Zestaw II
W zadaniach 1 5 należy rozwiązać podane układy równań w zależności od wartości
parametru m.
x +2y +z = 3
(1) 2x +my +z = 3
2x +y +mz = 3
Å„Å‚
x -2y +z -2w = 2
ôÅ‚
òÅ‚
2x +y -2z -w = 4
(2)
mx +my -5w = 0
ôÅ‚
ół
-y +z +2w = 1
Å„Å‚
x +y +z +w = 0
ôÅ‚
òÅ‚
x -y +z -w = 0
(3)
x +2y +4z +8w = 0
ôÅ‚
ół
mx -2y +4z -8w = 1
mx +y +z = 3
(4) x +my +z = 3
x +y +mz = 3
Å„Å‚
y +2z -2w = 0
ôÅ‚
òÅ‚
mx -z +w = 1
(5)
mx +y -w = 1
ôÅ‚
ół
mx -y +3z = 1
W zadaniach 6 9 należy sprawdzić, czy podane wektory są liniowo niezależne; i jeśli
nie są, podać stosowny niezerowy układ skalarów, dla którego kombinacja liniowa jest
równa zero.
(6) u = (2, 1, 2, 1), v = (1, 2, 1, 2), w = (0, 3, 0, -3).
(7) u = (3, 1, 2, 1), v = (-3, 3, -2, 7), w = (0, 1, 0, 2).
(8) u = (1, 2, 3, 4), v = (2, 3, 4, 1), w = (3, 4, 1, 2).
(9) u = (1, -1, 1, -1, 1), v = (1, 1, -1, 1, -1), w = (1, 1, 1, -1, 1), z = (1, 1, 1, 1, -1).
(10*) Niech n 2, a1, . . . , an " (0, +") i p1, . . . , pn " R oraz niech
p p
bj = (a1j , . . . , anj ) (j = 1, . . . , n).
Wykazać, że wektory b1, . . . , bn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
liczby a1, . . . , an są różne między sobą i podobnie p1, . . . , pn są różne między sobą.
W zadaniach 11 14 spośród poniższych układów wektórów należy wybrać maksymalne
układy wektorów liniowo niezależnych.
(11) a = (1, 1, 1, 1), b = (5, 8, 11, 14) oraz c = (1, 2, 3, 4).
(12) a = (1, 2, 4, 8), b = (0, 1, 2, 3), c = (2, 1, 7, 15) oraz d = (1, 3, 1, 3).
(13) a = (0, 1, 2, 3, 4), b = (1, 2, 3, 4, 0), c = (2, 3, 4, 0, 1), d = (3, 4, 0, 1, 2) oraz e =
(4, 0, 1, 2, 3).
(14*) aj = (j, j2, j3, . . . , j2012) dla j = -2011, . . . , -1, 0, 1, . . . , 2011.
W zadaniach 15 17 należy znalez
ć bazę przestrzeni V i uzupełnić (tj. powiększyć) ją
do bazy przestrzeni W .
(15) V = {(x, y, z, w) " R4 : 3x + 2y + z - 2w = 0, -x + y - 2z + w = 0},
W = {(x, y, z, w) " R4 : x + 4y - 3z = 0}.
(16) V = {(x, y, z, w) " R4 : x - 2y - z + w = 0, x + y - 2z - w = 0},
W = {(x, y, z, w) " R4 : x - 8y + z + 5w = 0}.
(17) V = {(x, y, z, w) " R4 : 2x - 2y - z + w = 0, x + y - 2z - 2w = 0},
W = {(x, y, z, w) " R4 : x - 3y + z + 3w = 0}.