Egzamin z RPII, 4 lutego 1997
1. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają jednakowy rozkład Cauchy ego.
Okazuje się, że X + Y ma ten sam rozkład, co aX. Wyznaczyć a. Jak zmieni
siÄ™ odpowiedz
dla rozkładów gaussowskich?
1 1 1 2
2. Niech P (Xn = ) =P (Xn = - ) = oraz P (Xn =0) =1 - . Znalez
ć
n n n n
granicę rozkładów zm. los. Xn i podać jej funkcję charakterystyczną.
3. W pudełku A jest 6 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 6, w pudełku B
 ani jednej. Wykonano 100000 rzutów kostką i po każdym rzucie przekładano
kulę z wylosowanym numerem do drugiego pudełka. Jaka jest (w przybliżeniu)
szansa, że pudełko B jest puste?
4. Niech Xi będą wynikami kolejnych rzutów kostką i niech Zn będzie ostat-
niÄ… cyfrÄ… liczby X1 · . . . · Xn. Jakie sÄ… stany pochÅ‚aniajÄ…ce Å‚aÅ„cucha Markowa
Zn?
5. Zmienna losowa Ä jest momentem Markowa. Czy Ä2 musi być momentem
Markowa?
6. Józio założył się z Olkiem, że w 100 rzutach kostką uzyska w sumie nie
mniej niż 400 oczek i w tym celu rozpoczął ćwiczenia. Ile serii po 100 rzutów
musi średnio wykonać, żeby doczekać się takiego wyniku?
7. Wydział Matematyki pragnąłby przyjąć nie więcej niż 120 kandydatów.
ZdajÄ…cych jest 250, a szansa zaliczenia testu wynosi 0,4. Jakie jest prawdopo-
dobieństwo, że Wydział będzie miał kłopot z nadmiarem kandydatów?
8. Znalez
ć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o gęstości
1
h(t) = e-|t|, t " R.
2
T-1. Niech p oznacza prawdopodobieństwo uzyskania orła w pojedynczym
rzucie monetą i niech Xp będzie liczbą rzutów potrzebnych do uzyskania dwóch
orłów. Wykazać, że jeśli p 0, to rozkłady zmiennych losowych 2pXp zmierzają
(w słabym sensie) do rozkładu o gęstości
1 x
2
g(x) = xe- · Ç[0,")(x).
4
D D
T-2. Wykazać, że jeÅ›li ¾n ¾, ·n a, gdzie a jest staÅ‚Ä…, to
D
(¾n, ·n) (¾, a).
T-3. Niech Zn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym roz-
kładzie i zerowej średniej, i niech
n

X0 =0, Xn = Zk-1 · Zk.
k=1
Udowodnić, że (Xn, Ã(Z1, . . . , Zn)) jest martyngaÅ‚em.
1
Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa II, 21 stycznia 2001.
I. Część testowa. Należy napisać wyłącznie odpowiedz
.
1. Rzucono 7 razy kostką. Ile średnio  szóstek otrzymano w dwóch pierw-
szych rzutach, jeśli wiadomo, że wypadły cztery  szóstki ?
2. Zmienna losowa Xn ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1 - 1], n =
2, 3, . . .. Wyznaczyć limn" P (Xn " [1/3, 2/3]).
3. X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z para-
metrem 1. Obliczyć a) E((X + Y )2|X); b) E(X|(X + Y )2).
4. Õ1, Õ2 sÄ… funkcjami charakterystycznymi. Czy poniższe funkcje sÄ… zawsze
funkcjami charakterystycznymi?
1 2
a) Õ1Õ2; b) Õ1 + Õ2; c) Õ1 + Õ2; a) eitÕ1(-3t).
3 3
5. Czas obsługi przy kasie w supermarkecie ma rozkład wykładniczy o śred-
niej 5 (minut). Oszacować prawdopodobieństwo, że łączny czas obsługi 100
klientów przekroczy 9 godzin. Czasy obsługi poszczególnych klientów są nie-
zależne.
6. Proces (Xn, Fn) jest martyngałem. Czy wynika stąd, że dla n =2, 3, . . .:
a) EXn = EX1;
b) EXn1{X 0} = EX11{X 0};
n 1
c) EXn1{X 0} = EX11{X 0}.
1 1
7. Zmienne losowe Xi są niezależne i mają rozkład jednostajny na [0, 1].
Wyznaczyć EÄ, gdzie Ä =inf{n: X1 +. . . +Xn 1}.
8. Rzucamy kostką do chwili otrzymania wszystkich parzystych wyników.
Jaka jest wartość średnia sumy wyrzuconych oczek?
9. Dane sÄ… momenty stopu Ä i Ã. Które ze zdarzeÅ„ należą do FÄ ? Do FÃ?
a) {Ä <Ã}; b) {Ä Ã}; c) {Ä = Ã}.
W trzech następnych zadaniach Wt, Vt, t 0 są niezależnymi procesami
Wienera.
t
10. Obliczyć EeisW .
11. Obliczyć funkcję kowariancji procesu Wt - tW1.
12. Podać warunek konieczny i dostateczny na to, by proces aWt + bVt był
procesem Wienera.
II. Część teoretyczna. Wymagane jest pełne rozwiązanie z uzasadnieniem.
T1. Wykazać, że rodzina rozkładów wykładniczych z parametrami (t)t"T
jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy supt"T t < ".
T2. Wykazać, że jeśli Xn X według rozkładu, an a, bn b, to
anXn + bn aX + b według rozkładu.
T3. Proces (Xn, Fn) jest martyngałem, Dn = Xn+1 - Xn, n = 1, 2, . . ..
Wykazać, że jeśli zmienne losowe Dn są ograniczone, to są nieskorelowane.
2