Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Klasyfikacja obwodów elektrycznych i metod ich badania
Badanie obwodu elektrycznego polega na wyznaczenie pewnych wielkości niewiadomych
charakteryzujących dany obwód.
Rozróżniamy następujące typy zagadnień:
1). Analiza obwodu  polega na ocenie jego odpowiedzi na różne sygnały wejściowe i na
określeniu jego właściwości
2). Synteza obwodu  sprowadza się do określenia jego struktury w zależności od
przyjętych, realizowanych charakterystyk
3). Zagadnienie aproksymacji  polega na przybliżeniu wymaganych charakterystyk
projektowych przez charakterystyki fizycznie realizowalne
Metody badania obwodu można podzielić na:
1). Sieciowe, gdy dana jest pełna struktura obwodu i parametry jego elementów a
poszukujemy rozpływu prądu i rozkładów napięć na poszczególnych elementach sieci
elektrycznej.
2). Zaciskowe, gdy obwód jest traktowany jako dwójnik, czwórnik lub ogólnie n-wrotnik;
wówczas określa się zależności pomiędzy wielkościami związanymi z zaciskami obwodu bez
wnikania w jego strukturę wewnętrzną.
Obwód albo sieć jest kombinacją elementów połączonych z zewnętrznymi z
ródłami. y
ródła
wytwarzają w sieci sygnały wejściowe lub wymuszenia. Wynikające stąd napięcia i prądy
w różnych miejscach sieci są jej sygnałami wyjściowymi albo odpowiedziami.
Można powiedzieć, że analiza sieci polega na wyznaczeniu odpowiedzi danej sieci na
zadane sygnały wejściowe, zaś synteza sieci polega na takim jej zaprojektowaniu, aby
uzyskać żądane odpowiedzi na zadane sygnały.
Graficznym opisem struktury sieci oraz rodzaju i funkcji jej elementów jest schemat ideowy.
Natomiast graficznym opisem właściwości zaciskowych sieci jest schemat blokowy.
i
y(t)=Lx (t)
x(t)=i(t) y(t)=L i (t)
u L
u
L
wyjście
wejście
Schemat ideowy cewki idealnej
(bezrezystancyjnej) Schemat blokowy
i  wymuszenie (prąd) Sygnał wyjściowy jest proporcjonalny
uL  odpowiedz
(napięcie samoindukcji) do pochodnej sygnału wejściowego
di
uL = L
dt
Sygnał wyjściowy jest proporcjonalny
do pochodnej sygnału wejściowego
Ten sam schemat blokowy może przedstawiać
kondensator jeśli: x(t)=u(t), zaś
y(t)=C(du/dt); schemat ideowy będzie inny.
1
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
W schemacie ideowym sygnały: wejściowy i wyjściowy są wielkościami fizycznymi tj.
napięciami i prądami, a schemat pokazuje nie tylko ich wzajemną zależność, ale także typ i
rodzaj użytych elementów.
Schematy blokowe nie dają żadnej informacji na temat struktury i rodzaju elementów
sieci, a ich wielkości wejściowe i wyjściowe nie muszą być wielkościami fizycznymi.
Obwody elektryczne i ich elementy dzielimy na:
1). Liniowe  spełniają zasadę superpozycji: odpowiedz
obwodu liniowego na jednoczesne
działanie kilku wymuszeń jest równa sumie algebraicznej odpowiedzi na każde wymuszenie
z osobna.
2). Nieliniowe  nie spełniają zasady superpozycji, opisują je równania nieliniowe, w których
wielkości elektryczne i ich pochodne występują w potędze różnej od jeden.
3). Stacjonarne  złożone z elementów o wartościach niezmiennych w czasie.
4). Niestacjonarne  nazywane parametrycznymi.
5). Pasywne  złożone z elementów pasywnych R, L, C (energia pobrana przez te elementy
jest większa lub równa 0).
6). Aktywne  jeśli w skład obwodu wchodzi chociaż jeden element aktywny np. z
ródło,
dioda tunelowa, tranzystor, wzmacniacz operacyjny.
7). O parametrach skupionych  gdy mogą być pominięte zjawiska falowe przy przepływie
sygnałów.
8). O parametrach rozłożonych  gdy potrzebny jest skończony czas na przeniesienie
sygnału z jednego końca obwodu do drugiego (np. linia długa zwana transmisyjną).
9). Odwracalne  mają takie same właściwości niezależnie od sposobu połączenia i od
biegunowości przyłożonego napięcia.
10). Nieodwracalne  np. dioda, tranzystor.
11). Dwójniki  mają dwa zaciski.
12). Wielobiegunniki  mają  n zacisków (np. tranzystor  ma 3 zaciski).
13). Elementy idealne  charakteryzuje jeden rodzaj procesów: a) wytwarzane energii
(z
ródła); b) rozpraszanie (rezystory); c) akumulacja (w cewkach i kondensatorach)
14). Elementy rzeczywiste  charakteryzują dwa lub trzy rodzaje procesów z a), b), c).
Klasyfikacja sygnałów i obwodów elektrycznych
Sygnały. Funkcje opisujące zmienność w czasie wielkości fizycznych będziemy nazywać
przebiegami czasowymi tych wielkości lub sygnałami. Możemy zatem powiedzieć, że
napięcie określone wzorem:
u(t) = Um sin(É t +Èu )
ma przebieg sinusoidalny lub że ta powyższa zależność określa sygnał sinusoidalny. (nazwy
 sinusoidalny używamy w odniesieniu do powyższego sygnału, niezależnie od tego czy w
zapisie posługujemy się funkcją sinus, czy cosinus, tzn. niezależnie od wartości fazy
poczÄ…tkowej Èu)
2
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Nazwy  sygnał używamy zwłaszcza wtedy, kiedy chodzi o podkreślenie rodzaju zmienności
w czasie, a nie rodzaju wielkości fizycznej. Mówimy np.: sygnały stałe, sygnały okresowo
zmienne, sygnały o skończonej energii itp. Nie precyzując najczęściej czy chodzi tu o sygnały
napięć, prądów, sił elektromotorycznych itp.
Istnieje wiele rodzajów sygnałów, np.:
" sygnał radiowy,
" sygnał optyczny,
" sygnał ultradz
więkowy,
" sygnał elektryczny.
Sygnałami elektrycznymi są różne napięcia i prądy w sieci elektrycznej nazywanej
 obwodem lub  układem elektrycznym.
Pojęcie  układ jest ogólne i można je odnieść do wielu dziedzin nauki i techniki, np.:
" układ elektroniczny,
" układ transportowy,
" układ biologiczny,
" układ planetarny.
W elektrotechnice układ jest prostym lub złożonym obwodem elektrycznym składającym się z
oporników (rezystorów), cewek, kondensatorów i z
ródeł energii.
Sygnały elektryczne są funkcjami czasu związanymi zbiorem równań wynikających z praw
fizycznych (praw Kirchhoffa).
Zjawiska fizyczne z dziedziny elektryczności i magnetyzmu opisują zależności matematyczne
z dość dużą dokładnością, dlatego rozważania teoretyczne mają w elektrotechnice dużo
większe znaczenie niż w innych dziedzinach techniki.
Ponieważ oporniki (rezystory) są elementami mnożącymi, cewki i kondensatory 
elementami różniczkującymi i całkującymi, to obwód elektryczny można traktować
jako układ realizujący wymienione operacje matematyczne.
Sygnały zaś są dowolnymi funkcjami powiązanymi równaniami uwzględniającymi wzajemne
połączenia elementów. Można więc powiedzieć, że obwody elektryczne są wykorzystywane
do przetwarzania różnych sygnałów.
Obwody elektryczne są układami analogowymi i często mogą być zastąpione przez układy
cyfrowe (komputery), w których sygnały wejściowy i wyjściowy są ciągami liczb czyli
sygnałami dyskretnymi.
Sygnał  nośnik wiadomości umożliwiający jej przesyłanie na odległość lub w czasie
(rejestracja); może mieć postać umownego znaku (np. rysunku, liter) lub przebiegu wielkości
fizycznej, którego co najmniej jeden parametr (np. kształt, częstotliwość, amplituda) zależy
od przesyłanej nim wiadomości; rozróżnia się sygnały elektryczne (np. zmieniające się
napięcie lub natężenie prądu), akustyczne (zmieniająca się częstotliwość dz
więku), optyczne
(zmieniające się natężenie lub barwa światła); stosuje się też podział sygnałów na
analogowe (ciągłe), w przypadku których wielkość reprezentująca wiadomość może
przyjmować dowolne wartości ze zbioru nieskończenie wielu wartości, i dyskretne (nieciągłe)
3
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
 wielkość może przyjmować tylko określone wartości ze skończonego ich zbioru, np.
zakodowane w postaci cyfr (sygnał cyfrowy), najczęściej zer i jedynek (sygnał binarny).
y
ródło: Encyklopedia Multimedialna PWN  98; opublikowano w:
J. Izydorczyk, G. Płonka, G. Tyma: Teoria Sygnałów, Wydawnictwo HELION, 1999
lub krótko
Sygnał  proces zmian w czasie stanu fizycznego dowolnego obiektu, służący do
wizualizacji, rejestracji i przesyłania wiadomości (informacji).
Własności sygnałów rozważa teoria sygnałów. Związek pomiędzy naturą fizyczną sygnałów
i zawartą w nich informacją rozważa teoria informacji.
4
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
5
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
6
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
7
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Układy
Układ to inaczej:
a) system o ściśle powiązanych ze sobą elementach (zbiór elementów wraz z ich
relacjami);
b) relacja wzajemna, zależność różnych elementów (wielkości, przedmiotów, zjawisk);
c) porządek rozmieszczenia poszczególnych elementów względem siebie
Podział układów
Układ otwarty to układ, na który mogą wpływać zdarzenia spoza układu.
Układ zamknięty to układ, na który zewnętrzne zdarzenia nie mają wpływu.
W praktyce spotyka się układy będące połączeniem układu otwartego i układu zamkniętego.
Układ dynamiczny  zawiera elementy i/lub przepływy zmienne w czasie.
Wyróżniamy tu układy:
a) stabilny  odsunięty od stanu równowagi dynamicznej wraca do niego samorzutnie,
np. wahadło (zob. ujemne sprzężenie zwrotne)
b) labilny (niestabilny)  odchylony od stanu początkowego już do niego nie wraca, ale
oddala się od niego coraz dalej (np. śnieg na stoku i lawina)
Układ statyczny  nie zmienia się w czasie.
Układ analogowy
Układ analogowy to układ, w którym związki pomiędzy sygnałem wejściowym a sygnałem
wyjściowym możemy zapisać poprzez równanie różniczkowe lub tzw. transmitancję
Laplace a uzyskaną na podstawie równań różniczkowych.
S
X(S)
Y(S)
H(S)
8
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Układ cyfrowy
Układ cyfrowy to układ, w którym związki pomiędzy sygnałem wejściowym a sygnałem
wyjściowym możemy zapisać za pomocą równań różnicowych lub za pomocą tzw.
transmitancji Z, którą można wyprowadzić na podstawie tych równań.
.... 0101 1110 1001 1110 1100 1011....
Z
X(Z)
Y(Z)
H(Z)
Elementy
Występujące w układach elementy możemy scharakteryzować za pomocą: równań
różniczkowych, transmitancji operatorowej, transmitancji widmowej, charakterystyk
widmowych, a także poprzez odpowiedzi tych elementów na wymuszenia.
Podstawowe elementy to element proporcjonalny, element różniczkujący, i element
całkujący.
Klasyfikacja układów
Układ liniowy to układ, w którym występujące elementy są liniowe (idealny rezystor, cewka,
kondensator). Sygnały przechodzące przez te elementy poddawane są liniowym operacjom
matematycznym takim jak: mnożenie sygnału przez stały czynnik, różniczkowanie oraz
całkowanie.
W układach liniowych obowiązuje zasada superpozycji, zgodnie z którą sygnał na wyjściu
układu można wyznaczyć jako sumę sygnałów wyjściowych pochodzących od wszystkich
sygnałów wejściowych.
x1 y1
x2 y2
Układ liniowy
x3 y3
x1
x2 y=y1+y2+y3
Układ liniowy
x3
Układ nieliniowy to układ, w którym co najmniej jeden element jest nieliniowy. W układach
nieliniowych nie jest spełniona zasada superpozycji - nie można sygnału wyjściowego
rozdzielić na składniki pochodzące od różnych sygnałów wejściowych.
9
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Sygnały sinusoidalnie zmienne
Wśród sygnałów elektrycznych zmiennych w czasie duże znaczenie praktyczne mają
sygnały przemienne okresowe. Warunek okresowości funkcji (sygnału) można wyrazić
zależnością:
f (t + T ) = f (t)
Jeżeli warunek określony równaniem (2.1) nie jest spełniony, to sygnał jest nieokresowy lub
aperiodyczny.
Sygnał okresowy nazywamy przemiennym, jeżeli pole powierzchni ograniczonej
przebiegiem sygnału w ciągu okresu T jest równe zeru, tzn. jeśli jest spełniony warunek
T
f (t) d t = 0
+"
0
Szczególne miejsce w elektrotechnice zajmują sinusoidalne (harmoniczne) sygnały prądu i
napięcia. Głównym tego powodem jest ich naturalna powszechność w przyrodzie oraz
łatwość wytwarzania wynikająca ze ścisłego związku ruchu obrotowego z funkcjami
trygonometrycznymi sinus i cosinus.
u
u(t)=Umsin(Ét+Èu)
Um
t
Èu 0
T
Rys. Sygnał sinusoidalny napięciowy
Energia elektryczna docierająca do naszych domów otrzymywana jest w generatorach
synchronicznych, które są maszynami elektrycznymi wirującymi. Generatory te wytwarzają
napięcia sinusoidalnie zmienne w czasie o unormowanych parametrach. Ogólna postać
napięcia harmonicznego
u(t) = Um sin(É t +È ) [V]
u
przy czym:
t  czas w sekundach [s],
u(t)  wartość chwilowa napięcia w woltach [V],
Um  wartość szczytowa napięcia (amplituda) w woltach [V],
Èu  faza poczÄ…tkowa napiÄ™cia w radianach [rad],
É t +È  faza napiÄ™cia w chwili t w radianach [rad],
u
É = 2 Ä„ / T = 2 Ä„ f  pulsacja w radianach na sekundÄ™ [rad/s],
f =1/ T  częstotliwość w hercach [Hz],
T  okres w sekundach [s].
10
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Sygnały okresowe niesinusoidalnie
Rozważmy układ liniowy, na wejście którego podano sygnał okresowy niesinusoidalny.
Elementy liniowe tworzące ten układ będą oddziaływać na sygnał wejściowy, dokonując na
nim operacji matematycznych charakteryzujących się liniowością. Do operacji tych należy
zaliczyć mnożenie sygnału przez stały czynnik, różniczkowanie oraz całkowanie. Układ
liniowy można więc traktować jako zbiór liniowych przetworników sygnału, będących
kombinacją podukładów proporcjonalnych, różniczkujących i całkujących. Dzięki tym
własnościom odpowiedz
układu liniowego na sygnał okresowy niesinusoidalny jest również
okresowa.
wymuszenie odpowiedz

UKA
AD
okresowe okresowa
LINIOWY
niesinusoidalne niesinusoidalna
Rys. Układ liniowy jako przetwornik sygnału okresowego niesinusoidalnego
Ä…
f( ),f(t)
A
t[s]
T/2 T
nr 1
Ä„
Ä„
2 Ä… [rad]
-A
Rys. Przykład sygnału antysymetrycznego
Związek pomiędzy sygnałami wejściowymi i wyjściowymi
w układach liniowych
Układy analogowe przetwarzają wejściowe sygnały analogowe dając na wyjściu również
sygnał analogowy zależny od:
" sygnału wejściowego
" parametrów układu liniowego
Duże znaczenie praktyczne mają układy liniowe, dla których sygnał wejściowy x(t) i
wyjściowy y(t) są związane ze sobą równaniem różniczkowym:
dn y(t) dn-1y(t) dy(t) dk x(t) dk -1x(t) dx(t)
an n + an-1 n-1 + ...+ a1 + a0 y(t) = ak k + ak-1 -1 + ...+ a1 + a0x(t)
dt dt
dt dt dt dtk
Równanie różniczkowe opisuje związek pomiędzy sygnałem wejściowym i jego pochodnymi
oraz sygnałem wyjściowym i jego pochodnymi.
Jeżeli znamy postać sygnału wejściowego x(t) to znamy również jego pochodne i równanie
różniczkowe możemy przekształcić do postaci:
dn y(t) dn-1y(t) dy(t)
an n + an-1 n-1 + ..........+ a1 + a0 y(t) = f (t)
11
dt
dt dt
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Współczynniki
an,an-1,...,a0
są bezpośrednio związane z parametrami opisującymi układ.
Wyznaczanie odpowiedzi y(t)
W celu wyznaczenia odpowiedzi y(t) należy rozwiązać równanie różniczkowe.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego niejednorodnego składa się z sumy dwóch
rozwiązań:
" Rozwiązania szczególnego (całki szczególnej) równania różniczkowego niejednorodnego
(czyli składowej ustalonej yu(t) lub inaczej nazywanej składowej wymuszonej yw(t) )
" Rozwiązania ogólnego (całki szczególnej) równania różniczkowego jednorodnego (czyli
składowej przejściowej yp(t) lub inaczej nazywanej składowej swobodnej ys(t) )
dn y(t) dn-1y(t) dy(t)
an + an-1 +... + a1 + a0 y(t) = 0
dtn dtn-1 dt
12
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Reakcja elementów R, L, C na skok jednostkowy
1 dla t e" 0
Napięcie na rezystorze nie powoduje przesunięcia względem ńł
µ (t) =
òÅ‚0 dla t < 0
prądu, więc kształt obydwu sygnałów jest taki sam z ół
1 dla t > 0
Å„Å‚
dokładnością do czynnika skalującego R
ôÅ‚1
1
µ (t) = dla t = 0
òÅ‚
2
ôÅ‚
Cewka będzie przeciwdziałać zmianom prądu w obwodzie,
ół0 dla t < 1
wytwarzając siłę elektromotoryczną samoindukcji przeciwnie
1/2
skierowaną do wzrastającego napięcia
t
Nienaładowany idealny kondensator po podłączeniu zasilania
można traktować w zasadzie jak zwarcie, teoretycznie prąd
zmienia się skokowo od zera do nieskończoności (w praktyce
rezystor ogranicza wartość tego prądu, a jeśli jest on bardzo mały to może się zdarzyć, że
 wyparujÄ… przewody)
Jeśli elementy R, L i C są połączone szeregowo to kształt prądu w takim obwodzie, będzie
zależał od wartości poszczególnych elementów.
Stany nieustalone
Sygnały elektryczne, przy określonej strukturze obwodu i z
ródłach, nie uzyskują natychmiast
swoich wartości ustalonych. Między jednym stanem stabilnym a drugim występują wahania
napięć i prądów.
Przyczyną występowania zjawisk przejściowych w obwodzie (trwających od chwili
wystąpienia zakłóceń, aż do chwili ustalenia się zjawisk) jest każda zmiana struktury
połączeń lub parametrów elementów, wchodzących w skład obwodu.
W wielu przypadkach stany nieustalone są zjawiskami niepożądanymi (np. niepożądane są
zjawiska przejściowe występujące przy zwarciach i przy włączaniu napięć w obwodach
elektrycznych). W innych zaÅ› przypadkach stany nieustalone sÄ… normalnym stanem pracy
urządzeń (np. układy automatycznej regulacji).
Cechą charakterystyczną zjawisk w obwodach elektrycznych prądu stałego lub sinusoidalnie
zmiennego jest to, że generatory zasilające te obwody narzucają sposób zmienności
czasowej prądów i napięć. W przypadku generatorów prądu stałego, napięcia i prądy w
obwodzie są wielkościami stałymi, a w przypadku generatorów prądu sinusoidalnego,
napięcia i prądy zmieniają się sinusoidalnie. Tego rodzaju stan obwodu nazywamy
ustalonym lub stacjonarnym.
W obwodach elektrycznych spotyka się także zjawiska spowodowane zmianą dokonaną w
obwodzie, jak np. włączenie z
ródła energii do obwodu, zwarcie części obwodu itp. Tego
13
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
rodzaju zmiany w obwodzie wywołane są działaniem czynników zewnętrznych, obwód
zostaje wyprowadzony ze stanu równowagi, a w obwodzie wytwarza się stan zwany
przejściowym lub nieustalonym.
W stanie nieustalonym prądy i napięcia w obwodzie zmieniają się inaczej niż siły
elektromotoryczne generatorów zasilających układ.
Teoretycznie stan przejściowy trwa nieskończenie długo, jednak praktycznie po upływie
dostatecznie długiego czasu zjawiska przejściowe zanikają i obwód osiąga stan
ustalony.Przy analizie stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych liniowych zarówno
napięcie u, jak i prąd i przedstawiane są w postaci sumy dwóch składników, a mianowicie
składowej ustalonej i składowej przejściowej.
Wyrażają to zależności u = uu + u oraz i = iu + ip
p
Składowe ustalone (uu, iu) związane są ze stanem ustalonym, zaś składowe przejściowe
(up, ip) ze stanem przejściowym obwodu.
Określanie warunków początkowych
Do analizy zjawisk w stanie nieustalonym konieczna jest znajomość stanu początkowego
obwodu.
Wartości wybranych napięć i prądów w stanie początkowym nazywamy warunkami
początkowymi. Warunki początkowe mogą być zerowe lub niezerowe. Jeżeli są zerowe, to
obwód był na początku w stanie bezenergetycznym.
Ponieważ gromadzić energię mogą tylko cewki i kondensatory, to oprócz z
ródeł, napięcia na
wszystkich pojemnościach i prądy płynące przez wszystkie indukcyjności w chwili t=0s
decydują o zachowaniu się obwodu w czasie póz
niejszym.
Prawa komutacji
Rozważamy tu chwilę t=0s, gdyż zakładamy, że właśnie (1)
(2)
R
wtedy nastąpiła zmiana topologii układu (np. dołączono
t = 0 s
z
ródło, zwarto element itp.).
L
Zmiana topologii możliwa jest dzięki zamykaniu lub e2(t)
E1
otwieraniu łączników. Zakładamy, że są one idealne, to
i(t)
znaczy, że zamykają się lub otwierają natychmiast, w
(0)
stanie zamknięcia mają zerową rezystancję, a w stanie
otwarcia nieskończoną oraz, że nie występuje w nich zjawisko łuku elektrycznego.
Zjawiskiem komutacji, a więc procesem zmiany struktury układu rządzą prawa komutacji.
Wynikają one z ważnego prawa fizyki, prawa zachowania energii. Prawa komutacji można
wypowiedzieć następująco:
 Energia w polu magnetycznym cewki nie może zmienić się skokowo (I prawo
komutacji)
oraz
 Energia w polu elektrycznym kondensatora nie może zmienić się skokowo (II prawo
komutacji)
Z matematycznego punktu widzenia funkcje energii cewki i kondensatora
14
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
2 2
iL (t) uC (t)
wL (t) = L oraz wC (t) = C muszą być ciągłe względem czasu.
2 2
Ze wzorów na wartości chwilowe energii w cewce i w kondensatorze wynika również ciągłość
funkcji prądu iL(t) oraz napięcia uC(t).
Ponadto, ze wzorów na wartości chwilowe strumienia magnetycznego w cewce
¨(t) = L Å" iL (t) oraz Å‚adunku elektrycznego w kondensatorze q(t) = C Å" uC (t)
wnioskujemy
o ciÄ…gÅ‚oÅ›ci strumienia ¨(t) oraz Å‚adunku q(t)
Podsumowując powyższe rozważania, prawa komutacji możemy dla chwili opisać
następującymi równościami:
WL (0- ) = WL (0+ ), ¨(0- ) = ¨(0+ ), iL (0- ) = iL (0+ )
I prawo komutacji
WC (0- ) = WC (0+ ), q(0- ) = q(0+ ), uC (0- ) = uC (0+ )
II prawo komutacji
Dodajmy jeszcze, że chociaż prąd płynący przez cewkę nie może zmieniać się skokowo, to
napięcie na cewce może się zmieniać skokowo.
Podobnie jest z prądem płynącym przez kondensator - on również może zmieniać się
skokowo, ale napięcie na kondensatorze musi być ciągłą funkcją czasu.
Dla rezystora możliwa jest skokowa zmiana zarówno prądu jak i napięcia, chyba że rezystor
połączony jest szeregowo z cewką lub równolegle z pojemnością.
Metody analizy stanów nieustalonych
1. Metoda klasyczna  związana z klasycznymi metodami rozwiązywania równań
różniczkowych i różniczkowo-całkowych
2. Metoda operatorowa  oparta o przekształcenie Laplace a
3. Metoda zmiennych stanu  zwiÄ…zana z zastosowaniem funkcji macierzy
Równanie charakterystyczne
Na podstawie równania
dn x(t) dn-1x(t) d x(t)
+ an-1 n-1 + L + a1 + a0 x(t) = f (t)
n
d t
d t d t
piszemy tzw. równanie charakterystyczne, które jest równaniem algebraicznym
względem zmiennej pomocniczej s. Równanie to ma postać
sn + an-1 sn-1 + L + a1 s + a0 = 0
Równanie to ma n jedno- lub wielokrotnych pierwiastków rzeczywistych lub zespolonych
sprzężonych. Z każdym pierwiastkiem si lub z grupą pierwiastków związany jest kolejny
składnik rozwiązania dla xp(t). Zależność składnika od własności danego zestawiono w
tabeli.
15
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Tabela 1. Składniki rozwiązania xs(t) w zależności od rodzaju pierwiastków si
funkcje wchodzące w skład xs(t)
własności pierwiastków
si - pojedynczy, rzeczywisty
xi (t) = C1 esit
si - podwójny, rzeczywisty
xi (t) = (C1 + C2 t) esit
si - potrójny, rzeczywisty
xi (t) = (C1 + C2 t + C3 t2 ) esi t
... itd.
si,j = Ä… Ä… j ²
xij (t) = eÄ… t (C1 cos(² t) + C2 sin(² t))
dwa pierwiastki zespolone
sprzężone, pojedyncze
si,j = Ä… Ä… j ²
xij (t) = eÄ… t [ (C1 + C2 t) cos(² t)
dwa pierwiastki zespolone
+ (C3 + C4 t) sin(² t) ]
sprzężone, podwójne
... itd.
Układy II rzędu
Załóżmy równanie charakterystyczne drugiego stopnia (układ RLC)
R 1
s2 + s + = 0
L LC
a pierwiastki równania charakterystycznego dane są wzorami
2
R R 1
ëÅ‚ öÅ‚
s1,2 = - Ä…
ìÅ‚ ÷Å‚ - = -Ä… Ä… ²
2L 2L LC
íÅ‚ Å‚Å‚
2
R R 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
2
przy czym Ä… = , ² =
ìÅ‚ ÷Å‚ - = Ä… -
2L 2L LC LC
íÅ‚ Å‚Å‚
Przy użyciu tych oznaczeń wyrażamy poszczególne pierwiastki równania w sposób
s1 =
nastÄ™pujÄ…cy -Ä… + ² , s2 = -Ä… - ²
Jeżeli założymy, że indukcyjność L i pojemność C są stałe, to rezystancję R można dobrać
tak, że wyróżnik równania charakterystycznego może być dodatni, ujemny, a w przypadku
granicznym - staje się zerem. Zależnie od wartości rezystancji rozróżniamy więc trzy
przypadki.
L
R > 2
1. Przy
C
wielkość b przedstawia liczbÄ™ rzeczywistÄ…, przy czym wobec Ä…>² - obydwa pierwiastki sÄ…
rzeczywiste i ujemne, s1= -Ä…+²<0, s2= - Ä…-²<0. Fizycznie odpowiada temu Å‚adowanie
kondensatora ze z
ródła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L, mające
charakter aperiodyczny (nieokresowy).
16
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
i , u c , u L
E
u c
i
t
0 t 1
u L
Rys. Przebiegi prądu i napięć w obwodzie szeregowym RLC
L
R = 2
2. W przypadku granicznym przy
C
wielkość ² staje siÄ™ zerem, pierwiastki równania charakterystycznego sÄ… sobie równe i
tworzą jeden pierwiastek podwójny, s1=s2= -ą, rzeczywisty i ujemny. Fizycznie odpowiada
temu Å‚adowanie kondensatora ze z
ródła napięcia stałego poprzez rezystancję R i
indukcyjność L, mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
L
R < 2
.3. Przy
C
wielkość ² przedstawia liczbÄ™ urojonÄ…. Wprowadzamy oznaczenie
² = jÉ
gdzie É jest już liczbÄ… rzeczywistÄ…, która speÅ‚nia równanie
1
Ä…2 + É2 =
LC
Obydwa pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone sprzężone, równe
odpowiednio
s1 = -Ä… + jÉ, s2 = -Ä… - jÉ
Fizycznie odpowiada temu Å‚adowanie kondensatora ze z
ródła napięcia stałego poprzez
rezystancję R i indukcyjność L takie, że przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w
funkcji czasu są oscylacyjne tłumione, w szczególności sinusoidalne tłumione.
Rys. Przebiegi oscylacyjne tłumione prądu i napięcia na kondensatorze
w układzie szeregowym RLC
17
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej
półpłaszczyz
nie, Re s1<0 oraz Re s2<0; w związku z tym składowa przejściowa odpowiedzi
uCp(t) maleje do zera dla czasu dążącego do nieskończoności. W przypadku 1 obydwa
pierwiastki leżą na ujemnej części osi rzeczywistej, symetrycznie względem punktu -ą, a w
przypadku 2 obydwa pierwiastki tworzą jeden podwójny równy -ą; w każdym z tych
przypadków składowa przejściowa uCp(t) maleje asymptotycznie do zera. Wreszcie w
przypadku 3 pierwiastki sl i s2 są zespolone sprzężone, w konsekwencji składowa
przejściowa uCp(t) maleje oscylacyjnie do zera.
Stany nieustalone  Metoda klasyczna
przykłady obliczeniowe (rozwiązane podczas wykładu)
Zadanie 1. Dla obwodu przedstawionego na rys. 1 oblicz i narysuj przebiegi czasowe prÄ…du
płynącego przez cewkę iL(t) oraz napięć uR (t) i uL(t) . Zbadaj wpływ wartości i znaku
warunku początkowego na cewce na odpowiedzi czasowe obwodu. Jak wartości elementów
R oraz L wpływają na czas ustalania się przebiegów? Dane: U = 20 V , R = 4 &! , L = 20 mH .
uR (t) uL (t)
a) b)
(1)
(2)
R L
t = 0s
R L
VU
U
iL(t)
(0)
Rys. 1. a) obwód do zadania 1, b) przystosowany do analizy w PSpice
Rys. 1.1. Wykresy czasowe sygnałów przy zerowym warunku początkowym
Rys. 1.2. Wykresy czasowe przy dodatnim warunku poczÄ…tkowym I0 > U / R
18
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Rys. 1.3. Wykresy czasowe przy ujemnym warunku poczÄ…tkowym
Rys. 1.4. Wpływ indukcyjności na szybkość ustalania się przebiegów ( I0 = 0A )
Rys. 1.5. Wpływ rezystancji na szybkość ustalania się przebiegów ( I0 = 0A )
Zadanie 2. W układzie z rys. 2a w chwili t = 0 s otwarto klucz K, przez co odłączono
zasilanie z rzeczywistego z
ródła napięcia stałego. Znajdz
wzory, jakimi opisane sÄ… po
komutacji: napięcie na kondensatorze i prąd w cewce. Sporządz
wykresy czasowe tych
sygnałów przejściowych. Dane: R1 = 60 &!, R2 = 40 &! , L = 10 H, C = 25 mF, E = 50 V .
19
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
uR2(t)
a) b)
K
(1)
(2)
R2
t = 0 s (1) R2 (2)
E
uC (t)
uC (t) L
C
C L
uL(t)
R1
i(t)
i(t)
(0) (0)
Rys. 2. Obwód do zadania 2, a) przed komutacją, b) po komutacji
Rys. 2.1. Wykresy dla obwodu z zadania 2
Zadanie 3. W układzie przedstawionym na rys. 3a w chwili t = 0 s otwarto łącznik, przez co
odłączono zasilanie sinusoidalne. Wyznacz przebieg prądu w cewce oraz napięcia na
kondensatorze w stanie nieustalonym.
Dane: e(t) = 70sin(10t + 30o ) V, R1 =14 &!, R2 = 2 &!, L = 0,5 H, C = 20 mF
iL(t) iL(t)
R1
(1)
a) b)
(1)
t = 0s
i2(t)
L
i1(t) L
R2
R2
uC (t) uC (t)
(2)
(2)
e(t)
C
C
(0)
(0)
Rys. 3. Obwód do zadania 3, a) przed komutacją, b) po komutacji
Rys. 3.1. Wykres prądu płynącego przez cewkę z rys. 3
20
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Rys. 3.2. Wykres napięcia na kondensatorze z rys. 3
Przekształcenie Laplace a  Wprowadzenie
Wśród metod częstotliwościowych badania układów analogowych najczęściej znajduje
zastosowanie metoda przekształcenia Laplace'a.
Podstawową cechą tej metody jest algebraizacja obliczeń stanów dynamicznych.
Algebraizacja polega na zastąpieniu działania różniczkowania funkcji czasu przez
pomnożenie funkcji zmiennej zespolonej zwanej transformatą przez parametr zespolony s,
oraz na zastąpieniu całkowania funkcji czasu w granicach od 0 do t przez podzielenie
transformaty przez tenże parametr.
Metodę przekształcenia Laplace'a zaliczamy do metod operatorowych,
a zespół twierdzeń i reguł związanych z zastosowaniem przekształcenia Laplace'a
nazywamy rachunkiem operatorowym.
Zalety rachunku operatorowego
1. Prostota dokonywania operacji na równaniach algebraicznych
2. Wprowadzenie warunków początkowych wprost i na samym początku
3. Możliwość rozwiązywania przypadków nie posiadających rozwiązania przy metodzie
klasycznej
4. Możliwość korzystania z tablic
5. Przekształcenie Laplace a dla funkcji spotykanych w technice jest wzajemnie
jednoznaczne
Przekształcenie Laplace a
W przekształceniu Laplace'a, zwanym też transformacją Laplace'a, rozpatruje się dwie
funkcje:
1. funkcjÄ™ f(t) argumentu rzeczywistego (zmiennej rzeczywistej) t; funkcjÄ™ f(t) nazywamy
funkcją oryginalną, oryginałem lub też funkcją czasu; w elektrotechnice argument t oznacza
zazwyczaj czas,
2. funkcję F(s) argumentu zespolonego (zmiennej zespolonej) zwanego też parametrem
zespolonym, określoną wzorem
21
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
"
F(s) = (t) e-s t d t
+"f
0
zwaną transformatą funkcji czasu, jej funkcją przekształconą lub obrazem.
W odniesieniu do funkcji czasu, o której mówimy, że jest transformowalna według Laplace'a,
czynimy następujące założenia:
1. znika dla argumentów ujemnych, tzn. f(t) =0 dla t<0,
2. jest jednoznacznie określona w całym przedziale od 0 do +" oraz jest
w tym przedziale ciągła, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości
pierwszego rodzaju, tzn. takich, w których następuje skok funkcji o skończoną wartość,
3. wzrasta co do wartości bezwzględnej nie szybciej niż funkcja wykładnicza, tzn. dla danej
funkcji f(t) można dobrać taką liczbę dodatnią M oraz taką stałą ą nieujemną, że dla
wszelkich wartości argumentu t zachodzi
f (t) < M eÄ… t
Rozpatrzmy przykład wyznaczania transformaty Laplace a funkcji wykładniczej
Ä… t
f (t) = e
przy stałej a>0
"
"
-1 1
F(s) = e-s t d t = e(Ä… -s) t =
(*)
+"eÄ… t
s - Ä… 0 s - Ä…
0
Podany wynik otrzymuje siÄ™ przy zaÅ‚ożeniu Re(s) > Ä… , a wiÄ™c gdy à jest wiÄ™ksza od Ä….
Obliczana caÅ‚ka jest wówczas zbieżna. Gdy natomiast à < Ä… , caÅ‚ka ta jest rozbieżna.
Wielkość ą nazywamy odciętą zbieżności transformaty.
Gdy zatem parametr zespolony à jest poÅ‚ożony na pÅ‚aszczyz
nie zmiennej zespolonej na
prawo od prostej à = Ä… równolegÅ‚ej do osi urojonej, wówczas transformata istnieje i jest
określona wzorem (*)
Przekształcenie określone wzorem
"
F(s) = (t) e-s t d t
+"f
0
oznaczamy symbolem !
F(s) = !{f(t)}
i nazywamy przekształceniem prostym, bo służy ono do wyznaczania transformaty danej
funkcji czasu.
Jeżeli natomiast dana jest transformata F(s), a szukamy funkcji czasu f(t), wówczas piszemy
zależność odwrotną
-1
f(t) = ! {F(s)}
stanowiącą zapis przekształcenia odwrotnego Laplace'a.
22
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Można wykazać, że przekształcenie odwrotne, napisane w postaci całki względem
zmiennej zespolonej s, ma postać
c+ j"
1
f (t) = F(s) es t d s
+"
2 Ä„ j
c- j"
gdzie c jest liczbą rzeczywistą dodatnią, nie mniejszą od odciętej zbieżności transformaty, a
całkowanie przebiega wzdłuż prostej równoległej do osi urojonej układu współrzędnych
zgodnie z kierunkiem wzrostu argumentu urojonego.
Podstawowe własności Przekształcenia Laplace a
1. liniowość
Podstawową własnością przekształcenia Laplace'a jest jego liniowość; innymi słowy
przekształcenie Laplace'a spełnia zasadę superpozycji.
W odniesieniu do dwóch funkcji czasu, przy założeniu, że 1 i 2 są skalarami, własność
liniowości przekształcenia Laplace a możemy wyrazić następująco
!{1 f1(t) + 2 f2 (t)} = 1 F1(s) + 2 F2 (s)
w której 1 i 2 są skalarami.
2. splot
Jednym z podstawowych pojęć rachunku operatorowego jest splot dwóch funkcji czasu.
Definiują go równoważnie poniższe całki oznaczone niewłaściwe
" "
f (t) = f1(t) *f (t) = f1(Ä )f2 (t -Ä )dÄ = f1(t -Ä )f2 (Ä )dÄ
+" +"
2
-" -"
Ponieważ w ramach przekształcenia Laplace'a rozważamy funkcje, które znikają dla chwil t
ujemnych, to można dla takich funkcji zawęzić przedział całkowania zmiennej we wzorze i
określić splot inaczej
t t
f (t) = f1(t) *f (t) = f1(Ä )f2 (t -Ä )dÄ = f1(t -Ä )f2 (Ä )dÄ
+" +"
2
0 0
Do transformaty splotu odnosi się twierdzenie Borela wyrażone zależnością
!{f1(t) * f2 (t)} = F1(s)F2 (s)
Twierdzenie to, którego dowód pomijamy, możemy wysłowić w następujący sposób:
Transformata splotu dwóch funkcji czasu równa się
iloczynowi transformat tych funkcji.
Transformaty Laplace'a typowych sygnałów mają postać ilorazu będącego funkcją wymierną
względem parametru s
L(s)
F(s) =
N(s)
W najprostszym przypadku zakładamy, że mianownik N(s) nie ma pierwiastków
wielokrotnych, a stopień licznika L(s) jest mniejszy od stopnia mianownika N(s). Zgodnie z
twierdzeniem o rozkładzie, rozpatrywanej transformacie odpowiada funkcja czasu
23
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
n
L(sk )
f (t) = exp(sk t)
"
N'(sk )
k=1
gdzie n oznacza stopień wielomianu N(s), a sk są pierwiastkami równania
N(s) = 0
3. Pochodna Pochodna splotu 4. Całka
F(s)
d
îÅ‚ d
îÅ‚
L [+" f (t)]=
L f (t)Å‚Å‚ = sF(s) - f (0)
L {f1(t) " f2(t)}Å‚Å‚ = sF1(s) Å"F2(s)
ïÅ‚dt śł
ïÅ‚dt śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Wybrane transformaty Laplace a
24
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
25
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
26
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Zasilanie impulsowe obwodu
W badaniach sygnałów duże znaczenie mają transformaty impulsów jednorazowych.
a) Pojedynczy impuls prostokÄ…tny
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z jednorazowym impulsem prostokÄ…tnym,
który powstaje w chwili t=a, znika w chwili t=b, a przez czas trwania impulsu wynoszący
(b-a) ma stałą amplitudę A.
Impuls taki możemy traktować jako sumę algebraiczną dwóch funkcji jednostkowych
pomnożonych przez amplitudę A i opóz
nionych odpowiednio o a oraz b jednostek czasu.
Powyższe rozważania nasuwają zapis jednorazowego impulsu prostokątnego następującą
funkcjÄ… czasu
f (t) = A[µ(t - a) - µ (t - b)]
a) b) c)
f(t) f(t) f(t)
A·µ(t-a) A·µ(t-a)
A
A A
t t 0 t
0 a b 0 a b a b
-A·µ(t-b)
-A
-A
f(t) f(t)
A·µ(t-a)
A A
0 t 0 t
a b a b
-A·µ(t-b)
-A
f (t) = A[µ (t - a) - µ (t - b)]
Wspomniano, że jednorazowy impuls prostokątny zapisany jest funkcją czasu
f (t) = A[µ (t - a) - µ(t - b)]
W oparciu o przytoczone uprzednio wzory stwierdzamy, że transformata tego impulsu wynosi
A
F(s) = [exp(-as) - exp(-bs)]
s
27
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
b) Pojedynczy impuls sinusoidalny
Analogicznie, w stosunku do pojedynczego impulsu prostokątnego, można wyznaczyć
transformatę jednorazowego impulsu sinusoidalnego półfalowego, który daje się wyrazić
sumą dwóch funkcji sinusoidalnych: podstawowej i opóz
nionej o pół okresu.
f(t) f(t)
A A
A·sin(Ét)·µ(t)
0 t 0
a a 2a 3a t
-A
f(t) f(t)
A A
A·sin(Ét)·µ(t)
0 t 0
a a 2a 3a t
-A
A·sin(É(t-a))·µ(t-a)
f(t) f(t)
A A
A·sin(Ét)·µ(t)
0 t 0
a a 2a 3a t
-A
A·sin(É(t-a))·µ(t-a)
f (t) = sin(Ét)µ (t) + sin(É(t - a))µ (t - a)
Jednorazowy impuls sinusoidalny można zapisać w postaci
f (t) = sin(Ét)µ (t) + sin(É(t - a))µ (t - a)
W oparciu o przytoczone uprzednio wzory stwierdzamy, że transformata tego impulsu wynosi
É
F(s) = [1+ exp(-as)]
2
s2 + É
Metoda operatorowa
Patrz - zadania przedstawione na wykładzie
28
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Metoda zmiennych stanu
Jeżeli badany jest układ liniowy z wymuszeniami uporządkowanymi w wektor wymuszeń
u1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚u (t)śł
2
ïÅ‚ śł
u(t) =
ïÅ‚ śł
:
ïÅ‚ śł
(t)śł
ïÅ‚u p
ðÅ‚ ûÅ‚
oraz odpowiedziami uporzÄ…dkowanymi w wektor odpowiedzi
y1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
y2 (t)śł
ïÅ‚ śł
y(t) =
ïÅ‚ śł
:
ïÅ‚ śł
yq (t)śł
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
to wektor odpowiedzi można wyznaczyć z zależności
y(t) = Cx(t) + Du(t) (MZS 1)
w której wektor
x1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x (t)śł
2
ïÅ‚ śł
x(t) =
ïÅ‚ śł
:
ïÅ‚ śł
(t)ûÅ‚
ðÅ‚xn
jest nazywany wektorem stanu układu, a jego elementy - zmiennymi stanu.
Zmiennymi stanu nazywamy wielkości x1(t), x2(t), ..., xn(t), które należy zadać w chwili
początkowej t = t0, aby przy zadanych wymuszeniach u1(t), u2(t), ..., up(t) określić
jednoznacznie zachowanie się układu dla t > t0. W obwodach elektrycznych zmiennymi
stanu są prądy płynące przez cewki i napięcia na kondensatorach - wielkości te muszą
spełniać warunki początkowe wynikające z praw komutacji.
Wektor stanu jest rozwiązaniem równania stanu
d
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
(MZS 2)
dt
które jako równanie różniczkowe pierwszego rzędu musi mieć zadany wektor stanu
poczÄ…tkowego
x(t0 ) = x0 (MZS 3)
Macierze w równaniach (MZS 1) i (MZS 2) określa się jako:
A - macierz ukÅ‚adu, wymiar n × n,
B - macierz wymuszeÅ„, wymiar n × p,
C - macierz odpowiedzi, wymiar q × n,
D - macierz transmisyjna, wymiar q × p.
Różniczkowe równanie macierzowe (MZS 2) z warunkiem początkowym (MZS 3) dla
chwili czasu t = 0 ma rozwiÄ…zanie w postaci
29
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
t
x(t) = exp(At)x0 + exp(A(t -Ä ))Bu(Ä )dÄ
(MZS 4)
+"
0
przy czym funkcja wykładnicza macierzy układu zdefiniowana jest zależnością
"
(At)k
exp(At) =
(MZS 5)
"
k!
k=0
Rozwiązanie równania stanu można wyznaczyć również w postaci sumy składowej ustalonej
i przejściowej
x(t) = xu (t) + xp (t)
W prostych obwodach elektrycznych wyznaczenie rozwiązania dla składowej ustalonej nie
nastręcza zwykle większych trudności. Z rozwiązania dla składowej ustalonej wynika również
warunek początkowy dla tej składowej oraz dla składowej przejściowej
xp (0) = x(0) - xu (0)
Dla składowej przejściowej równanie stanu w postaci macierzowej można zapisać jako
d
xp (t) - Axp (t) = 0
dt
i jego rozwiązanie ma postać
xp (t) = exp(At)xp (0)
Wyznaczanie funkcji exp(At) z zastosowaniem twierdzenia Sylvestera
Rozpatrujemy macierz układu A stopnia n, której elementy są znane, macierz
jednostkową oznaczoną przez 1 oraz skalar  będący liczbą rzeczywistą lub zespoloną.
Różnicę macierzy 1 - A nazywamy macierzą charakterystyczną macierzy kwadratowej A,
a jej wyznacznik det(1 - A), który jest wielomianem stopnia n względem , wielomianem
charakterystycznym macierzy A. Przyrównując do zera ten wielomian, otrzymujemy
równanie stopnia n względem 
det(1 - A) = 0
zwane równaniem charakterystycznym macierzy kwadratowej A; równanie to można
zapisać krótko
Õ() = 0
Pierwiastki równania Õ() = 0 nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi macierzy
kwadratowej A lub częściej jej wartościami własnymi.
Twierdzenie Sylvestera, w swojej podstawowej postaci, pozwala wyrazić dowolny wielomian
macierzy kwadratowej A stopnia n w postaci wielomianu stopnia n-1 względem macierzy A.
Jest ono w zakresie algebry macierzy odpowiednikiem znanego z algebry wzoru
interpolacyjnego Lagrange'a, który pozwala wyrazić wartość funkcji badanej w pewnym
przedziale w zależności od n znanych wartości tej funkcji w n punktach tego przedziału.
Twierdzenie Sylvestera możemy stosować nie tylko do wielomianu względem macierzy A,
ale również do funkcji przestępnych, rozwijalnych w szereg nieskończony. Do takich funkcji
należy funkcja wykładnicza macierzy A, określona zależnością (MZS 5). Twierdzenie
Sylvestera pozwala na wyrażenie takich funkcji w postaci zamkniętej, tzn. prostszej niż za
pomocą szeregu nieskończonego. Dla funkcji wykładniczej macierzy kwadratowej A stopnia
30
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
n, mającej n pierwiastków charakterystycznych różnych od siebie, z twierdzenia Sylvestera
wynika wzór
"( 1 - A)
s
n
exp(At) = (MZS 6)
"exp( t) s`"r - r )
r
"(
s
r=0
s`"r
W przypadku szczególnym, w którym macierz kwadratowa A jest stopnia n = 2, wzór
(MZS 6) przybiera prostą postać
(21 - A) e1t (11 - A) e2t
exp(At) = + (MZS 7)
2 - 1 1 - 2
Przykład rozgałęzionego obwodu RLC z niezerowym wymuszeniem [8]
Stosując metodę zmiennych stanu, obliczyć przebiegi prądu w cewce iL(t) oraz napięcia na
kondensatorze uC(t) po zamknięciu wyłącznika w układzie jak na rysunku 1. Dane liczbowe:
a) E = 14 V, R1 = 5 &!, R2 = 9 &!, C = 0.1 F, L = 1 H
b) E = 13 V, R1 = 5 &!, R2 = 0.2 &!, C = 0.1 F, L = 0.1 H
c) E = 200 V, R1 = 200 &!, R2 = 0.05 &!, C = 0.01 F, L = 0.1 H
t=0 i1
L
R1 iC i2
E
C
R2
Rys. 1. Schemat obwodu RLC z niezerowym wymuszeniem
RozwiÄ…zanie
Przypadek a)
uC (t) = x1
Å„Å‚
Oznaczamy zmienne stanu
òÅ‚i (t) = x2
ół L
0
îÅ‚ Å‚Å‚
Jak łatwo zauważyć, warunki początkowe (dla t = 0): X0 =
ïÅ‚0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
E
îÅ‚
R2 Å‚Å‚
ïÅ‚
R1 + R2 śł 9
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Stan ustalony obliczony metodÄ… klasycznÄ… Xu = =
ïÅ‚1śł
ïÅ‚ E śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚
R1 + R2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
uC
Å„Å‚ E
R1i1 + uC = E Ò! i1 = - +
ôÅ‚
R1 R1
ôÅ‚
ôÅ‚
di2
Układ równań otrzymany z praw Kirchhoffa L + R2i2 = uC
òÅ‚
dt
ôÅ‚
ôÅ‚ duC
i1 = i2 + i3 = C + i2
ôÅ‚
dt
ół
31
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
duC i1 uC
Å„Å‚ E
= - - +
ôÅ‚
dt C R1C R1C
ôÅ‚
przekształcamy w równania stanu
òÅ‚
R2 uC
ôÅ‚di2
= - i2 +
ôÅ‚
ół dt L L
Uwzględniając przyjęte oznaczenia zmiennych stanu, możemy równania zapisać ostatecznie
jako
dx1
Å„Å‚ 1 1 E
= - x1 - x2 +
ôÅ‚
dt R1C C R1C
ôÅ‚
òÅ‚
1 R2
ôÅ‚dx2
= x1 - x2
ôÅ‚
ół dt L L
îÅ‚- 1 1
Å‚Å‚
-
ïÅ‚ śłîÅ‚x1(t) Å‚Å‚ îÅ‚ 1 0Å‚Å‚îÅ‚
x1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚
d
R1C C
ïÅ‚ śłïÅ‚EÅ‚Å‚
lub w postaci macierzowej +
śłïÅ‚
R1C
ïÅ‚x = ïÅ‚
(t)śł 0 0ûÅ‚ðÅ‚0 śł
dt (t)śł ïÅ‚ 1 R2 śłðÅ‚x2 ûÅ‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ûÅ‚
-
ðÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ L L ûÅ‚
Odpowiedz
czasowa ma dwie składowe: ustaloną i przejściową x(t) = xu (t) + xp (t)
Dla składowej przejściowej równanie stanu w postaci macierzowej można zapisać jako
îÅ‚- 1 1
Å‚Å‚
-
x1p (t) ïÅ‚ śłîÅ‚ Å‚Å‚
x1p (t)
îÅ‚ Å‚Å‚
d
R1C C
ïÅ‚x (t)śł = ïÅ‚ 1 R2 śłïÅ‚ (t)śł
dt
2p
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚x2p ûÅ‚
-
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ L L ûÅ‚
x1p (t) x1p (t)
îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚
d îÅ‚- 2 -10 îÅ‚ Å‚Å‚
Dla danych zadania powyższe równanie przybiera postać
ïÅ‚x (t)śł = ïÅ‚x (t)śł
ïÅ‚ śł
dt 1 9
2p 2p
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Składową przejściową policzymy następująco: xp (t) = exp(At)xp (0)
0 9
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 9
Å‚Å‚
gdzie składowa przejściowa w zerze ma postać xp (0) = x(0) - xu (0) = - =
ïÅ‚0śł ïÅ‚1śł ïÅ‚-1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Obliczenie macierzy exp(At) metodÄ… Sylvestera
Wartości własne macierzy 1, 2 obliczymy z równania charakterystycznego
Å„Å‚  0 üÅ‚  + 2 10
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 2 -10
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
det[1 - A]= detòÅ‚ïÅ‚ -
ïÅ‚ śłżł = detïÅ‚ -1  + 9śł =
1 - 9
ðÅ‚0 śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
ół þÅ‚
 + 2 10
= = ( + 2)( + 9) + 10 = 2 + 11 + 28
-1  + 9
Jako rozwiązanie równania charakterystycznego otrzymujemy dwa pierwiastki rzeczywiste
ujemne
2 + 11 + 28 = 0
" = 9, " = 3
1 = -4 , 2 = -7
Wskazuje to na aperiodyczny charakter przebiegów. Uwzględniając wzór Sylvestera
(MZS 7), otrzymujemy
32
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
îÅ‚- 7 0 2 -10
Å‚Å‚
e-4t Å„Å‚ Å‚Å‚ îÅ‚- üÅ‚
exp(At) = - Å" -
òÅ‚ïÅ‚
śłżł +
3 0 - 7śł ïÅ‚ 1 - 9
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚
îÅ‚- 4 0 2 -10
Å‚Å‚ e-4t îÅ‚- 5 10
Å‚Å‚ îÅ‚- 2 10
e-7t Å„Å‚ Å‚Å‚ îÅ‚- üÅ‚
e-7t Å‚Å‚
+ Å" - = - + =
òÅ‚ żł
ïÅ‚ śł ïÅ‚-1 2 śł ïÅ‚-1 5 śł
3 0 - 4śł ïÅ‚ 1 - 9 3 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚
5 2 10
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 e-4t - 3 e-7t 3 (e-7t - e-4t )śł
=
ïÅ‚ śł
1 5 2
ïÅ‚ - e-7t ) e-7t - e-4t
śł
(e-4t
ðÅ‚ 3 3 3 ûÅ‚
Na podstawie wzoru xp (t) = exp(At)xp (0) otrzymujemy postać składowej przejściowej
5 2 10 8 35
îÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 e-4t - 3 e-7t 3 (e-7t - e-4t )Å‚Å‚îÅ‚- 9 ïÅ‚3 e-7t - 3 e-4t śł
śł
Å‚Å‚
xp (t) = =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 5 2 4 7
ïÅ‚ - e-7t ) e-7t - e-4t e-7t
śłðÅ‚-1ûÅ‚ ïÅ‚ - e-4t
śł
(e-4t
ðÅ‚ 3 3 3 ûÅ‚ ðÅ‚ 3 3 ûÅ‚
Uwzględniając obie składowe, możemy zapisać (korzystając ze wzoru x(t) = xu (t) + xp (t) )
8 35 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚9 + (8e-7t - 35e-4t )Å‚Å‚
ïÅ‚3 e-7t - 3 e-4t śł 9 ïÅ‚ śł
îÅ‚ Å‚Å‚
3
x(t) = + =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚1śł
4 7 1
ïÅ‚ - e-4t ðÅ‚ ûÅ‚ 1 + (4e-7t - 7e-4t )
śł ïÅ‚ śł
e-7t
ðÅ‚ 3 3 ûÅ‚ ðÅ‚ 3 ûÅ‚
RozwiÄ…zanie zadania stanowiÄ… przebiegi:
1
uC (t) = [9 + (8e-7t - 35e-4t )] V
3
1
iL (t) = [1 + (4e-7t - 7e-4t )] A
3
Przebiegi czasowe napięcia uC(t) i prądu iL(t) pokazano na rys. 1.1. i rys. 1.2. Otrzymaliśmy
przebiegi o charakterze aperiodycznym.
10
y ( t )
0
9
0
0 t 2
Rys. 1.1. Przebieg napięcia na kondensatorze uC(t)
1.2
y ( t )
1
1
0
0 t 2
Rys. 1.2. Przebieg prÄ…du w cewce iL(t)
Przypadek b)
Postępujemy analogicznie jak w przypadku a). Przyjmujemy takie same oznaczenia
zmiennych stanu. Wektor stanu początkowego jest także taki sam. Po uwzględnieniu danych
zadania (rozważanego przypadku b) możemy zapisać wektor stanu ustalonego
33
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
E
îÅ‚
R2 Å‚Å‚
ïÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
R1 + R2 śł = 0.5
X = ïÅ‚ śł
u ïÅ‚2.5śł
E
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚
R1 + R2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Składową przejściową policzymy analogicznie jak w przypadku a). Możemy zapisać
równanie stanu dla tejże składowej
îÅ‚- 1 1
Å‚Å‚
-
x1p (t) ïÅ‚ śłîÅ‚ Å‚Å‚
x1p (t)
îÅ‚ Å‚Å‚
d
R1C C
ïÅ‚x (t)śł = ïÅ‚ 1 R2 śłïÅ‚ (t)śł
dt
2p
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚x2p ûÅ‚
-
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ L L ûÅ‚
i dla danych przypadku b):
x1p (t) x1p (t)
îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚
d îÅ‚- 2 -10 îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x (t)śł = ïÅ‚x (t)śł
ïÅ‚10 - 2 śł
dt
2p 2p
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Obliczamy wartości własne macierzy A, korzystając z równania charakterystycznego
Å„Å‚  0 üÅ‚  + 2 10
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 2 -10
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
det[1 - A]= detòÅ‚ïÅ‚ -
ïÅ‚10 - 2 śłżł = detïÅ‚ -10  + 2śł =
ðÅ‚0 śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
ół þÅ‚
 + 2 10
= = ( + 2)( + 2) + 100 = 2 + 4 +104
-10  + 2
W wyniku rozwiązania równania charakterystycznego otrzymujemy dwa pierwiastki
zespolone
2 + 4 +104 = 0
" = -400; " = Ä… j20
1 = -2 + j10 ; 2 = -2 - j10
Wskazuje to na oscylacyjny charakter przebiegów. Korzystając ze wzoru Sylvestera,
możemy zapisać
Å„Å‚ 2
îÅ‚-
Å‚Å‚ îÅ‚- 2 -10 üÅ‚
Å‚Å‚
e(-2+ j10)t - j10 0
exp(At) = -
òÅ‚ïÅ‚ 0 - 2 - j10śł - ïÅ‚10 - 2 śłżł +
j20
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚
Å„Å‚
Å‚Å‚ îÅ‚- 2 -10
Å‚Å‚
e(-2- j10)t îÅ‚- 2 + j10 0 üÅ‚
+ - =
òÅ‚ żł
ïÅ‚ śł ïÅ‚10 - 2 śł
j20 0 - 2 + j10
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚
Å‚Å‚ e(-2- j10)t îÅ‚ Å‚Å‚
e(-2+ j10)t îÅ‚- j10 10 j10 10
= - + =
ïÅ‚ śł ïÅ‚-10 j10śł
j20 -10 - j10 j20
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
j10t
Å‚Å‚
e-2t îÅ‚j10(e j10t j10t
+ e- ) 10(e- j10t - e )
= =
ïÅ‚ śł
j10t j10t
j20
10(e - e-j10t ) j10(e + e- j10t )ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
îÅ‚e j10t + e-j10t e j10t - e-j10t Å‚Å‚
-
ïÅ‚ śł
= e-2t ïÅ‚ j10t 2 j10t j10t j2 j10t śł
ïÅ‚e - e- e + e- śł
ïÅ‚ śł
j2 2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Korzystając z zależności
34
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
jÉt jÉt jÉt
e - e-jÉt e - e
sinÉt = ; cosÉt =
2j 2
możemy ostatecznie zapisać
îÅ‚e-2t cos10t - e-2tsin10tÅ‚Å‚
exp(At) =
ïÅ‚ śł
-2t
ïÅ‚
ðÅ‚e sin10t e-2tcos10t śł
ûÅ‚
Uwzględniając wzór xp (t) = exp(At)xp (0) oraz fakt, że
0 0.5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 0.5
Å‚Å‚
xp (0) = x0 (0) - xu (0) = - =
ïÅ‚0śł ïÅ‚2.5śł ïÅ‚- 2.5śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
możemy zapisać składową przejściową
îÅ‚e-2t cos10t - e-2t sin10tÅ‚Å‚îÅ‚- 0.5
îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚
e-2t (2.5sin10t - 0.5cos10t)
xp (t) =
ïÅ‚ śłïÅ‚ = ïÅ‚ śł
-2t
ïÅ‚ ûÅ‚ śł
ðÅ‚e sin10t - e-2tcos10t śłðÅ‚- 2.5śł ïÅ‚- e-2t (0.5sin10t + 2.5cos10t)ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚
Korzystając ze wzoru x(t) = xu (t) + xp (t) , możemy zapisać
x(t) = xp (t) + xu (t) =
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚0.5 + e-2t (2.5sin10t - 0.5cos10t)Å‚Å‚
0.5
îÅ‚ Å‚Å‚
e-2t (2.5sin10t - 0.5cos10t)
= + =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚2.5śł
ïÅ‚- e-2t (0.5sin10t + 2.5cos10t)ûÅ‚
śł ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ - e-2t (0.5sin10t + 2.5cos10t)ûÅ‚
śł
ðÅ‚ ðÅ‚2.5
Ostatecznie można zapisać poszukiwane przebiegi jako
uC (t) = [0.5 + e-2t (2.5sin10t - 0.5cos10t)] V
iL (t) = [2.5 - e-2t (0.5sin10t + 2.5cos10t)] A
Przebiegi te zilustrowano na rys. 1.3 i rys. 1.4. Otrzymaliśmy przebiegi o charakterze
oscylacyjnym. TÅ‚umienie jest stosunkowo duże z pulsacjÄ… É wynoszÄ…cÄ… 10 rad/s .
u [V]
c
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 t [s]
-0,5
-1
Rys. 1.3. Przebieg napięcia na kondensatorze uC(t)
35
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
iL [A]
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 t [s]
Rys. 1.4. Przebieg prÄ…du w cewce iL(t)
Przypadek c)
Rozwiązując, postępujemy analogicznie jak w przypadku b). Po uwzględnieniu danych
zadania (rozważanego przypadku) możemy zapisać wektor stanu ustalonego
E
îÅ‚
R2 Å‚Å‚
ïÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
R1 + R2 śł E" 0.05
X = ïÅ‚ śł
u ïÅ‚ śł
E
1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚
R1 + R2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Składową przejściową obliczymy analogicznie jak w przypadkach a) oraz b) i dla danych
przypadku c)
x1p (t) x1p (t)
îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚
d îÅ‚- 0.5 -100 îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x (t)śł = ïÅ‚x (t)śł
ïÅ‚
dt 10 - 0.5śłðÅ‚ 2p ûÅ‚
2p
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Obliczamy wartości własne macierzy A, korzystając z równania charakterystycznego
Å„Å‚  0 üÅ‚  + 0.5 100
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 0.5 -100
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
det[1 - A]= detòÅ‚ïÅ‚ - = detïÅ‚ =
ïÅ‚
10 - 0.5śłżł ðÅ‚ -10  + 0.5śł
ðÅ‚0 śł ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
ół þÅ‚
 + 0.5 100
= = ( + 0.5)( + 0.5) + 1000 = 2 +  + 1000.25
-10  + 0.5
Z rozwiązania równania charakterystycznego otrzymujemy parę zespolonych, sprzężonych
wartości własnych
2 +  + 1000.25 = 0
" = -4000, " = Ä… j20 10
1 = -0.5 + j10 10 , 2 = -0.5 - j10 10
Korzystając ze wzoru Sylvestera, możemy zapisać:
36
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Å‚Å‚
e(-0.5+ j10 10)t îÅ‚- j10 10 100
exp(At) = -
ïÅ‚ śł
j20 10 ïÅ‚ -10 - j10 10ûÅ‚
śł
ðÅ‚
Å‚Å‚
e(-0.5-j10 10)t îÅ‚j10 10 100
+ =
ïÅ‚ śł
j20 10 -10 j10 10ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
îÅ‚ j10 10t j10 10t j10 10t
e + e- e - e- j10 10t Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
- 10
2 j2
śł
= e-0.5t ïÅ‚
ïÅ‚ śł
j10 10t j10 10t
e - e- j10 10t e + e- j10 10t śł
ïÅ‚
10
ïÅ‚ śł
j2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Na podstawie znanych zależności możemy ostatecznie zapisać:
îÅ‚
e-0.5t cos10 10t - 10e-0.5tsin10 10tłł
exp(At) =
ïÅ‚ śł
10e-0.5tsin10 10t e-0.5tcos10 10t
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Uwzględniając wzór xp (t) = exp(At)xp (0) oraz to, że
0 0.05
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 0.05
Å‚Å‚
xp (0) = x0 (0) - xu (0) = - =
ïÅ‚0śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
możemy zapisać składową przejściową
îÅ‚
îÅ‚- Å‚Å‚
e-0.5 tcos10 10t - 10e-0.5 t sin10 10tłł 0.05
xp (t) =
ïÅ‚ śłïÅ‚ śł =
-1
10e-0.5 tsin10 10t e-0.5 t cos10 10t
ïÅ‚ śłðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
e-0.5 t ( 10sin10 10t - 0.05cos10 10t)
=
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- e-0.5 t (0.05 10sin10 10t + cos10 10t)ûÅ‚
śł
ðÅ‚
Korzystając ze wzoru x(t) = xu (t) + xp (t) możemy zapisać:
îÅ‚ Å‚Å‚
0.05
îÅ‚ Å‚Å‚
e-0.5 t ( 10sin10 10t - 0.05cos10 10t)
x(t) = xp (t) + xu (t) = + =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- e-0.5 t (0.05 10sin10 10t + cos10 10t)ûÅ‚ 1
śł ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚
îÅ‚0.05 + e-0.5 t ( 10sin10 10t - 0.05cos10 10t)Å‚Å‚
=
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ - e-0.5 t (0.05 10sin10 10t + cos10 10t)
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Ostatecznie można zapisać poszukiwane przebiegi jako
uC (t) = [0.05 + e-0.5t ( 10sin10 10t - 0.05cos10 10t)] V
iL (t) = [1 - e-0.5t (0.05sin10 10t + cos10 10t)] A
i zilustrować je na rys. 1.5 dla napięcia na kondensatorze oraz na rys. 1.6 dla prądu
płynącego przez cewkę. Otrzymane przebiegi mają charakter oscylacyjny. Różnią się od
otrzymanych w przypadku b) czterokrotnie mniejszym współczynnikiem tłumienia oraz
pulsacją blisko trzy razy większą, wynoszącą około 32 rad/s .
37
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
uc [V]
4
3
2
1
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
t [s]
-1
-2
-3
Rys. 1.5. Przebieg napięcia na kondensatorze uC(t)
iL [A]
2
1,5
1
0,5
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
t [s]
Rys. 1.6. Przebieg prÄ…du w cewce iL(t)
Analiza częstotliwościowa sygnałów
Na wykładzie przedstawiono wszystkie treści zawarte w:
A. Szczepański, M. Trojnar: Obwody elektryczne. Symulacja komputerowa wybranych
zagadnień. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2006,
na str. 119-129 oraz na str. 55-71
Pozostałe treści prezentowane podczas wykładu:
Podstawowe własności Przekształcenia Fouriera
7. Przeskalowanie
1 jÉ
x(at) "! X ( ) dla a > 0
a a
Przeskalowanie sygnału w osi czasu prowadzi do odwrotnego przeskalowania jego widma,
tzn.  ściśnięcie (krótszy czas trwania) sygnału (a>1) prowadzi do  rozszerzenia jego widma,
 rozciągnięcie (dłuższy czas trwania) zaś sygnału (a<1)  do  zwężenia widma.
38
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Rysunek [3]:
Przykładowy sygnał x(t) oraz jego wersja przeskalowana x(2t) oraz widma obu sygnałów
Transmitancja częstotliwościowa układów liniowych
Transmitancję częstotliwościową układu (czasami mówi się o charakterystyce
amplitudowo-fazowej lub też o funkcji przenoszenia układu) można zdefiniować
wykorzystujÄ…c odpowiedz
impulsową układu:
+"
H ( jÉ) =
+"k(t)e jÉ tdt
-"
Czyli transformata odwrotna charakterystyki amplitudowo-fazowej układu jest równa
odpowiedzi impulsowej układu (odpowiedzi na impuls Diraca)
+"
1
k (t ) =
+"H ( jÉ)e jÉ t dÉ
2Ä„
-"
Transmitancja częstotliwościowa determinuje sposób przetwarzania elementarnych
sygnałów harmonicznych, czyli jeśli układ jest pobudzony sygnałem harmonicznym o danej
pulsacji w i amplitudzie zespolonej Uwe(jw), to amplituda zespolona odpowiedzi na to
pobudzenie jest równa
U (jÉ) = H (jÉ)U (jÉ)
wy we
Bardzo czÄ™sto, szczególnie w obliczeniach inżynierskich funkcjÄ™ H(jÉ) wygodniej jest
przedstawić w następującej postaci:
jÕ (É)
H (jÉ) = H (É)e gdzie H(É) = H (jÉ)
39
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
H (É) - charakterystyka amplitudowa ukÅ‚adu
Õ(É) - charakterystyka fazowa ukÅ‚adu
Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów
TransformatÄ™ Fouriera F( jÉ) można zapisać w postaci wykÅ‚adniczej
F(jÉ) = F(É)exp[jÕ(É)]
FunkcjÄ™ F(É) nazywa siÄ™ charakterystykÄ… czÄ™stotliwoÅ›ciowÄ… moduÅ‚u lub widmem
amplitudowym sygnaÅ‚u, a funkcjÄ™ Õ(É)  charakterystykÄ… czÄ™stotliwoÅ›ciowÄ… fazy lub
widmem fazowym sygnału opisanego funkcją czasu f (t) .
SamÄ… funkcjÄ™ F( jÉ) nazywa siÄ™ po prostu charakterystykÄ… czÄ™stotliwoÅ›ciowÄ… lub
widmem sygnału. W celu lepszego zbadania widma sygnału sporządza się wykresy funkcji
F(É) i Õ(É) .
Wprowadzonych powyżej pojęć widma amplitudowego oraz fazowego nie należy mylić z
charakterystykami częstotliwościowymi transmitancji układu, które nazywa się także
wykresami Bodego, gdyż znaczenie ich jest inne.
Z charakterystyk częstotliwościowych transmitancji układu dowiadujemy się jakim
zmianom, po przejściu przez układ, podlegają sygnały harmoniczne o różnych
częstotliwościach podawane na wejście układu; tak więc z charakterystyk transmitancji
uzyskujemy informację o zmianie amplitudy i różnicy faz między sygnałem na wejściu i na
wyjściu.
Z charakterystyk częstotliwościowych danego sygnału możemy natomiast uzyskać
informacje o jego składzie częstotliwościowym, tzn. o amplitudach i fazach początkowych
sygnałów harmonicznych w nim zawartych.
Przykład 1  str. 127-128 w książce [2]
40
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
41
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Przykład 2  str. 128-129 w książce [2]
42
 Dr inż. Mariusz Trojnar Wykłady nr 1,2,3,4,5
Obwody i Sygnały 2
Przykład 3  str. 78-90 w książce [2]
Wykorzystano następujące materiały:
1. G. Masłowski, Wykłady z przedmiotu  Sygnały i Systemy dla Studentów kierunku
Informatyka na Wydziale Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Rzeszowskiej.
2. A. Szczepański, M. Trojnar, Obwody elektryczne. Komputerowa symulacja wybranych
zagadnień, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów, 2006.
3. T. Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, Wydawnictwa Komunikacji i A
ączności,
Warszawa, 2005.
4. A. Szczepański, M. Trojnar, Obwody i Sygnały, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Rzeszowskiej, Rzeszów, 2006.
5. J. Osiowski, J. Szabatin, Podstawy teorii obwodów, tom. I, Wydawnictwa Naukowo-
Techniczne, Warszawa, 1992.
6. S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa, 1995.
7. K. Rzepka, Wykłady z przedmiotu  Obwody i sygnały dla Studentów Wydziału
Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Rzeszowskiej.
8. J. Bajorek, G. Drałus, Podstawy elektrotechniki III, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Rzeszowskiej, Rzeszów, 2005.
9. K. Snopek, Wykłady z przedmiotu  Sygnały i Systemy dla Studentów Politechniki
Warszawskiej.
10. R. Kurdziel, Podstawy elektrotechniki, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1973.
11. Wikipedia; http://www.wikipedia.pl/
43