Mieczysław Wilk
Materiał pomocniczy
Do obliczania reakcji w podporach belek
Mielec 2007
Spis treści
Dział Nazwa działu Strona
1 Wstęp 3
2 Wiadomości i umiejętności do zrozumienia i zapamiętania 4
3 Algorytm obliczania reakcji w podporach belki
12
4 Przykład belki i jej obcią\
enia wraz z ogólnym rozwiązaniem
13
5 Propozycja prac projektowych 19
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
2
1. Wstęp
Niniejsze opracowanie ma charakter skrypto-zeszytu napisanego według zasady: minimum niezbędnych wiadomości 
maksimum umiejętności. Czyste strony są przeznaczone do wykonywania notatek z zajęć lekcyjnych i własnych zapisków.
ZnajdujÄ… siÄ™ tu wszystkie wa\
ne zagadnienia związane z obliczaniem reakcji w podporach belek, wskazówki praktyczne
przy rozwiązywaniu oraz rozwiązane ( na ogólnych danych )  wzorcowe przykłady .
Jako zeszyt do wykonywania w nim prac projektowych z przedmiotu mechanika techniczna charakteryzuje siÄ™ tym, \
e
zadania projektowe sÄ… indywidualne dla ka\
dego rozwiązującego z uwagi na własny, przez ucznia, wybór belki i jej
obciÄ…\
enia oraz przyjęcie własnych danych. Ponadto, daje on mo\
liwość rozwiązywania prac projektowych na wolnych
stronach niniejszego opracowania oraz mo\
liwość wyboru stopnia trudności, którym odpowiadają odpowiednie oceny.
RozwiÄ…zanie pracy kontrolnej jest warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny z mechaniki technicznej.
Minimax przeznaczony jest dla uczniów technikom bran\
y mechanicznej oraz studentów wy\
szych uczelni technicznych.
Wszelkie uwagi dotyczące  minimaxa będą mile widziane i posłu\
ą udoskonaleniu następnych wersji niniejszego
opracowania.
Mielec, marzec 2007 Mieczysław Wilk
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
3
2. Wiadomości do zrozumienia i zapamiętania
1. Jaka jest reakcja podpory przegubowej stałej a jaka podpory przegubowej przesuwnej?
Reakcja podpory stałej Reakcja podpory przesuwnej
R sy R s R p
Ä…
S P
s
R sx
Rsx
2 2
Rs = Rsx + R cos Ä… =
sy s
Rs
Reakcja podpory przegubowej stałej R s jest zaczepiona w punkcie styczności podpory S i posiada nieznany
kierunek, zwrot i wartość. Nieznany kierunek R s rozkładamy na dwa kierunki R sx i R sy . Na rysunku długość
wektora reakcji R s ( a tym samym i jego składowych R sx i R sy ) oraz jego zwrot przyjmujemy dowolnie.
Reakcja podpory przegubowej przesuwnej R jest zaczepiona w punkcie styczności podpory P
p
i posiada zawsze kierunek prostopadły do jej podstawy. Na rysunku długość wektora reakcji R p oraz jego zwrot
przyjmujemy dowolnie.
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
4
2. Jaka jest reakcja utwierdzenia stałego a jak utwierdzenia przesuwne?
Reakcja utwierdzenia stałego Reakcja utwierdzenia przesuwnego
R us R up
R y
R x M u
M u
Reakcja utwierdzenia stałego R us jest zaczepiona w punkcie styczności i posiada nieznany kierunek, zwrot
i wartość. Nieznany kierunek R us rozkładamy na dwa kierunki R x i R y . Na rysunku długość wektora reakcji R us
( a tym samym i jego składowych R x i R y ) oraz jego zwrot przyjmujemy dowolnie. Pojawia się równie\
moment
utwierdzenia M u, którego kierunek jest zawsze prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez kierunek reakcji
i oś belki. Na rysunku zwrot i długość łuku wektora M u przyjmujemy dowolnie.
Reakcja utwierdzenia przesuwnego R up jest zaczepiona w punkcie styczności i posiada kierunek zawsze
prostopadły do płaszczyzny utwierdzenia. Na rysunku długość wektora reakcji R up oraz jego zwrot przyjmujemy
dowolnie. Pojawia się równie\
moment utwierdzenia M u, którego kierunek jest zawsze prostopadły do
płaszczyzny wyznaczonej przez kierunek reakcji i oś belki. Na rysunku zwrot i długość łuku wektora M u
przyjmujemy dowolnie.
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
5
3. Jaka jest reakcja więzów wiotkich?
R w
G
Reakcja więzów wiotkich R w posiada zawsze kierunek wzdłu\
osi tych więzów wiotkich, czyli wzdłu\
osi: lin,
sznurów, łańcuchów, itp.
4. Jak wnioskujemy w przypadku gdy wynik reakcji jest dodatni, a jak gdy jest ujemny?
W przypadku dodatniego wyniku obliczonej reakcji w podporach belki wnioskujemy, \
e wstępnie przyjęty
zwrot tej reakcji jest prawidłowy ( nie zmieniamy go ).
W przypadku gdy otrzymamy ujemny wynik dla reakcji to wnioskujemy, \
e wstępnie przyjęty zwrot dla tej
reakcji nale\
y zmienić na przeciwny.
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
6
5. Co to jest rzut siły na oś?
Rzutem siły na oś  F x  nazywamy wektor, który posiada:
- kierunek odpowiadający kierunkowi osi na którą rzutujemy,
- zwrot przyjmowany umownie za dodatni wtedy gdy odpowiada zwrotowi osi na którą rzutujemy,
- wartość równą iloczynowi wartości rzutowanej siły i cosinusa kąta ostrego zawartego pomiędzy kierunkiem
rzutowanej siły a kierunkiem osi na którą rzutujemy.
F
Ä…
F x x
F x = F . cosÄ… [ N ]
6. Co to jest moment siły względem bieguna?
Momentem siły  M o  względem bieguna  0  nazywamy wektor, który posiada:
- kierunek zawsze prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez kierunek siły i biegun,
- zwrot przyjmowany umownie za dodatni wtedy gdy siła swoje ramię stara się obrócić dookoła bieguna
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
7
- wartość równą iloczynowi wartości siły i ramienia. Ramię momentu siły  r  jest to odległość bieguna
od kierunku siły.
F r
A
B
r F
M A = - F . r [ Nm ]
M B = + F . r [ Nm ]
7. Co to są warunki równowagi płaskiego układu sił?
Warunki równowagi płaskiego układu sił są układem równań, których spełnienie gwarantuje odebranie stopni
swobody ciału na płaszczyz
nie.
Dla płaskiego zbie\
nego układu sił ( p. z. u. s.  to taki układ sił na płaszczyz
nie, których kierunki przecinają się
w jednym punkcie zwanym punktem zbie\
ności )) mamy dwa warunki równowagi:
n
suma rzutów wszystkich sił ( od i = 1 do n ) na oś 0x
F = 0
" i x jest równa zero
czytaj:
i = 1
n
suma rzutów wszystkich sił ( od i = 1 do n ) na oś 0y
F = 0
jest równa zero
" i y
czytaj:
i = 1
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
8
Dla płaskiego dowolnego układu sił ( p. d. u. s.  to taki układ sił na płaszczyz
nie, których kierunki są dowolnie
zorientowane ) mamy trzy warunki równowagi:
n
suma rzutów wszystkich sił ( od i = 1 do n ) na oś 0x
F = 0
" i x
czytaj:
jest równa zero
i = 1
n
F = 0
suma rzutów wszystkich sił ( od i = 1 do n ) na oś 0y
" i y
czytaj:
i = 1
jest równa zero
n
M = 0
" i 0
czytaj:
suma momentów od wszystkich sił ( od i = 1 do n )
i = 1
liczonych względem bieguna 0 jest równa zero
8. Co to jest belka?
Belka jest to poziomy lub ukośny element konstrukcyjny przyjmujący obcią\
enia z powierzchni poziomych
i przenoszący je na podpory (ściany, słupy, filary, kolumny). Belka pracujące na zginanie i ścinanie (w belkach,
zwłaszcza w elementach ukośnych występują tak\
e naprÄ™\
enia rozciągające lub ściskające). Mo\
e być wykonana
z drewna, stali, betonu, \
elbetu, czasem z kamienia.
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
9
9. Jak zrównywać obcią\
enie belki siłą ciągłą?
q [ N / m ]
x pq x kq
Q [ N ]
x s
ObciÄ…\
enie ciągłe q działające na belkę mo\
emy zrównowa\
yć działaniem obcią\
enia skupionego Q, którego:
- kierunek odpowiada kierunkowi działania obcią\
enia ciągłego,
- zwrot odpowiada zwrotowi obciÄ…\
enia ciągłego,
- wartość jest równa iloczynowi wartości obcią\
enia ciągłego i długości belki na której działa,
( )
Q = q Å" xkq - xpq [ N ]
- punkt przyło\
enia znajduje się w środku długości działania obcią\
enia ciągłego.
xpq + xkq
xs = [ m ]
2
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
10
10. Jak zrównowa\
yć obcią\
enie belki momentem skupionym?
X M
M s [ Nm ]
F
r
X M
F
ObciÄ…\
enie belki momentem skupionym M s mo\
emy zrównowa\
yć działaniem pary sił, której moment posiada
zwrot i wartość równy momentowi skupionemu.
M = F Å" r [ N m ]
s
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
11
3. Algorytm obliczania reakcji w podporach belki
1. Wybór stopnia trudności i przyjęcie danych projektowych.
2. Narysowanie belki i jej obciÄ…\
enia,
3. Narysowanie reakcji w podporach belki,
4. Napisanie analitycznych warunków równowagi,
5. Przekształcenie warunków równowagi ze względu na szukane wielkości podporowe,
6. Obliczenia matematyczne,
7. Analiza wyników dla reakcji w podporze stałej,
8. Analiza wyników dla reakcji w podporze przesuwnej.
Uwaga:
Analiza wyników w podporze stałej dotyczy znaków reakcji składowych R sx i R sy , narysowania poprawnych zwrotów dla
tych reakcji oraz obliczenia reakcji R s oraz jej kata nachylenia do osi 0X ( lub 0Y ).
Analiza wyniku w podporze przesuwnej dotyczy jedynie znaku R p.
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
12
4. Przykład belki i jej obcią\
enia wraz z ogólnym rozwiązaniem
Przykład 1. Dane projektowe: wartości, kierunki i punkty obcią\
enia belki
R
s
R
p
q
Ä…
F
1 F 2
Xs X X2 X X X Xp
1 3 4 5
Ms
i = 5
Fi x = 0 Ô! R + F Å" cos Ä… = 0
" s x 2
i = 1
i = 5
o
Fi y = 0 Ô! R - F1 - F Å" cos ( 90 - Ä… ) - q Å"( x - x ) + R = 0
" s y 2 4 3 p
i = 1
i = 6
x + x
4 3
Mi S = 0 Ô! - F1 Å" x - F2 Å" cos ( 90o - Ä… ) Å" x - q Å"(x - x ) Å" - M + R Å" x = 0
" 1 2 4 3 s p p
2
i = 1
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
13
Sprawdzenie poprawności wyznaczonych reakcji: R p , R s
i = 6
x + x
4 3
Mi P = - M + q Å"( x - x ) Å" (x - ) + F2 Å" cos (90 - Ä… ) Å" (x - x ) +
" s 4 3 p p 2
2
i = 1
?
)
+ F1 Å"( x - x - R Å" x = 0
p 1 s y p
Uwaga: Z równania pierwszego wynika, \
e w wyniku obliczeń, R sx będzie miało znak ujemny, a więc wstępnie przyjęty
zwrot nale\
y zmienić na przeciwny. Z równania drugiego wynika, \
e znak R sy będzie dodatni, a więc wstępnie
przyjęty zwrot nie ulega zmianie. Z równania trzeciego wynika, \
e R p ma wynik dodatni, a więc jego zwrot
pozostaje bez zmian.
Reakcja podpory przegubowej stałej Reakcja podpory przegubowej przesuwnej
R s R sy R p
Ä…
s
R sx
S P
Rsx
2 2
Rs = Rsx + R cos Ä… =
sy s
Rs
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
14
Przykład 2. Dane projektowe: wartości, kierunki i punkty obcią\
enia belki
R y
Ä…
F 1 q F 2
R x M u x 1 x 2 x 3 x 4
M s
i = 5
Fi x = 0 Ô! - R - F Å" cos Ä… = 0
" x 1
i = 1
i = 5
o
Fi y = 0 Ô! R - F Å" cos ( 90 - Ä… ) - q Å" x2 - F = 0
" y 1 2
i = 1
i = 7
x
2
o
M = 0 Ô! - M - F1 Å" cos ( 90 - Ä… ) Å" x - q Å" x2 Å" + M - F2 Å" x = 0
" i u u 1 s 4
2
i = 1
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
15
Sprawdzenie poprawności wyznaczonych reakcji: R u , M u
i = 7
?
x
2
M = - Ry Å" x4 - M + q Å" x2 Å" ( x4 - ) + F Å" cos (90 - Ä… ) Å" (x - x ) + M = 0
" i x4 u 1 4 1 s
2
i = 1
Uwaga: Z równania pierwszego wynika, \
e w wyniku obliczeń R x będzie miało znak ujemny, a więc wstępnie przyjęty
zwrot nale\
y zmienić na przeciwny. Z równania drugiego wynika, \
e znak R y będzie dodatni, a więc wstępnie
przyjęty zwrot nie ulega zmianie. Z równania trzeciego wynika, \
e z obliczeń na M u wynik wyjdzie te\
ujemny,
a więc zwrot dla momentu utwierdzenia te\
nale\
y zmienić na przeciwny.
Reakcja podpory przegubowej stałej Moment utwierdzenia
R y R u
M u
Ä…
u
U R x
Rx
2 2
Ru = R + R cos Ä… =
x y u
Ru
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
16
Przykład 3. Dane projektowe: wartości, kierunki i punkty obcią\
enia belki oraz Ä…
w
R u
q R w
Ä… F
x 1 x 2 x 3
M u Ä…
w
i = 4
Fi x = 0 Ô! F Å" cos Ä… - R Å" cosÄ… = 0
" w w
i = 1
i = 4
o
Fi y = 0 Ô! R - F Å" cos ( 90 - Ä… ) - q Å" ( x - x ) - R Å" cos ( 90o - Ä… ) = 0
" u 3 2 w w
i = 1
i = 5
x + x
3 2
o
M = 0 Ô! M - F1 Å" cos ( 90 - Ä… ) Å" x - q Å" ( x - x )Å" -
" i u u 1 3 2
2
i = 1
- R Å" cos ( 90 - Ä… )Å" x = 0
w 3
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
17
Sprawdzenie poprawności wyznaczonych reakcji: R u , M u , R w
i = 7
?
x - x
3 2
M = M - Ru Å" x3 + F Å" cos ( 90o - Ä… )Å" ( x - x1 )+ q Å" ( x - x )Å" = 0
" i x3 u 3 3 2
2
i = 1
Uwaga: Z równania pierwszego wynika, \
e wynik dla R w będzie dodatni, a więc wstępnie przyjęty zwrot reakcji więzła
wiotkiego pozostanie nie zmieniony.
Z równania drugiego wynika, \
e znak R u będzie dodatni, a więc wstępnie przyjęty zwrot nie ulega zmianie.
Z równania trzeciego wynika, \
e z obliczeń na M u wynik wyjdzie te\
dodatni, a więc zwrot dla momentu
utwierdzenia te\
nale\
y zmienić na przeciwny.
Reakcja więzła wiotkiego Reakcja utwierdzenia przesuwnego Moment utwierdzenia
R u
M u
R w
Ä…
w
U
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
18
5. Propozycja prac projektowych
Stopnie trudności i odpowiadające im oceny szkolne :
- p.r.u.s = { F1 , F2 } dopuszczajÄ…cy
- p.r.u.s = { F1 , F2 , F3 } plus dopuszczajÄ…cy
- p.d.u.s = { F1 , F2 , F3}  jedna siła pod katem ostrym do osi belki dostateczny
- p.d.u.s = { F1 , F2 , F3}  dwie siły pod kątem ostrym do osi belki plus dostateczny
- p.d.u.s = { F1 , F2 , F3 , F4}  dwie siły pod kątem ostrym do osi belki dobry
- p.d.u.s = { F1 , F2 , F3, q}  trzy siły pod kątem ostrym do osi belki plus dobry
- p.d.u.s = { F1 , F2 , F3 , F4 , q}  trzy siły pod kątem ostrym do osi belki bardzo dobry
- p.d.u.s = { F1 , F2 , F3 , F4 , q , M s}  cztery siły pod kątem ostrym do osi belki celujący
Uwaga:
Dane projektowe przyjąć samodzielnie, tak aby wartości liczbowe nie powtarzały się we własnym projekcie
i w projektach kolegów.
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
19
UdostÄ™pnienie elektroniczne www.eduskrypt.pl © Copyright by MieczysÅ‚aw Wilk
20