11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 1 Ł 11. 11. Analiza stanu naprężenia 11.1. Wektor naprężenia Na ciało działają dwa rodzaje sił: powierzchniowe i masowe (objętościowe). Przedstawia to rysunek 11.1. Po wpływem sił masowych (objętościowych) określonych wzorem Śą G dV (11.1) 0 oraz sił powierzchniowych określonych wzorem Śą dS0 (11.2) p ciało ulegnie odkształceniu. Śą dS p 0 dS0 dV0 Śą G dV 0 Rys. 11.1. Siły powierzchniowe i masowe działające na ciało. Jeżeli przetniemy myślowo ciało na dwie części, to aby odcięte części ciała były w równowadze w przekroju Śąśąnźą muszą pojawić się siły wewnętrzne. Siłę działającą na elementarne pole dS o wektorze normalnym d F n n Śą przedstawia rysunek 11.2. Wektor normalny Śą jest prostopadły do powierzchni dS. Siły te na obu powierzchniach przekroju mają te same wartości ale przeciwne zwroty (zgodnie z III zasadą Newtona). Siła Śąśąnźą jest wypadkową wektora naprężenia. Wektor naprężenia określa się ze wzoru d F F F Śąśąnźą= lim ąŚą = d Śą . (11.3) f ą S dS ą S Śą0 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 2 Śą2 dS p 0 Śą1 dS0 p dS0 dV0 Śąśąnźą d F dS0 Śą n dS n Śą Śą G2 dV Śąśąnźą 0 d F dV0 Śą G1 dV 0 Rys. 11.2. Siły wewnętrzne. Jednostką wektora naprężenia jest N/m2, w budownictwie najczęściej wykorzystywaną jednostką wektora naprężenia jest 1MPa=10 kN/cm2. Gęstość sił powierzchniowych Śą jest niczym innym tylko wektorem p naprężenia na powierzchni ograniczającej ciało. Na rysunku 11.3 pokazano rozkład wektora naprężenia na składową normalną i styczną . ąśąnźą ąśąnźą Śą Śą Przykładem składowej normalnej jest naprężenie normalne sX od działania siły normalnej i momentów zginających natomiast przykładem składowej stycznej są naprężenia styczne tXZ i tXY od działania siły poprzecznej. Śą n ąśąnźądS Śą ŚąśąnźądS f dS ąśąnźądS Śą Rys. 11.3. Rozkład wektora naprężenia na składową normalną i styczną. Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 3 11.2 Stan naprężenia w punkcie Aby poznać stan naprężenia w dowolnym punkcie ciała należy określić wektory naprężenia na trzech różnych płaszczyznach przechodzących przez dany punkt. Ze względów rachunkowych wygodnie jest przyjąć, że są to trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny. Płaszczyzny te będą tworzyły ścianki elementarnego sześcianu o bardzo małych wymiarach. Wektory normalne tych płaszczyzn pokrywają się z osiami prawoskrętnego układu kartezjańskiego X X X . Płaszczyzny te przedstawia rysunek 11.4. 1 2 3 X3 Śąśą2źą X2 n X1 Rys. 11.4. Wektory naprężeń na trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach dodatnich opisujące stan naprężenia w punkcie. Płaszczyzny przedstawione na rysunku 11.4 są to płaszczyzny dodatnie. Na płaszczyznach tych wektory normalne mają zwroty osi układu współrzędnych. Na rysunku 11.5 przedstawiono wektory naprężenia znajdujące się na płaszczyznach ujemnych. Na płaszczyznach tych wektory normalne mają zwroty przeciwne n Śą1 do zwrotów osi układu współrzędnych. Wektor naprężenia na płaszczyznie o normalnej można rozłożyć na składową normalną s11 oraz dwie składowe styczne s12 i s13. Wektor naprężenia na płaszczyznie o Śą2 n normalnej można rozłożyć na składową normalną s22 oraz dwie składowe styczne s21 i s23. Wektor Śą3 n naprężenia na płaszczyznie o normalnej można rozłożyć na składową normalną s33 oraz dwie składowe styczne s31 i s32. Rysunek 11.6 przedstawia składowe naprężenia znajdujące się na ściankach dodatnich. Naprężenia składowe są na ściankach dodatnich dodatnie jeżeli mają zwroty osi układu współrzędnych. Rysunek 11.7 przedstawia składowe naprężenia znajdujące się na ściankach ujemnych. Naprężenia składowe są na ściankach ujemnych dodatnie jeżeli mają zwroty przeciwne do zwrotu osi układu współrzędnych. Pierwszy wskaznik opisujący składową naprężenia oznacza wektor normalny do płaszczyzny, na której znajduje się dana składowa naprężenia. Drugi wskaznik oznacza oś układu współrzędnych, do której jest równoległa dana składowa naprężenia. Składowe naprężenia o jednakowych wskaznikach są to naprężenia normalne natomiast składowe naprężenia o różnych wskaznikach są to naprężenia styczne. Składowe naprężenia można zapisać w postaci tensora naprężenia Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński śą 3 źą n Śą 3 źą dS 3 śą Śą f 2 źą dS 2 śą Śą f źą 1 śą n Śą Śą f śą 1 źą dS 1 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 4 X3 Śąśą2źą n X2 X1 Rys. 11.5. Wektory naprężeń na trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach ujemnych opisujące stan naprężenia w punkcie. X3 ą32 ą22 X2 ą12 X1 Rys. 11.6. Składowe naprężenia na ściankach dodatnich. ą11 ą12 ą13 ąij= ą21 ą22 ą23 . (11.4) [ ] ą31 ą32 ą33 Ostatecznie można stwierdzić, że aby jednoznacznie określić stan naprężenia w punkcie potrzebna jest znajomość dziewięciu współrzędnych, które tworzą tensor naprężenia (11.4). W pierwszym wierszu tensora Śą1 n naprężenia znajdują się składowe działające na płaszczyznie o normalnej w drugim wierszu składowe na Śą2 Śą3 n n płaszczyznie o normalnej a w trzecim wierszu składowe na płaszczyznie o normalnej . Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński śą 3 źą n Śą 33 ą 23 ą 13 ą źą 1 śą n Śą Śą f śą 1 źą dS 1 2 źą dS 2 śą Śą f 3 źą dS 3 śą Śą f 31 ą 21 ą 11 ą 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 5 X3 ą12 ą22 X2 ą32 X1 Rys. 11.7. Składowe naprężenia na ściankach ujemnych. Chcąc wyznaczyć wzór na obliczenie składowych wektora naprężenia na płaszczyznie określonej wektorem normalnym Śą należy rozpatrzyć równowagę elementu czworościennego przedstawionego na rysunku 11.8. n Śą W elemencie tym działa także siła masowa . G dV X3 Śąśą2źą n X2 O X1 Rys. 11.8. Siły działające na element czworościenny. Aby sprawdzić równowagę elementu należy w pierwszej kolejności ustalić zależności pomiędzy polami powierzchni poszczególnych ścianek czworościanu, na których do działają odpowiednie składowe naprężenia. Rysunek 11.9 przedstawia zależności geometryczne w elementarnym czworościanie. Kosinus kąta a równa się współrzędnej n3 wektora normalnego, ponieważ długość wektora normalnego Śą wynosi jeden. n . n3=cosśąąźą (11.5) Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 13 ą 23 ą 33 ą śą 3 źą n Śą 11 ą 21 ą 31 ą Śą f śą 1 źą dS 1 C źą 1 śą źą n śą n Śą dS Śą n Śą f B 2 źą dS 2 Śą śą G dV Śą f A 3 źą dS 3 śą Śą f 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 6 X3 dS C dS1 a X2 O a a a O D X1 Rys. 11.9. Zależności geometryczne w elementarnym czworościanie. Z rysunku 11.9 widać, że pole powierzchni dS wynosi 1 . dS= " #"DC#" (11.6) #"AB#"" 2 Pole powierzchni dS3 wynosi 1" #" dS3= #"AB#""OD#" (11.7) 2 Odcinek OD równa się #"OD#"=#"CD#""cosśąąźą=#"CD#""n3 . (11.8) Ostateczni pole powierzchni dS3 wynosi 1" " dS3= #"AB#"#"CD#""n3=dS"n3 . (11.9) 2 Analogicznie pozostałe pola powierzchni dS i dS będą wynosiły 1 2 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński C n Śą n Śą B 2 dS 3 D dS A 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 7 dS1=dS"n1 , (11.10) dS2=dS"n2 . (11.11) Współrzędne wektora normalnego Śą muszą spełniać warunek (na podstawie (10.61) n 2 2 . (11.12) n1ąn2ąn3=1 2 Na rysunku 11.10 pokazano składowe wszystkich sił działających na elementarny czworościan. Będą to składowe naprężeń na ściankach, których normalne są równoległe do osi układu współrzędnych, składowe wektora naprężenia na płaszczyznie o normalnej n oraz składowe siły masowej. Śą X3 dx2 G3 śąnźą f ą12 2 ą22 X2 G2 ą32 X1 Rys. 11.10. Składowe sił działających na elementarny czworościan. Siła masowa działa w objętości elementarnego czworościanu. Objętość czworościanu wynosi 1"dS 1"dS 1"dS dV = "dx1= "dx2= "dx3 . (11.13) 1 2 3 3 3 3 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński śą n źą 3 f 3 dx 13 ą 23 ą 33 ą 11 ą 21 ą źą n śą 1 f 31 ą 1 x d 1 G 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 8 Zgodnie z rysunkiem 11.10 suma rzutów wszystkich sił na oś X1 wynosi 1 śąnźą ą X =-ą11"dS1-ą21"dS2-ą31"dS3ą f "dSąG1" "dS1"dx1=0 (11.14) 1 1 3 Składnik zawierający wpływ sił masowych jest małą wielkością wyższego rzędu i może zostać pominięty. Równanie (11.14) będzie miało postać śąnźą . (11.15) ą X =-ą11"dS1-ą21"dS2-ą31"dS3ą f "dS=0 1 1 Podstawiając do równania (11.15) zależności (11.9), (11.10) i (11.11) otrzymano śąnźą . (11.16) ą X =-ą11"dS"n1-ą21"dS"n2-ą31"dS"n3ą f "dS=0 1 1 Po wyłączeniu czynnika dS równanie (11.16) będzie miało postać śąnźą . (11.17) ą X =-ą11"n1-ą21"n2-ą31"n3ą f =0 1 1 (n) Ostatecznie wzór na obliczenie składowej f będzie miał postać 1 śąnźą . (11.18) f =ą11"n1ąą21"n2ąą31"n3=ą "n 1 j1 j Pozostałe składowe wektora naprężenia nożna obliczyć ze wzorów śąnźą , f =ą12"n1ąą22"n2ąą32"n3=ą "n 2 j2 j (11.19) śąnźą . (11.20) f =ą13"n1ąą23"n2ąą33"n3=ą "n 3 j3 j Równania (11.18), (11.19) i (11.20) można w zapisie wskaznikowym przedstawić śąnźą . (11.21) f =ą "n i ji j Na powierzchni ciała działać mogą siły powierzchniowe pi.. Równanie (11.21) będzie miało na powierzchni obciążonej ciała postać Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 9 . (11.22) pśąnźą=ą "n i ji j Wzór (11.22) nazywa się warunkami na powierzchni. 11.3 Równania różniczkowe równowagi Na rysunku 11.11 przedstawiono elementarny prostopadłościan obciążony składowymi naprężenia oraz składowymi siły masowej. Na płaszczyznach ujemnych działają składowe stanu naprężenia takie jakie występują w badanym punkcie, natomiast na ściankach dodatnich działają składowe naprężenia powiększone o odpowiednie przyrosty dsij. Przyrost wartości składowych naprężeń wynika ze zmiany wartości odpowiedniej współrzędnej dxi. Przyrosty te będą równe zero, tylko wtedy gdy stan naprężenia jest jednorodny, to znaczy taki sam we wszystkich punktach ciała. ą32ąd ą32 ą12 G3 ą22 G2 X3 ą22ąd ą22 ą12ąd ą12 X2 ą32 X1 dx2 Rys. 11.11. Siły działające na elementarny prostopadłościan. Suma rzutów wszystkich sił na oś X1 wynosi ą X = ą11ąd ą11 "dx2"dx3ą ą21ąd ą21 "dx1"dx3ą ą31ąd ą31 "dx1"dx2 śą źą śą źą śą źą 1 (11.23) -ą11"dx2"dx3-ą21"dx1"dx3-ą31"dx1"dx2ąG1"dx1"dx2"dx3=0 Po redukcji wyrazów podobnych wzór (11.23) będzie miał postać Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 33 33 ą ą d ą 13 23 23 ą ą ą d ą 13 13 23 ą ą d ą ą 3 dx 33 ą 31 ą d ą 31 ą 11 ą 21 ą 21 ą 1 G d ą 21 ą 11 ą 31 d ą ą 11 ą 1 x d 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 10 . ą X =d ą11"dx2"dx3ąd ą21"dx1"dx3ąd ą31"dx1"dx2ąG1"dx1"dx2"dx3=0 (11.24) 1 Wszystkie składowe tensora naprężenia są funkcjami położenia ąij=ąij x1 , x2 , x3 . (11.25) śą źą Przyrost tych funkcji jest równy pochodnej cząstkowej względem odpowiedniej współrzędnej xj razy przyrost tej współrzędnej dx. Przyrost s wynika ze zmiany współrzędnej x (naprężenie to działa na ściance o j 11 1 wektorze normalnym równoległym do osi X1). W rezultacie otrzymano "ą11 d ą11= "dx1 . (11.26) " x1 Przyrost s21 wynika ze zmiany współrzędnej x2 (naprężenie to działa na ściance o wektorze normalnym równoległym do osi X ). W rezultacie otrzymano 2 "ą21 d ą21= "dx2 . (11.27) " x2 Przyrost s wynika ze zmiany współrzędnej x (naprężenie to działa na ściance o wektorze normalnym 31 3 równoległym do osi X3). W rezultacie otrzymano "ą31 d ą31= "dx3 . (11.28) " x3 Po wstawieniu wzorów (11.26), (11.27) i (11.28) do wzoru (11.24) otrzymano "ą11 "ą21 "ą31 . "dx1"dx2"dx3ą "dx2"dx1"dx3ą "dx3"dx1"dx2ąG1"dx1"dx2"dx3=0 (11.29) " x1 " x2 " x3 Wzór (11.29) będzie miał ostatecznie postać "ą11 "ą21 "ą31 . ą ą ąG1=0 (11.30) " x1 " x2 " x3 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 11 Postępując identycznie można wyznaczyć sumy rzutów wszystkich sił na osie X2 i X3. Odpowiednie równania będą miały postać "ą12 "ą22 "ą32 , ą ą ąG2=0 (11.31) " x1 " x2 " x3 "ą13 "ą23 "ą33 . ą ą ąG3=0 (11.32) " x1 " x2 " x3 Równana (11.30), (11.31) i (11.32) można zapisać w zapisie wskaznikowym jako , ą ąGi=0 (11.33) ji' j w którym symbol przecinka oznacza pochodną względem wskaznika j. Stan naprężenia przedstawiony na rysunku 11.11 musi także spełniać warunki sumy momentów względem osi równoległych do osi układu współrzędnych i przechodzących przez środek ciężkości prostopadłościanu. Na rysunku 11.12 zaznaczone zostały te naprężenia, których momenty względem osi równoległej do osi X1 są różne od zera. Pozostałe naprężenia oraz siły masowe są albo równoległe do osi albo ich kierunek przecina oś (wzór 4.3 oraz rysunek 4.3). ą32ąd ą32 X3 X2 ą32 X1 dx2 Rys. 11.12. Naprężenia, które dają niezerowy moment względem osi. Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 23 23 ą ą d ą 23 ą 3 dx 1 x d 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 12 Równanie równowagi będzie miało postać (jako dodatni przyjęto moment siły, który ma zwrot zgodny z osią X1) dx2 dx3 ą M = ą23ąd ą23 "dx1"dx3" - ą32ąd ą32 "dx1"dx2" śą źą śą źą 2 2 . (11.34) dx2 dx3 ąą23"dx1"dx3" -ą32"dx1"dx2" =0 2 2 Równanie (11.34) można przekształcić do postaci . ą M = ą23ąd ą23 - ą32ąd ą32 ąą23-ą32=0 (11.35) śą źą śą źą Przyrosty odpowiednich naprężeń jako wielkości małe wyższego rzędu można pominąć. Ostatecznie równanie (11.35) będzie miało postać ą23=ą32 . (11.36) Sumy momentów względem osi równoległych do X2 i X3 prowadzą do zależności ą12=ą21 , (11.37) ą13=ą31 . (11.38) Równania (11.36), (11.37) i (11.38) można zapisać krótko , ąij=ą (11.39) ji które zgodnie z wzorem (10.102) przedstawia symetryczny tensor rzędu drugiego. Tensor naprężenia jest więc symetrycznym tensorem rzędu drugiego. Zgodnie z rysunkiem 11.6 równe są naprężenia styczne na płaszczyznach wzajemnie prostopadłych i prostopadłe do krawędzi przecięcia tych płaszczyzn. Składowe stanu naprężenia nie mogą być więc dowolne. Muszą one spełniać różniczkowe równania równowagi (11.33) oraz muszą tworzyć symetryczny tensor rzędu drugiego (11.39). Stan naprężenia jest opisywany przez dziewięć współrzędnych tensora naprężenia. Jednak zgodnie z (11.39) tylko sześć z nich jest niezależna. W celu pełnego opisu stanu naprężenia wystarczy podać tylko te sześć niezależnych współrzędnych. Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 13 11.4 Transformacja składowych stanu naprężenia Stan naprężenia opisuje tensor naprężenia, który musi spełniać prawo transformacji tensora (10.74). W przypadku tensora naprężenia prawo to można zapisać w postaci (i' zastąpiono k', j' zastąpiono p' natomiast p oraz q zastąpiono i oraz j) ąk ' p '=ak ' i"a "ąij . (11.40) p ' j Współrzędne macierzy transformacji muszą oczywiście spełniać warunek (10.61), który w tym przypadku będzie miał postać (i' zastąpiono k', j' zastąpiono p' natomiast p zastąpiono i) ak ' i"a =ąk ' p' . (11.41) p ' i Prawo (11.40) dla k'=2' i p'=2' będzie miało postać ą2' 2'=a2' i"a2' j"ąij . (11.42) Wzór (11.42) można najpierw rozpisać po wskazniku i. W wyniku otrzymano ą2 ' 2 '=a2' 1"a2' j"ą1 jąa2' 2"a2 ' j"ą2 jąa2 ' 3"a2' j"ą3 j . (11.43) Po rozpisaniu wzoru (11.43) po wskazniku j otrzymano ą2' 2'=a2' 1" a2' 1"ą11ąa2' 2"ą12ąa2' 3"ą13 śą źą . ąa2' 2" a2' 1"ą21ąa2' 2"ą22ąa2' 3"ą23 (11.44) śą źą ąa2' 3" a2' 1"ą31ąa2' 2"ą32ąa2' 3"ą33 śą źą Prawo (11.40) dla k'=1' i p'=3' będzie miało postać ą1' 3'=a1' i"a3' j"ąij . (11.45) Wzór (11.45) można najpierw rozpisać po wskazniku i. W wyniku otrzymano ą1' 3'=a1' 1"a3' j"ą1 jąa1' 2"a3' j"ą2 jąa1' 3"a3' j"ą3 j . (11.46) Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 14 Po rozpisaniu wzoru (11.46) po wskazniku j otrzymano ą1' 3'=a1' 1" a3' 1"ą11ąa3' 2"ą12ąa3' 3"ą13 śą źą ąa1' 2" a3' 1"ą21ąa3' 2"ą22ąa3' 3"ą23 . (11.47) śą źą ąa1' 3" a3' 1"ą31ąa3' 2"ą32ąa3' 3"ą33 śą źą Prawo (11.40) dla k'=3' i p'=1' będzie miało postać ą3' 1'=a3' i"a1' j"ąij . (11.48) Wzór (11.48) można najpierw rozpisać po wskazniku i. W wyniku otrzymano ą3' 1'=a3' 1"a1' j"ą1 jąa3' 2"a1' j"ą2 jąa3' 3"a1' j"ą3 j . (11.49) Po rozpisaniu wzoru (11.49) po wskazniku j otrzymano ą3' 1'=a3' 1" a1' 1"ą11ąa1' 2"ą12ąa1' 3"ą13 śą źą ąa3' 2" a1' 1"ą21ąa1' 2"ą22ąa1' 3"ą23 . (11.50) śą źą ąa3' 3" a1' 1"ą31ąa1' 2"ą32ąa1' 3"ą33 śą źą Porównując wzory (11.47) i (11.50) otrzymano ą1' 3'=ą3' 1' (11.51) czyli tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym. 11.5 Naprężenia główne (ekstremalne) W trójosiowym stanie naprężenia istnieją trzy płaszczyzny, na których naprężenia normalne będą przyjmowały wartości ekstremalne a naprężenia styczne będą równe zero. W takim przypadku wektor Śąśąnźą naprężenia pokrywa się z kierunkiem normalnej do płaszczyzny czyli f śąnźą (11.52) f =ą"ni , i Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 15 w którym s oznacza długość wektora naprężenia, ni oznacza współrzędne wektora normalnego płaszczyzny naprężenia ekstremalnego. Współrzędne te są oczywiście równe kosinusom kierunkowym wektora normalnego, który ma długość jeden. Wektor naprężenia można także wyrazić za pomocą zależności (11.21) czyli wzór (11.52) będzie miał postać śąnźą . (11.53) f =ą"ni=ą "n i ji j Zależność (11.53) można zapisać w postaci układu równań ą11-ą "n1ąą21"n2ąą31"n3=0 śą źą . ą12"n1ą ą22-ą "n2ąą32"n3=0 (11.54) śą źą { ą13"n1ąą23"n2ą ą33-ą "n3=0 śą źą Układ równań (11.54) jest układem równań jednorodnych, liniowych. Układ ten ma rozwiązania tylko, wtedy gdy wyznacznik główny układu jest równy zero czyli ą11-ą ą21 ą31 śą źą . =0 ą12 ą22-ą ą32 (11.55) śą źą [ ] ą13 ą23 ą33-ą śą źą Zgodnie z regułą Sarrusa wyznacznik można przedstawić w postaci ą11-ą ą21 ą31 śą źą ą11-ą ą21 śą źą ą12 ą22-ą ą32 śą źą ą12 ą22-ą śą źą (11.56) [ ] ą13 ą23 ą33-ą ą13 ą23 śą źą - - - + + + Wzór (11.55) będzie miał postać ą11-ą " ą22-ą " ą33-ą ąą21"ą32"ą13ąą31"ą12"ą23 . śą źą śą źą śą źą (11.57) -ą13"ą31" ą22-ą -ą23"ą32" ą11-ą -ą12"ą21" ą33-ą =0 śą źą śą źą śą źą Wzór (11.57) można przekształcić do postaci Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 16 ą11"ą22-ą"ą11-ą"ą22ąą2 " ą33-ą ąą21"ą32"ą13ąą31"ą12"ą23 śą źą śą źą . (11.58) -ą13"ą31"ą22-ą23"ą32"ą11-ą12"ą21"ą33ąą"ą13"ą31ąą"ą23"ą32ąą"ą12"ą21=0 Po rozwinięciu wyrażeń w nawiasie wzór (11.58) będzie miał postać ą11"ą22"ą33-ą"ą11"ą33-ą"ą22"ą33ąą2"ą33-ą"ą11"ą22ąą2"ą11ąą2"ą22 . (11.59) -ą3ąą21"ą32"ą13ąą31"ą12"ą23 -ą13"ą31"ą22-ą23"ą32"ą11-ą12"ą21"ą33ąą"ą13"ą31ąą"ą23"ą32ąą"ą12"ą21=0 Grupując wyrazy podobne wzór (11.59) będzie miał postać -ą3ąą2" ą11ąą22ąą33 śą źą -ą" ą11"ą22-ą12"ą21ąą22"ą33-ą23"ą32ąą11"ą33-ą13"ą31 śą źą . (11.60) ą ą11"ą22"ą33ąą12"ą23"ą31ąą13"ą21"ą32-ą31"ą22"ą13-ą32"ą23"ą11 śą -ą33"ą21"ą12 =0 źą Współczynniki równania (11.60) mają postać I =ą11ąą22ąą33 , 1 (11.61) I =ą11"ą22-ą12"ą21ąą22"ą33-ą23"ą32ąą11"ą33-ą13"ą31 2 (11.62) I =ą11"ą22"ą33ąą12"ą23"ą31ąą13"ą21"ą32-ą31"ą22"ą13 . 3 (11.63) -ą32"ą23"ą11-ą33"ą21"ą12 Uwzględniając (11.61), (11.62) i (11.63) równanie (11.60) będzie miało postać ą3-I "ą2ąI "ą-I =0 (11.64) 1 2 3 Równanie (11.64) nazywa się równaniem charakterystycznym dla stanu naprężenia. Współczynniki tego równania nazywa się niezmiennikami stanu naprężenia. Niezmienniki mają taką właściwość, że nie zmieniają swoich wartości przy obrocie (transformacji) układu współrzędnych. Pierwszy niezmiennik stanowi sumę współrzędnych tensora naprężenia na głównej przekątnej. W zapisie wskaznikowym pierwszy niezmiennik tensora naprężenia można zapisać w postaci Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 17 I =ąkk=ą11ąą22ąą33 . (11.65) 1 Drugi niezmiennik można zapisać w zapisie wskaznikowym jako "#"ąij#" "#"ąij#" "#"ąij#" "#"ąij#" , I = = ą ą (11.66) 2 "ąkk "ą11 "ą22 "ą33 który można przedstawić jako sumę trzech minorów wyznacznika z tensora naprężenia utworzonych według zasady ą11 ą12 ą11 ą13 ą22 ą23 . I = ą ą (11.67) 2 #" #" #" #" #" #" ą21 ą22 ą31 ą33 ą32 ą33 Trzeci niezmiennik można przedstawić jako wyznacznik z tensora naprężenia w postaci ą11 ą12 ą13 I =#"ąij#"= ą21 ą22 ą23 . (11.68) 3 #" #" ą31 ą32 ą33 Rozwiązaniem równania charakterystycznego (11.64) są zawsze trzy pierwiastki rzeczywiste s , s , s które 1 2 3 są wartościami trzech naprężeń głównych. Pierwiastki te tworzą tensor naprężenia w postaci ą1 0 0 . ągl= 0 ą2 0 (11.69) [ ] 0 0 ą3 Wartości te można uporządkować w sposób ąI=maxśąą1 ,ą2 ,ą3źą (11.70) ąIII=minśąą1 ,ą2 ,ą3źą natomiast Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 18 ąIII"ąąII"ąąI . (11.71) Naprężenia s , s , s nazywa się naprężeniami głównymi uporządkowanymi. I II III Chcąc wyznaczyć kierunki główne odpowiadające poszczególnym naprężeniom głównym należy wartości naprężeń uporządkowanych wstawić do układu równań (11.54). Na przykład dla wyznaczenia kierunku głównego naprężenia sI należy tą wartość wstawić zamiast s. Układ równań będzie miał w tym przypadku postać ą11-ąI "nśą1źąąą21"nśą1źąąą31"nśą1źą=0 śą źą 1 2 3 . (11.72) ą12"nśą1źąą ą22-ąI "nśą1źąąą32"nśą1źą=0 śą źą 1 2 3 { ą13"nśą1źąąą23"nśą1źąą ą33-ąI "nśą1źą=0 śą źą 1 2 3 Układ równań (11.72) jest układem równań jednorodnym, z którego można obliczyć jedynie stosunki pomiędzy kosinusami kierunkowymi n1(1), n2(1), n3(1). Chcąc wyznaczyć kierunki główne związane z naprężeniem sI należy wstawić warunek, który muszą spełniać kosinusy kierunkowe n1(1), n2(1), n3(1) (na podstawie (10.61)) 2 2 2 . (11.73) nśą1źą ą nśą1źą ą nśą1źą =1 [ ] [ ] [ ] 1 2 3 Podstawiając pozostałe naprężenia główne można wyznaczyć pozostałe kosinusy kierunkowe. Zamiast jednego z równań układu jednorodnego należy podstawić zależności 2 2 2 , nśą2źą ą nśą2źą ą nśą2źą =1 [ ] [ ] [ ] 1 2 3 (11.74) 2 2 2 . (11.75) nśą3źą ą nśą3źą ą nśą3źą =1 [ ] [ ] [ ] 1 2 3 Kosinusy te będą tworzyły macierz transformacji w postaci nśą1źą nśą1źą nśą1źą 1 2 3 (11.76) nśą2źą nśą2źą nśą2źą . 1 2 3 nśą3źą nśą3źą nśą3źą 1 2 3 Warunki (11.73), (11.74) i (11.75) odpowiadają przemnożeniu każdego wiersza macierzy (11.76) przez siebie. Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 19 Aby układ współrzędnych związany z naprężeniami głównymi był układem prawoskrętnym musi być spełniony warunek nśą1źą nśą1źą nśą1źą 1 2 3 =ą1 (11.77) nśą2źą nśą2źą nśą2źą . 1 2 3 #"śą3źą #" n1 nśą3źą nśą3źą 2 3 Jeżeli wyznacznik równa się minus jeden należy w jednym wierszu zmienić wszystkie znaki na przeciwne. 11.6 Ekstremalne naprężenia styczne Położenie układu współrzędnych, w którym naprężenia styczne przyjmują wartości ekstremalne najwygodniej jest określić w układzie osi głównych ( s1 > s2 > s3). Wzory transformacyjne mają postać 2 2 2 ą1' 1'=a1 ' 1"ą1ąa1' 2"ą2ąa1' 3"ą3 , (11.78) ą2' 2'=a2' 1"ą1ąa2' 2"ą2ąa2' 3"ą3 , 2 2 2 (11.79) 2 2 2 ą3' 3'=a3' 1"ą1ąa3' 2"ą2ąa3' 3"ą3 , (11.80) ą1' 2'=a1' 1"a2' 1"ą1ąa1' 2"a2' 2"ą2ąa1' 3"a2 ' 3"ą3 , (11.81) ą1' 3'=a1' 1"a3' 1"ą1ąa1' 2"a3' 2"ą2ąa1' 3"a3' 3"ą3 , (11.82) a2 ' 3'=a2 ' 1"a3' 1"ą1ąa2 ' 2"a3' 2"ą2ąa2 ' 3"a3' 3"ą3 . (11.83) Ekstremalne naprężenia styczne będą się znajdowały na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45 stopni w stosunku do układu osi głównych. Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X macierz transformacji ma postać (kąt 3 dodatni kręci od osi X1 do X2) 2 2 ćą ćą a1' 1 a1' 2 a1' 3 2 2 0 . ai ' j= = (11.84) a2' 1 a2' 2 a2' 3 2 2 ćą ćą - 0 [ ] a3' 1 a3' 2 a3' 3 2 2 [ ] 0 0 0 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 20 Naprężenia w układzie transponowanym opisuje tensor naprężenia ą1ąą2 ą1-ą2 - 0 2 2 . ąi ' j'= (11.85) ą1-ą2 ą1ąą2 - 0 2 2 [ ] 0 0 0 Naprężenia s1'2' są ekstremalnymi naprężeniami stycznymi natomiast s1'1' i s2'2' są odpowiadającymi im naprężeniami normalnymi. Naprężenia w układzie transponowanym przedstawia rysunek 11.13. X3=X3' X3 X2' ą2 X2 X2 45o X1 X1 X1' Rys. 11.13. Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne. Naprężenia styczne s i s zostały zaznaczone na rysunku 11.13 jako ujemne. Ich zwroty są przeciwne do 1'2' 2'1' zwrotów osi układu transponowanego. Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X1 (kąt dodatni kręci od osi X2 do osi X3) macierz transformacji ma postać 0 0 0 a1' 1 a1' 2 a1' 3 2 2 ćą ćą 0 . ai ' j= = (11.86) a2' 1 a2' 2 a2' 3 2 2 [ ] 2 2 a3' 1 a3' 2 a3' 3 0 -ćą ćą [ ] 2 2 Naprężenia w układzie transponowanym opisuje tensor naprężenia Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 3 ą ' 2 ' 2 ą ą ' 2 2 ' 1 ' ą 1 ' 1 ą ą 1 ' 1 ' 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 21 0 0 0 ą2ąą3 ą2-ą3 0 - . ąi ' j'= (11.87) 2 2 ą2-ą3 ą2ąą3 [ ] 0 - 2 2 Naprężenia s są ekstremalnymi naprężeniami stycznymi natomiast s i s są odpowiadającymi im 2'3' 2'2' 3'3' naprężeniami normalnymi. Naprężenia w układzie transponowanym przedstawia rysunek 11.14. X3 X3 X2' X3' 45o ą2 X2 X2 X1 X1=X1' Rys. 11.14. Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne. Naprężenia styczne s2'3' i s2'3' zostały zaznaczone na rysunku 11.14 jako ujemne. Ich zwroty są przeciwne do zwrotów osi układu transponowanego. Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X2 (kąt dodatni kręci od osi X3 do osi X1) macierz transformacji ma postać 2 2 ćą ćą a1' 1 a1' 2 a1' 3 2 0 - 2 . ai ' j= = (11.88) a2' 1 a2' 2 a2' 3 0 0 0 [ ] 2 2 a3' 1 a3' 2 a3' 3 ćą ćą [ ] 0 2 2 Naprężenia w układzie transponowanym opisuje tensor naprężenia Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 3 ą ą 3 ' ' 3 2 ' ' 2 ą ' 2 ' 3 ą ą 2 ' 3 ' 1 ą 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 22 ą3ąą1 ą3-ą1 0 - 2 2 . ąi ' j'= (11.89) 0 0 0 ą3-ą1 ą3ąą1 [ ] - 0 2 2 Naprężenia s są ekstremalnymi naprężeniami stycznymi natomiast s i s są odpowiadającymi im 1'3' 1'1' 3'3' naprężeniami normalnymi. Naprężenia w układzie transponowanym przedstawia rysunek 11.15. X3 X3 45o X3' ą2 X2 X2=X2' X1 X1 X1' Rys. 11.15. Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne. Ogólnie można powiedzieć, że pierwsze z ekstremalnych naprężeń stycznych wyznacza się ze wzoru ą1-ą2 , (11.90) ąmaxI /minI=ą 2 a odpowiadające mu naprężenia normalne wyznacza się ze wzoru ą1ąą2 . (11.91) ąą I= 2 Drugie z ekstremalnych naprężeń stycznych wyznacza się ze wzoru ą2-ą3 , (11.92) ąmaxII /minII=ą 2 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 3 ą ą 3 ' 3 ' ' 1 ' 3 ą 1 ą ą 1 ' 3 ' ' 1 ' 1 ą 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 23 a odpowiadające mu naprężenia normalne wyznacza się ze wzoru ą2ąą3 . (11.93) ąą II= 2 Trzecie z ekstremalnych naprężeń stycznych wyznacza się ze wzoru ą3-ą1 , (11.94) ąmaxIII /minIII=ą 2 a odpowiadające mu naprężenia normalne wyznacza się ze wzoru ą3ąą1 . (11.95) ąą III= 2 Graficzną reprezentację stanu naprężenia przedstawiają koła Mohra pokazane na rysunku 11.16. Na osi naprężeń normalnych s zaznacza się punkty odpowiadające uporządkowanym naprężeniom głównym sI, sII, sIII. Następnie należy narysować koła, które przechodzą przez uprzednio zaznaczone punkty. Promienie kół odpowiadają wartościom ekstremalnych naprężeń stycznych natomiast środki kół Mohra pokrywają się z punktami, które odpowiadają naprężeniom normalnym stowarzyszonym z ekstremalnymi naprężeniami stycznymi. Zaznaczony na rysunku punkt o współrzędnych , (11.96) Aśąą ;ąźą który odpowiada składowej normalnej i składowej stycznej na dowolnej płaszczyznie. Punkt A może się znajdować tylko w zakreskowanym obszarze naprężeń dopuszczalnych. 11.7 Rozkład tensora naprężenia na aksjator i dewiator Tensor naprężenia, tak samo jak i każdy inny symetryczny tensor rzędu drugiego można rozłożyć na część aksjatorową (część kulistą) oraz część dewiatorową. Zgodnie ze wzorem (10.107) aksjator będzie wynosił 1 ąśąOźą= "ą "ąij . (11.97) ij pp 3 Aksjator można przedstawić w formie tensora Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 24 1"ą 0 0 pp 3 1"ą 0 . (11.98) ąśąOźą= 0 ij pp 3 1"ą [ ] 0 0 pp 3 ą ąIIIąąI ąą= 2 A ąIII ąII ąI ą ąIIąąIII ąą= 2 ąIąąII ąą= 2 Rys. 11.16. Koła Mohra dla przestrzennego stanu naprężenia. We wzorach (11.97) i (11.98) spp równa się pierwszemu niezmiennikowi tensora naprężenia. Zgodnie ze wzorem (10.109) dewiator tensora naprężenia będzie wynosił 1"ą ą11- ą12 ą13 pp 3 1"ą 1"ą (11.99) ąśąDźą=ąij- "ąij= ą21 ą22- ą23 . ij pp pp 3 3 1"ą [ ] ą31 ą32 ą33- pp 3 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 2 I II 2 ą -ą II III ą -ą ą= 2 ą= III I ą -ą ą= 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 25 Zsumowanie wyrazów na głównej przekątnej równa się zero (10.112). Rozkład tensora w układzie osi głównych na aksjator i dewiator zostanie zaprezentowany dokładnie w jednym z przykładowych zadań w dalszej części wykładu. 11.8 Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia, to taki stan naprężenia, w którym naprężenia z indeksem na przykład 2 są równe zero. Stan ten opisuje tensor naprężenia w postaci ą11 0 ą13 , ąij= (11.100) 0 0 0 [ ] ą31 0 ą33 który można zapisać w postaci ą 0 ąXZ X . ą= (11.101) 0 0 0 [ ] ąZX 0 ąZ Płaski stan naprężenia przedstawia rysunek 11.17. Rysunek 11.18 przedstawia płaski stan naprężenia w układzie obróconym (transponowanym) o dodatni kąt a (kręcący od osi X3 do osi X1). Macierz transformacji wynosi Z X3 X2 Y X1 X Rys. 11.17. Płaski stan naprężenia. Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński Z ą 33 ą 13 ą XZ ą ZX ą 31 ą X 11 ą ą 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 26 a1' 1 a1' 2 a1' 3 cosśąąźą 0 cosśąąą90oźą . ai ' j= = (11.102) a2' 1 a2' 2 a2' 3 0 0 0 [ ] [ ] a3' 1 a3' 2 a3' 3 cosśą90o-ąźą 0 cosśąąźą Macierz transformacji ostatecznie będzie miała postać X1' X' X2 Y X1 X a a X3' Z' X3 Z Rys. 11.18. Płaski stan naprężenia w układzie obróconym. a1' 1 a1' 2 a1' 3 cosśąąźą 0 -sinśąąźą . ai ' j= = a2' 1 a2' 2 a2' 3 0 0 0 (11.103) [ ] [ ] a3' 1 a3' 2 a3' 3 sinśąąźą 0 cosśąąźą Z prawa transformacji tensora otrzymano wzór na naprężenie normalne s1'1' ą1' 1'=a1' 1" a1' 1"ą11ąa1' 3"ą13 ąa1' 3" a1' 1"ą31ąa1' 3"ą33 . (11.104) śą źą śą źą Wstawiając macierz transformacji (11.103) do (11.104) otrzymano ą1' 1'=cos2śąąźą"ą11ącosśąąźą"-sinśąąźą "ą13 . śą źą (11.105) 2 ą śą-sinśąąźą "cosśąąźą"ą31ą źą śą-sinśąąźą "ą33 źą Wzór (11.105) można przekształcić do postaci (11.106) ą1' 1'=cos2śąąźą"ą11ąsin2śąąźą"ą33-2"cosśąąźą"sinśąąźą"ą13 . Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński ' 1 ' ' 1 ą X ą ą ą 1 X ' ' 3 Z ' ' ' ' 1 ' X 3 ' ą Z ą ą ą Z ' 3 ' 3 ' 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 27 Wykorzystując wzory (7.12), (7.13) i (7.14) wzór (11.106) można przekształcić 1ącosśą2"ąźą 1-cosśą2"ąźą ą1' 1'= "ą11ą "ą33 . (11.107) 2 2 -sinśą2"ąźą"ą13 Wzór (11.107) będzie miał ostatecznie postać ą33ąą11 ą33-ą11 . (11.108) ą1' 1'= - "cosśą2"ąźą-ą13"sinśą2"ąźą 2 2 Z prawa transformacji tensora otrzymano wzór na naprężenie normalne s3'3' ą3' 3'=a3' 1" a3' 1"ą11ąa3' 3"ą13 ąa3' 3" a3' 1"ą31ąa3' 3"ą33 . (11.109) śą źą śą źą Wstawiając macierz transformacji (11.103) do (11.109) otrzymano ą3' 3'=sin2śąąźą"ą11ąsinśąąźą"cosśąąźą"ą13 . (11.110) ącosśąąźą"sinśąąźą"ą31ącos2śąąźą"ą33 Wzór (11.110) można przekształcić do postaci (11.111) ą3' 3'=sin2śąąźą"ą11ącos2śąąźą"ą33ą2"cosśąąźą"sinśąąźą"ą13 . Wykorzystując wzory (7.12), (7.13) i (7.14) wzór (11.111) można przekształcić 1-cosśą2"ąźą 1ącosśą2"ąźą ą3' 3'= "ą11ą "ą33 . (11.112) 2 2 ąsinśą2"ąźą"ą13 Wzór (11.112) będzie miał ostatecznie postać ą33ąą11 ą33-ą11 . (11.113) ą3' 3'= ą "cosśą2"ąźąąą13"sinśą2"ąźą 2 2 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 28 Z prawa transformacji tensora otrzymano wzór na naprężenie normalne s1'3' ą1' 3'=a1' 1" a3' 1"ą11ąa3' 3"ą13 ąa1' 3" a3' 1"ą31ąa3' 3"ą33 . (11.114) śą źą śą źą Wstawiając macierz transformacji (11.103) do (11.114) otrzymano ą1' 3'=cosśąąźą"sinśąąźą"ą11ącos2śąąźą"ą13 . (11.115) -sin2śąąźą"ą31ą śą-sinśąąźą "cosśąąźą"ą33 źą Wzór (11.115) można przekształcić do postaci ą1' 3'=cosśąąźą"sinśąąźą"ą11ącos2śąąźą"ą13 . (11.116) -sin2śąąźą"ą31-sinśąąźą"cosśąąźą"ą33 Wykorzystując wzory (7.12), (7.13) i (7.14) wzór (11.116) można przekształcić sinśą2"ąźą sinśą2"ąźą ą1' 3'= "ą11- "ą33 . (11.117) 2 2 ącosśą2"ąźą"ą13 We wzorze (11.117) wykorzystano zależność . (11.118) cosśą2"ąźą=cos2śąąźą-sin2śąąźą Wzór (11.117) będzie miał ostatecznie postać ą33-ą11 . (11.119) ą1' 3'=- "sinśą2"ąźąąą13"cosśą2"ąźą 2 Wzory (11.108), (11.113) i (11.119) są podobne do wzorów (7.17), (7.19) i (7.20). Zmianie uległy tylko wskazniki. Podobnie można wyprowadzić wzory transformacyjne dla płaskiego stanu naprężenia opisanego w klasycznym układzie współrzędnych X1X2 (XY). Naprężenia główne można wyznaczyć w podobny sposób, jak to zostało zrobione w rozdziale 7. Kąt nachylenia osi głównych wyznacza się ze wzoru Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 29 2"ą13 . tg śą2"ąglźą= (11.120) ą33-ą11 Podstawiając kąt a do wzorów transformacyjnych (11.108) i (11.113) można otrzymać wartość naprężeń gl głównych, które można obliczyć także z równania charakterystycznego (11.64). Pierwszy niezmiennik tensora (11.100) wynosi I =ą33ąą11 . (11.121) 1 Drugi niezmiennik tensora (11.100) wynosi ą11 ą13 2 I = =ą33"ą11-ą13 . (11.122) 2 [ ] ą31 ą33 Trzeci niezmiennik tensora (11.100) wynosi natomiast zero. Równanie charakterystyczne będzie miało postać 2 . (11.123) ą3- ą33ąą11 "ą2ą ą33"ą11-ą13 "ą=0 śą źą śą źą Równanie (11.123) można przedstawić w postaci 2 . (11.124) ą" ą2- ą33ąą11 "ąą ą33"ą11-ą13 =0 śą śą źą śą źą źą Pierwszym pierwiastkiem równania (11.124) jest zero. Pozostałe dwa pierwiastki można wyznaczyć z równania kwadratowego 2 . (11.125) ą2- ą33ąą11 "ąą ą33"ą11-ą13 =0 śą źą śą źą Delta równania kwadratowego wynosi 2 2 (11.126) ą= ą33ąą11 -4" ą33"ą11-ą13 . śą źą śą źą Deltę można przedstawić jako 2 2 2 (11.127) ą=ą33ą2"ą33"ą11ąą11-4"ą33"ą11ą4"ą13 , Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 30 którą można przedstawić ostatecznie w formie 2 ą33-ą11 2 , 2 2 (11.128) ą= ą33-ą11 ą4"ą13=4" ąą13 śą źą śą śą źą źą 2 Pierwiastki równania kwadratowego wynoszą 2 ą33ąą11 ą33-ą11 2 . (11.129) ą1/2= ą ąą13 śą źą 2 2 ćą Wzór (11.129) można wykorzystać do sprawdzenia obliczeń wartości naprężeń głównych. W podobny sposób można wyznaczyć kąt nachylenia układu współrzędnych, który odpowiada ekstremalnym naprężeniom stycznym. Kąt nachylenia można obliczyć ze wzoru ą33-ą11 . tg śą2"ąąźą=- (11.130) 2"ą13 Postawiając kąt a do wzorów transformacyjnych (11.108), (11.113) i (11.119) można wyznaczyć t ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne. Ekstremalne naprężenia styczne można sprawdzić ze wzoru 2 ą33-ą11 2 . (11.131) ą13 ą=ą ąą13 śą źą 2 ćą Naprężenia normalne odpowiadające ekstremalnym naprężeniom stycznym można wyznaczyć ze wzoru ą33ąą11 . (11.132) ą33 ą=ą11 ą= 2 Podobnie można wyprowadzić wzory dla obliczenia naprężeń głównych, ekstremalnych naprężeń stycznych oraz odpowiadających im naprężeń normalnych dla płaskiego stanu naprężenia opisanego w klasycznym układzie współrzędnych X X (XY). 1 2 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 31 11.9 Przykłady liczbowe 11.9.1 Wektor naprężenia Stan naprężenia przedstawiony w postaci tensora naprężenia 120 -45 70 ąij= -45 85 25 [MPa] (11.133) [ ] 70 25 -40 przedstawić na elementarnym prostopadłościanie. Wyznaczyć współrzędne wektora naprężenia na płaszczyznie o normalnej przedstawionej wektorem normalnym w postaci 2 2 1 . (11.134) Śą= n1 n2 n3 = n [ ] [ ] 3 3 3 Rysunek 11.19 przedstawia graficzną reprezentację tensora (11.133). Na rysunku tym zaznaczono prawidłowe zwroty naprężeń normalnych i stycznych. X3 25,0 85,0 X2 45,0 X1 Rys. 11.19. Stan naprężenia w punkcie. Zgodnie ze wzorem (11.18) pierwsza składowa wektora naprężenia wynosi . Śąśąnźą=120,0"2 ąśą-45,0źą"2 ą70,0"1 =73,33 MPa f (11.135) 1 3 3 3 Zgodnie ze wzorem (11.19) druga składowa wektora naprężenia wynosi Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 40,0 25,0 70,0 0 , 0 7 0 , 5 4 0 , 0 2 1 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 32 . Śąśąnźą= f śą-45,0źą"2 ą85,0"2 ą25,0"1 =35,0 MPa (11.136) 2 3 3 3 Zgodnie ze wzorem (11.20) trzecia składowa wektora naprężenia wynosi . Śąśąnźą=70,0"2 ą25,0"2 ąśą-40,0źą"1 =50,0 MPa f (11.137) 3 3 3 3 Rysunek 11.20 przedstawia wektor naprężenia na płaszczyznie o normalnej Śą . n X3 35,0 45,0 85,0 X2 25,0 X1 Rys. 11.20. Składowe wektora naprężenia. Wektor naprężenia można rozłożyć na składową normalną i składową styczną. Składową normalną wektora naprężenia oblicza się jako iloczyn skalarny wektora naprężenia i wektora normalnego n . Zgodnie ze Śą wzorem (10.16) iloczyn ten będzie miał postać 2 2 1 śąnźą . ąśąnźą=Śąśąnźą n= f "ni=73,33" ą35,0" ą50,0" =88,89 MPa (11.138) f "Śą i 3 3 3 Składową styczną obliczono z twierdzenia Pitagorasa Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 50,0 70,0 25,0 40,0 n Śą 0 , 0 3 2 3 , 1 3 7 0 , 5 4 0 , 0 7 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 33 2 2 (11.139) śą źą-88,892=34,65 MPa ąśąnźą= śą#"Śąśąnźą#"źą -śą źą f #"ąśąnźą#" = 73,332ą35,02ą50,02 ćą ćą Rysunek 11.21 przedstawia składową normalną i składową styczną wektora naprężenia. X3 35,0 X2 X1 Rys. 11.21. Składowe wektora naprężenia. 11.9.2 Równania różniczkowe równowagi Dany jest tensor naprężenia 3"x1 2"x3 -5"x2 6"x1"x2 2 2 (11.140) ąij= -5"x2 8"x2"x3 7"x1"x3 2 2 3 [ ] 6"x1"x2 7"x1"x3 -4"x1"x2"x3 oraz współrzędne wektora sił masowych -6"x1"x3ą5 G1 2 Śą G= = -16"x2"x3-14"x1"x3 . (11.141) G2 [ ] 3 [ ] G3 4"x1"x2-6"x2 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 50,0 n Śą 9 8 , 8 8 Śą f śą n źą 5 6 , 3 4 3 3 , 3 7 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 34 Należy sprawdzić, czy tensor (11.140) i wektor sił masowych (11.141) są w równowadze, to znaczy czy spełnione są różniczkowe równania równowagi (11.33). Pierwsze równanie równowagi ma postać "ą11 "ą21 "ą31 ą ą ąG1=6"x1"x3-5ą0ą "x3ą5 (11.142) [-6"x ]=0 . 1 " x1 " x2 " x3 Równanie zostało spełnione. Drugie równanie równowagi ma postać "ą12 "ą22 "ą32 2 ą ą ąG2=0ą16"x2"x3ą14"x1"x3 . " x1 " x2 " x3 (11.143) 2 ą -16"x2"x3-14"x1"x3 =0 [ ] Równanie zostało spełnione. Trzecie równanie równowagi ma postać "ą13 "ą23 "ą33 3 3 . ą ą ąG3=6"x2ą0-4"x1"x2ą 4"x1"x2-6"x2 =0 (11.144) [ ] " x1 " x2 " x3 Równanie to jaki i poprzednie dwa także zostało spełnione czyli tensor (11.140) i wektor sił masowych (11.141) spełniają różniczkowe równania równowagi. 11.9.3 Przestrzenny stan naprężenia Dla stanu naprężenia opisanego tensorem naprężenia 80 -20 35 ąij= -20 -100 45 [MPa] (11.145) [ ] 35 45 90 wyznaczyć naprężenia i kierunki główne oraz ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne. Następnie tensor naprężenia rozłożyć na aksjator i dewiator. Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia wynosi . I =80,0ąśą-100źąą90=70,0 MPa (11.146) 1 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 35 Drugi niezmiennik stanu naprężenia wynosi 80 -20 80 35 -100 45 I = ą ą =-13450 MPa2 . (11.147) 2 [ ] [ ] [ ] -20 -100 35 90 45 90 Trzeci niezmiennik stanu naprężenia wynosi 80 -20 35 I =#"ąij#"= -20 -100 45 =-858500 MPa3 . (11.148) 3 #" #" 35 45 90 Równanie charakterystyczne będzie miało postać . (11.149) ą3-70"ą2-13450"ąą858500=0 Zgodnie z I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew Matematyka-poradnik encyklopedyczny rozwiązanie równania postaci . (11.150) a"ą3ąb"ą2ąc"ąąd =0 będzie postaci b . ąi= yi- (11.151) 3"a Wyróżnik równania (11.149) i (11.150) jest zależny od wielkości 3"1"śą-13450źą-śą-70źą2 =-5028 MPa2 3"a"c-b2= (11.152) p= 9"a2 9"12 oraz 3 3 śą-70źą"śą-13450źąą b b"c d -70 858500 (11.153) q= - ą = - =259600 MPa3 . śą źą śą źą 3"a 2"1 6"a2 2"a 3"1 6"12 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 36 Wyróżnik równania sześciennego będzie wynosił (11.154) D=q2ą p3=2596002ąśą-5028źą3=-5,972"1010 MPa6 . Wyznacznik równania (11.154) jest ujemny więc równanie będzie miało trzy rzeczywiste pierwiastki. Pomocnicza wielkość r wynosi . (11.155) r=signśąqźą" #"p#"=signśą259600źą" #"-5028#"=1" #"-5028#"=70,91 MPa ćą ćą ćą Drugą wielkością pomocniczą jest q 259600 cosśą3"ąźą= = =0,7281 Śąą=14,42o . (11.156) r3 70,913 Pierwszy pierwiastek równania sześciennego będzie wynosił b . ą1=-2"r"cosśąąźą- =-2"70,91"cosśą14,42oźą--70 =-114,0 MPa (11.157) 3"a 3"1 Drugi pierwiastek równania sześciennego będzie wynosił b -70 . ą2=2"r"cosśą60o-ąźą- =2"70,91"cosśą60,0o-14,42oźą- =122,6 MPa (11.158) 3"a 3"1 Trzeci pierwiastek równania sześciennego będzie wynosił b . ą3=2"r"cosśą60oąąźą- =2"70,91"cosśą60,0oą14,42oźą--70 =61,42 MPa (11.159) 3"a 3"1 Naprężenia główne uporządkowane będą tworzyły tensor naprężenia ąI 0 0 122,6 0 0 . ągl= = [MPa] 0 ąII 0 0 61,42 0 (11.160) [ ] [ ] 0 0 ąIII 0 0 -114,0 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 37 Chcąc wyznaczyć oś główną związaną z naprężeniem sI należy naprężenie to podstawić zamiast s do układu równań jednorodnych (11.72). W wyniku tego otrzymano śą80,0-122,6źą"nśąI źąąśą-20źą"nśąI źąą35,0"nśąI źą=0 1 2 3 . (11.161) śą-20,0źą"nśą I źąąśą-100,0-122,6źą"nśąI źąą45,0"nśąI źą=0 1 2 3 { źą 35,0"nśąI ą45,0"nśąI źąąśą90,0-122,6 źą"nśą I źą=0 1 2 3 Zamiast trzeciego równania podstawiono warunek ortogonalności 2 2 2 . (11.162) nśą I źą ą nśąI źą ą nśą I źą =1 [ ] [ ] [ ] 1 2 3 Układ (11.161) będzie miał postać śą80,0-122,6 źą"nśą I źąąśą-20źą"nśąI źąą35,0"nśąI źą=0 1 2 3 . śą-20,0źą"nśąI źąąśą-100,0-122,6 źą"nśąI źąą45,0"nśąI źą=0 (11.163) 1 2 3 2 2 2 { źą źą źą nśąI ą nśąI ą nśąI =1 [ ] [ ] [ ] 1 2 3 Chcąc rozwiązać układ równań (11.163) należy wprowadzić pomocnicze niewiadome nśą I źą 2 ą2= (11.164) nśą I źą 1 oraz nśąI źą . 3 ą3= (11.165) nśąI źą 1 Układ równań (11.163) będzie miał postać śą-20,0źą"ą2ą35,0"ą3=-śą80-122,6źą . (11.166) { śą-100,0-122,6 źą"ą2ą45,0"ą3=20,0 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 38 Ostatecznie układ (11.166) będzie miał postać śą-20,0źą"ą2ą35,0"ą3=42,6 . (11.167) { śą-222,6źą"ą2ą45,0"ą3=20,0 Rozwiązaniem układu jest . ą2=0,1766 ,ą3=1,318 (11.168) Korzystając z równania (11.162) n1(1) można wyznaczyć z zależności 1 . nśąI źą=ą (11.169) 1 2 1ąą2ąą3 ćą 2 Przyjęto dodatnią wartość n1(1), która wynosi 1 . nśą I źą= =0,6010 (11.170) 1 1ą0,17662ą1,3182 ćą Pozostałe kosinusy kierunkowe wyliczone z równa (11.164) i (11.165) wynoszą nśą I źą=0,1766"0,6010=0,1061 2 (11.171) 1 . (11.171) nśą I źą=1,318"0,6010=0,7921 2 3 Postępując w podobny sposób można wyznaczyć kosinusy kierunkowe dla pozostałych dwóch naprężeń głównych. Macierz transformacji wynosi nśąI źą nśąI źą nśą I źą 0,6010 0,1061 0,7921 1 2 3 . agl= = (11.172) nśą II źą nśąII źą nśą II źą 0,7865 -0,2543 -0,5628 1 2 3 [ ] [ ] nśą III źą nśąIII źą nśą III źą 0,1417 0,9613 -0,2363 1 2 3 Wyznacznik z macierzy transformacji (11.172) wynosi +1 czyli układ osi głównych określony tą macierzą jest układem prawoskrętnym. Jeżeli wyznacznik wynosiłby -1 to w dowolnym wierszu należy zamienić wszystkie Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 39 znaki na przeciwne. Na koniec należy sprawdzić czy macierz transformacji (11.172) spełnia warunek (10.61), który ma postać i (11.173) nśąp' źą źą=ąi ' j ' . "nśąpj' Wskazniki i' oraz j' przyjmują wartości I, II, III. Pierwszy warunek ma postać . (11.174) nśą I źą 1 źąąnśąI źą 2 źąąnśąI źą 3 źą=0,60102ą0,10612ą0,79212=0,9998H"1 "nśąI 2 "nśąI 3 "nśąI 1 Drugi warunek będzie miał postać . (11.175) nśąII źą 1 źąąnśąII źą 2 źąąnśąII źą 3 źą= 0,78652ąśą-0,2543źą2ąśą-0,5628źą2=1 "nśąII 2 "nśąII 3 "nśąII 1 Trzeci warunek będzie miał postać . (11.176) nśąIII źą 1 źąąnśąIII źą 2III źąąnśąIII źą 3 źą= 0,14172ą0,96132ąśą-0,2363źą2=1 "nśąIII 2 "nśą 3 "nśąIII 1 Czwarty warunek będzie miał postać nśąI źą 1II źąąnśą I źą 2II źąąnśąI źą 3 źą=0,6010"0,7865ą0,1061"śą-0,2543źą "nśą 2 "nśą 3 "nśąII 1 . (11.177) ą0,7921"śą-0,5628źą=0 Piąty warunek będzie miał postać nśąI źą 1 źąąnśą I źą 2III źąąnśąI źą 3 źą=0,6010"0,1417ą0,1061"0,9613 "nśąIII 2 "nśą 3 "nśąIII 1 . (11.178) ą0,7921"śą-0,2363źą=0 Szósty warunek będzie miał postać nśąII źą 1 źąąnśąII źą 2 źąąnśą II źą 3 źą=0,7865"0,1417ąśą-0,2543źą"0,9613 "nśąIII 2 "nśąIII 3 "nśąIII 1 . (11.179) ąśą-0,5628źą"śą-0,2363źą=0 We wzorach (11.174) do (11.179) zastosowano wartości symbolu Kroneckera Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 40 ąI , I=ąII , II=ąIII , III=1 . (11.180) ąI , II=ąII , III=ąI , III=0 Przecinek we wzorze (11.180) nie oznacza różniczkowania. Kosinusy kierunkowe osi głównych równają się współrzędnym wersorów tych osi (długość wersora wynosi jeden). Na rysunku 11.22 przedstawiono położenie osi głównych za pomocą współrzędnych wersorów tych osi. Na rysunku 11.23 przedstawiono elementarny prostopadłościan z zaznaczonymi naprężeniami w układach X1X2X3 oraz XIXIIXIII. X I X3 X2 0,9613 -0,2543 0,1061 X III X II X1 Rys. 11.22. Położenie osi głównych. X3 X I 45,0 100,0 X2 20,0 X1 X III X II Rys. 11.23. Naprężenia główne. Aby rozłożyć tensor naprężenia (11.145) należy zastosować wzory (10.107), (10,108) i (10.109). Suma wyrazów na głównej przekątnej równa pierwszemu niezmiennikowi wynosi 70,0 MPa. Aksjator będzie miał więc postać Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 0,7921 -0,2363 -0,5628 90,0 45,0 35,0 7 1 4 1 , 0 5 6 8 7 0 , 1 0 0 6 , 0 1 2 2 , 6 0 , 5 3 0 , 0 2 2 1 0 4 1 , , 4 0 1 , 0 8 6 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 41 1"ą 0 0 70 0 0 pp 3 3 23,33 0 0 1 70 . ąśąOźą= = = (11.181) 0 "ą 0 0 0 0 23,33 0 ij pp 3 3 [ ] 0 0 23,33 1"ą 0 0 70 [ ][ ] 0 0 pp 3 3 Dewiator tensora naprężenia będzie miał postać 80-23,33 -20,0 35,0 56,67 -20,0 35,0 . (11.182) ąśąDźą= -20 -100,0-23,33 45,0 = -20,0 -123,3 45,0 ij [ ] [ ] 35,0 45,0 90,0-23,33 35,0 45,0 66,67 Rozkład tensora naprężenia w układzie osi głównych na aksjator i dewiator będzie miał postać 23,33 0 0 122,6-23,33 0 0 , ągl= ą (11.183) 0 23,33 0 0 61,42-23,33 0 [ ] [ ] 0 0 23,33 0 0 -114,0-23,33 który ostatecznie będzie miał postać 23,33 0 0 99,27 0 0 . ągl= ą (11.184) 0 23,33 0 0 38,09 0 [ ] [ ] 0 0 23,33 0 0 -137,3 Rysunek 11.24 przedstawia rozkład tensora naprężenia w osiach głównych na aksjator i dewiator. Jak łatwo sprawdzić suma wyrazów na głównej przekątnej w dewiatorze równa się zero czyli Dźą Dźą . (11.185) ąśąIDźąąąśąII ąąśąIII =0 Z równania (11.185) wynika, że Dźą Dźą (11.186) ąśąII =-ąśąIDźą-ąśąIII . Dewiator w osiach głównych będzie miał więc postać Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 42 99,27 0 0 Dźą . ąśągl = (11.187) 0 -99,27-śą-137,3źą 0 [ ] 0 0 -137,3 Dewiator (11.187) można przedstawić jako sumę dwóch tensorów 99,27 0 0 0 0 0 Dźą . ąśągl = ą (11.188) 0 -99,27 0 0 137,3 0 [ ] [ ] 0 0 0 0 0 -137,3 Każdy z tych tensorów przedstawia stan naprężenia nazywany czystym ścinaniem (rysunek 7.15 oraz wzory (7.72), (7.73) i (7.74)). X III X II 61,42 X I X III X III X II X II 23,33 38,09 + X I X I aksjator dewiator Rys. 11.24. Rozkład tensora naprężenia w osiach głównych na aksjator i dewiator. Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 114,0 = 23,33 137,3 6 , 2 2 1 3 7 3 2 , , 3 9 2 9 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 43 Na rysunku 11.25 przedstawiono rozkład dewiatora na dwa czyste ścinania. Jak widać każdy z tych stanów naprężenia działa w innych płaszczyznach. Na rysunku tym zaznaczono także przekątną, która jest rozciągana natomiast prostopadła do niej przekątna jest ściskana (rysunek 7.16). Płaszczyzny działania naprężeń stycznych są oczywiście nachylone pod kątem 45 stopni w stosunku do układu osi głównych. X III X II 38,09 X I X III X III X II X II 99,27 137,3 + X I X I Rys. 11.25. Pierwszy możliwy rozkład dewiatora na dwa czyste ścinania. Drugi możliwy sposób rozkładu dewiatora ma postać 99,27 0 0 0 0 0 Dźą . ąśągl = ą (11.189) 0 0 0 0 38,09 0 [ ] [ ] 0 0 -99,27 0 0 -38,09 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 137,3 = 137,3 7 2 , 9 9 1 3 7 , 3 3 , 7 3 1 9 9 , 2 7 7 2 , 9 9 7 2 , 9 9 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 44 X III X II 38,09 X I X III X III X II X II 38,09 X I X I Rys. 11.26. Drugi możliwy rozkład dewiatora na dwa czyste ścinania. We wzorze tym wykorzystano zależność Dźą Dźą . (11.190) ąśąIII =-ąśąIDźą-ąśąII Drugi sposób rozkładu tensora naprężenia na dwa czyste ścinania przedstawia rysunek 11.26. Trzeci możliwy sposób rozkładu dewiatora ma postać 137,3 0 0 -38,09 0 0 Dźą . ąśągl = ą (11.191) 0 0 0 0 38,09 0 [ ] [ ] 0 0 -137,3 0 0 0 We wzorze tym wykorzystano zależność Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 137,3 = 99,27 38,09 + 7 2 , 9 9 3 8 , 9 0 0 9 , 8 3 7 2 , 9 9 7 2 , 9 9 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 45 X III X II 38,09 X I X III X III X II X II 38,09 X I X I Rys. 11.27. Trzeci możliwy rozkład dewiatora na dwa czyste ścinania. Dźą D (11.192) ąśąIDźą=-ąśąII -ąśąIIIźą . Trzeci sposób rozkładu tensora naprężenia na dwa czyste ścinania przedstawia rysunek 11.27. Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne w układzie obróconym wokół osi XIII (X3) o kąt +45 stopni można obliczyć ze wzoru (11.85). Tensor naprężenia ma postać ąIąąII ąI-ąII 122,6ą61,42 - 0 -122,6-61,42 0 2 2 2 2 , ąi ' j'= = (11.193) ąI-ąII ąIąąII -122,6-61,42 122,6ą61,42 0 - 0 2 2 2 2 [ ] [ ] 0 0 0 0 0 0 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 137,3 = 137,3 + 7 2 , 9 9 3 8 3 , , 0 7 9 3 9 0 1 , 8 3 3 , 7 3 1 9 0 , 8 3 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 46 który będzie miał ostatecznie postać 92,01 -30,59 0 . ąi ' j'= -30,59 92,01 0 [MPa] (11.194) [ ] 0 0 0 Rysunek 11.28 przedstawia elementarny prostopadłościan z zaznaczonymi ekstremalnymi naprężeniami stycznymi i odpowiadającymi im naprężeniami normalnymi. X III X III=X 3' X 2' X II X II 61,42 X I X I X 1' Rys. 11.28. Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne na płaszczyznie X X . 1' 2' Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne w układzie obróconym wokół osi X I (X1) o kąt +45 stopni można obliczyć ze wzoru (11.87). Tensor naprężenia ma postać 0 0 0 ąIIąąIII ąII-ąIII 0 - , ąi ' j'= (11.195) 2 2 ąII-ąIII ąIIąąIII [ ] 0 - 2 2 który będzie miał postać Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 114,0 3 0 , 5 9 9 1 5 0 , , 0 2 3 9 6 , 9 2 2 2 1 , 0 1 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 47 0 0 0 61,42ąśą-114,0źą 61,42-śą-114,0źą 0 - . ąi ' j'= (11.196) 2 2 61,42-śą-114,0źą 61,42ąśą-114,0źą [ ] 0 - 2 2 Wzór (11.196) będzie miał ostatecznie postać 0 0 0 . ąi ' j'= -26,29 -87,71 [MPa] (11.197) 0 [ ] 0 -87,71 -26,29 Rysunek 11.29 przedstawia elementarny prostopadłościan z zaznaczonymi ekstremalnymi naprężeniami stycznymi i odpowiadającymi im naprężeniami normalnymi. X III X 2' X III X 3' X II 61,42 X II X I X I=X 1' Rys. 11.29. Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne na płaszczyznie X X . 2' 3' Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne w układzie obróconym wokół osi XII (X2) o kąt +45 stopni można obliczyć ze wzoru (11.89). Tensor naprężenia ma postać ąIIIąąI ąIII-ąI 0 - 2 2 , ąi ' j '= (11.198) 0 0 0 ąIII-ąI ąIIIąąI [ ] - 0 2 2 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 114,0 2 9 6 2 , , 2 6 9 2 1 7 , 7 8 8 7 , 7 1 6 , 2 2 1 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 48 który będzie miał postać śą-114,0źąą122,6 śą-114,0źą-122,6 0 - 2 2 . ąi ' j'= (11.199) 0 0 0 śą-114,0źą-122,6 śą-114,0źąą122,6 [ ] - 0 2 2 Wzór (11.199) będzie miał ostatecznie postać 4,3 0 118,3 . ąi ' j '= [MPa] (11.200) 0 0 0 [ ] 118,3 0 4,3 Rysunek 11.30 przedstawia elementarny prostopadłościan z zaznaczonymi ekstremalnymi naprężeniami stycznymi i odpowiadającymi im naprężeniami normalnymi. X III X III X 3' X II X II=X 2' 61,42 X I X I X 1' Rys. 11.30. Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne na płaszczyznie X X . 1' 3' Współrzędne wektora naprężenia na płaszczyznie o wektorze normalnym (11.201) n Śą=[0,2000 0,7000 0,6856] Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 114,0 3 , 4 8 , 3 1 1 6 , 2 2 1 3 , 4 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 49 wynoszą śąnźą f =80,0"0,2000ąśą-20,0źą"0,7000ą35,0"0,6856=26,00 MPa 1 śąnźą . (11.202) f =śą-20,0źą"0,2000ąśą-100,0źą"0,7000ą45,0"0,6856=-43,15 MPa 2 śąnźą f =35,0"0,2000ą45,0"0,7000ą90,0"0,6856=100,2 MPa 3 ą 43,69 ą 61,42 -114,0 122,6 4,3 -26,29 92,01 Rys. 11.31. Koło Mohra dla stanu naprężenia w punkcie. Składowa normalna wynosi . (11.203) ąśąnźą=26,00"0,2000ąśą-43,15źą"0,7000ą100,2"0,6856=43,69 MPa Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 118,3 103,3 -30,59 -87,71 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 50 Długość wektora naprężenia wynosi . (11.204) #"Śąśąnźą#"= śą26,00źą2ąśą-43,15źą2ąśą100,2źą2=112,2 MPa f ćą Składowa styczna wynosi . (11.205) ąśąnźą= śą112,2źą2-śą43,69źą2=103,3 MPa ćą Na rysunku 11.31 przedstawiono koło Mohra dla stanu naprężenia reprezentowanego przez tensory (11.145) i (11.160). Na rysunku tym zaznaczono także punkt o współrzędnych równych s i t , które obliczono ze wzorów (11.203) i (11.205). Jak widać punkt ten znajduje się w obszarze dopuszczalnym (rysunek 11.16) Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński 11. ANALIZA STANU NAPRŻENIA 51 (11.1) ą11-ą ą21 ą31 śą źą ą11-ą ą21 śą źą ą12 ą22-ą ą32 śą źą ą12 ą22-ą śą źą [ ] ą13 ą23 ą13 ą23 śąą -ąźą 33 Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater Dr inż. Janusz Dębiński