STANY NAPRŻENIA I ODKSZTAACENIA Analiza stanu naprężenia: Stan naprężenia jest określony sześcioma składowymi: naprężenia normalne: sx,sy,sz, naprężenia styczne: txy,tyz,tzx. W celu zachowania równowagi sześciennej kostki, naprężenia styczne na wzajemnie prostopadłych płaszczyznach są sobie równe (twierdze- nie o równości naprężeń stycznych): txy = tyx, tyz = tzy, tzx = txz. STANY NAPRŻENIA: - Jednoosiowy stan naprężenia: sx ą 0, sy = sz = txy = tzx = tzy = 0. - Płaski stan naprężenia: sx ą 0, sy ą 0, txy ą 0, sz = tzx = tzy = 0. - Przestrzenny stan naprężenia. 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 111 Analiza stanu odkształcenia Stan odkształcenia jest określony sześcioma składowymi: wydłużenia liniowe: ex, ey, ez kąty odkształcenia postaciowego: gxy, gxz, gzx Poniższy rysunek pokazuje odkształcenia sześciennej kostki pod dzia- łaniem wydłużeń liniowych e1, e2, e3 (indeksy 1, 2 i 3 oznaczają pominię- cie odkształceń kątowych) oraz w dolnym wierszu odkształceń posta- ciowych g w trzech płaszczyznach.. STANY ODKSZTAACENIA: - Odkształcenia czysto objętościowe. - Odkształcenia czysto postaciowe. Odkształcenie: a) czysto objętościowe, b) czysto postaciowe 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 112 Związki między stanem odkształcenia i stanem naprężenia Dla sześcianu na który działają tylko naprężenia normalne (zwane na- prężenia głównymi s1, s2, s3 dla podkreślenia, że pomija się wszystkie naprężenia styczne t i stan odkształceń jest czysto objętościowy), wy- dłużenia liniowe w kierunku trzech osi XYZ wynoszą: Trójwymiarowy stan naprężeń głównych Zgodnie z zasadą superpozycji i prawem Hooke'a wydłużenia liniowe w poszczególnych kierunkach wynoszą: s1 s1 s1 kierunek 1: e1 = , e2 = -e1 = - , e3 = -e1 = - , E E E s2 s2 s2 kierunek 2: e1 = -e2 = - , e2 = , e3 = -e2 = - , E E E s3 s3 s3 kierunek 3: e2 = -e3 = - , e1 = -e3 = - , e3 = . E E E Po zastosowaniu zasady superpozycji, wydłużenia liniowe wynoszą: s1 s2 s3 1 e1 = + - - = [s1 - (s2 + s3 )], E E E E s1 s2 s3 1 e2 = - + - = [s2 - (s1 + s3 )], E E E E s1 s2 s3 1 e3 = - - + = [s3 - (s1 + s2 )]. E E E E Ponieważ odkształcenia kątowe nie mają wpływu na wydłużenia linio- we, powyższe zależności można uogólnić dla dowolnego stanu: 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 113 1 ex = [sx - (sy + sz)], E 1 ey = [sy - (sx + sz )], E 1 ez = [sz - (sx + sy)]. E Dla odkształceń czysto postaciowych można wyprowadzić kolejne za- leżności pomiędzy składowymi stanu naprężenia i stanu odkształcenia: txy tyz tzx gxy = , gyz = , gzx = . G G G Powyższe zależności określają prawo Hooke'a dla czystego ścina- nia. Współczynnik G nosi nazwę modułu ścinania (modułu odkształcenia postaciowego, modułu Kirchhoffa): E G = [MPa]. 2(1+ ) Moduł ścinania G jest obok modułu Younga E i liczby Poissona trzecią stałą sprężystą opisującą właściwości materiału. 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 114 UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A Dla idealnie sprężystego materiału izotropowego zależności między składowymi stanu odkształcenia i składowymi stanu naprężenia noszą nazwę uogólnionego prawa Hooke'a. Składowe stanu odkształcenia jako funkcje składowych stanu naprężenia wyrażone są zależnościami: txy 1 ex = [sx - (sy + sz)], gxy = , E G tyz 1 ey = [sy - (sx + sz )], gyz = , E G 1 tzx ez = [sz - (sx + sy)], gzx = . E G Rozwiązując ten układ równań, można określić składowe stanu naprę- żenia jako funkcje składowych stanu odkształcenia: E
sx = (ex ęex + 1- 2 + ey + ez)ł , txy = Ggxy, ś 1+
E
sy = (ex ęey + 1- 2 + ey + ez)ł , tyz = Ggyz, ś 1+
E
sz = (ex + ey + ez)ł , tzx = Ggzx. ęez + ś 1+ 1- 2
Przedstawione wyżej zależności znajdują zastosowanie przede wszystkim w tensometrii, doświadczalnym dziale wytrzymałości mate- riałów, zajmującym się pomiarem składowych stanu odkształcenia i obli- czaniem na tej podstawie wartości składowych stanu naprężenia. Składowe stanu naprężenia są stosowane w warunku wytrzymało- ściowym, wykorzystując hipotezę wytrzymałościową, umożliwiającą analizę złożonych stanów naprężenia (tzn. na projektowanie i obliczenia wytrzymałościowe dominujących w wytrzymałości materiałów przypad- ków wytrzymałości złożonej). Uogólnione prawo Hooke a pozwala zrozumieć szereg zjawisk zwią- zanych z odkształceniami elementów konstrukcyjnych. Odkształcenia próbki podczas statycznej próby rozciągania oraz płaski stan naprężenia przedstawiono w poniższej tabeli. 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 115 Jednoosiowe rozciąganie (statyczna próba rozciągania): sx ą 0, sy = sz = txy = tzx = tzy = 0. Z uogólnionego prawa Hooke a: Klasyczna 1 postać ex = [sx], prawa Hooke a E 1 1 Statyczna próba rozciągania: ey = [- sx ], ez = [- sx ]. E E P P Jednoosiowemu rozciąganiu towarzy- szy trójwymiarowy stan odkształceń stąd można wyjaśnić powstawanie Szyjka szyjki w rozciąganej próbce po prze- kroczeniu granicy plastyczności. P P Płaski stan naprężenia: sx ą 0, sy ą 0, txy ą 0, sz = tzx = tzy = 0. Z uogólnionego prawa Hooke a: 1 ex = [sx - sy ], E 1 ey = [sy - sx], E 1 ez = [- (sx + sy)]. E Płaski stan naprężenia tworzy trój- wymiarowy stanu odkształcenia (po- dobnie płaski stan odkształcenia tworzy trójwymiarowy stan napręże- nia). 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 116 ZASTOSOWANIE UOGÓLNIONEGO PRAWA HOOKE A W TENSOMETRII Na powierzchni sprężystego ciała (E = 2,1105 MPa, = 0,3) dokonano tensometrycznego pomiaru wydłużeń względnych w kierunkach A, B, C i uzyskano: eA = 1,36o/oo, eB = 0,24o/oo, eC = 0,85o/oo. Wyznaczyć składowe stanu naprężenia oraz wartości i kierunki naprężeń głównych. Rozeta tensometryczna, płaski stan naprężenia Na powierzchni ciała występuje płaski stan naprężenia. Rysunek przedstawia typową rozetę tensometryczną, umożliwiającą pomiar od- kształceń liniowych w trzech kierunkach (kąt a = 45). Po przyjęciu ukła- du osi XY i określeniu składowych stanu naprężenia dla tego układu (rys. b) można z uogólnionego prawa Hooke a dla płaskiego stanu określić wartości naprężeń normalnych: E E sx = (ex + e ) = (eC + e ) = y A 1- 2 1- 2 2,1105 = (- 0,85 + 0,3 1,36)10-3 = -102 MPa, 1- 0,32 E E sy = (ey + e ) = (eA + eC ) = x 1- 2 1- 2 2,1105 = (1,36 + 0,3(- 0,85))10-3 = 255 MPa. 1- 0,32 W celu wyznaczenia naprężenia stycznego należy skorzystać ze schematu przedstawionego na rys. c. Wydłużenie w kierunku tensometru B wynosi 1 eB = ea = (sa - s ). o a + 90 E Naprężenia normalne dla kierunku a = 45 określa się następująco: 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 117 sx + sy sx - sy sx + sy sa = + cos(2 45o ) - txy sin(2 45o ) = - txy, 2 2 2 sx + sy sx - sy sx + sy s = - cos(2 45o ) + txy sin(2 45o ) = - txy. a+90o 2 2 2 Po wprowadzeniu tych zależności do wzoru na eB i po uporządkowaniu otrzymuje się zależność pozwalającą obliczyć wartość naprężeń stycz- nych: E txy = (ex + ey - 2ea). 2(1- ) Po wstawieniu danych liczbowych E txy = C 2(1- )(e + eA - 2eB ) = 2,1105 = 2(1- 0,3)(- 0,85 + 1,36 - 2(- 0,24))10-3 = 148,5 MPa. Kierunki naprężeń głównych oblicza się ze wzoru: - 2txy - 2 148,5 tga0 = = = 0,8319 ao @ 20o. sx - sy - 102 - 255 Ponieważ sx < sy, kąt ao wyznacza kierunek naprężenia s2. Napręże- nia główne wynoszą: sx + sy sx - sy 2 ć
2 2 Ł ł Zgodnie z umową s1 = 308,7 MPa, s2 = 155,7 MPa. Do sprawdzenia poprawności wyników można wykorzystać związki sx + sy = s1 + s2 = 153MPa. Przedstawiony przykład ma znaczenie praktyczne dzięki pomiarom tensometrycznym odkształceń można określić doświadczalnie wartości naprężeń w niebezpiecznych punktach konstrukcji i porównać je z wyni- kami obliczeń numerycznych. 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 118 HIPOTEZY WYTRZYMAAOŚCIOWE W praktyce inżynierskiej występują złożone stany napręże- nia, będące kombinacją naprężeń normalnych i stycznych. Przyjęcie hipotezy wytrzymałościowej umożliwia znalezienie matematycznej funkcji pozwalającej na zastąpienie złożonego, przestrzennego stanu naprężenia przez stan jednoosiowego rozciągania, dokładnie opisany przez statyczną próbę rozcią- gania. Dzięki temu w obliczeniach wytrzymałościowych można wykorzystać warunek wytrzymałościowy: snieb sred Ł sdop = . n Ideę obliczeń wytrzymałościowych opartą na naprężeniach zredukowanych pokazano na rysunku. 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 119 Obecnie znanych jest kilkadziesiąt hipotez wytrzymałościo- wych. Niektóre z nich mają już tylko znaczenie historyczne, inne nie są dostatecznie potwierdzone przez doświadczenie, jeszcze inne są bardzo wyspecjalizowane i przeznaczone do wąskiej klasy zagadnień wytrzymałościowych. Spośród hipotez ogólnych, dających wyniki zgodne z do- świadczeniem, należy wymienić hipotezę energii odkształce- nia postaciowego (hipotezę Hubera). Maksymilian Tytus Huber (1872-1950) polski uczony, współtwórca współczesnej mechaniki teoretycznej, profesor Politechniki Lwowskiej, Politechniki Warszawskiej i po II Wojnie Światowej Politechniki Gdańskiej. Hipoteza ta należy do licznej grupy tzw. hipotez energetycz- nych. Twórcy hipotezy (Huber 1904, Mises 1913, Hencky 1925) przyjęli, że miarą wytężenia materiału jest wartość energii sprężystej odkształcenia postaciowego. Dla przypadku jednoczesnego występowania naprężeń nor- malnych i stycznych (zginanie belek), naprężenia zredukowane zastępujące ten złożony stan naprężenia oblicza się z zależno- ści: sred = s2 + 3t2. Hipoteza Hubera (Hubera Misesa Hencky go) jest po- twierdzona doświadczalnie i jest obecnie bardzo szeroko sto- sowana w praktyce inżynierskiej. 10 Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałosciowe 120