12.
Zadanie 7 (5 pkt)
Punkty A = (1, 3) i D = (2, 1) są wierzchołkami trapezu ABCD o podstawach AB i CD.
 matematyka.pisz.pl  1  matematyka.pisz.pl