WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOÅšCI Z WYTRZYMAA
OÅšCI MATERIAA
ÓW
WYKA
AD 2
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam A
odygowski, Krzysztof Tymper
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Poznań 2002/2003
1. STAN ODKSZTAA
CENIA.
1.1. Wektor przemieszczenia.
Rozważmy ciało odkształcalne jak na rysunku poniżej (rys.1.1).Pod wpływem
różnych czynników zewnętrznych ciało to może przejść ze stanu pierwotnego do stanu
aktualnego czyli po odkształceniu.
Rys.1.1
Przyjmijmy, że punkt P0 ciała w stanie naturalnym ma współrzędne:
X1, X , X . Wektor X (dla tego punktu) określony jest następująco:
2 3
X = X1 Å" e1 + X Å" e2 + X Å" e3 . Ten sam punkt ciaÅ‚a po odksztaÅ‚ceniu przejdzie w
2 3
położenie P o współrzędnych: x1, x2 , x3 , a wektor przemieszczenia przyjmuje postać:
x = x1 Å" e1 + x2 Å" e2 + x3 Å" e3 . Powyższy zapis jest zapisem ruchu ciaÅ‚a (a wÅ‚aÅ›ciwie
jednego z jego punktów). Wektor u = x - X (ui = xi - X )nazywamy wektorem
i
przemieszczenia. Za wektor u możemy uważać:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOÅšCI Z WYTRZYMAA
OÅšCI MATERIAA
ÓW
- wektor wyrażający przemieszczenie punktu materialnego, zajmującego
przed odkształceniem położenie P0
- wektor wyrażający przemieszczenie punktu materialnego, który po
odkształceniu ciała zajmuje w przestrzeni położenie pokrywające się z
punktem P
W pierwszym przypadku mówimy o opisie ruchu współrzędnymi Lagrange a (opis
materialny). Polega on na wyrażeniu wszystkich wielkości opisujących ruch za pomocą
położenia początkowego cząstek i czasu co zapisujemy:
xi = xi (X1, X , X3,t)
(2.1)
2
W drugim o opisie współrzędnymi Eulera (opis przestrzenny) w którym wszystkie
wielkości opisujące ruch wyrażone są za pomocą położenia końcowego cząstek i czasu:
Xi = Xi(x1, x2, x3,t)
(2.2)
Rozpatrzmy dwie cząstki ciała odkształcalnego podlegającego ruchowi w czasie
od t0 do t . Spójrzmy na rysunek (Rys.1.2)
Rys.1.2
W chwili t0 współrzędne cząstek (punktów Q i P) są następujące: X oraz X + dX , a
i i i
po upływie czasu t : xi oraz xi + dxi . Mamy zatem:
2
2
(dX ) = d X = d X Å" d X = dX Å" dX = ´ Å" dX Å" dX (2.3)
i i ij i j
2
gdzie (dX ) -kwadrat odległości początkowej cząsteczek, a:
dX = X (x1, x2 , x3t)
i i
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOÅšCI Z WYTRZYMAA
OÅšCI MATERIAA
ÓW
"X
i
dX = dx
i j
"x
j
"X "X "X
2 2 2
dX = dx1 + dx2 + dx3
2
"x1 "x2 "x3
"X "X
2
k k
(dX ) = dX Å" dX = Å" dxi Å" dx
k k j
"xi "x
j
2
(dX ) = Cij Å" dxi Å" dx stÄ…d otrzymujemy:
j
"X "X
k k
Cij = Å"
TENSOR DEFORMACJI COUCHIEGO (2.4)
"xi "x
j
W chwili t ,czyli po deformacji kwadrat odległości między cząsteczkami wynosi:
2
2
(dx) = d x = d x Å" d x = dxi Å" dxi = ´ Å" dxi Å" dx (2.5)
ij j
xi = xi(X1, X , X )
2 3
"xi
dxi = dX
j
"X
j
"xk "xk
2
(dx) = dxk Å" dxk = Å" dX Å" dX
i j
"X "X
i j
2
(dx) = Gij Å" dX Å" dX stÄ…d otrzymujemy:
i j
"xk "xk
Gij = Å"
TENSOR DEFORMACJI GREENA (2.6)
"X "X
i j
Możemy zatem zapisać, że:
2 T
(dx) = {dX} [G]Å"{dX}
T
[G]= [xi, j] [xi, j] otrzymujÄ…c:
îÅ‚ x1,1 x1,2 x1,3 Å‚Å‚
MACIERZ MATERIALNYCH
ïÅ‚x x2,2 x2,3 śł
[xi, j]=
2,1 GRADIENTÓW DEFORMACJI
ïÅ‚ śł
ïÅ‚x3,1 x3,2 x3,3 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOÅšCI Z WYTRZYMAA
OÅšCI MATERIAA
ÓW
"xi MACIERZ MATERIALNYCH GRADIENTÓW
xij =
(2.7)
DEFORMACJI
"X
j
2 2
Za miarę odkształcenia uważamy różnicę: (dx) - (dX ) , zgodnie z wzorami (1.3 i
1.5) otrzymujemy:
ëÅ‚
"xk "xk öÅ‚
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚dX
(dx) - (dX ) = Å" - ´ Å" dX = 2Lij Å" dX Å" dX
ij i j i j
ìÅ‚ ÷Å‚
"X "X
i j
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
1 "xk "xk öÅ‚ TENSOR ODKSZTAA
.
ìÅ‚ ÷Å‚ SKOC
CZONYCH
Lij = Å" - ´
(2.8)
ij
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "X "X LAGRANGE A
i j
íÅ‚ Å‚Å‚
1
W zapisie tensorowym: [G]= ([G]-[I])
2
Podstawmy do wzoru (1.8) zamiast xk różnicę: xk = X + uk , mamy wtedy:
k
1ëÅ‚ "ui "uj "uk "uk öÅ‚ TENSOR ODKSZTAA
.
SKOC
CZONYCH
ìÅ‚ ÷Å‚
Lij = + +
(2.9)
2ìÅ‚"Xj "Xi "Xi "Xj ÷Å‚ LAGRANGE A W OPISIE
íÅ‚ Å‚Å‚
PRZESTRZENNYM
W zapisie tensorowym:
1
T T
[L]= [[J ]+ [J ] + [J ] Å"[J ]] (2.10)
2
îÅ‚u1,1 u1,2 u1,3 Å‚Å‚
ïÅ‚u
przy czym: [Ji, j]= [ui, j]= u2,2 u2,3śł
2,1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚u3,1 u3,2 u3,3śł
ðÅ‚ ûÅ‚
We współrzędnych Euler a:
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
ìÅ‚´ ij "X k "X k ÷Å‚dxi Å" dx j = 2Eij Å" dxi Å" dx j gdzie:
(dx) - (dX ) = - Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
"xi "x
j
íÅ‚ Å‚Å‚
Eij -tensor odkształceń skończonych Euler a (Alamansiego)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOÅšCI Z WYTRZYMAA
OÅšCI MATERIAA
ÓW
Tym razem wprowadzamy zamiast X różnicę: X = xk + uk otrzymując:
k k
ëÅ‚
1 "ui "u j "uk "uk öÅ‚ TENSOR ODKSZTAA
.
ìÅ‚ ÷Å‚ SKOC
CZONYCH
Eij = + -
(2.11)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "x "xi "xi "x EULERA W OPISIE
j j
íÅ‚ Å‚Å‚
PRZESTRZENNYM
W zapisie tensorowym:
1
T T
[E]= [[K]+ [K] + [K] Å"[K]] (2.11)
2
przy czym podobnie jak wyżej: [Ki, j]= [ui, j]
W przypadku małych przemieszczeń tensor odkształceń skończonych Lagrange'a i
Eulera przyjują postać:
ëÅ‚
1 "ui "u j öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
lij = +
ìÅ‚
2 "X "Xi ÷Å‚
j
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
1 "ui "u j öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
eij = + gdzie lij = eij
ìÅ‚
2 "X "Xi ÷Å‚
j
íÅ‚ Å‚Å‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper