2008-12-17
Mechanika i Wytrzymałość
Materiałów
Wykład 6
1
2008-12-17
Teoria skręcania prętów o przekrojach okrągłych
Jeżeli prosty pręt obciążymy w płaszczyz
nie prostopadłej do osi parą sił o
momencie K, wówczas siły wewnętrzne w pręcie zredukują się do momentu M = K
(o kierunku zgodnym z osią pręta) zwanego momentem skręcającym.
2
2008-12-17
Teoria skręcania prętów o przekrojach okrągłych
WyrażajÄ…c FF' za pomocÄ… kÄ…ta fð i kÄ…ta
obrotu drð otrzymujemy FF' =dx
i FF' = rðdfð oraz
Warunki fizyczne określa prawo Hooke a
Stąd po porównaniu powyższych równań uzyskujemy
dfð/dx=const
3
2008-12-17
Teoria skręcania prętów o przekrojach okrągłych
Ponieważ dla danego przekroju dfð/dx=const , wystÄ™pujÄ…ce w przekroju
naprężeniÄ… styczne majÄ… wartoÅ›ci proporcjonalne do promienia rð i skierowane sÄ…
doń prostopadle. Siły zewnętrzne w odciętej części pręta działają na jeden z
przekrojów elementu momentem Ma. Na drugim przekroju uwzględniamy siły
elementarne tðdA i ustalamy jako warunek równowagi równanie momentów
względem osi elementu
Stąd równanie przyjmuje postać
4
2008-12-17
Teoria skręcania prętów o przekrojach okrągłych
Jeśli uwzględnimy:
To otrzymamy:
Wyrażenie GI0 nazywamy sztywnością na skręcanie
Jeśli do równania: wstawimy:
to otrzymamy
5
2008-12-17
Obliczenia wytrzymałościowe prętów skręcanych
Jeśli uwzględnimy:
To otrzymamy:
Jeśli przez W0 oznaczymy wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie
To naprężenia styczne wynoszą
A warunek wytrzymałościowy określa
6
2008-12-17
Zależności geometryczne przy skręcaniu
7
2008-12-17
Obliczenia wytrzymałościowe prętów skręcanych
Dla danej wartoÅ›ci M, i tðdop
wyznaczyć minimalną średnicę pręta
okrągłego o przekroju pełnym
wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie dla przekroju kołowego pełnego
To naprężenia styczne wynoszą
Minimalna średnica pręta okrągłego wynosi
8
2008-12-17
Skręcanie sprężysto-plastyczne
Dla materiałów sprężysto-plastycznych przy ścinaniu (podobnie jak dla jedno-osiowego
stanu naprężenia) związki zachodzące między odkształceniem i naprężeniem można określić
w postaci wykresu
Na rysunku poniższym przedstawiono rozkłady naprężeń stycznych dla wzrastającej
wielkości momentu skręcającego. Wykres naprężeń (a) odpowiada skręcaniu wyłącznie
sprężystemu, gdy w części przekroju zostaje przekroczona granica sprężystości (b, c).
9
2008-12-17
Skręcanie sprężysto-plastyczne
Wielkość momentu skręcającego obliczonego dla takiego stanu nazywa się
wartością graniczną M zaś obciążenie - obciążeniem granicznym (krańcowym).
S
oznaczając zaś wielkość:
otrzymamy:
Jeżeli graniczny moment skręcający M' ocenia się jako niebezpieczny i ustali się
s
wymagany współczynnik bezpieczeństwa n', to wartość dopuszczalnego momentu
skręcającego oblicza się z zależności
powyższe obliczenie wytrzymałościowe są obliczeniami na obciążenie graniczne,
w przeciwieństwie do uprzednio omówionego obliczenia na naprężenia
dopuszczalne.
10
2008-12-17
Dopuszczalny kąt skręcenia
Przemieszczeniem względnym dwóch oddalonych o skończoną długość przekrojów
pręta wyłącznie skręcanego jest ich wzajemny obrót. Miarą tego obrotu jest jego
kąt zwany kątem skręcenia.
Jeżeli obrót przekrojów wyraża wzór
to kąt skręcenia na skończonej długości wyraża zależność:
Jeżeli x1 = 0, x2 = l, na rozpatrywanej zaś długości pręta
Ms=const, G = const i I0 =const, wówczas
11
2008-12-17
Sztywność skrętna konstrukcji
W praktyce technicznej równie ważna jak zapewnienie wystarczającej
wytrzymałości jest dostateczna sztywność konstrukcji.
W przypadku pręta skręcanego warunek sztywności wyraża się przez
okreÅ›lenie dopuszczalnego kÄ…ta skrÄ™cenia fðdop i speÅ‚nienie relacji
Jeżeli Ms=const, G = const i I0 =const, wówczas
uwzględniając Io dla przekroju pełnego
otrzymujemy:
12
2008-12-17
HIPOTEZY WYT
ŻENIOWE
Rozporządzając założoną hipotetycznie funkcją W możemy ocenić niebezpieczeństwo
zniszczenia materiału znajdującego się w złożonym stanie naprężenia przez proste
porównanie jego wytężenia z wytężeniem pręta rozciąganego osiowo, czyli z warunku
rozwiązując to równanie
wzglÄ™dem sð otrzymamy
13
2008-12-17
HIPOTEZY WYT
ŻENIOWE
Przez wytężenie materiału będziemy rozumieli ogół zmian fizycznych
i strukturalnych jakie nastąpiły w materiale w trakcie jego wymuszonej
deformacji (skutek uogólnionego obciążenia: np. statycznego,
termicznego...).
Hipoteza maksymalnego naprężenia normalnego
autor: Galileusz
Hipoteza największego wydłużenia jednostkowego
autorzy: Mariotte, Poncelet, Sainy-Venant
Hipoteza największego naprężenia stycznego
(autorzy: Tresca, Guest, Culomb)
Hipoteza największej jednostkowej energii odkształcenia postaciowego
autorzy: Mises, Huber, Hencky
14
2008-12-17
HIPOTEZY WYT
ŻENIOWE
Hipoteza największego naprężenia stycznego
Hipoteza: miarą wytężenia jest maksymalne naprężenie styczne.
Wytężenia w dwu różnych stanach naprężenia są równe jeśli maksymalne
naprężenia styczne w tych stanach są równe.
Naprężenie zredukowane: W prostym rozciąganiu maksymalne naprężenia
styczne Ämax jest równe:
W zÅ‚ożonym stanie naprężenia maksymalne naprężenia styczne Ämax jest równe:
Porównując powyższe równania
15
2008-12-17
HIPOTEZY WYT
ŻENIOWE
Hipoteza największego naprężenia stycznego
Pamiętając, że ekstremalne naprężenia to naprężenia główne (które potrafimy
obliczać) Å‚atwo uzasadnimy poniższe wzory na Ãred w pÅ‚askim stanie naprężenia:
Obszar dopuszczalny w płaskim stanie naprężenia w/g hipotezy Tresci
Uwaga! Hipoteza Tresci stosuje siÄ™ dla
materiałów o symetrycznych wartościach
umownych progów naprężeń granicznych
przy ściskaniu i rozciąganiu.
16
2008-12-17
HIPOTEZY WYT
ŻENIOWE
Hipoteza największej jednostkowej energii odkształcenia
postaciowego
Hipoteza: miarą wytężenia jest właściwa energia odkształcenia postaciowego
Wytężenia w dwu różnych stanach naprężenia są równe jeśli energie odkształcenia
postaciowego w tych stanach są równe.
Naprężenie zredukowane: W prostym rozciąganiu energia odkształcenia
postaciowego jest równa:
W złożonym stanie naprężenia energia odkształcenia postaciowego jest równa:
17
2008-12-17
HIPOTEZY WYT
ŻENIOWE
Hipoteza największej jednostkowej energii odkształcenia
postaciowego
Porównując powyższe równania przypiszemy złożonemu stanowi naprężenia stan
jednoosiowy scharakteryzowany naprężeniem "zredukowanym" równoważnym w
sensie przyjętej hipotezy:
Warunek postawiony w próbie jednoosiowej dla pewnego naprężenia granicznego:
Obszar dopuszczalny (wnętrze
elipsy) w płaskim stanie naprężenia
w/g hipotezy Hubera .
18