Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III Zginanie ze ścinaniem WYKAAD 9 Literatura Rozdz. V, str. 91, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania). str. 11, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów. Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W09A/1 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki grubościenne, założenia " zginanie proste w głównych centralnych osiach " w przekroju działają moment i siła tnąca bezwładności Sx,Sy, Jxy=0; np. M ,Ty`" 0, (stan złożony); x WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/2 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki grubościenne, założenia " siła tnąca Ty nie wpływa na rozkład naprężeń normalnych (x, y) (rozsądne przy h L d"1 5, wówczas błąd <1%); " na prostych y=ył (ustalone) równoległych do x (oś zerowa) naprężenia styczne od ścinania są stałe (x, ył ) = const (po szerokości). WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/3 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki grubościenne, naprężenia styczne (x, y) = (Ty ) " z warunku równowagi Ł Z = 0 dla wycinka dz i części przekroju &! ( ył ) " A odciętej płaszczyzną y = ył (ustalone) na szerokości b(ył ) otrzymuje się d ( +d )dA - dA - (ył )b( ył )dz =0 /:dz ! dA - (ył )b(ył ) = 0, +"+" +" &! &! &! dz M d M y Tx Ty x x uwzględniając zróżniczkowane = y po z , a więc == y mamy ydA -łbł = 0 ! +" Jx dz dz Jx Jx Jx &! ł TySx ł ł = , gdzie Sx = Sx(ył ) = y dA +" &! ( ył ) Jxbł ł Sx = Sx(ył ) jest momentem statycznym wz. osi x odciętej części przekroju &! (ył ); Przeważnie maksymalne naprężenia styczne występują dla środka ciężkości, bowiem max Sx= Sx|y =0, ł ł ostatecznie jednak, gdzie decyduje maksimum ilorazu Sx /bł . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/4 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki grubościenne, przykład przekrój prostokątny ł TySx ł ł = , Sx = Sx(ył ) = y dA +" &! ( ył ) Jxbł moment bezwładności przekroju A = b h wz. osi x 1 Jx= bh3, 12 moment statyczny pola &! (ył ) względem osi x ł 2 1 1 Sx = &! (ył )" y&! = b(1 h - ył )"(1 h + ył ) = b(1 h2 - ył ), 24 2 2 4 pole &! (ył ) = b(1 h - ył ): 2 naprężenia styczne (od ścinania) położenie środka ciężkości obszaru &! (ył ): ł 2 TySx Ty 1 b(1 h2 - ył ) 6Ty 2 4 2 ł == = (1 h2 - ył ). 1 1 1 1 y&! = ył + (1 h - ył ) = h + ył Jxbł b bh3 bh3 4 2 2 4 2 12 3Ty maksymalne naprężenia styczne w środka ciężkości (max Sx= Sx|y =0): max=|y =0 = . ł ł 2A WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/5 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki grubościenne, przykład przekrój kołowy ł TySx ł ł = , Sx = Sx(ył ) = y dA +" &! ( ył ) Jxbł 1 moment bezwładności Jx = Ąr4 przekroju kołowego A = Ąr2 wz. osi x , 4 ył (Ć) moment statyczny pola &! względem osi x () 11 ĄĄ 22 ł 2 Sx = y dA = r sin Ć 2r2cos2 Ć dĆ = 2r3 sin Ć cos2Ć dĆ = r3 cos3Ćł , 3 +"+" +"
Ćł Ćł &! ( ył ) y dA pole dA(Ć) = b(Ć)" dy(Ć): naprężenia styczne (od ścinania) ł b(Ć) = 2r cosĆ, TySx Ty 2 r3 cos3Ćł 4Ty 3 ł == = cos2Ćł . y(Ć) = r sin Ć, Jxbł 1 Ąr4 2r cosĆ 3A 4 dy(Ć) = r cosĆ dĆ, maksymalne naprężenia styczne w środka ciężkości (max Sx= Sx|Ć =0): ł 4Ty dA(Ć) = 2r2 cos2 Ć dĆ, max=|y =0=|Ć =0= . łł 3A uwaga d (cos3 Ć) = 3cos2 Ćsin2 Ć. dĆ WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/6 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki cienkościenne, założenia " w przekroju działają 2 momenty + 2 siły tnące (M ,M ; Tx,Ty ) x y zginanie ukośne ze ścinaniem (stan złożony); " główne centralne osie bezwładności Sx,Sy, Jxy=0; " siły tnące Tx , Ty nie wpływa na rozkład naprężeń normalnych (x, y) ; " naprężenia styczne (s) stałe na grubości ścianki (s), " s - współrzędna bieżąca). WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/7 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki cienkościenne, naprężenia styczne (x, y) = (Tx,Ty ) " równanie równowagi Ł Z = 0 elementarnej objętości (ds dz) " " " " #ś# # dz ds + dsś# dz = 0 ! (s) + (s) = 0, ś#ź#ś#ź# "z "s "z "s # ## # sł " " całka po s w przekroju ł daje łł =- ds +00 , (0 = 0), +" 0 "z M dM M dM y y x x " różniczkując =- x + y po z , uwzględniając: =Ty , =-Tx , J Jx dz dz y Ty sł Tx sł mamy łł =- yds - xds stąd +"+" Jx 00 J y ł TySx TxSł y ł " naprężenia ł =- - , gdzie Sx = ydA, Sł = xdA momenty statyczne części &!ł =&! (sł ). y +" +" &!ł &!ł Jxł J ł y " uwaga dla > 0 wektor jest zgodny z kierunkiem s. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/8 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki cienkościenne, środek skręcania (zginania) środek skręcania jest to punkt w płaszczyznie przekroju (cecha geometryczna), w którym winna działać siła tnąca aby pręt był tylko zginany, w przeciwnym razie obok zginania wystąpi również skręcanie: " dla przekroju o osi symetrii - leży na tej osi, " dla dwóch osi symetrii - pokrywa się ze środkiem ciężkości, " dla przekrojów gwiazdzistych - pokrywa się ze środkiem gwiazdy, (krzyżują się strumienie naprężeń stycznych, wypadkowe z ramion np.: kątownik, teownik, krzyżak). WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/9 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki cienkościenne, przykład ceownik cienkościenny (b,b , h,h i Ty `"0, Tx=0) 1 ł półka Sx = hbs ! 2 Tyhsb łł =- rozkład liniowy 2Jx (0) brzeg b =|s =0= 0, Tyhb (1) naroże b =|s =b = - , 2Jx WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/10 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki cienkościenne, przykład h / 2 111 ł półki środnik Sx = Sx + h ydy = hbb + hh2 - h(ył )2 (parabola), +" ył 282 b (1) (1) naroże h =| = b h ył = h 2 Tyh2 (1) max max=|y =0=h - ł 8Jx rozkład naprężeń, wypadkowe: (1) Tyhb2b b bb z naprężeń półki (pozioma) tb == , 24Jx z naprężeń środnika (pionowych) th= Ty , WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/11 Wytrzymałość Materiałów zginanie ze ścinaniem belki cienkościenne, przykład położenie środka ścinania xą , warunku zerowania się momentów od (sł ), (punkt ą ) tbh h2b2b tbh - thxą = 0 ! xą = = th 4Jx xą mierzone od linii środkowej środnika. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/12 Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III Dziękuję za uwagę cdn. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów