Tomasz Kowalski Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych Wykład 7 FUNKCJE. PODSTAWOWE OKREŚLENIA I WAASNOŚCI 1. Pojęcie funkcji. Dziedzina. Przeciwdziedzina. Wykres Niech dane będą zbiory X i Y. Funkcją f nazywać będziemy przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y . Piszemy wtedy f : X Y lub y = f (x) , x X . Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, element x X - argumentem funkcji. Element y Y przyporządkowany elementowi x X oznaczamy y = f (x) i nazywamy wartością funkcji w punkcie x . Zbiór wszystkich wartości danej funkcji nazywamy przeciwdziedziną. Od tej pory zajmować się będziemy wyłącznie funkcjami, które określone są w pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych R (przedziale lub sumie przedziałów), a wartości są liczbami rzeczywistymi. Funkcję określać będziemy najczęściej za pomocą wzoru (wzorów). Jeżeli dziedzina takiej funkcji nie będzie wyraznie wskazana, to przyjmować będziemy, że jest nią zbiór wszystkich x, dla których prawa strona wzoru ma określoną wartość. Tak rozumianą dziedzinę nazywać będziemy dziedziną naturalną funkcji i oznaczać symbolem D lub D . Przeciwdziedzinę oznaczać będziemy przez D-1 lub D-1 . f f Przykład 1. Dziedziną naturalną funkcji f (x) = x + 3 jest zbiór D = {x R: x + 3 ł 0} = - 3; + Ą ) . f Funkcja przyjmuje każdą wartość nieujemną, zatem D-1 = 0 ; + Ą). f Daną funkcję f o dziedzinie naturalnej D można rozpatrywać na pewnym podzbiorze A D . Funkcję nazywamy wtedy zredukowaną do zbioru A i oznaczamy przez f . A Uwaga. Funkcje występujące w zastosowaniach ekonomicznych są pewnymi funkcjami zredukowanymi do zbioru wyznaczonego przez istotę rozpatrywanego zjawiska (najczęściej do przedziału 0; + Ą ) ). Niech f : X Y . Wykresem funkcji nazywamy zbiór punktów płaszczyzny XOY, których współrzędne x, y spełniają warunek: x X , y = f (x) (rys.1). Uwaga. W praktyce, w celu sporządzenia wykresu funkcji w pewnym przedziale (zawierającym się w dziedzinie) wybieramy kilka punktów tego przedziału: x1, x2 , x3, ..., xn i obliczamy wartości funkcji: f (x1), f (x2 ), f (x3 ), ... , f (xn ) . Następnie w układzie kartezjańskim XOY nanosimy punkty: (x1, f (x1)) , (x2 , f (x2 )) , (x3, f (x3 )) , ..., (xn , f (xn )) i łączymy je linią. Y Jeżeli liczba zero należy do dziedziny funkcji f , to punkt y = f (x) o współrzędnych x = 0, y = f (0) jest punktem przecięcia się f (x) wykresu z osią OY. P(x, f (x)) Rzędne punktów przecięcia się wykresu z osią OX są X równe y = 0 , odcięte (miejsca zerowe funkcji) otrzymujemy f (0) rozwiązując równanie f (x) = 0 . x0 x Rys. 1. Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności 2 Szkic wykresu funkcji y = f (x) w wielu przypadkach y = f (x) stanowi podstawę do określenia zbioru rozwiązań X nierówności: f (x) > 0, f (x) < 0, f (x) ł 0 bądz f (x) Ł 0 + + + (nawet jeżeli uwzględniono na nim jedynie położenie
b a względem osi OX). f (x) > 0 x (-Ą; a) (b; + Ą) Na rys.2. przedstawiona została sytuacja, w której odczytujemy rozwiązanie nierówności f (x) > 0 . Rys. 2. 2. Niektóre własności funkcji liczbowych Niech f : X Y będzie funkcją odwzorowującą pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych R. Funkcję nazywać będziemy rosnącą w zbiorze X , jeżeli wraz ze wzrostem argumentów zwiększają się wartości funkcji, tj. warunek: x1 < x2 pociąga za sobą nierówność f (x1) < f (x2 ) dla każdej pary argumentów x1 , x2 ze zbioru X. Podobnie, funkcję nazywamy malejącą w zbiorze X , jeżeli wraz ze wzrostem argumentów zmniejszają się wartości funkcji, tj. warunek: x1 < x2 pociąga za sobą nierówność f (x1) > f (x2 ) dla każdej pary argumentów x1 , x2 ze zbioru X. Pojęcia te zostały zilustrowane na rys.3. Y Y f (x2 ) f (x1) f (x1) < f (x2 ) f (x1) > f (x2 ) y = f (x) y = f (x) f (x2 ) f (x1) X x1 x1 x2 x2 O O X funkcja rosnąca funkcja malejąca Rys. 3. Funkcję nazywamy (ściśle) monotoniczną , jeżeli w całej swojej dziedzinie jest rosnąca lub w całej swojej dziedzinie jest malejąca. Funkcję nazywamy przedziałami monotoniczną, jeżeli jest w pewnych przedziałach rosnąca, malejąca lub stała. Przykład 2. Zbadać monotoniczność funkcji danej wzorem: a) f (x) = 3x + 5 , b) f (x) = x2 . Rozwiązanie. a) Funkcja jest rosnąca w zbiorze R ponieważ warunek x1 < x2 pociąga za sobą nierówność f (x1) < f (x2 ) przyjmującą w tym wypadku postać 3x1 + 5 < 3x2 + 5 . b) Funkcja jest malejąca w zbiorze X1 = ( - Ą;0 ) ponieważ dla argumentów x1 , x2 z tego zbioru warunek x1 < x2 pociąga za sobą nierówność x12 > x2 2 oznaczającą, że f (x1) > f (x2 ) . Funkcja jest rosnąca w zbiorze X = ( 0; + Ą ) ponieważ dla argumentów x1 , x2 z tego zbioru warunek x1 < x2 pociąga za sobą 2 nierówność x12 < x2 2 oznaczającą, że f (x1) < f (x2 ) . Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności 3 Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową w zbiorze X, jeżeli różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji, tj. warunek x1 ą x2 pociąga za sobą warunek f (x1) ą f (x2 ) dla każdej pary argumentów x1 , x2 ze zbioru X. Uwaga. Każda funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa. 4 Przykład 3. Zbadać różnowartościowość funkcji danej wzorem f (x) = . x Rozwiązanie. Funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie D = R \ {0} ponieważ z faktu, że x1 ą x2 4 4 wynika zależność ą , czyli f (x1) ą f (x2 ) . x1 x2 Niech f : X Y będzie funkcją odwzorowującą pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych R. Funkcję tę nazywać będziemy ograniczoną z dołu na zbiorze X , jeżeli wartości funkcji dla argumentów x X spełniają warunek f (x) ł m , gdzie m jest pewną liczbą. Podobnie funkcję nazywać będziemy ograniczoną z góry na zbiorze X , jeżeli wartości funkcji dla argumentów x X spełniają warunek f (x) Ł M , gdzie M jest pewną liczbą. W przypadku, gdy funkcja jest ograniczona z dołu i z góry, to nazywamy ją ograniczoną na zbiorze. Powyższe pojęcia ilustruje rys.4. Uwaga. Wykres funkcji ograniczonej z dołu na zbiorze X leży powyżej pewnej prostej poziomej y = m , dla x X . Wykres funkcji ograniczonej z góry na zbiorze X leży poniżej pewnej prostej poziomej y = M . y=M Y Y Y y=M y = f (x) y = f (x) y = f (x) O X y=m X X y=m O O funkcja ograniczona funkcja ograniczona z góry funkcja ograniczona z dołu Rys. 4. Zbiór D R nazywamy symetrycznym względem zera, jeżeli warunek x D pociąga za sobą warunek (-x) D . Przykład 4. Jeżeli a > 0 , to zbiory ( - a ; a ), (-Ą; - a a ; + Ą ) są symetryczne względem zera, a zbiór ( - a ; a nie. Jeżeli zbiór D stanowiący dziedzinę naturalną funkcji f jest symetryczny względem zera oraz f (-x) = f (x) dla każdego x D , to funkcję f nazywamy parzystą , jeżeli natomiast f (-x) = - f (x) dla każdego x D , to funkcję f nazywamy nieparzystą . Funkcję f nazywamy okresową o okresie T ą 0 , jeżeli warunek x D pociąga za sobą warunek (x + T ) D oraz f (x + T ) = f (x)] dla każdego x D . Najmniejszą liczbę dodatnią T będącą okresem funkcji okresowej nazywamy okresem podstawowym. Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności 4 Wprowadzone wyżej pojęcia zostały zilustrowane na rys.5. Y Y f (x) f (x) = f (x + T) Y X x -x X f (-x) = f (x) X x x+T f (-x) = - f (x) -x x funkcja nieparzysta funkcja parzysta funkcja okresowa Rys. 5. Uwagi 1. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, funkcji nieparzystej - symetryczny względem początku układu. 2. Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Są to funkcje, których wykresy nie spełniają żadnego z podanych wcześniej warunków. x2 Przykład 5. Zbadać parzystość funkcji a) f (x) = x3 + 3x , b) f (x) = . x2 -1 Rozwiązanie. a) Dziedziną funkcji jest D = R , czyli zbiór symetryczny względem zera. Ponieważ f (-x) = (-x)3 + 3(-x) = -(x3 + 3x) = - f (x) dla każdego x R , to funkcja jest nieparzysta. b) Dziedziną funkcji jest D = (- Ą ; -1) ( -1;1) (1; + Ą ) , czyli podzbiór osi liczbowej symetryczny (-x)2 x2 względem zera. Jednocześnie f (-x) = = = f (x) dla każdego x D . Oznacza to, że (-x)2 -1 x2 -1 funkcja jest parzysta. 3. Funkcja odwrotna Niech f będzie funkcją różnowartościową, której dziedziną (niekoniecznie naturalną) jest zbiór X , a przeciwdziedziną zbiór Y. Wówczas w zbiorze Y, można w naturalny sposób, określić funkcję przyporządkowującą każdemu y Y ten jedyny x X , któremu funkcja f przyporządkowała y (rys.6). -1 Otrzymaną w ten sposób funkcję nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy symbolem f . -1 -1 Tak więc, jeżeli f : X Y , to f :Y X oraz gdy f (x) = y , to f (y) = x . f Y X -1 f Rys. 6. -1 Uwaga. Funkcję odwrotną najczęściej zapisuje się w postaci y = f (x) . Zapis ten dostosowany jest do pewnej tradycji matematycznej, w której przyjęło się argumenty funkcji oznaczać przez x, a wartości funkcji przez y. W praktyce oznacza to, że aby znalezć wzór funkcji odwrotnej do funkcji danej wzorem y = f (x) (o ile funkcja odwrotna istnieje) należy we wzorze y = f (x) zamienić ze sobą zmienne x i y, a następnie otrzymane równanie x = f ( y) rozwiązać względem y (albo najpierw rozwiązać równanie y = f (x) względem x , a potem zamienić zmienne). Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności 5 -1 Przykład 6. Wyznaczyć w postaci y = f (x) funkcję odwrotną do funkcji danej wzorem 2x - 4 y = f (x) = . x - 3 2y - 4 Rozwiązanie. Zamieniając zmienne we wzorze danej funkcji otrzymujemy równanie x = , którego y - 3 3x - 4 rozwiązaniem względem y jest y = . Zatem funkcja odwrotna określona jest wzorem x - 2 3x - 4 -1 y = f (x) = . Zauważmy, że dziedziną danej funkcji, a tym samym przeciwdziedziną odwrotnej jest x - 2 D = R \ ( 3}, natomiast przeciwdziedziną danej, czyli dziedziną odwrotnej jest D-1 = R \ ( 2}. -1 Przykład 7. Wyznaczyć w postaci y = f (x) funkcję odwrotną do funkcji y = f (x) = 3x + 2 . Sporządzić na jednym rysunku wykresy obu funkcji. Rozwiązanie. Dana funkcja jest funkcją różnowartościową o dziedzinie X = R i przeciwdziedzinie Y = R . Funkcja posiada więc funkcje odwrotną . Y Zamieniając zmienne we wzorze danej funkcji otrzymujemy y = x y = 3x + 2 równanie x = 3y + 2 , którego rozwiązaniem względem y 1 2 2 jest y = x - . 3 3 1 2 y = x - -1 2 3 3 Oznaczając otrzymaną funkcję przez f (x) otrzymujemy - 3 1 2 -1 f (x) = y = x - . 2 3 3 X 2 - Wykresy obu funkcji przedstawione zostały na rys.7. 3 Rys. 7. Uwaga. Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej y = x . 4. Funkcje złożone Niech f : X R, g :U R (patrz rys.38.) przy czym zbiór X = { x X : f (x)U } jest niepusty. 0 Na zbiorze X można z pomocą funkcji f i g określić funkcję wzorem: h(x) = g( f (x)) . Tę nową funkcję 0 nazywać będziemy złożeniem funkcji g i f i oznaczać symbolem g o f . Tak więc h(x) = (g o f )(x) = g( f (x)) . f R g R R X U y x u X 0 h = g o f Rys. 8. Uwaga. Aby obliczyć g( f (x)) należy argument we wzorze funkcji g zastąpić wyrażeniem f (x) . Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności 6 Przykład 8. Niech f : R R, g : R R będą funkcjami określonymi wzorami: f (x) = x2 + 3, g(x) = x cos x . Wyznaczyć funkcje g o f , f o g, f o f . Rozwiązanie. (g o f )(x) = g( f (x)) = g(x2 + 3) = (x2 + 3)cos(x2 + 3) , ( f o g)(x) = f (g(x)) = f (x cos x) = x2 cos2 x + 3 , ( f o f )(x) = f ( f (x)) = f (x2 + 3) = (x2 + 3)2 + 3. Przy wyznaczaniu dziedziny funkcji złożonej należy zapewnić spełnienie m.in. następujących warunków: Postać funkcji Warunek wyznaczający dziedzinę p(x) f (x) = u(x) ą 0 u(x) u(x) ł 0 f (x) = u(x) u(x) > 0 f (x) = loga u(x) f (x) = arcsin u(x) -1Ł u(x) Ł1 Przykład 9. Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a) f (x) = - x2 + 4x , b) f (x) = ln(x3 - 3x2 + 2x) , - x2 - x + 2 c) f (x) = . x - 2 Rozwiązanie. y = -x(x - 4) X a) Wzór określający funkcję ma sens, gdy wyrażenie + + _ _ _ podpierwiastkowe jest nieujemne. D = { x R : - x2 + 4x ł 0}. f 0 4 Rozwiązując nierówność otrzymujemy - x(x - 4) ł 0 . Szkic Rys. 9. wykresu trójmianu występującego po lewej stronie tej nierówności przedstawia rys.9. Stąd D = 0; 4 . f b) Funkcja jest określona, gdy wyrażenie logarytmowane jest dodatnie. Zatem D = { x R : x3 - 3x2 + 2x > 0}. Rozkładając na czynniki występujący po lewej stronie tej nierówności f wielomian dostajemy kolejno W (x) = x3 - 3x2 + 2x = x(x2 - 3x + 2) = x(x -1)(x - 2) . Szkic wykresu tego wielomianu przedstawia rys.10. Na jego podstawie stwierdzamy, że D = ( 0;1) ( 2; + Ą ) . f y = W(x) + + _ _ _ _ 0 1 2 X Rys. 10. c) Z określenia pierwiastka kwadratowego wynika, że wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne, z określenia funkcji wymiernej, że mianownik jest różny od zera. Zatem - x2 - x + 2 D = { x R ; ł 0 Ł x - 2 ą 0 }. Otrzymany układ nierówności jest w zbiorze R \{- 2} x - 2 równoważny nierówności: (-x2 - x + 2)(x - 2) ł 0 . Lewa strona tej nierówności jest wielomianem . Pierwiastkami jednokrotnymi tego wielomianu są: x1 =1, x2 = -2 oraz x3 = 2 . Na tej podstawie sporządzamy szkic wykresu przedstawiony na rys.11. Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności 7 y = W(x) X Zbiorem rozwiązań nierówności, a tym samym + + _ _ _ _ _ dziedziną funkcji jest D = (- Ą ; - 2 1; 2) . f 1 2 -2 Rys. 11. 5. Przekształcenia wykresów funkcji Wykres funkcji powstaje z wykresu funkcji y = f (x) przez y = f (x - a) przesunięcie o wektor [ a , 0 ] (przesunięcie wzdłuż osi OX o a jednostek) y = f (x) + A przesunięcie o wektor [ 0, A] (przesunięcie wzdłuż osi OY o A jednostek) y = f (-x) symetryczne odbicie względem osi OY y = - f (x) symetryczne odbicie względem osi OX symetryczne odbicie względem osi OX tej części wykresu funkcji y = f (x) , która y = f (x) leży poniżej osi OX i pozostawieniu bez zmian tej części, która leży powyżej. Przykład 10. Dokonując odpowiedniego przekształcenia wykresu funkcji y = x3 naszkicować wykresy funkcji: y = (x + 2)3 , y = x3 - 3 , y = -x3 , y = x3 . Rozwiązanie. Linią przerywaną na rys.12. naszkicowano wykres danej funkcji y = x3 . Wykres funkcji y = (x + 2)3 powstał z wykresu danej przez przesunięcie wzdłuż osi OX o 2 jednostki w lewo, wykres funkcji y = x3 - 3 przez przesunięcie w dół o 3 jednostki, wykres funkcji y = -x3 przez symetryczne odbicie względem osi OX, wykres funkcji y = x3 przez symetryczne odbicie względem osi OX tej części wykresu danej funkcji, która leżała poniżej osi OX i pozostawieniu bez zmian tej części, która znajdowała się powyżej. Y Y Y Y 8 y = x3 y = (x + 2)3 3 y = - x X X X X 2