Analiza matematyczna 1/Wykład 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej - Studia Informatyczne
/**/
/**/
Analiza matematyczna 1/Wykład 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej
From Studia Informatyczne < Analiza matematyczna 1
Spis treści [schowaj]
1 Pochodna funkcji jednej zmiennej 2 Pochodna: interpretacja fizyczna i geometryczna 3 Twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych 4 Pochodne funkcji określonych za pomocą szeregów potęgowych 5 Pochodna logarytmu 6 Porównanie pochodnych funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych 7 Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne 8 Twierdzenie o wartości średniej
if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); } [Edytuj]Pochodna funkcji jednej zmiennej Definiujemy pochodną funkcji i podajemy jej interpretację fizyczną i geometryczną. Wyznaczamy pochodne funkcji elementarnych. Wykazujemy podstawowe własności funkcji różniczkowalnych, w tym twierdzenie Rolle'a, Cauchy'ego i twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej. Związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji pozwala na sformułowanie warunku koniecznego i wystarczającego istnienia ekstremum.
[Edytuj]Pochodna: interpretacja fizyczna i geometryczna Z pojęciem pochodnej zetknęliśmy się po raz pierwszy w szkole na lekcjach fizyki. Wyznaczając prędkość średnią pewnego obiektu poruszającego się po prostej, dzielimy drogę, jaką przebył w określonym czasie, przez długość tego odcinka czasu:
gdzie oznacza drogę, jaką obserwowany obiekt przebył w czasie . Następnie spostrzegliśmy, że pomiar prędkości jest tym lepszy i bardziej adekwatny do stanu obiektu w określonej chwili, im odcinek czasu pomiędzy kolejnymi chwilami a jest krótszy. Granicę ilorazu
nazywamy prędkością chwilową lub - krótko - prędkością obiektu w chwili i tradycyjnie oznaczamy symbolem lub
to ostatnie oznaczenie pochodnej jest często stosowane w równaniach różniczkowych. Niech będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych określoną w przedziale otwartym .
Styczna (na czerwono) jest granicznym polozeniem siecznej (na zielono)
Definicja 9.1.
Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie , jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego
Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem: lub . Funkcję , która argumentowi przyporządkowuje wartość pochodnej funkcji w punkcie nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną funkcji .
Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji .
Uwaga 9.2.
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła. Skoro iloraz różnicowy ma granicę przy , to licznik musi zmierzać do zera, stąd jest
ciągła w punkcie . Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Przykład 9.3.
Rozważmy funkcję określoną na . Funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie . Natomiast nie jest różniczkowalna w jednym punkcie - w punkcie , gdyż
Funkcja jest więc różniczkowalna w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktu , gdyż nie istnieje granica ilorazu przy . W pozostałych punktach mamy , gdzie
oznacza funkcję signum (znak liczby). Dziedzina pochodnej jest podzbiorem właściwym dziedziny funkcji ,tj. (to znaczy: i ).
Wykres sumy czesciowej szeregu definiujacego funkcje g w przykładzie 9.4
Zwróćmy uwagę, że iloraz różnicowy
jest równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej wykresu funkcji przechodzącej przez punkty oraz , jest równy tangensowi kąta, jaki sieczna ta tworzy z osią rzędnych. Gdy zmierza do zera, punkt zbliża się do punktu . Jeśli istnieje pochodna , to prostą o równaniu
będącą granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty oraz , nazywamy styczną do wykresu funkcji w punkcie . Pochodna jest więc współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie . Nietrudno podać przykład funkcji ciągłej, która nie jest różniczkowalna w skończonej liczbie punktów, np. w punktach . Wystarczy bowiem rozważyć np. sumę
gdzie są stałymi różnymi od zera. Pochodna
istnieje w każdym punkcie zbioru , czyli wszędzie poza zbiorem . Skonstruujmy funkcję, która jest ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru liczb rzeczywistych. Przykład 9.4.
Rozważmy wpierw funkcję . Pamiętamy (zob. ćwiczenia do modułu drugiego), że funkcja ta jest określona na , parzysta, okresowa o okresie , przy czym dla zachodzi równość . Można wykazać, że funkcja określona za pomocą nieskończonego szeregu
jest określona na , parzysta i okresowa o okresie , ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru . [Edytuj]Twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych W praktyce większość funkcji elementarnych, którymi posługujemy się, jest różniczkowalna. Wyznaczmy pochodne kilku z nich, posługując się definicją i znanymi wzorami. Przykład 9.5.
a) Funkcja stała określona w przedziale jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału i ma pochodną równą zeru, gdyż iloraz różnicowy będąc stale równy zeru, zmierza do zera. b) Jeśli jest stałą i istnieje , to istnieje pochodna iloczynu (innymi słowy: stałą można wyłączyć przed znak pochodnej). Mamy bowiem
przy . c) Jednomian jest różniczkowalny w każdym punkcie i . Na mocy wzoru dwumianowego Newtona mamy bowiem
d) Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie , ponieważ iloraz różnicowy
zmierza do , gdyż oraz przy . e) Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie, ponieważ iloraz różnicowy
zmierza do , gdyż oraz przy .
Zwróćmy uwagę, że dotychczas nie podaliśmy precyzyjnych definicji funkcji sinus oraz cosinus, bazując na własnościach tych funkcji, poznanych w szkole w oparciu o własności liczb , , gdy jest kątem trójkąta. W szczególności skorzystaliśmy ze znanego faktu, że istnieje granica . Formalnie istnienie tej granicy należy wykazać po podaniu definicji funkcji sinus. Wykażemy teraz szereg prostych uwag, pozwalających efektywnie wyznaczać pochodną.
Twierdzenie 9.6.
Niech będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym . Niech . Jeśli istnieją pochodne oraz , to
Dowód 9.6.
a) Wobec założenia o istnieniu oraz iloraz różnicowy
- na mocy twierdzenia o granicy sumy - ma granicę i jest ona równa b) Funkcja jest ciągła w punkcie , gdyż jest w tym punkcie różniczkowalna, więc . Wobec istnienia pochodnych oraz iloraz różnicowy
zmierza przy do granicy . c) Jeśli tylko , to - wobec ciągłości funkcji w punkcie i istnienia - iloraz różnicowy
zmierza do granicy przy . d) Zauważmy, że . Na podstawie wykazanego już twierdzenia o pochodnej iloczynu i pochodnej odwrotności istnieje pochodna
Zastosujmy powyższe twierdzenie do wyznaczenia pochodnych kolejnych funkcji elementarnych. Przykład 9.7.
a) Pamiętając, że tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa, możemy łatwo wyznaczyć pochodną funkcji tangens:
b) W podobny sposób wyznaczamy pochodną funkcji cotangens:
c) Niech będzie funkcją wielomianową. Na mocy uwagi o pochodnej jednomianu i twierdzenia o pochodnej sumy w każdym punkcie zbioru istnieje pochodna
Niech i będą funkcjami takimi, że zbiór zawiera obraz przedziału przez funkcję .
Twierdzenie 9.8.
Jeśli istnieje pochodna i istnieje pochodna , gdzie , to istnieje pochodna złożenia i jest równa iloczynowi pochodnych, tzn.
Dowód 9.8.
Niech , gdzie . Wobec ciągłości funkcji w punkcie mamy zbieżność , gdy . Iloraz różnicowy
zmierza więc do przy , gdyż , gdy , zaś , gdy .
Twierdzenie 9.9.
Niech będzie funkcją odwrotną do funkcji . Niech . Jeśli istnieje pochodna , to funkcja jest różniczkowalna w punkcie i zachodzi równość:
Dowód 9.9.
Niech i niech , . Funkcja jest ciągła w punkcie , gdyż jest w tym punkcie różniczkowalna, więc , gdy . Stąd istnieje granica ilorazu różnicowego
Przykład 9.10.
Funkcja jest odwrotna do funkcji , stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy
[Edytuj]Pochodne funkcji określonych za pomocą szeregów potęgowych Augustin Louis Cauchy (1789-1857)Zobacz biografię Naturalnym uogólnieniem wielomianu (sumy skończonej ilości jednomianów) jest szereg potęgowy
o środku w punkcie i współczynnikach . Własności szeregów potęgowych omówimy szerzej w ramach analizy matematycznej 2, pomijamy więc w tej chwili szczegółowe dowody. Aby uprościć wypowiedzi potrzebnych twierdzeń, zakładamy, że istnieje granica (tj. skończona lub równa ). Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów, można wykazać
Szereg potęgowy jest zbieżny w przedziale otwartym , gdzie
Jeśli , przyjmujemy ; jeśli zaś , przyjmujemy .
Liczbę nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Można wykazać następujące
Twierdzenie 9.12.
Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału otwartego , gdzie jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Pochodną tej funkcji wyraża szereg potęgowy
Innymi słowy: szereg potęgowy można różniczkować wewnątrz przedziału, w którym jest zbieżny, a jego pochodną jest szereg pochodnych jego składników. Zastosujmy twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego do wyznaczenia pochodnej funkcji wykładniczej oraz funkcji sinus i cosinus, które definiuje się za pomocą szeregów potęgowych. Wniosek 9.13.
Funkcje
są różniczkowalne w każdym punkcie , przy czym
Dowód 9.13.
Promień zbieżności każdego z powyższych szeregów definiujących odpowiednio funkcje sinus i cosinus równy jest nieskończoności, ponieważ . Aby przekonać się o tym, możemy na przykład zastosować oszacowanie
z którego mamy
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach istnieje więc granica . Stąd w całym przedziale możemy stosować twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego i mamy
W podobny sposób dowodzimy dwóch pozostałych równości: oraz .
Oszacowanie
można wykazać indukcyjnie (szczegóły dowodu znajdują się np. w podręczniku Leona Jeśmianowicza i Jerzego Łosia Zbiór zadań z algebry, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, wyd.VII, Warszawa 1976). Uogólnieniem tego oszacowania jest
Twierdzenie 9.14. [twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba (zależna od wyboru liczby ) taka, że zachodzi równość
Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych czynnik , stąd
W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet przybliżeniem
lub (pamiętając, że ) oszacowaniem , dla które wykorzystaliśmy do wyznaczenia promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję . [Edytuj]Pochodna logarytmu Funkcja jest odwrotna do funkcji . Stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy
Uwaga 9.15. [wzór na pochodną logarytmu naturalnego]
Zauważmy też, że pochodna , dla . Oznaczmy symbolem wartość bezwzględną liczby . Na mocy twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji mamy równość
Ogólnie:
Uwaga 9.16.
Jeśli jest funkcją różniczkowalną w punkcie i , to istnieje pochodna złożenia w punkcie i jest równa .
Przykład 9.17.
Mamy
a także Wniosek 9.18.
Pochodną funkcji wyznaczymy, różniczkując złożenie iloczynu funkcji z funkcją wykładniczą .
Przykład 9.19.
a) Wyznaczmy pochodną funkcji wykładniczej o podstawie . Mamy , więc
czyli . b) Wiemy już, że , gdy jest liczbą naturalną. Korzystając z równości jesteśmy także w stanie wykazać, że , gdy jest dowolną liczbą rzeczywistą. Mamy bowiem
[Edytuj]Porównanie pochodnych funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych Wprost z definicji funkcji hiperbolicznych, które poznaliśmy w drugim module, korzystając z faktu, że pochodna , wyprowadzamy Wniosek 9.20.
Wzory na pochodne funkcji hiperbolicznych
Dowodząc dwóch ostatnich wzorów, skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz z tożsamości , zwanej jedynką hiperboliczną. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej i powyższych wzorów, możemy łatwo wykazać, że
oraz Szczegółowe obliczenia przeprowadzimy w ramach ćwiczeń.
Uwaga 9.21.
Otrzymane wzory warto zestawić i porównać ze wzorami określającymi pochodne funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych.
[Edytuj]Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne Niech będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i niech . Oznaczmy przez odległość punktów . Definicja 9.22.
Mówimy, że funkcja osiąga maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie , jeśli istnieje pewne otoczenie punktu , w którym wartości funkcji są nie większe (odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji w punkcie , to znaczy
odpowiednio: Jeśli ponadto w pewnym sąsiedztwie punktu funkcja przyjmuje wartości mniejsze (odpowiednio: większe) od wartości funkcji w punkcie , co zapisujemy:
odpowiednio: to mówimy, że funkcja osiąga silne (ścisłe) maksimum lokalne (odpowiednio: silne (ścisłe) minimum lokalne) w punkcie . Jeśli (odpowiednio: ) - to znaczy: jeśli w punkcie funkcja osiąga kres górny wartości (odpowiednio: kres dolny wartości) w zbiorze , to mówimy, że funkcja osiąga w punkcie maksimum globalne (odpowiednio: minimum globalne). Minima i maksima lokalne (odpowiednio: minima i maksima globalne) nazywamy też krótko ekstremami lokalnymi (odpowiednio: ekstremami globalnymi) funkcji.
Przykład 9.23.
Funkcja zawężona do przedziału osiąga minimum lokalne w punkcie równe . Funkcja ta osiąga dwa maksima lokalne w punktach oraz równe odpowiednio: oraz . Kresem górnym wartości funkcji w przedziale jest liczba 4, stąd w punkcie funkcja osiąga maksimum globalne. Kresem dolnym wartości funkcji jest liczba zero, stąd w funkcja osiąga minimum globalne. Z kolei zawężona do przedziału lewostronnie otwartego osiąga minimum globalne w punkcie , a w punkcie osiąga maksimum globalne. Nie osiąga ekstremum w punkcie , gdyż nie jest określona w tym punkcie. Zawężenie funkcji do przedziału obustronnie otwartego osiąga minimum globalne w punkcie i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. W przedziale nie osiąga bowiem maksimum. Kres górny zbioru wartości funkcji w przedziale wynosi , kres ten nie jest realizowany przez żadną wartość funkcji, to znaczy nie istnieje argument taki, że .
Wykażemy teraz twierdzenie stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie, w którym jest ona różniczkowalna. Niech będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu .
Twierdzenie 9.24.
Jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie i jest różniczkowalna w punkcie , to pochodna .
Dowód 9.24.
Załóżmy, że w punkcie funkcja osiąga maksimum lokalne. Wobec tego istnieje liczba taka, że dla mamy
natomiast dla mamy
Wobec istnienia pochodnej , istnieją granice powyższych ilorazów różnicowych
oraz
i muszą być równe. Stąd . W przypadku, gdy w punkcie funkcja osiąga minimum, rozumowanie przebiega podobnie.
Zwróćmy uwagę, że w twierdzeniu nie zakładaliśmy ciągłości funkcji w otoczeniu punktu . Pamiętamy, że z faktu istnienia pochodnej wynika ciągłość funkcji w punkcie .
Rysunek do twierdzenia 9.25.
Twierdzenie 9.25. [twierdzenie Rolle'a]
Niech będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości , to istnieje punkt , w którym zeruje się pochodna funkcji .
Dowód 9.25.
Jeśli funkcja jest stała, to w każdym punkcie mamy . Jeśli natomiast nie jest stała, to z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że w pewnym punkcie funkcja osiąga kres górny lub kres dolny. Na podstawie poprzedniego twierdzenia pochodna w tym punkcie zeruje się, tj. .
Twierdzenie Rolle'a (zgodnie z interpretacją geometryczną pochodnej) orzeka, że jeśli funkcja różniczkowalna w przedziale przyjmuje na końcach przedziału (w którym jest ciągła) tę samą wartość, to między punktami i da się znaleźć punkt taki, że styczna do wykresu funkcji w punkcie jest pozioma, tj. równoległa do osi rzędnych. Twierdzenie Rolle'a wymaga założenia o ciągłości funkcji w przedziale domkniętym i różniczkowalności we wszystkich punktach przedziału .
Rysunek do przykładu 9.26.
Przykład 9.26.
Funkcja
jest określona na przedziale domkniętym i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, gdyż
Stąd w żadnym punkcie przedziału pochodna nie zeruje się, mimo że na końcach tego przedziału funkcja przyjmuje takie same wartości: . Twierdzenie Rolle'a nie zachodzi w tym przypadku, funkcja nie jest bowiem ciągła w punkcie . Przykład 9.27.
Funkcja jest ciągła w przedziale i na jego końcach osiąga równe wartości. Jest także różniczkowalna we wnętrzu tego przedziału z wyjątkiem tylko jednego punktu , w którym nie istnieje pochodna . Twierdzenia Rolle'a również w tym przypadku nie stosuje się, gdyż - jak pamiętamy - dla mamy
a więc nie ma w zbiorze takiego punktu, w którym zerowałaby się pochodna .
W szczególności nie istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie . Dziedzina pochodnej jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji . Z twierdzenia 9.24. wynika, że jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie , to . Jednak funkcja może osiągać również ekstrema w tych punktach, w których nie istnieje pochodna, tzn. w punktach zbioru . Definicja 9.28.
Niech . Mówimy, że punkt jest punktem krytycznym funkcji , jeśli funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie albo jest w tym punkcie różniczkowalna i pochodna . Zbiór punktów
nazywamy zbiorem punktów krytycznych funkcji . Wiemy (zob. przykład 9.4.), że funkcja może nie być różniczkowalna w kilku punktach, a nawet w żadnym punkcie swojej dziedziny, mimo że jest ciągła. Badając przebieg zmienności funkcji, nie możemy więc zawężać poszukiwania punktów ekstremalnych wyłącznie do tych punktów, w których funkcja jest różniczkowalna. Uwaga 9.29.
Jeśli funkcja osiąga ekstremum w pewnym punkcie, to punkt ten jest jej punktem krytycznym.
Dowód 9.29.
Funkcja może osiągać ekstremum w punkcie, który należy do dziedziny pochodnej albo do różnicy dziedziny funkcji i dziedziny jej pochodnej . W przypadku, gdy , na mocy twierdzenia 9.24. mamy
, punkt jest więc krytyczny. Z kolei, jeśli , to punkt jest krytyczny, z definicji 9.28..
Zauważmy, że powyższa uwaga doprecyzowywuje warunek konieczny istnienia ekstremum zawarty w twierdzeniu 9.24. w przypadku, gdy funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie, w którym osiąga ekstremum. Co więcej, funkcja może osiągać ekstremum w punkcie, w którym nie jest nawet ciągła (zob. przykład poniżej). Punkt taki - na mocy uwagi uwagi 9.2. - należy do zbioru , jest więc krytyczny.
Rysunek do przykładu 9.30.
Rysunek do przykładu 9.32.
Przykład 9.30.
a) Funkcja określona jest w zbiorze , a różniczkowalna w . Jedynym punktem krytycznym jest punkt , w którym osiąga minimum. b) Funkcja
różni się od poprzedniej funkcji jedynie wartością w zerze, nie jest w tym punkcie ciągła. Pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny . Jedynym punktem krytycznym funkcji jest więc zero, w którym funkcja ta osiąga silne maksimum lokalne, gdyż dla mamy .
Przykład 9.31.
Funkcja zacieśniona do przedziału domkniętego jest różniczkowalna w przedziale otwartym . W każdym punkcie mamy . Stąd jedynymi punktami krytycznym są punkty , czyli końce przedziału domkniętego. W punkcie funkcja osiąga minimum , a w maksimum . Przykład 9.32.
Funkcja określona jest na przedziale domkniętym , a jej pochodna istnieje w punktach przedziału otwartego . Pochodna zeruje się w punkcie . Stąd zbiór punktów krytycznych funkcji składa się z trzech punktów: . Funkcja osiąga w punkcie maksimum , a w dwóch pozostałych punktach krytycznych osiąga minima . Zwróćmy uwagę, że w obu tych punktach pochodna nie istnieje. Co więcej, granice jednostronne pochodnej :
są nieskończone.
Przykład 9.33.
Funkcja określona jest dla . Stąd Jej pochodna określona jest w sumie przedziałów otwartych . Zwróćmy uwagę, że pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny. Jednak zbiór punktów krytycznych funkcji zawiera dwa punkty: oraz , w których funkcja osiąga minima
. W punktach zbioru funkcja nie musi osiągać ekstremum, co ilustrują kolejne przykłady. Przykład 9.34.
Każdy punkt przedziału jest punktem krytycznym funkcji Dirichleta
gdyż nie jest ona różniczkowalna (ani nawet ciągła) w żadnym punkcie tego przedziału. Jednak w żadnym punkcie przedziału (ani w punkcie wymiernym, ani w niewymiernym) funkcja Dirichleta nie osiąga ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu znajdziemy punkty wymierne i niewymierne, w których funkcja przyjmuje skrajnie różne wartości: albo jeden, albo zero.
Rysunek do przykładu 9.33.
Rysunek do przykładu 9.35.
Przykład 9.35.
Funkcja określona jest dla wszystkich liczb rzeczywistych, stąd . Jej pochodna
nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny . Funkcja jest nieparzysta, ściśle rosnąca, nie osiąga więc ekstremum w żadnym punkcie swojej dziedziny, również w , mimo że jest to punkt krytyczny tej funkcji.
[Edytuj]Twierdzenie o wartości średniej Wnioskiem z twierdzenia Rolle'a jest następujące
Twierdzenie 9.36. [twierdzenie Cauchy'ego]
Niech będą funkcjami ciągłymi w przedziale domkniętym i różniczkowalnymi w przedziale otwartym . Wówczas istnieje punkt taki, że
Zwróćmy uwagę, że powyższą równość można zapisać w bardziej przejrzystej postaci (i łatwiejszej do zapamiętania):
o ile oraz . Twierdzenie Cauchy'ego głosi w tym przypadku, że istnieje wewnątrz przedziału punkt taki, że stosunek przyrostów wartości funkcji i między punktami i jest równy stosunkowi pochodnych tych funkcji w punkcie . Dowód 9.36.
Rozważmy pomocniczo funkcję określoną dla . Funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym , różniczkowalna w przedziale otwartym o pochodnej równej
Ponadto . Na mocy twierdzenia Rolle'a istnieje więc taki punkt , w którym zeruje się pochodna , skąd wynika teza twierdzenia.
Jako wniosek z twierdzenia Cauchy'ego otrzymujemy
Twierdzenie 9.37. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym i różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego , to istnieje punkt taki, że
Dowód 9.37.
Wystarczy w twierdzeniu Cauchy'ego podstawić Wówczas , oraz .
Styczna do wykresu w punkcie (na czerwono) jest równolegla do siecznej (na zielono)
Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach (skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia można zapisać też następująco:
Innymi słowy: przyrost wartości funkcji odpowiadający przyrostowi argumentu funkcji od do równy jest iloczynowi przyrostu argumentu i wartości pochodnej funkcji w pewnym punkcie pośrednim leżącym między punktami i . Pamiętamy, że interpretacją geometryczną ilorazu różnicowego jest współczynnik kierunkowy siecznej wykresu funkcji przechodzącej przez punkty i . Twierdzenie Lagrange'a orzeka więc, że między punktami i da się znaleźć taki punkt , że styczna do wykresu funkcji w punkcie jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty i . Wnioskiem z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej jest twierdzenie, które wiąże monotoniczność funkcji ze znakiem pierwszej pochodnej.
Twierdzenie 9.38.
Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale . a) Jeśli dla wszystkich , to jest rosnąca w przedziale . a') Jeśli dla wszystkich , to jest ściśle rosnąca w przedziale . b) Jeśli dla wszystkich , to jest stała w przedziale . c) Jeśli dla wszystkich , to jest malejąca w przedziale . c') Jeśli dla wszystkich , to jest ściśle malejąca w przedziale .
Dowód 9.38.
Dla dowolnych punktów z przedziału zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a potrafimy wskazać punkt taki, że . Z równości tej wynikają powyższe implikacje.
Wnioskiem z tego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum w przypadku, gdy funkcja jest różniczkowalna. Wniosek 9.39.
Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale . Jeśli w punkcie pochodna funkcji zeruje się (tj. ) oraz zmienia znak, to znaczy a) jest dodatnia w przedziale i ujemna w , b) jest ujemna w przedziale i dodatnia w , to funkcja osiąga w punkcie ekstremum, odpowiednio: a) minimum lokalne,
b) maksimum lokalne. Dowód 9.39.
a) Na mocy poprzedniego twierdzenia funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale i ściśle malejąca w przedziale , osiąga więc maksimum lokalne w punkcie . Dowód w przypadku b) jest podobny.
Zwróćmy uwagę, że nie potrzeba zakładać zerowania się pierwszej pochodnej funkcji w punkcie . Prawdziwy jest więc także Wniosek 9.40.
Jeśli funkcja ciągła w przedziale jest różniczkowalna w przedziałach oraz , przy czym pochodna jest a) dodatnia w przedziale i ujemna w , b) ujemna w przedziale i dodania w , to funkcja osiąga w punkcie ekstremum, odpowiednio: a) minimum lokalne,
b) maksimum lokalne. Przykład funkcji , która osiąga minimum w punkcie , a ma pochodną ujemną dla , a dodatnią dla i wcale nie ma pochodnej w punkcie , stanowi ilustrację ostatniego wniosku. Przykład 9.41.
Pochodna funkcji wynosi
Stąd w przedziale , a w obu przedziałach oraz pochodna jest dodatnia. Na mocy wykazanego twierdzenia, funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale , następnie maleje w przedziale i znowu rośnie w przedziale . Wobec tego w punkcie osiąga maksimum lokalne równe , a w punkcie minimum lokalne równe .
Rysunek do przykładu 9.41.
Rysunek do przykładu 9.42.(a)
Rysunek do przykładu 9.42.(b)
Uwaga 9.42.
Założenie, że pochodna (odpowiednio , itd) w każdym punkcie przedziału jest istotne. a) Rozważmy funkcję: gdzie oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej , czyli największą liczbę całkowitą nie większą od . Wówczas jest różniczkowalna w zbiorze (czyli wszędzie poza zbiorem liczb całkowitych) i w zbiorze tym pochodna , mimo że funkcja jest rosnąca. b) Funkcja jest różniczkowalna w zbiorze i w każdym punkcie tego zbioru jej pochodna . Jednak funkcja ta nie jest ściśle rosnąca w zbiorze . Jest natomiast ściśle rosnąca w każdym z przedziałów postaci , gdzie .
Podane funkcje są ciągłe poza zbiorem liczb całkowitych. Można jednak skonstruować przykład funkcji ciągłej, rosnącej o zerowej pochodnej w prawie każdym punkcie, to znaczy w każdym punkcie przedziału poza punktami trójkowego zbioru Cantora
Przypomnijmy, że zbiór ten rozważaliśmy w ramach pierwszego modułu.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)Zobacz biografię
Rysunek do przykładu 9.43.
Przykład 9.43.
Niech będzie dowolną liczbą z przedziału zapisaną w systemie trójkowym za pomocą ciągu cyfr . Niech będzie najmniejszą liczbą naturalną, dla której . Innymi słowy: niech będzie pozycją pierwszej jedynki w zapisie trójkowym liczby , licząc od przecinka pozycyjnego w prawo. Jeśli nie ma takiej liczby, przyjmujemy . Określmy ciąg
za pomocą którego definiujemy funkcję Cantora (zwaną także diabelskimi schodami) wzorem
Łatwo sprawdzić, że , , a na odcinkach, które usuwamy kolejno z przedziału podczas kolejnych etapów konstrukcji trójkowego zbioru Cantora, funkcja ta jest stała:
i tak dalej. Można wykazać, że funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie przedziału . Zauważmy, że funkcja Cantora jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru (tj. w każdym punkcie przedziału poza punktami trójkowego zbioru Cantora ). Pochodna funkcji Cantora jest w tych punktach równa zeru, a mimo to (co nietrudno zauważyć) funkcja