Ć w i c z e n i e 10
WYZNACZANIE STOSUNKU CP/CV DLA POWIETRZA
METOD
CLEMENTA - DESORMESA
10.1 Opis teoretyczny
10.1.1. Teoria pojemności cieplnej gazów
Przyjęcie metody statystycznej w fizyce cząsteczkowej doprowadziło do powstania kinetyczno -
molekularnej teorii gazów. Specjalne miejsce zajmuje w niej prawo równomiernego rozkładu ener-
gii pomiędzy stopnie swobody cząsteczki gazu. Liczbą stopni swobody ciała nazywamy najmniej-
szą liczbę współrzędnych (tzw. współrzędnych niezależnych), które należy koniecznie podać, aby
dokładnie określić położenia ciała w przestrzeni.
Cząsteczkę gazu jednoatomowego możemy rozpatrywać jako punkt materialny, gdyż cała jej masa
jest skupiona w bardzo małym jądrze. Ma ona tylko trzy stopnie swobody związane z ruchem po-
stępowym (trzy współrzędne kartezjańskie ). Dla cząsteczek dwu i więcej atomowych nie jest
wszystko jedno, jak są ułożone w przestrzeni. Traktując je jako obiekty sztywne możemy stwier-
dzić, że mogą wykonywać ruchy obrotowe, co zwiększa liczbę współrzędnych koniecznych do do-
kładnego określenia położenia cząsteczki. I tak np. dla cząsteczki dwuatomowej trzeba już ich pię-
ciu (dodatkowo dwa kąty sferyczne określające jej orientację), natomiast cząsteczka gazu o trzech
lub więcej atomach wymaga trzech stopni swobody ruchu postępowego i trzech stopni swobody
ruchu obrotowego (razem sześć). Jeżeli cząsteczka nie jest bezwzględnie sztywna, poszczególne jej
części mogą przemieszczać się względem siebie i wówczas dla pełnego opisu jest konieczne wpro-
wadzenie jeszcze dodatkowych stopni swobody zwiÄ…zanych z jej ruchem drgajÄ…cym.
Zasada równomiernego rozkładu energii między stopnie swobody ( tzw. zasada ekwipartycji ener-
gii) mówi, że na każdy stopień swobody cząsteczki średnio przypada jednakowa energia kinetyczna
k T
równa . Jeżeli cząsteczka jest obdarzona i-toma stopniami swobody, to jej średnia energia ki-
2
netyczna Ek wynosi
i k T
Ek = (10.1.)
2
gdzie: k - stała Boltzmanna, T - temperatura w skali bezwzględnej.
W gazie doskonałym nie ma sił wzajemnego przyciągania międzycząsteczkowego (powietrze mo-
żemy traktować jako gaz doskonały), a więc energia potencjalna cząsteczek jest równa zeru. Dlate-
go energia wewnętrzna mola gazu doskonałego równa się sumie energii kinetycznych NA (liczba
Avogadra) czÄ…steczek
i k T i R T
U = N Ek = N = (10.2)
A A
2 2
gdzie: R = k NA oznacza uniwersalną stałą gazową.
Jednym z głównych osiągnięć kinetyczno-molekularnej teorii gazów jest możliwość teoretycznego
obliczenia ich pojemności cieplnej. Wielkościami fizycznymi opisującymi pojemność cieplną ga-
zów są: ciepło właściwe wyznaczone przy zachowaniu stałej objętości gazu (w przemianie izocho-
rycznej) oznaczane przez cv oraz ciepło właściwe cp wyznaczane podczas przemiany izobarycznej
gazu (przy stałym ciśnieniu).
Jeżeli znamy ilość ciepła dQ dostarczanego do gazu o masie m, które spowodowało wzrost jego
temperatury o dT, to możemy wyznaczyć ciepło właściwe za pomocą wzorów:
dQV
1
cV = (10.3)
m dT
1 dQP
cP = (10.4)
m dT
gdzie: dQV i dQp oznaczają ilość ciepła, które należy dostarczyć, aby podnieść temperaturę gazu o
dT w warunkach zachowania odpowiednio stałej objętości i stałego ciśnienia.
W przemianie izochorycznej dostarczone ciepło może być magazynowane w gazie tylko w postaci
energii wewnętrznej
dQV = dU (10.5)
gdzie dU oznacza zmianę energii wewnętrznej gazu.
W przemianie izobarycznej energia cieplna jest zużywana również na wykonanie pracy przez gaz.
Przy ogrzewaniu, aby zachować warunek stałego ciśnienia p gaz musi zwiększyć swą objętość o dV
i wykonuje wówczas pracę równą p dV. W związku z powyższym możemy zapisać
dQp = dU + p dV (10.6)
Wez
my masę gazu równą 1 mol i wyznaczymy odpowiednie ciepło molowe (ciepło właściwe doty-
czące masy 1 mola). Wówczas biorąc pod uwagę wyrażenia (10.2), (10.3) i (10.5) otrzymujemy:
dU i R
cV = = (10.7)
dT 2
Z równania gazu doskonałego dla jednego mola pV = RT wynika, że:
p dV = R dT (10.8)
Uwzględniając w równaniu (10.4) związki (10.6) i (10.8) otrzymujemy:
dU + p dV dU + R dT dU
cP = = = + R = cV + R (10.9)
dT dT dT
stÄ…d
(i + 2) R
cP = (10.10)
2
Współczynnik adiabaty º dla gazu doskonaÅ‚ego jest równy:
cP i + 2 2
º = = = 1 + (10.11)
cV i i
W szczególnoÅ›ci dla gazu jednoatomowego º= 5/3 = 1.67, dla dwuatomowego º= 7/5 = 1,40, dla
wieloatomowego º= 8/6 = 1.33.
T a b e l a 10.1
T cv cp
Gaz lub para i
[ °C] º
[ J / mol K] [ J / mol K]
Hel 15 12.48 20.8 1.67 3
Neon 15 12.44 20.8 1.67 3
Wodór 0 20.18 28.41 1.41 5
Azot 0 20.67 28.91 1.40 5
Tlen 0 20.84 29.08 1.395 5
Tlenek węgla 0 20.67 28.95 1.40 5
Dwutlenek węgla 0 27.37 35.61 1.305 6
Para wodna 0 25.04 33.28 1.33 6
Metan 0 26.25 34.53 1.315 6
Para benzenu (C6H6) 0 64.94 73.21 1.13 6
Para alkoholu etylowego
(C2H5OH) 0 61.36 69.64 1.135 6
Z tabeli 10.1 wynika, że wartość pojemności cieplnych wielu gazów, wyznaczone w warunkach
normalnych, dobrze zgadzają się z wynikami teoretycznymi i tylko cząsteczki złożone w rodzaju
C6H6 i C2H5OH wykazują duże rozbieżności między teorią a doświadczeniem.
W klasycznej teorii pojemności cieplnej gazów, z zależności pojemności cieplnej od stopni swobo-
dy cząsteczek wynika, że jest ona niezależna od temperatury. A tak nie jest. Rozpatrując ruch drga-
jący cząsteczek wiemy, że dla gazów dwu - i więcej atomowych częstotliwość drgań cząsteczek
½drg jest bardzo duża (energie h½drg sÄ… bardzo duże w porównaniu ze Å›redniÄ… energiÄ… czÄ…steczek w
temperaturze pokojowej i niższych; h- stała Plancka). W związku z tym dla takich gazów przy obli-
czaniu pojemności cieplnej, w wyżej wymienionych temperaturach, można nie brać pod uwagę
stopni swobody ruchu drgającego cząsteczek, ale w wysokich temperaturach należy je uwzględniać.
Dla niektórych złożonych cząsteczek (np. dla par alkoholu etylowego i benzenu) należy to uczynić
już w temperaturze pokojowej i niższych.
Prawidłowe wyjaśnienie wyników doświadczalnych dotyczących zmian pojemności cieplnej gazów
w szerokim zakresie temperatur otrzymano na podstawie kwantowej teorii pojemności cieplnej
rozwiniętej w 1905 roku przez A. Einsteina.
10.1.2. Wyznaczanie współczynnika º metodÄ… Clementa-Desormesa
Z rozważaÅ„ przeprowadzonych w punkcie 10.1.1 wynika, że pomiar współczynnika º na wyzna-
czenie liczby stopni swobody cząsteczki gazu i na wnioskowanie o jej wewnętrznej budowie.
Współczynnik º zwiÄ…zany jest z przemianÄ… adiabatycznÄ… gazu (przemianÄ™ zachodzÄ…cÄ… bez wymia-
ny ciepła między gazem a otoczeniem) opisywaną równaniem Poissona:
p Vº = const (10.12)
Stanowi to punkt wyjÅ›cia metody Clementa-Desormesa: aby wyznaczyć º należy koniecznie prze-
prowadzić przemianę adiabatyczną. W omawianej metodzie korzysta się ze szczególnego związku
zachodzącego między trzema przemianami gazowymi, a mianowicie adiabatyczną, izochoryczną i
izotermicznÄ… przedstawionego na rys.10.1.
Rys.10.1. Cykl przemian gazowych wykorzystywany przy wyznaczaniu º metodÄ… Clementa-
Desormesa
Punktem początkowym doświadczenia jest stan I gazu zdefiniowanego parametrami:
V = V1 p = p0 + Á g h1 T = T1
gdzie: T1 - temperatura otoczenia, p0 - aktualne ciśnienie atmosferyczne.
Ciśnienie gazu jest większe od atmosferycznego. Stan I uzyskujemy przez sprężenie pewnej ilości
gazu do objętości V1, a o wielkości uzyskanego ciśnienia możemy wnioskować ze wskazań mano-
metru cieczowego różnicowego:
h1 - różnica poziomów cieczy manometrycznej;
Á - gÄ™stość cieczy manometrycznej.
Manometr różnicowy mierzy różnicę między ciśnieniem sprężonego gazu a ciśnieniem atmosfe-
rycznym.
Na początku doświadczenia musimy zbadać, czy badany gaz uzyskał temperaturę otoczenia. W tym
celu po wstępnym sprężeniu gazu należy odpowiednio długo zaczekać, aby zdążył się on ochłodzić
do temperatury otoczenia. W tym samym czasie na manometrze różnicowym obserwujemy zmniej-
szanie się ciśnienia gazu. Ustalenie się stałego ciśnienia jest znakiem, że wymagane warunki (stan I
gazu) zostały osiągnięte. Teraz możemy przeprowadzić przemianę adiabatyczną przez szybkie jego
rozprężenie do ciśnienia atmosferycznego i przejście do stanu II gazu określanego następującymi
parametrami:
V = V2 > V1
p = p0
T = T2 < T1
Krzywa łącząca stany I i II na rys.10.1. jest adiabatą. Między parametrami gazu zachodzi więc za-
leżność:
 (p0 + Á g h1)V1º = p0 V2º (10.13)
Podczas rozprężania adiabatycznego gaz się oziębił do temperatury T2. Możemy go teraz ogrzać do
temperatury otoczenia T1 w przemianie izochorycznej (prosta łącząca stany II i III). Ciśnienie gazu
rośnie aż do osiągnięcia stanu III gazu o parametrach:
V = V2
p = p0 + Á g h2 < p0 + Á g h1 ( h2 < h1 )
. T = T1
Stany I i III posiadają tę samą temperaturę (otoczenia), a więc leżą na jednej izotermie (hiperbole
Å‚Ä…czÄ…ce stany I i III na rys.10.1).
Ze stanu I można również przejść do stanu III przeprowadzając przemianą izotermiczną. Zgodnie z
równaniem Boyle'a-Mariotte`a można napisać zależność:
(p0 + Á g h1) V1 = (p0 + Á g h2) V2 (10.14)
V2
Wyliczając stosunek niezależnie z dwu równań (10.13), (10.14) i przyrównując otrzymane
V1
wyrażenia do siebie otrzymujemy zależność:
1
º
0
p0 + Á g h1 = (p0 + Á g h2 )îÅ‚p + Á g h1 Å‚Å‚
(10.15)
ïÅ‚
p0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
i stÄ…d:
îÅ‚ Å‚Å‚
Á g h1
ln +
ïÅ‚1 p0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
º =
(10.16)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Á g h1 Á g h2
ln + - ln
ïÅ‚1 p0 śł ïÅ‚1 + p0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Á g h2 Á g h1
)# )#)# 1,
Ponieważ w warunkach eksperymentu Ágh2<Ágh1<p0 p0
na skorzystać z następującego rozwinięcia w szereg:
ln ( 1+x ) = x  x2/2 + x3/3  x4/4 + ...
Ograniczając się tylko do pierwszego wyrazu rozwinięcia otrzymujemy ostatecznie bardzo prostą
zależność:
h1
º = (10.17)
h1 - h2
Ze wzoru tego wynika, że w opisanej metodzie wystarczy zmierzyć przyrosty ciśnień h1, i h2 (mie-
rzone przyrostem słupa cieczy w manometrze ) w stosunku do ciśnienia atmosferycznego, aby z
dobrą dokładnością wyznaczyć wartość szukanego stosunku cP / cv.
10.2. Opis układu pomiarowego
Schemat ukÅ‚adu pozwalajÄ…cy wyznaczyć º wyżej opisanÄ… metodÄ… przedstawiony jest na rys. 10.2.
Rys.10.2 Aparatura do wyznaczania º
Stan I gazu osiąga się przez wtłoczenie do butli B (o objętości kilkudziesięciu litrów) odpowiedniej
ilości powietrza za pomocą niewielkiej ręcznej pompki P. Operację tę przeprowadza się przy otwar-
tym kranie K2 i zamkniętym K1. Po zamknięciu kranu K2 i wyrównaniu temperatury powietrza we-
wnÄ…trz butli z temperaturÄ… otoczenia T1, różnicÄ™ ciÅ›nieÅ„ Á g h1 pomiÄ™dzy ciÅ›nieniem atmosferycz-
nym p0 i ciśnieniem w butli można wyznaczyć za pomocą manometru M po odczytaniu wartości h1
na jego skali. Stan II osiąga się poprzez krótkotrwałe otwarcie kranu K1 w celu umożliwienia roz-
prężenia powietrza zawartego w butli do ciśnienia p0. Po zamknięciu kranu temperatura w butli,
która przy rozprężeniu adiabatycznym spadÅ‚a do T2. CiÅ›nienie wzroÅ›nie wtedy do p0 + Á g h2. War-
tość h2 zostanie odczytana na skali manometru napełnionego denaturatem.
.
10.3. Przebieg pomiarów
1. Otworzyć kran K2 , zamknąć K1.
2. Za pomocą pompki zwiększyć ciśnienie o 20-25 cm słupa cieczy,
3. Zamknąć kran K2 i odczekać parę minut, aż ustali się różnica poziomów cieczy w manometrze,
po czym odczytać tę różnicę h1.
4 Otworzyć kran K1 na stosunkowo krótki okres (~2-3s), aby zrównać ciśnienie w butli z ciśnie-
niem atmosferycznym, a potem go zamknąć.
5 Odczekać parę minut do ustalenia się poziomów cieczy w manometrze, po czym odczytać ich
różnicę h2 na jego skali.
6 Pomiary według punktów 1-5 powtórzyć co najmniej 10 razy, za każdym razem ustalając inną
różnicę ciśnień h1.
10.4. Opracowanie wyników pomiarów.
1. Obliczyć wartość º wedÅ‚ug wzoru (10.17) dla kolejno uzyskanych par wartoÅ›ci h1 i h2.
2. Obliczyć wartość Å›redniÄ… arytmetycznÄ… ºÅ›r.
Ã
3. Obliczyć średni błąd kwadratowy wartości średniej .
ºÅšr
10.5. Pytania kontrolne
1. Omówić kinetyczno-molekularną teorię gazów.
2. Omówić I zasadę termodynamiki dla przemiany izochorycznej i izobarycznej.
3. Krótko scharakteryzować przemiany gazowe.
4. Wyprowadzić wyrażenia na cv i cp.
5. Omówić metodę Clemensa-Desormesa.
L i t e r a t u r a
[1] Jaworski B., Dietłaf D., Miłkowska L., Siergiejew G.: Kurs fizyki, t.1 PWN, Warszawa 1974.
[2] Jeżewski M.: Fizyka. PWN, Warszawa 1970.