1. DZIAA
ANIA UOGOLNIONE
Rodziną indeksowaną nazywamy f-cję która liczbom naturalnym przyporządkowuje zbiory. Przykład.: N0  liczby naturalne z zerem właściwym; I=N0, X"R, X-przestrz./zbór,
Ś rodzina indeksowana; Śi=Ai=[i,i+1], i=0,1,...; A0=[0,1], A1=[1,2], ...; przykł: (brak)
Rodzina indeksowana zbioru: niech I`"" będzie rodziną indeksów. Funkcję Ś: I�(x) ; iŚ(i)=Śi nazywamy rodziną indeksowaną zbioru.
Sumą uogólnioną podzbio. rodziny Ś nazyw: *"(i"Ś)a"{x"X: (i"I) x"Śi}
Iloczynem uogóln. podzbio. rodziny Ś nazyw.: )"(i"Ś)a"{x"X: (i"I) x"Śi} przykł: I=N0, X"R, Śi=Ai  [i,i+1), i=0, 1, ...; *"(i"I)Ai=[0,+")=R+=Ś;
)"(i"I)Ai=[0,+")=R+=Ś; Własności sumy i iloczynu uog.: 1) Prawa de Morgana (*"(i"I)Śi) =)"( i"I)Śi ; ()"(i"I)) =*"(i"I)Śi ; 2) Prawa de Morgana uogólnione dla
różnicy zbiorów: A\*"(t"T) At= )"(t"T) (A\At) ; A\)"(t"T) At= *"(t"T) (A\At) 3) Własności: a) (x"*"(t"T) At)�! (t"T) (x"At) ; b) (x")"(t"T) At)�! (t"T) (x"At) ; c)
(x "*"(t"T) At)�! (t "T) (x"At) ; d) (x ")"(t"T) At)�! (t "T) (x"At) ; e) A(" *"(t"T) At= *"(t"T) (A("At) ; f) *"(t"T) (At Bt)�" *"(t"T) At *"(t"T) Bt ; g) )"(t"T) At ("
)"(t"T) Bt �" )"(t"T) (At("Bt);
2. RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI
Parą uporządkowaną (a,b) nazywamy zbiór {{a},{b}}, Iloczynem kartezjańskim nazywamy zbiór A1� A2�...�An= {(a1, a2, ...an):ai"Ai , i=1,2,...,n} Relacja: Niech X`""`"Y,
wtedy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X�Y nazywamy relacją binarną (dwuelementową), między elementami zbioru X i zbioru Y. Dziedziną relacji R�"X�Y nazywamy
zbiór DR={x:X, (y"Y) xRy}, przeciwdziedziną nazywamy zbiór DR-1={y:Y, (x"X) xRy};
Relację R�"X�X nazywamy relacją równoważności w X jeżeli ma ona własności: 1. jest zwrotna (x"X) xRx inaczej- [(x,x)"R], 2. Jest symetryczna (x"X) xRy�!yRx
inacz- [(x,y)"R�!(x,y)"R], 3. Jest przechodnia (x,y"X) xRy yRz�!xRz inacz- [(x,y)"R (y,z)"R �!(x,z)"R], przykład: (brak)
Zasada abstrakcji: Tw. Jeżeli R jest relacją równoważn. w zb. X to odwzorowanie: �:XP(x), x�(x)=(notujemy)=[x] {y"X:xRy} (czyt. elem. zbioru X przyporządkow.
cały podzb.), ma własn: 1. (x"X) �(x)`"", 2. (y"X) (x"X) y"�(x)=[x], 3. (x"X) [[x]=[y] ([x] [y]`"0)]; [x]  klasa abstrak. elem. x = klasa elem. x;    czyt.
albo kroją się te klasy,
3. RELACJA CZ
ŚCIOWEGO I LINIOWEGO PORZ
DKU
Df. Mowimy że relacja d" jest relacja częściowego porządkującą zbiór X, jeżeli relacja d" ma własn: 1. (x"X) x"X (zwrotność), 2. (x,y"X) [xd"y yd"x �! x=y]
(antysymetria), 3. (x,y,z"X) [xd"y xd"z �! xd"z] (przechodniość); Przykł: Relacja d" w R: X`"", P(x), gdzie P to zb. liczb rzeczy.: (A,B"P(x)) [Ad"B �! A�"B], spełnia 1.
Ad"A (A�"A),itd. dla  d" i  �" pkty 2 i 3; R częściowo porządkuje zbiór A jeżeli DR=A i R jest relacją częściowo porządkującą.
Df. Mówimy że relacja częściowego porządku d" w zbiorze X porządkuje x liniowo, jeżeli jest dodatkowo spójna i spełnia war spójności 4. (x,y"X) xd"y (" yd"x;
Element największy (najmniejszy) A�"X, Df. Elem. xo"A nazyw. najw. (najmn.) w zbiorze A jeżeli: najw: (x"A) xd"x0 , najmn: (x"A) x0d"x;
Element maksymalny: x0"A jest elem. maksym. zbioru jeśli: ~ (x"X) (x0d"x x0`"x). Element minimalny: x0"A jest elem. minim. zbioru jeśli: ~ (x"X) (x0e"x x0`"x).
Kresy zbiorów: X`"0, (X, d"), "`"A�"X Df. Mowimy ze A jest ograniczone z góry jeżeli (a"X) (x"A) xd"a; ograniczone z dołu jeżeli (b"X) (x"A) bd"x; Zbiór
oraniczonym nazyw. taki który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. || Jeżeli zb. A jest ograniczony gory i zbiór ograniczeń ma element najmniejszy, to ten elem.
nazyw. kresem górnym zb. A (supA). || Jeżeli zb. A jest ograniczony dołu i zbiór ograniczeń ma element największy, to ten elem. nazyw. kresem dolnym zb. A (intA).
4. FUNKCJE
Def. Funkcji: Relację f spełniającą warunek (x,y,z) ((x,y)"f (x,z)"f �! y=z) nazywamy funkcją. F-cja jest przykładem relacji binarnej. Inaczej: Mówimy że relacja
R�"X�Y jest f-cją z X do Y lub odwzorowaniem zbioru X w Y, jeżeli (x"X) cięcie relacji R[x] jest zbiorem co najwyżej 1-dno e;emetowym. Piszemy: f: XY.
Zbiór X to dziedzina f-cji (Df), każdy element x"X to argument f-cji. Zbiór Y to przeciwdziedziną f-cji (Df-1). Elementy zbioru Y to wartości f-cji.
Def. Odwzorowanie f: XY nazywamy injekcją jeżeli f-cja f jest różnowartościowa, tzn spełnia warunek: (x1,x2) x1`"x2�! f(x1)`"f(x2) (odwzorowanie różnowartościowe)
Def. Odwzorowanie f: XY nazywamy surjekcją jeżeli f-cja f spełnia warunek: (y"Y) (x"X) f(x)=y, tzn. jeżeli f(X)=Y (odwzorowanie X ma w Y); Def. Odwzorowanie
f: XY nazywamy bijekcją jeżeli f-cja jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
Obrazy i przeciwobrazy: f: XY, (X`""`"Y), A�"X; Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy nastepujacy podzb. zbioru Y: f(A):={y"Y: (x"A) y=f(x)}.
Przeciwobrazem zbioru B�"Y przy odwzorow. f nazyw. następuj. podzb. zbioru X: f-1(B):={x"X: f(x)"B}; Własności obrazów i przeciwobr.: 1. f(*"(t"T) At)= *"(t"T) f(At),
A={At�"X: t"T}, 2. f()"(t"T) At) �" *"(t"T) f(At), 3. f-1(*"(t"T) Bt)= *"(t"T) f(Bt), 4. a) f-1()"(t"T) Bt) �" *"(t"T) f-1(bt); b) f(A1)\f(A2) �" f(A1\A2), f-1(B1\B2) = f-1(B1)\f-1(B2),
f(f-1(B)=B o ile B�"f(x), f-1(f(A))�"A;
Tw. (o parze funkcji wzajemnie odwrotnych) Niech f-cja równowartościowa f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Jeżlei każdemu elem. y"Y przyporządkowujemy jedyny elem.
x"X spełniający równość y=f(x), to tak określone odwzorow. zbioru Y na zbiór X nazyw. f-cją odwrotną do f i oznaczamy symb. f  1, tj. f  1:YX, gdzie
(x"X, y"Y) y=f(x)�! x= f  1(y); Z tego wynika że: f -1(f(x))=x i f -1(f(y))=y. Wyktesy takich f-cji są symetr. względem f=x.
5. CIAA
A LICZBOWE
Ciało jest tpo zespół (A,Ą%,�%) złożony ze zb. A, 1. działania Ą%, które: a) jest przemien. i łączne, b) wyznacza w zbi. A elem. neutr. M
, c) każdemu elem. a ze zb. A
przyporządkowuje elem. odwrotny

; 2. oraz działania �%, które: a) jest przemienne (abelowe) i łączne, b) jest rozdzielne wzgl. działa. Ą%, c) wyznacza w zbiorze A elem. neutral.
O
rózny od M
, d) każdemu elementowi a zbioru A różnemu od M
przyporządkowuje elem. odwrotny 
. Przykł.: jest ciało liczbowe R liczb rzecz. w którym a,b,c, Działanie Ą% to
dodaw. i �% mnożenie. A
ączność: a(ab)=(ab)c, przemienno: ab=ba, rozdzieln: a(b+c)=ab+ac, elem. neutral, 0(+) i 1(�). W ciele rzeczyw. dane sa tez wlasnoci (a-b)+b=a, (a/b)b=a
Ciało liczb zespolonych Własności: 1. łącz. dodaw. (a,b)+[(c,d)+(e,f)]= [(a,b)+(c,d)]+(e,f); 2. ele. neutr.+ ((a,b)"Z) (a,b)+(0,0)= (0,0)+(a,b)=(a,b) 3. elem.
przeciw. ((a,b)"Z) (-(a,b)) (a,b) (a,b)+[- (a,b)]= -(a,b)+ (a,b)=(0,0) 4. przemien.+(abelow.) (a,b)+(c,d)= (c,d)+(a,b); 5. łącz.�. (a,b)[(c,d)(e,f)]= [(a,b)(c,d)](e,f); 6. ele. neutr.
(a,b)(1,0)= (1,0)(a,b)=(a,b); 7. roz.� wzgl.+ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f); 8. el. odwr. ((a,b)`"(0,0)) ((a,b)-1) (a,b)(a,b)-1= (a,b)-1(a,b)=(1,0) 9. przemien.�
(a,b)(c,d)=(c,d)(a,b) (zob. więcej Liczb. zesp. 6)
6. LICZBY ZESPOLONE
Niech a,b,c,d,... będą elementami ciała R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; będzie nim uporządkowana para liczb
rzeczywistych spełniająca pewne definicje i nazywana liczbą zespoloną. (własności ciała zob. pkt. 5 Ciało liczbowe)
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący:
(a,b)=(c,d) a=c'"b=d; (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc);
Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem dodawania i mnożenia.
Modułem liczby z=a+jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbą nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby:
|z|= "(a2+b2); Wł: 1. ||z1|-|z2||d" |z1ąz2|d"|z1|+|z2| 2. |z1z2|=|z1||z2| 3. |z1|/z2|=|z1|/|z2|
Tw. Licz. zesp. jest �! =0, gdy jej moduł jest =0: (z=0) (|Z|=0).
Liczbą sprzeżoną z liczbą z=a+jb, którą będziemy oznaczać przez (~
), nazywamy liczbami sprzężonymi. sp(z)=sp(x+iy) x-iy; Wł: 1. z�"sp(z)= x2+y2= |z|2
2. sp(z1+z2)=sp(z1)+sp(z2) 3. j.w.(�") 4. j.w.(:) 5. j.w.(-) 6. sp(sp(z))=z 7. |sp(z)|=|z| 8. x=((z+sp(z))/2) y=((z-sp(z))/2i)
Def. Potęgą stopnia naturalnego n liczby z, oznaczaną przez zn, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.
Ineterpret. geometr. licz. zesp.: Liczbę zesp. z=x+iy interpretujemy jako wektor wodzący OP=[x,y] punktu P(x,.y) na płaszczyżnie zespol., gdzier na osi odcietych odkładamy
część rzeczyw. a na osi rzędnych urojoną, dla li.zesp. z`"0 mamy z= "( x2+y2)�" ((x/"( x2+y2))+ i(y/"( x2+y2)))= r(cosŚ+ i sinŚ)), r=|z|
Def. Argumentem liczby z=x+jy `"0, oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą Ś, spełniającą dwa warunki: cosŚ=x/|z|, sinŚ=y/|z|, gdzie |z|="(x2+y2)>0
jest modułem liczby z.
Def. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z (n"N) nazyw. każdą li. zesp., której n-ta potęga równa się z, Jeżeli z=r(cosŚ+ isinŚ)`"0 i n"N to istnieje dokładnie n różnych
pierwiastków n-tego stopnia z liczby z. Są nimi liczby: zk= n"r (cos((Ś+2kĄ)/n)+ isin((Ś+2kĄ)/n)), k"Z=0, 1,& , n-1, r=|z|.
W przypadku n=2 piszemy "z. Nazywamy go także pierwiastkiem algebraicznym. Def. (Wzór Eulera). Potęgę ex o podstawie w i wykładniku z= x+jy, należącym do ciała liczb
zespolonych , określamy: ejy :=cosy+jsiny,; F-jce elementarne l.zesp.: 1. ex=exejy= ex(cosy+jsiny), 2. sinz= (ezi-e-zi)/z 3. cosz= (ezi+e-zi)/z 4. lnz={ln|z|+ i(Ś+2kĄ), k"Z};
Wrór de Moivre a (cosŚ+ isinŚ)n= cos nŚ+ isin nŚ, n"N; zn=n|z| (cos nŚ+ isin nŚ); Wzór ma zasosow. w trygonom.: (cosŚ+ isinŚ)n= cosnŚ+ (n1)icosn-1ŚsinŚ-
(n2)cosn-2Śsin2Ś+ & + insinnŚ; Oddzielając część rzecz. i uroj. otrzymujemy: cosnŚ= cosnŚ- (n2)cosn-2Ś�" sin2Ś+& , sinnŚ= (n1)cosn-1Ś�" sinŚ (n3)cosn-3Ś�" sin3Ś+& ;
7. PRZESTRZEC
LINIOWA
Def: Przestrz. liniowa na R: Niech A będzie zb.. zaś  + i  �" działaniami określonymi na tym zb. Układ złoż. ze zb. A i wymień. działań będziemy nazyawali przestrz.
wektorową lub liniową, elem. tego zb. wektorami, jeż. będą spełn. warunki: 1. ukł. złoż. ze zb. A i działania  + stanowi grupę abelową 2. dla dowolnych wekt. x i y przestrzeni
A i dow. liczb rzeczyw. ą i � zachodzą równości a) ą(x+y)= ąx+ąy b) (ą+�)x= ąx+�x c) (ą�)x= ą(�x) d) 1�"x=x; Przykł: Rn- zb. wszystk. ciągów (x1, ...,xn), gdzie x1, ...,xn są
licz. rzeczyw. dodaw. 2 takich ciągów: (x1, ...,xn)+ (y1, ...,yn)= (x1+y1, ...,xn+yn), mnoż: ą(x1, ...,xn)= (ąx1, ...,ąxn), Układ taki (Rn,+,�") stanowi przestrz. liniową.
8. PRZESTRZEC
METRYCZNA I
Metryka Określenie metryki: X`"", d: X2R+ , (x,y)d(x,y); F-cję d: X2R+ nazywamy metryką, gdy ma własn: 1. d(x,y)=0 �! x=y (jednozn) 2. d(x,y)=d(y,x) (symetr.)
3. d(x,y)d"d(x,z)+d(z,y) (nier. trójkąta)
Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną przy czym (brak)
Przykład: X=R, d(x,y)=|x-y|, x,y"R, (R,||) przestrzeń liczb rzeczywistych z metryką naturalną, spr. własn: 1. d(x,y)=0 �! |x-y|=0 �! x-y=0 �!x=y,
2. d(x,y)=|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|=d(y,x),
3. D(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|d"|x-z|+|x-y|=d(x,z)+d(z,y);
Kule w p.m. x0"X, r>0; Kulą otwartą o środku x0 i promieniu r nazywamy zbiór: K�(x0,r) {x"X: d(x0,x)KŻ(x0,r) { x"X: d(x0,x) d"r}; Zbiór otwarty df: mówimy że A�"X jest zbio. otwa. w p.m. (X,d) jeżeli ma własn: (x"A) (K�(x,�)) K�(x,�)�"A; Każdy pkt. o własności zbiou
otw. Nazywamy punktem wewnętrz. zbioru A; Zbiór wszystkich punktów wewn. zbioru A nazywa się wnętrzem zbioru A i oznacza symb.  A� lub  intA ; Zbiór jest
domknięty �! gdy zbiór A�"A� (tzn. gdy jest = swojemu wnętrzu), Zbiór jest dmknięty w p.m. (x,d) �! ma własn: ((xn)�"A) xnx �! x"A; Brzeg: (X,d), A�"X, "A AŻ\A� =
AŻ A Ż, pkt P nazywamy brzegowym zbioru A, gdy P nie jest ani wewnętrzny ani zewn. wzgl. zbio. A, tzn jeśli w każdym otoczeniu pktu P conajm. jedn. pkt " A i jedn. "
A. Brzegiem nazywamy zb. pktów brzegowych; Domknięcie1: Jeżeli zb. A jest podzb p.m. to domknięciem zb. A nazyw. zbiór AŻ={x"W: ((xn)�"A) lim xn=x};
Domknięciem2 nazywamy sumę: zbioru A i pochodnej zb. A i oznaczamy  clA lub 
 ; (więcej zobacz Granice)
Ciągi zbieżne w p.m.: (X,d) xn"X Df. Ciągiem (xn) elementów p.m. (X,d) nazywamy zbieżnym do granicy x"X jeżeli ma on własn.:
(�>0) (n0"N) (n>n0) d(xn,x)<� ;lim(x0) nn=x, xn (n")x, d(xn,x)  (n")0; Własności ciągów zbieżn. w p.m. (X,d): 1. ciąg stały jest zbieżny {xn=x, n=1,2,...;
lim(n") xn=x} 2. ciąg ma conajwyżej 1 granicę, 3. Jeżeli XnX to dla dowolnego podciągu Xnk ciągu Xn: lim(k") Xnk=X
9. PRZESTRZEN METRYCZNA II
Warunek zbieżności ciągu (Cauchy ego) : Mówimy że ciąg (xn) w przestrz. metryczn. (X,d) spełnia warunek Cauchy ego jeżeli ma własn:
(�>0) (n0"N) (n>n0) (m"N) d(xn,xn+m)<�, d(xn,xn+m) (n")0; Tw. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy ego: (�>0) (n0"N) (n>n0) d(xn,x)<� (xnx);
d(xn,xn+m)d"d(xn,x)+d(xn+m,x)< �/2+�/2 dla n>n0 ; Przestrzeń metr. zupełna, to przestrzeń metr. (X,d) o własn.: (x �" (xn)"(c)) lim(n") xn = x"X, {{gdzie (xn)"(c)
oznacza: xn spełnia war. Cauchy ego}} Przykł: 1. zb. licz. rzecz. ze zwykłą metryką d(a,b)= |a-b| jest przestrz. zupełną, 2. (R,||) 3. (r2,d�) d�(P,Q)= "((xP-xQ)2+ (yP-yQ)2), P(xP,yP),
Q(xQ,yQ) 3. (Rn,d), x=(x1, ..., xn). y=(y1, ..., yn), d(x,y)= "((i=1)Ł(n)(xi-yi)2)
Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli f: (X,d)(X,d) jest odwzorowaniem zwężającym p.m. zupełnej w siebie ze stałą kontrakcji (punktem stałym) 0d"ą<1, to
1. (sp(x)"X) sp(x)=f(sp(x)) 2. dla dowolon. x0"X ciąg kolejnych przybliżeń (xn) startujacy z pktu x0 jest zbież. do sp(x), 3. zachodzi oszacowanie d(sp(x),xn)d"(ąn/(1-
ą)) d(x0,f(x0)) Dowód: Wykazać że (xn) spełnia war. Cauchy ego: d(x1,x2)= d(f(x0),f(x1))d" L d(x0,x1) ,, d(x2,x3)= d(f(x1),f(x2))d" L d(x1,x2) ,, ..(z zasady trójk.).. ,, d(xn,xn+1)d"
Ln d(x0,x1) ;; d(xn,xn+p)d" d(xn,xn+1)+ d(xn+1,xn+p)d" d(xn,xn+1)+ d(xn+1,xn+2)+ & + d(xn+p-1,xn+p)d" Ln d(x0,x1)+ Ln+1 d(x0,x1)+ & + Ln+p-1 d(x0,x1)= (Ln+ Ln+1+ & + Ln+p-1) d d(x0,x1)=
Ln ((1-Lp)/ (1-L)) d(xn,x1)d" Ln (1/ (1-L)) d(x0,x1);; Ln0 ponieważ L<1 0. Stąd wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy ego. Ponieważ (X,d) to przestrz. metr. zupełna to
lim(n") Xn= sp(x)"X.
10. PRESTRZEC
METRYCZNA III
Zbieżność  po współrzędnych w Rn:
Zbieżność jednostajna ciągu f-cyjnego w p.m. C[a,b]: f: [a,b]R ; fnf ;; sup([a,b]) |fn(x)- f(x)|0 ;; (�>0) (n0"N) (n>n0) (x"[a,b]) |fn(x)- f(x)|<� ;. Zbieżność niemal
jednostajna: Mowimy że ciąg f-cji (fn) taki że f: (a,b)R jest niemal jednost. zbież. do f-cji granicznej f, jeżeli jest on jednostaj. zbieżny na dowolnym przedziale domkniętym
[ą,�]�"(a,b) .; Przestrzeń metrzeń metrzyczna C[0,1]:
11. PRZESTRZEC
METR. IV, GRANICE, CI
GA
OŚĆ F-CJI
Definicja granicy lim(xx0) f(x) f-cji f: (X,d)(Y, �)
Def (Heinego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x0 granicę g co zapisujemy lim(xx0)f(x)=g) �! gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df\{x0} i zbieżnego do
punktu x0 ciąg (f (xn)) jest zbieżny do punktu g.; lim(xx0) f(x)=g�! ((xn)"Df\{x0}) xnx0, f(xn)g .;
Def (Cauchy ego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x0 granicę g �! gdy dla każdego �>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x"Df 0<|x-x0|< r�!|f(x)-g|< �;
lim(xx0) f(x)=g�! (�>0) (�>0) (x"X) d(x,x0)< ��! d(f(x),g) <�; Własności: działania arytmet. na granicach f-cji: Jeżeli lim(xx0) f(x)=g, lim(xx0)=p, i x0 jest pktem
skupienia zbio. Df Dh , to: 1,2,3. lim(xx0) [f(x)ą�h(x)]= gą�p; 4. lim(xx0) [f(x)/h(x)]=g/p, p`"0; 5. Jeż. lim(xx0) f(x)=g oraz lim(yg) h(y)=p, to lim(xx0) h[f(x)]=p;.
Ciągłość funkcji: Niech f oznacza f-cję liczbową i niech x0"Df :
Def (Heinego ciągłości funkcji): Mówimy, że f-cja jest ciągła w punkcie x0 �! gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df i zbieżnego do punktu x0 ciąg (f(xn)) jest
zbieżny do punktu f(x0).
Def (Cauchy ego): Mówimy, że f-cja f jest ciągła w punkcie x0 �! gdy (�>0) (�>0) (x"X) d(x,x0)<� �! �(f(x0)-f(x))<�.
Tw. F-cja f jest ciągła w punkcie x0 będącym punktem skupienia dziedziny Df �! gdy lim(xx0) f(x)=f(x0).
Def: Mówimy, że f-cja f jest ciągła �! gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.
Jednostajna ciągłość a lipschitzowalność: F-cja f: (X,d)(Y,�) jest jednost. ciągła na X gdy: (�>0) (�>0) (x1,x2"X) d(x1,x2)d"� �!�(f(x1),f(x2))<�;
Def. (Warunek Lipschitza): Mówimy że f: (X,d)(Y,�) spełnia war. Lipsch. ze stałą Lipsch. L, jeżeli: (0d"L) (x1,x2"X) �(f(x1),f(x2))d" L�"d(x1,x2). F-cja, która spoełnia war.
Lipsch. jest jednostajnie ciągła: (1) �(f(x1),f(x2))d" L�"d(x1,x2)< L�"� ;; d(x1,x2)<� - jednostajność ;; (2) �(f(x1),f(x2))<� - jednostajność:: z (1) i (2) wynika, że L�"�=� �! �=�/L
12. WA
ASNOŚCI F-CJI CI
GA
YCH NA ZB. ZWARTYM
Zbiory zwarte: Podzbiór A p.m. (X,d) nazyw. zb. zwartym, jeżeli ma własność: dowol. ciąg (xn)�"A zawiera podciąg zbież. do elem. zbioru A, tzn: (Xn�"A) (Xnk) Xnk
(k") x"A; Podzb. zwarty p.m. (X,d) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Ciągły obraz p.m. zwartej jest zbio. zwartym. Def. Przestrz. metr. (X,d) nazyw. zwartą gdy:
(Xn�"X) (Xnk) Xnk (k") x"X Tw. podzbiór zwarty w p.m. (X,d) jest zb. domkn. i ogranicz.
Tw. (Cantora o jedn. ciągł.) Jeż. f-cja f: (X,d)(Y,�) jest ciągłym odwzorow. p.m. zwartej (X,d) w p. m. (Y,�), to f jest jednost. ciągła na X. Dowód:
~ (�>0) (�>0) (x1,x2"X) [d(x1,x2)<� �!�(f(x1),f(x2))<�];;
E(�>0) (�>0) (x1,x2"X) [d(x1,x2)<� �!�(f(x1),f(x2))e"�];;
�1=1, x1,y1 d(x1,y1)<1 �(f(x1),f(y1))e"�;;
�2=1/2, x2,y2 d(x2,y2)<1/2 �(f(x2),f(y2))e"�;; ...
�n=1/n, xn,yn d(xn,yn)<1/n �(f(xn),f(yn))e"�;; (xn),(yn)�"X;;
(Xnk),Xnk  (n") sp(x)  zbieżny;; d(xnk,ynk)<1/nk �(f(xnk),f(ynk))e"�;;
(Xnk),Xnk  (m") sp(y);; d(xnkm,ynkm)<1/nkm �(f(xnkm),f(ynkm))e"�;;
xnsp(x), ynsp(y) �! d(xn,yn) d(sp(x),sp(y));;
d(xnkm 0,ynkm) d(sp(x) ,sp(y)), stąd sp(x)=sp(y);;
0
f(xnkm)f(sp(x)), f(ynkm)f(sp(y)) �! d(f(xnkm),f(ynkm)) d(f(sp(x)),f(sp(y)));;
d(f(xnkm) ,f(ynkm)) d(f(sp(x)) ,f(sp(y))) stąd : f(sp(x))=f(sp(y));;
0 0
a więc f(xnkm)-f(ynkm)= 0 ~(e"�);;.
Tw. (Weierstrassa): F-cja rzeczyw. f: (X,d)(R,||) okraślona i ciągła na przestrz. metr. zwartej (X,d) (np. f-cja f określona i ciągła na przedz.) jest f-cją ograniczona (na
tym określonym przedziale) i osiąga swoje kresy {tzn. isnieją takie liczby c1 i c2 że f(c1)= inf(ad"xd"b) f(x)), f(c2)= sup(ad"xd"b) f(x)}. Dowód: ograniczoność jest oczywista, gdyż
funkcja jest określona na ograniczonym przedziale domkn., mając zaś na myśli że f-cja jest ciągła na przedziale domkniętym i osiąga na tym przedziale kres dolny i górny zbioru
swoich wartości. Jeż. fcja ciągła jest określ. na przedz. otwartym, to nie może być ograniczona, więc kresy zbioru jej wartości nie mogą w ogóle isnieć np. tgx x"(-Ą/2,Ą/2). Jeż
f-cja ciągła na przedz. otw. jest ogranicz. na przedz. otwar. to i tak nie może osiągać na nim kresu swoich wartości np. f(x)=x, x"(a,b) tylko inf(a,b) x=a, sup(a,b) x=b.
13. CI
GI RZECZYWISTE I
Granica właściwa ciagu i własn.: war. Cauchy ego zbieżności ciągu: Liczba x jest granicą ciągu (xn) �! gdy: lim(n") xn=x �! (�>0) (n0) (m>n0) (k>n0) (|xm-xk|<�);
Własn. c. zbież. do gran wł. w R  1. działania na gran. ciągów: Dane są ciągi xn i yn: a,b,c. lim(n") (xną�yn)= lim(n")xną� lim(n")xn d. lim(n") (xn/yn)= (lim(n")xn)/
(lim(n")yn), yn`"0, lim(n")yn`"0; e. jeż. (n0) (n0d"n) xn4. dowol. podc. ciągu zbież. jest zbież. i to do tej samej granicy 5. Tw. dla a>0 n"an, n"n1 6. w przestrz. zupełn (R,||) każdy ciąg który spł. war Cauch. jest zbież. do elem. z
R 7. Tw. o 3 ciągach: Jeż. ciągi (xn) i (yn) są zbież. w R i lim(n")xn= lim(n")yn oraz ciąg (zn) ma własn.: (n0"N) (n>n0) xnd"znd"yn , to ciąg (zn) jest zbież. oraz lim(n")xn=
lim(n")yn= lim(n")zn Przykład: liczba Eulera e=(1+1/n)n
Tw. (o ciągu ograniczonym) 8. c. monotonicz. i ogranicz. jest zbieżn. 9. ciąg zbieżny jest ogranicz. 10. c. ogranicz. zawiera podciąg zbieżny (tw. Balzano -Weierstr. ) 11.
każdy c. niemalej./ nierosn. ogranicz. z góry/ dołu ma granicę właściw. w R 12. c. jest ogran. w R jeżeli spełnia war. Cauchy ego.
Tw. (O ciągu monotonicznym) Ciąg xn nazyw.: 1. rosną. jeż. (n"N) (xnxn+1) 3. niemalej. (n"N) (xnd"xn+1) 4. nierosn. (n"N) (xn>=xn+1)
14. CI
GI RZECZYWISTE II
Zupełność przetrz. metryczn. R: Przestrzeń (R,||), przestrz. liczb rzeczyw. z metryką natur. jest przestrz. metr. zupełną; Przestrzenią zupełna nazyw. p.m. (X,d) o własn:
(x�"xn"(c)) lim(n")xn=x"X czyli taką w której każdy ciąg Cauchy ego jest zbież. do jakiegoś elem. tej przestrz.
Granice niewłaściwe: Ciąg xa"na" nazyw. rozbieżnym do  ą" lub zbież. do granicy niewł.  ą" jeżeli: lim(n")xn=+(-)" �! (M) (n0) (n>n0) xn>(<)M
15. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ I
Def: Granicę właściwą ilorazu różnicowego gdy "x0 nazywamy pochodną f-cji w punkcie i oznaczamy symbolem f (x0), f (x0)=lim("x0) [f(x0 + "x) - f(x0)]/"x.
Def: Iloraz różnicowy f-cji f w punkcie x0 i dla przyrostu "x zmiennej niezależnej jest to stosunek [f(x0+"x)-f(x0)]/"x.
Tw. (O reprezentacji przyrostu): Jeżlei f: Ux0X ma pochodna f (x0) w p. x0 to słuszny jest wzór: "f(x0)=f(x0+"x)-f(x0)= f (x0)dx+�("x) gdzie � jest f_cją taką że �(0)=0,
lim("x0) �("x)/"x=0 Dowód: "f(x0)=f (x0)"x+ ("f(x0)- f (x0)"x) ;; lim("x0) (("f(x0)- f (x0)"x)/"x)= lim("x0) [("f/"x)�"( x0)- f (x0)]=0.;
(�("x))
Warunek koniecz. różniczkow. f-cji f w p.m.: Tw. jeż. f-cja f: Ux0R ma poczhodą w p. x0, to f-cja f jest ciągła w p. x0, Dowód: lim("x0) f(x0+"x)= f(x0).
16. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ II
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej): Jeż. R�"Ux0 ff(Ux0) gR, jeż. f-cja f ma pochodną w p. x0, a f-cja g ma pochodną w punkcie y0= f(x0) to istnieje poch. fcji g�"f w x0:
g [f(x0)]* f (x0)= (g�"f) (x0).
Def: Pochodną n-tego rzędu f-cji f w punkcie x okreS
lamy następująco: f (n) (x)= [f (n-1)](x), n=1,2,...przy czym [f (0)] (x)=f (x).
Def: Zakładamy że ist. pochodna f(n-1)(x) f-cji f: R�"Ux0R dla x"Ux0. Oznaczamy Ś(x)=fn-1(x). Jeż. istnieje Ś (x0), to tę f-cję (pierwsz. poch. f-cji Ś) nazywamy n-ta poch.
f-cji f w p. x0 lub poch. n-tego rzędu w p. x0, fn(x0), n=0,1,...;
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej): Jeż. f-cja f: R�"Df naDf-1�"R, jeż. f-cja f jest ciągła i monoton. i ma poch. w Df: f (x)`"0, x"Df to f-cja odwrotna f-1 ma poch. w Df-1 y
f-1 (x0)=1/f (f-1(x0));
Tw. (O pochodneej sumy, ilocz. ilorazu) f-cji: Dane sa f-cje f,g: UxoR takie że isnieje f (x0) i g (x0), wtedy: 1. (f(x0)ąg(x0)) = f (x0)ą g (x0) 2. [f(x0)g(x0)] = f (x0)g(x0)+
f(x0)g (x0) 3. [f(x0)/g(x0)] = {[f (x0)g(x0)- f(x0)g (x0)]/ g2(x0)}
17. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
Tw. (Rolle a): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale i różniczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c"(a;b), że f  (c)=0. Dowód: A) f(x)=const
f (x)=0 B) f(x)`"const. x" istnieje supf(x)>f(a)(" inff(x0, d"0 dla "x<0}, Ponieważ
c+"x", z założ. wiemy że istnieje poch. f (c) więc 0d"f- (c)= f (c)= f+ (c)d"0 czyli f (c)=0;.
Tw. (Lagrange a): Jeżeli f-cja f:[x0,x]R jest ciągła na przedziale domkn. ist f (x) dla x"(x0,x), to istnieje taki punkt c"(x0,x), że f(x)-f(x0)= f (c)(x-x0). Wnioski: 1)
Jeż. f-cja f: R�"DfR ma w Df poch. ograniczoną to f-cja jest lipschitzowalna. 2) jeż. f-cja f: R�"(a,b)R istnieje f (x)=0, x"(a,b) to f=cont. inacz: jeżeli dla każdego x"
f (x)=0 to dla każdego x" f(x)- f(x0)=0(x-x0) �! f(x)=f(x0). Jeżeli f (x0)=0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale stała. 3) jeżeli dla każdego
x" (a;b) f (x)>0 to: a) x0�! f(x)>f(x0). Jeżeli f (x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to
f-cja f jest na tym przedziale rosnąca 4) Jeżeli f  (x)<0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale malejąca.
Tw. (Taylora): Jeżeli f-cja f: Ux0R ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 f-cji w Ux0 oraz ma pochodną rzędu n w Ux0, to (x"Ux0) oraz x`"x0 istnieje liczba �"(0,1) taka że
f(x)= K=0Łn-1 [(fK(x0)/k!)* (x-x0)K]+ [(f(n)(c))/n!)* (x-x0)n] , c=x0+�(x-x0) Dowód: (dla przypadku 2d"n)  dla n=1 twierdzenie zredukuje się bowiem do tw. Lagrange a
reszta Lagrangea
o wart. średniej.;; Obieram dowol. x"Ux0, obierając dowolną licz. "R definiujemy f-cję Ć=Ćx,: Ux0R, tĆ(t);; Ć(t) f(x)- K=0
Łn-1 [(f K(t)/k!)* (x-t)K]- ((x-t)n)/n! ,t"Ux0,
Rozpatrzmy zawężenie (restrykcję) f-cji Ć do przedz
. ([x0,x] lub [x,x0]); Ć(x)=0; Dobieram  aby Ć(x0)=0, Z tw. Rolla: poniważ spełnione są założ. tw. Rolla, istnieje c należące
do przedz. o końc. (x) i (x0) takie że Ć (c)=0;;
Ć (t)= (-1)K=0Łn-1 [(fK+1(t)/k!)* (x-t)K]+ K=0Łn-1 [(fK(t)/ (k-1)!)* (x-t)K-1]+ [(x-t)n-1/(n-1)!]= (-1)K=0Łn-1 [(fK+1(t)/ k!)* (x-t)K]+ K=0Łn-2 [(fK+1(t)/ k!)* (x-t)K]+ [(x-t)n-1/ (n-1)!]= (-1)�"
[(fn(t)/ (n-1)!)* (x-t)n-1]+ [(x-t)n-1/ (n-1)!]= (-1)�" [(fn(c)/ (n-1)!)* (x-c)n-1]+ [(x-c)n-1/ (n-1)!]=0;; (x-c)n-1/ (n-1)!�" [- fn(Ć)]=0;; =fn(Ć), c=x0+ �(x-x0), �"(0,1);;.
Wz. Maclaurina: We wzorze Taylora kładąc x0=0 otrzymamy K=0Łn-1[(f (K) (0)) /k!]*xK +R n , gdzie Rn=[f (n) C/n!]* x n. Punkt c jest położony między 0 i x.
18. CAA
KA RIEMANNA I
Suma całkowa Riemanna f-cji f na przedziale : Rn= k=1Łn f(ck)*"xk, �n=max(1d"kd"n)"xk  średnica przedziału, "xk=xk-xk-1, k=1, 2, ..,n  długość prezdz. częściowego;
Def: Jeżeli dla każdego ciagu normalnego podziału przedziału [a,b] na przedzialiki częściowe, ciąg sum częściowych (Rn) jest zbież. do granicy właści. niezależnie od wyboru
punktów pośrednich ci , to granicę tę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) z f-cji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem a+"bf(x)dx. O f-cji mówimy że jest ona R
całkowalna na przedziale domkniętym ;
Warunek koniczny R-całkow. f-cji: jeż. f-cja f: [a,b]R jest r-całkow. to jest ona f-cją ograniczoną na [a,b],
Warunek koniczny i wystarczaj. R-całkow. f-cji: Całka ozn. Riemanna z f-cji f na [a,b] isnieje �! gdy istnieją całki Darboux i są sobie równe (SnS;; sns) i s=S
19. CAA
KA RIEMANNA II
Liniowość całki Riemanna: Tw. Jeżeli f-cje f,g: [a,b]R sa R-całkowal. na przedz. [a,b] to 1) (dodaw.) f-cja f+g: [a,b]R: x(f+g)(x)=f(x)+g(x), jest również całkowalna na
tym przedz. [a,b] i ma miejsce równość: a+"b[f(x)+g(x)]dx= a+"bf(x)dx+ a+"bg(x)dx (addytywność całki wzgl. f-cji podcałk.) 2) (wyłącz. czynn. stałego) f-cja ąf: [a,b]R
,ą"R(jednorodność całki) : x(ąf)(x)=ąf(x);;
R(a,b)  zbiór wszystk. f-cji R całkow. na [a,b], (a,b)- przestrz. wektorowa z działań. dodaw. mnoż. f-cji przez skalar po wspólczynnikach.;; Operator całkowy T: R(a,b)R,
fT(f)= a+"bf(x)dx, jest funkcjonałem liniowym T(f+g)=T(f)+T(g); T(ąf)=ąT(f), całkoa liniowa jest funkcjon. liniowym;;
Tw. (O całkowaniu przez podstawienie całki ozn.): Jeżeli: 1) f-cja g(t) jest ciągła na przedziale i przekształca go na przedz. <ą,�> 2) f-cja t= h(x) jest klasy C1 3)
zbiorem wartości f-cji t= h(x) jest przedział <ą,�>, i przy tym ą=h(a) i �=h(b) to prawdziwy jest wzór dla całki oznaczonej a+"bg[h(x)]h (x)dx= ą+"�g(t)dt. ;; Zeszyt: Jeż. 1.
Ć:<ą,�> -na ma choch w <ą,�> 2. f:R ma f. pierwotną na to +"(f�"Ć)f (t)dt= (F�"Ś)(t)+c, t";
Tw. (O całkowaniu przez części): Jeżeli f-cje u i v są klasy C1 na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór +"u(x)*v (x)dx = u(x)*v(x) -+"u (x)*v(x)dx ,
który nazywamy wzorem na całkowanie przez części.
Tw. (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Jeżeli f-cje U i V są klasy C1 to a+"b U(x)*V (x)dx= U(x)*V(x)ćłab - a+"bU (x)*V(x)dx.
Tw. (O jednostajnej ciągłości) F-cja ciągła określ. na przedz. domkn., a więc zwartym jest R-całkowalna na tym przedziale.
Własności całki oznaczonej: 1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania 2) F-cja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także
całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale , to również f-cja (f+g) jest całkowalna na tym przedziale oraz
+"b[f(x)+g(x)]dx= a+"bf(x)dx+ a+"bg(x)dx. 4) Jeżeli f-cja f jest całkowalna na przedziale oraz A=const również f-cja A*f jest całkowalna na tym przedziale i a+"bAf(x)dx= Aa+"b
a
f(x)dx. 5) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale , to również iloczyn jest f-cją całkowalną na tym przedziale, iloczyn zawiera punkty nieciągłości funkcji f i g 6)
Zmiana wartości f-cji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej f-cji w tym przedziale ani na wartość całki, jeśli f-cja ta jest całkowalna. 7)
Jeżeli a,b,c są dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym f-cja f jest całkowalna, to a+"c f(x)dx +c+"b f(x)dx= a+"bf(x)dx 8) Niech f i g będą f-cjami całkowalnymi na
przedziale , wówczas f(x)d"g(x); dla x"�!a+"bf(x)dxd"a+"bg(x)dx 9) Niech f będzie f-cją na przedziale , wówczas: md"f(x)d"M dla x"�! m�"(b-a)d"
a+"bf(x)dxd"M�"(b-a). 10) (Newtona - Leibniza): Jeżeli " jest dowolną f-cją pierwotną f-cji f ciągłej na przedziale , to a+"bf(x)dx=" (b) -" (a). 11) Jeż. f-cja f: jest R-
całkow. i jest f-cja ograniczoną na poza zbiorm A miary (Lebesque) zero, oraz f(x)=0 dla x "A, to a+"bf(x)dx=0,;
20. CAA
KA RIEMANNA III
Interpretacja geometryzna całki oznaczonej: Def: niech f będzie f-cją ciągłą i przyjmującą na przedz. jedynie nieujemne wart.: 0d"f(x). Wiemy, że istn. wówczas całka
+"bf(x)dx, równa wspólnej granicy sum dolnych i górnych, która to granica nie zależy od ciagu normalnego podziałów przedz. . Tę wspólną granicę limsn= limSn= a+"bf(x)dx
a
nazywamy w tym przy. polem figury płaskiej określonej w protokatnym ukł. kartezjańskim OXY układem nierówności ad"xd"b, 0d"yd"f(x), Takie oznaczenie pola figury jest
zgone z określeniem pola figury płaskiej.
Tw. Jeżeli ciągłe na przedziale f-cje f1 i f2 spełniają na tym przedziale nierówność f1(x)d" f2(x) to pole ćłDćł figury D ograniczonej wykresami tych f-cji i prostymi x= a i
x= b wyraża się wzorem ćłDćł= a+"b [f2(x)-f1(x)]dx.
Tw. Jeśli krzywa l jest określona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t"<ą,�.> gdzie obie są ciągłe oraz ciągła dodatnia pochodna dx/dt na przedziale <ą,�>, to
pole ćłDćł fig. pładkiej D ograniczonej tą linią, osią ox oraz prostymi x=a, x=b gdzie x(ą)=a, x(�)=b, dane jest całką |D|= ą+"�|y(t)|*x (t)dt., gdy postać wyraz
na: to jej pole
P=a+"b|f(x)|dx, gdy postać bigunowa: Jeż. dan jest we współrz. bigunowych: r=f(Ć), Ć"<ą,�>, 0<�-ą<2Ą, przy czym f(Ć) jest ciągła, nieujem. na przedz. <ą,�> to pole:
P=1/2a+"br2dĆ;
Tw. A
uk AB określony równaniem wyraz
nym y= f(x) ad"xd"b, gdzie f jest f-cją klasy C1 ma długość l wyrażającą się wzorem l= a+"b"(1+f  2(x)) dx.
Tw. Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t"<ą,�> jest łukiem zwykłym oraz f-cje x(t), y(t) są klasy C1<ą,�> to jej długość l wyraża się całką l=
ą+"� "([x (t)]2+[y (t)]2)dt ; długość wyraz
ną postacią: L= a+"b"(1+[f(x)]2)dx, gdy w post, biegunowej: (r-nia jak przy polu) L= a+"b"(f2(Ć)+[f (Ć)]2)dĆ;
Tw. Objętość ćłVćł bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadającego ciągłej na przedziale f-cji f, wyraża się całką ćłVćł ="
+"b f 2 (x)dx.
a
Tw. Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej x=x(t), y=y(t), t"<ą,�> oraz f-cje x=x(t) i y=y(t) są klasy C1<ą,�>, f-cja x(t) jest ściśle monotoniczna i y(t)
nieujemna, to objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem ćłVćł= "ą+"�y2(t)*x (t)dt.
Tw. Pole ćłSćł powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y= f(x) ad"xd"b, gdzie f jest f-cją klasy C1 wyraża się całką ćłSćł=2"
+"bćłf(x)ćł"(1+f  2(x)) dx.
a
20. B RACHUNEK CAA
KOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Def: Funkcją pierwotną danej f-cji na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną f-cję F, której pochodna F jest równa f-cji f na tym przedziale, tj. dla każdego x"X
F (x)=f (x).
F-cję F mającą w pewnym przedziale f-cję pierwotną nazywamy całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie f-cji pierwotnych danej f-cji f nazywamy
całkowaniem f-cji f. Całkowanie to znajdowanie fcji. pierwotnej.
PYTANIA: 1) Kiedy zagadnienie ma rozwiązanie 2) Ile ma rozwiązań 3) Jak je wyznaczyć
Tw. 1.1. (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): Każda f-cja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale f-cję pierwotną.
Tw. 1.2. (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to wszystkie f-cje postaci
F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną są również f-cjami pierwotnymi f-cji f na tym przedziale.
Tw. 1.3. (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną, ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to każda inna f-cja
pierwotna G f-cji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiednią do f-cji F i G dobraną stałą.
Def: Zbiór wszystkich f-cji pierwotnych f-cji f na przedziale X i tylko takich f-cji nazywamy całką nieoznaczoną f-cji f na przedziale X i oznaczamy symbolem +"f (x) dx.
Z definicji całki nieoznaczonej i twierdzeń o f-cjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór +"f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na
przedziale X, C jest stałą dowolną, zwaną tu stałą całkowania.
Tw. (O pochodnej całki): Pochodna całki nieoznaczonej jest równa f-cji podcałkowej: [+"f(x)dx] = f(x); +"f(x)dx= F(x)+C, F (x)= f(x); [+"f(x)dx] = (F(x)+C) = F (x)+f(x).
Tw. (Całka pochodnej): Całka nieoznaczona pochodnej f-cji jest sumą tej funcji i stałej dowolnej ćf (x)dx=f(x)+C
Tw. (O ograniczoności funkcji podcałkowej): F-cja podcałkowa na przedziale domkniętym jest ograniczona na tym przedziale.
Tw. (O całkowaniu funkcji ciągłej): F-cja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.
Tw. F-cja ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale.
DF: Wzór rekurencyjny: In=+"xn ex dx = xnex - nI n - 1 .
21. CAA
KA NIEWA
AŚCIWA
Def.1a: Całk. niewł. z f-cji ograniczonej na przedz nieogranicz: Niech f-cja f: �"+"bf(x)dx b"(a,"), nazywamy całką niewł. f-cji f w granicach i oznaczamy a+"" f(x)dx
a
Def.1b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł. a+"" f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(b+") a+"bf(x)dx
Def.2a: Całk. niewł. z f-cji nieogr. na przedz skończ.: Niech Rodzinę całek (a+"ąf(x)dx) a<ą
Def.2b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł. a+"bf(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(ąb-) a+"ąf(x)dx
Podstawowe kryt. zbieżn. całk. niewł.: 1. Keż. f,g: �"A)f(x)d"g(x) to a) ze zbież. całk. a+""g(x)dx
wynika zbieżn. a+""f(x)dx b) odwrotnie: ze zb. a+""f(x)dx �! a+""g(x)dx 2. Jeż. zbież. jest a+""|f(x)|dx to mowim. że cał. niewł. a+""f(x)dx jest bezwzględnie zbieżna, także zbież w
zwykł. sensie 3. Jeż. zbież. jest a+""f(x)dx i jednocześnie a+""|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że a+""f(x)dx jest warunkowo zbieżna. 4. Kryterium zbież. całki (Dirichleta)(?) Jeżeli
a) f-cja f: �"0) (ad"b)|a+"bf(x)dx|d"k b) f-cja g: Różne rodzaje zbieżn. cał niweł.: 1. Jeż. zbież. jest a+""|f(x)|dx to mówimy że całk niewł. a+""f(x)dx jest bezwzgl. zbież. (też zbież. w normal. znaczeniu) 2. Jeż. a+""f(x)dx jest
zbież. i jednocześ. a+""|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że całk. a+""f(x)dx jest warunkowo zbież.;
22. CAA
KI EULERA
Def. Całka Eulera 1-ego rodzaju (�-eulera): �(a,b) +"1 xa-1(1-x)b-1dx, a,b>0 Całka Eulera 2-ego rodzaju (�-eulera): �(a) +""xa-1e-x dx, a>0
0 0
Własn: 1. całka � a) �(a,b)=�(a,b) b) �(a,b)= [(b-1)/ (a+b-1)]��" (a,b-1) c) �(n,a)= [(1�"2�"..�"n-1)/ ((a+1) �"..�"(a+n-1))] d) �(m,n)= [((n-1)!(m-1)!)/ (m+n-1)!] e) �(a,1-a)= [-Ą/sinaĄ],
0Ą/sinaĄ f) �(1/2)="Ą;
23. SZEREGI LICZBOWE
Def. Szeregiem liczbowym rzeczyw. nazyw. parę uporządkjow. ((an),(sn)) Tradycyjnie te parę notujemy (k=1)Ł(n)ak, (sn)- ciąg sum częściowych,
Def. (zbieżności szeregu) Szereg (k=1)Ł(")ak jest zbież �! gdy zbież. jest do gr. właściw. ciąg sum częściow. tego szeregu. W przeciw. wypadku mówimy że szer. (k=1)Ł(n)ak jest
rozbież.
Tw. (war. koniczny zbieżn. szeregu) Jeż. (k=1)Ł(")ak jest zbież. to lin(n")an=0 Dowód: Szereg (k=1)Ł(")ak jest zbież �! lim(n")sn=s"R, (sn)- spełnia war. (Cauch.) �!
(�>0) (n0"N) (n>n0) (m"N) |sn+m-sn|<� �! |sn-sn-1|0;; |(k=1)Ł(k)ak - (k=1)Ł(n-1)ak |=|an|
Tw. (o zbieżn. bezwzgle. szeregu) Szereg (n=1)Ł(")an jest zbież. bezwzgl. jeż. zbież. jest szereg (n=1)Ł(")|an|, Dowód: (n=1)Ł(")a n- utworzony z wyrazów dodatn. (n=1)Ł(")an ::
Ł(")a  n- utworzony z wyrazów ujemn. (n=1)Ł(")an ;; (sn)-ciąg sum (n=1)Ł(")an;; (s n)-ciąg sum (n=1)Ł(")a n;; (s  n)-ciąg sum (n=1)Ł(")a  n;; (s*)- suma (n=1)Ł(")|an|;; s nd"s* oraz s  nd"s*,
(n=1)
więc (s n) i ( s  n) są rosnące więc sa zbiezne, więc (n=1)Ł(")a n i (n=1)Ł(")a  n są zbieżne;; S -suma (n=1)Ł(")a n; S  suma (n=1)Ł(")a  n; S-suma (n=1)Ł(")an;; Sn=S m-S  r i n=m+r, jeżeli
n"to m,r";; limSn= limS m- limS  r=S -S  czyli szereg (n=1)Ł(")an jest zbieżny i jego sumą jest liczba S -S  . ;;
Tw. (szereg zespolony) szer. zesp. (n=0)Ł(")zn jest zbież. �! gdy zbieżny jest szreg części rzeczyw. (n=0)Ł(")xn i części urojonej (n=0)Ł(")yn
24. SZEREGI LICZBOWE II
Tw. (kryterium porównawcze zbieżn. dla szer. li. nieujemn.) Dane sa szer. (n=1)Ł(")an ; (n=1)Ł(")an ; (an,bne"0, n=1,2,...), Jeżeli (n0"N) (n0d"n) and"bn , to: a) jeżeli szer.
Ł(")bn jest zbież, to zbież. jest też szer. (n=1)Ł(")an; b) jeż. szer. (n=1)Ł(")an jest rozbież. to rozbież jest szr. (n=1)Ł(")bn;
(n=1)
Tw. (kryterium pierwiastkowe Cauchy ego) Dany jest szer. (n=1)Ł(")an ; Oznaczamy ą=limnsupn"(|an|). Jeżeli 1) ą<1 to (n=1)Ł(")an jest zbieżny 2) ą>1 to (n=1)Ł(")an jest rozbież.
3) ą=1 to przypadek wątpliwy;
Tw. Jeż. szeregi (n=1)Ł(")an i (n=1)Ł(")bn są zbieżne to zbieżne są tez szeregi: (n=1)Ł(")(an+bn) oraz (n=1)Ł(")�an i (n=1)Ł(")(an+bn)= (n=1)Ł(")an+ (n=1)Ł(")bn ; i (n=1)Ł(")�an = �(n=1)Ł(")an
Tw. (Kryterium ilorazowe d Alamberte a) Dany jest szer. (n=1)Ł(")an wtedy a) jeżeli limsup|an+1/an|<1 to szer. jest zbireż. b) jeż limsup|an+1/an|e" dal ne"n0 to szer. jest rozb.
Tw. (kryterium całkowe zbieżn szer. liczb. o wyr. dodat.) Jeż. dany jest szer. (n=1)Ł(")an o wyraz. dodatnich oraz f-cja f:[a,"]R+\{0} ma własn: a) f jest ciągła b) f
monotonicznie dąży do 0 począwszy od pewnego x0e"1 c) f(n)=an, n=1,2,... to: szereg (n=1)Ł(")an jest zbież. (rozbież) �! gdy zbieżna (rozbież.) jest całka niewł. 1+""f(x)dx
25. SZEREGI LICZBOWE III
Szereg naprzemienny: szereg (n=1)Ł(")(-1)n+1an , an>0, nazyw. szer. naprzem.
Tw. (Kryterium Leibnitza) Jeż. an monotonicznie dąży do 0, to szer. (n=1)Ł(")(-1)n+1an jest zbież. oraz |Rn|d"an+1 , n=1,2,...
Uwaga, jeż. szereg jest zbież. w zwykłym sensie, lecz nie bezwzgl. zbież. nazywamy go szeregiem warunkowo zbieżnym, przykładowo szereg anharmoniczny (n=1)Ł(")(-1)n/n
**Tw: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.
**Tw. Jeżeli wyrazy szeregów Ł(od n=1 do ") an oraz Ł (od n=1 do ") bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., że dla każdego n>m. Jest spełniona
nierówność an<=bn to z e zbieżności szeregu bn wynika zbieżność an i odwrotnie.
26. SZEREGI FUNKCYJNE I
Def: (szeg funkcyjny rzeczywisty) Dany jest ciąg funkcji (fn) n"N0 ; fn: R�"DR, xfn(x), n=0,1,..., Piszemy ciąg sum częściowych (sn) n"N0 : Sn:DR,
xSn(x) Ł(n)fn(x), k=0,1,2,...; Uporządkowane pary ((fn),(Sn)) nazywamy szeregiem funkcyjnym, notujemy (n=0)Ł(")fn(x), x"D
(k=0)
Zbieżność punktowa: Mówimy że szereg (n=0)Ł(")fn jest zbież. punktowo w D, jeż. szer. (n=0)Ł(")fn(x) jest zbieżny (jako szre. liczb.)
Def. (Zbieżność jednostajna): szer. f. (n=0)Ł(")fn jest zbież. jednost. do supS na D jeż. sup(x"D) |Sn(x)- S(x)|0 Piszemy wtedy że Sn S(x) (  jednostajnie dąży),
(�>0) (n0) (n>n0) (x"D) |Sn(x)- S(x)|<�
Def. (niemal jednost. zbież) Jeż. szereg f-cyjny (n=0)Ł(")fn jest jednost. zbież. na każdym przedz. [a,b]�"D, to szereg nazyw. niemal jednostajnie zbieżnym na D.
Tw. (kryterium Weierstrassa,) Jeż. szer. f. (n=0)Ł(")fn określony na D ma własn: a) (n0"N) (n0d"n) (x"D) |fn(x)|d"an , b) szereg liczbowy o wyrazach dodatnich (n=0)Ł(")an
jest zbież. to: szer. (n=0)Ł(")fn jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.
Tw. (o ciągłości sumy szer. f.) jeż. (fn)n"N0 jest ciągiem f-cji ciągłych na D, oraz szer. (n=0)Ł(")fn jest jednost. zbież. do sumy S, to S jest f-cją ciągłą na D.
Tw. (o całkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer. (n=0)Ł(")fn sa R-całkow. (w sensie Riem.) na D=(a,b) oraz szer. (n=0)Ł(")fn jest jednost. zbież. na D (niemal jed. zbież.) to:
+"b(n=0)Ł(")fn(x)dx= (n=0)Ł(")a+"bfn(x)dx
a
Tw. (o różniczkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer. (n=0)Ł(")fn mają ciągłe pochodne w (a,b), szer. (n=0)Ł(")fn jest zbież. (pktowo) w (a,b) oraz szer. (n=0)Ł(")f  n jest zbież. jednost.
(niemal jednost. zbież) to ma pochodną ((n=0)Ł(")fn(x)) = (n=0)Ł(")fn (x)
27. SZEREGI FUNKCYJNE II POTEGOWE
(*)(*) (n=0)Ł(")an(x-x0)n; (*) (n=0)Ł(")anxn, an- współczynnik szer. potęgowego.
Promień zbieżn szer. potęgow. R R sup{re"0 (n=0)Ł(")anrn} jest zbieżny, |x|Tw (Cauchy ego- Hadamarda) Jeżeli limsup(n"|an|) to wtedy prom R zbieżn szer: R= {0 gdy =", " gdy =0, 1/ gdy "R+\{0}}
Tw. Jeżeli instn, gran. lim(n")|an+1/an|=  to prom. zbieżn. R szeregu: R={0 gdy =+", 1/ gdy 0<<+", " gdy =0}.
Tw. Jeżeli szereg (n=0)Ł(")anxn ma prom. zbieżny szeregu R, to ten szer. jest zbież. niemal jednost. na przedz (-R,R) i jest zbieżna suma szeregu na każdym przedziale przedziale
[-a,a]�"(-R;R)).
Tw. (o całkow. szer. potęgow.) Dla dowoln x"(-R,R) 0+"x ((n=0)Ł(")an tn)dt= (n=0)Ł(")(an/n+1)xn+1; Promień szer. po prawej stronie równości nie ulega zmianie.
Tw. (o różniczkow. szer. potęgow.) Jeż. x"(-R,R) to ((n=0)Ł(")xn) = (n=1)Ł(")xn-1; i prom. szer. potęg. stale ma ten sam przedz. zbieżności.
Szer. potęgow. zesp: (*)(*) (n=0)Ł(")zn(z-z0)n; (*) (n=0)Ł(")anzn, Jeż. =limnsupn"|an|, to szer. (*) jest zbież. bezwzględnie na każdym kole domknietym |z|d"a, a=", " gdy =0, 1/ gdy "R}