Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów
ciągłych
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
W układach sterowania wymaga się modyfikacji dynamiki układu celem uzyskania odpowiedzi
dynamicznej spełniającej zadane wymagania jakościowe. Urządzenia, które dokonują takich zmian
noszą nazwę kompensatorów. Wzrastające możliwości procesorów cyfrowych pozwalają na
wykonywanie tych funkcji środkami cyfrowymi. Projektowanie kompensatorów ciągłych jest tematem
dobrze już poznanym i dlatego też ważne jest poznanie metod pozwalających na znajdowanie
dyskretnych równoważników, które odpowiadają kompensatorom ciągłym. Metoda projektowania
polegająca na projektowaniu kompensatora ciągłego, a następnie zastąpieniu go w postaci dyskretnego
równoważnika w celu zaimplementowania go w urządzeniu cyfrowym nazywa się emulacją. Chociaż
materiał przedstawiony w tej pracy zorientowany jest w kierunku bezpośredniego projektowania
kompensatorów cyfrowych to jednak emulacja projektów ciągłych ich cyfrowymi równoważnikami
jest na tyle ważna, że warto poznać techniki dyskretnych odpowiedników zarówno dla celów
porównania jak i dlatego że metoda ta jest bardzo szeroko używana przez inżynierów praktyków.
Problemem opisanym w tym opracowaniu jest znajdowanie transmitancji dyskretnych, które
będą aproksymowały te same charakterystyki w pewnym zakresie częstotliwości jak dana
transmitancja G(s). Zaprezentowane zostaną cztery metody realizujące to zadanie:
1. Całkowanie numeryczne. Metoda ta oparta jest na całkowaniu numerycznym równań
różniczkowych opisujących dany projekt. Chociaż jest wiele technik pozwalających na
całkowanie numeryczne, to tutaj zostaną przedstawione tylko proste reguły oparte na regułach
prostokąta i trapezu.
2. Dyskretyzacja odpowiedzi impulsowej.
3. Przekształcenie zerowo-biegunowe. Kolejny sposób oparty jest na porównaniu dziedzin s oraz z.
Należy zauważyć, że odpowiedz
naturalna układu ciągłego z biegunem w pewnym punkcie s = so
będzie w układzie poddanym próbkowaniu z okresem T reprezentowana przez odpowiedz
układu
o
dyskretnego z biegunem w z = es T . Ta reguła może być używana do przekształcenia zer
i biegunów aproksymujących układ dyskretny.
4. Równoważność ekstrapolacji. Trzeci i ostatni sposób oparty jest na pobieraniu próbek sygnału
wejściowego, ekstrapolacji pomiędzy próbkami do postaci aproksymacji sygnału i przesyłaniu
tych aproksymacji przez daną transmitancję układu.
2. RÓWNOWAŻNIKI OKREŚLONE METOD
CAA
KOWANIA NUMERYCZNEGO
Zagadnienie całkowania numerycznego jest zadaniem dość złożonym i dlatego też zostaną tutaj
przedstawione najbardziej elementarne techniki z tego zakresu. Dla przykładu, rozważane będą tylko
reguły o małej złożoności i ustalonym rozmiarze kroku. Zasada określająca sposób wyznaczenia
dyskretnych równoważników przy użyciu tej metody polega na zastąpieniu danej transmitancji układu
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 1
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
ciągłego G(s) przez równanie różniczkowe i następnie wyprowadzeniu równań różnicowych będących
aproksymacją równań różniczkowych.
e(t) e(kT) e[(k+1)T]
e(T) e(2T)
e(3T)
e(0)
0 T 2T 3T (k-1)T kT (k+1)T t
(a)
e(t) e(k-1)T e(kT) e[(k+1)T]
e(T) e(2T)
e(0)
e(3T)
0 T 2T 3T (k-1)T kT (k+1)T t
(b)
e(t) e(kT)
e[(k+1)T]
e(2T)
e(T)
e(3T)
e(0)
0 T 2T 3T (k-1)T kT (k+1)T
t
(c)
Rys. 1. Trzy sposoby wyznaczania obszaru pod krzywą w przedziale od kT do kT+T, (a) reguła prostokątna
wprzód, (b) reguła prostokątna wstecz, (c) reguła trapezu.
Dobrze znana transmitancja integratora analogowego jest następująca
U (s) 1
G(s) = = (1)
E(s) s
gdzie E(s) oraz U(s) są transformatami, odpowiednio wejścia i wyjścia integratora i integrator ten
posiada równoważne równanie różniczkowe
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 2
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
du(t)
= e(t) (2)
dt
Teraz jeśli zapisze się równanie (2) w postaci całkowej, to otrzyma się
t
u(t) = )d� (3)
e(�
0
Wiele wyprowadzonych reguł opiera się na tym w jaki sposób aproksymowany jest składnik
powiększania pola. Trzy rozważane możliwości naszkicowane zostały na rysunku 1.
Pierwsza aproksymacja całkowania (3) prowadzi do reguły prostokątnej wprzód, gdzie aproksymacja
obszaru odbywa się przez prostokąt wyznaczany wprzód od kT i bierze jako amplitudę prostokąta
wartość napotkaną w kT. Szerokość prostokąta wynosi T. Wynikiem tego jest równanie w pierwszej
aproksymacji, u1
u1(kT + T ) = u1(kT)+ Te(kT) (4)
gdzie u1(kT) oznacza obszar pod e(t) od t = 0 do t = kT. Po dokonaniu transformaty Z na obu stronach
równania (4) transmitancja odpowiadająca regule prostokątnej w przód w tym przypadku ma postać
U1(z) T 1
GF (z) = = = (5)
z
E(z) z -1 -1
T
Druga reguła bierze się stąd, że amplituda aproksymującego prostokąta jest wartością braną wstecz od
kT do kT-T. Równanie dla u2 , druga aproksymacja ma postać
u2 (kT ) = u2(kT - T)+ Te(kT) (6)
Znów po zastosowaniu transformaty Z i obliczeniu transmitancji według reguły prostokątnej wstecznej
U (z) zT 1
2
H (z) = = = (7)
B
1 z
E(z) z -1 -1
T z
Ostatnią regułą całkowania rozważaną w tym podrozdziale jest reguła trapezu, wyznaczana dla
aproksymowanego obszaru z równania (3). Aproksymujące równanie różnicowe ma postać
T
u3 (kT + T ) = u3 (kT ) + [e(kT)+ e(kT + 1)] (8)
2
Odpowiadająca transmitancja z reguły trapezu ma postać
U3 (z) T z + 1 1
HT (z) = = = (9)
2 z
E(z) 2 z -1 -1
T z + 1
Z bezpośredniego porównania transmitancji operatorowej z trzema aproksymacjami dyskretnymi,
widać, że można było bezpośrednio uzyskać transmitancję dyskretną z transformaty operatorowej
przez podstawienie za zmienną zespoloną s jej aproksymaty.
Podstawienie przy użyciu reguły trapezu jest również znane, szczególnie w układach sterowania
cyfrowego i impulsowego jako metoda Tustina lub pod nazwą transformacji biliniowej. Metoda
projektowania wykorzystująca tę regułę polega na tym, że mając daną transmitancję ciągłą, G(s),
równoważna transmitancja dyskretna może być wyznaczona przez podstawienie
GT (z) = G(s) 2 z-1 (10)
s=
T z+1
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 3
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
Tabela 1. Zestawienie dotychczas uzyskanych wyników.
G(s) Metoda Transmitancja Aproksymacja
1
1
GF (z) =
z -1
Reguła prostokąta wprzód
z -1
s �!
s
T
T
1
1
HB(z) = z -1
Reguła prostokąta wstecz
z -1 s �!
s
Tz
Tz
1
1
HT (z) = 2 z -1
Reguła trapezu
s �!
2 z -1
s
T z +1
T z +1
Każda z aproksymacji zawartych w tabeli 1 może być traktowana jako przekształcenie płaszczyzny s
na płaszczyznę z. Dalsze zrozumienie przekształcenia zostanie dokonane na podstawie rozważań
graficznych. Dla przykładu, ponieważ oś (s = j�) jest granicą pomiędzy biegunami układu stabilnego
i niestabilnego, to interesujące będzie zobaczyć jak ta oś j� będzie przekształcana przez te trzy reguły
i gdzie lewa półpłaszczyzna znajdzie się na płaszczyz
nie z. W tym celu należy rozwiązać zależności
zawarte w tabeli 1 w kolumnie aproksymacja. Wynikają z nich następujące zależności:
i) z =1 + Ts (dla reguły prostokątnej wprzód)
1
ii) z = (dla reguły prostokątnej wstecz) (11)
1 - Ts
Ts
1 +
2
iii) z = (dla reguły biliniowej)
Ts
1 -
2
Jeśli przyjmie się w tych równaniach, że s = j� to uzyska się granice obszarów na płaszczyz
nie z,
mających swoje oryginały w stabilnej części płaszczyzny z na rysunku 2. Aby pokazać, że reguła (ii)
przekształca lewą półpłaszczyznę w okrąg, należy dodać i odjąć � od prawej strony równania, co daje
1 1 1 1 1 1 + Ts
ńł �ł
z = + - = - (12)
�ł żł
2 - Ts 2�ł 2 2 1 - Ts
ół1
1
Teraz łatwo jest pokazać, że z s = j� , amplituda z - jest stałą.
2
1 1
z - =
2 2
i krzywa staje się okręgiem jak to pokazano na rysunku 2(b). Ponieważ okrąg jednostkowy jest
zakresem stabilności na płaszczyz
nie z, staje się to jasne, że reguła prostokąta wprzód może
powodować, że stabilne układy ciągłe będą przekształcane na niestabilne układy cyfrowe.
Szczególnie interesujące jest to, że reguła biliniowa przekształca stabilną półpłaszczyznę s
dokładnie na stabilny obszar płaszczyzny z, przy czym cała oś j� płaszczyzny s jest skompresowana
na długości obwodu okręgu jednostkowego. O jakości tych przekształceń, zebranych w tabeli 1,
świadczy to w jaki sposób odbywa się przekształcanie lewej półpłaszczyzny s na określony obszar na
płaszczyz
nie z co dobrze widać na rysunku 2.
Znajdująca się w bibliotece MATLABA funkcja c2d może obliczyć odpowiednik dyskretny
sysD układu ciągłego sysC metodą biliniową Tustina realizowaną według wzoru (10), należy w tym
celu zapisać tylko następującą linię kodu programu
sysD = c2d(sysC, Ts,  tustin )
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 4
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
Okrąg
jednostkowy
(a) (b) (c )
Rys. 2. Przekształcenie lewej półpłaszczyzny s na płaszczyznę z przy użyciu reguł całkowania. Stabilne
bieguny przekształcane są na zacieniowane obszary na płaszczyz
nie z. Okrąg jednostkowy pokazany
jest w celu odniesienia. (a) Reguła prostokąta wprzód, (b) Reguła prostokąta wstecz, (c) Reguła trapezu
lub biliniowa.
W celu usunięcia pojawiających się zniekształceń częstotliwości rzeczywistych powodowanych
przez regułę Tustina rozszerza się ją o własności prewarpingu i metoda ta nosi nazwę transformacji
biliniowej z prewarpingiem. Polega ona na tym, że dla określonej częstotliwości �1 transmitancja
dyskretna ma taką samą wartość jak transmitancja ciągła. Jednakże częstotliwość �1 musi spełniać
warunek �1 < Ą T aby stabilny układ ciągły po operacji warpingu w dalszym ciągu pozostał układem
stabilnym. Równoważna transmitancja dyskretna uzyskiwana przy użyciu transformacji biliniowej
z prewarpingiem polega na podstawieniu
Gp (z)= G(s) 1 z-1 (13)
s=
tg(�1T 2) z+1
gdzie �1 jest częstotliwością przy której transmitancja dyskretna ma taką samą wartość jak
transmitancja ciągła. Wyprowadzenie tej zależności można znalez
ć w pracy [1].
Również dla metody biliniowej z prewarpingiem można w MATLABIE w łatwy sposób obliczyć
odpowiednik dyskretny sysD układu ciągłego sysC według wzoru (13) przy użyciu funkcji c2d
sysD = c2d(sysC, Ts,  prewarp )
Przykład 1
Transmitancja trzeciego rzędu filtru dolno-przepustowego Butterwortha projektowana jest
w taki sposób aby mieć jednostkową szerokość pasma (� =1)
p
1
H (s) =
s3 + 2s2 + 2s + 1
Proste skalowanie częstotliwości pozwoli oczywiście tak przetransponować projekt aby uzyskać
pożądaną częstotliwość przejścia pasma. Oblicz dyskretne równoważniki wykorzystując do tego
celu reguły prostokąta w przód i wstecz, regułę biliniową Tustina oraz regułę biliniową z
prewarpingiem przy częstotliwości � = 1.Zastosuj częstotliwości próbkowania T = 0.1, T = 1,
T = 2.
Rozwiązanie: Obliczenie dyskretnych równoważników wykonane zostało przy użyciu funkcji
c2d z biblioteki Matlaba. Na rysunku 1.1(a) przedstawione są charakterystyki dla bardzo dużej
częstotliwości próbkowania (T = 0.1) częstotliwość próbkowania jest � � H" 63 i obydwie
s p
reguły nie mają żadnych odchyłek. Na rysunku 1.1(b) widać, że � � H" 6.3 i już są pewne
s p
odchyłki, mniejsze dla prewarping. I ostatecznie przy bardzo małej częstotliwości próbkowania
� � H" 3.14 co odpowiada częstotliwości próbkowania T = 2 [s] i tylko prewarping
s p
zachowuje pożądaną szerokość pasma.
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 5
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
(a)
Tp = 0.1 [s]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
-50
-100
-150
-200
-250
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Częstotliowść znormalizowana w/wp
(b)
Tp = 1 [s]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Częstotliowść znormalizowana w/wp
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 6
Moduł
Faza
Moduł
Faza
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
(c)
Tp = 2 [s]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
-100
-200
-300
-400
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Częstotliowość znormalizowana �/�p
Rys. 1.1. (a) Odpowiedz
filtru trzeciego rzędu i cyfrowych równoważników dla �s � = 20Ą ,
p
(b) Odpowiedz
filtru trzeciego rzędu i cyfrowych równoważników dla �s � = 2Ą ,
p
(c) Odpowiedz
filtru trzeciego rzędu i cyfrowych równoważników dla � � = Ą ,
s p
Z rysunków tych widać, że amplituda i faza równoważnika dyskretnego z prewarpingiem
odwzorowuje filtr ciągły dokładnie przy częstotliwości � =1. Nie jest to niespodzianką, gdyż taka
p
jest cała idea prewarpingu.
3. RÓWNOWAŻNIK UZYSKIWANY METOD
DYSKRETYZACJI ODPOWIEDZI
IMPULSOWEJ
Metoda ta polega na wyznaczeniu dla transmitancji ciągłej G(s) ciągłej odpowiedzi impulsowej, którą
następnie dyskretyzuje się i dla dyskretnej odpowiedzi impulsowej wyznacza się transmitancję
dyskretną
G(z) = Z{G(s)} (14)
Metoda ta zilustrowana została poniższym przykładem
Przykład 2
Wyznacz dyskretny odpowiednik transmitancji
1
G(s) = (2.1)
s(s + 0.5)
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 7
Moduł
Faza
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
Okres próbkowania wynosi T = 1 [s].
Rozwiązanie: W pierwszej kolejności należy wyznaczyć odpowiedz
impulsową układu ciągłego
(2.1)
g(t) = 2 �"1(t) - 2 �" e-0.5t (2.2)
Następnie należy dokonać dyskretyzacji t = kT otrzymanej odpowiedzi impulsowej
g(kT ) = 2 �"1(kT ) - 2 �" e-0.5kT (2.3)
z okresem próbkowania T = 1 [s].
g(k) = 2 �"1(k) - 2 �" e-0.5k = 2 �"1(k) - 2 �" 0.6065k (2.4)
Dla każdego składnika równania (2.4) należy wyznaczyć transformatę dyskretną i po
zsumowaniu uzyskuje się poszukiwaną transmitancje dyskretną.
z z 0.7869z
G(z) = 2 - 2 = (2.5)
2
z -1 z - 0.6065 -1.6065z + 0.6065
z
Te same wyniki można uzyskać korzystając z funkcji c2d z biblioteki MATLABA.
T = 1; % Okres próbkowania
numC = 1; % Licznik transmitancji ciągłej
denC = [1 0.5]; % Mianownik transmitancji
[numD, denD] = c2dm(numC, denC, T,'imp'); % Licznik
% i mianownik transmitancji dyskretnej
3. RÓWNOWAŻNIKI UZYSKIWANY METOD
PRZEKSZTAA
CENIA ZEROWO-
BIEGUNOWEGO
Bardzo prostą lecz bardzo efektywną metodą uzyskiwania dyskretnego odpowiednika dla
transmitancji ciągłej jest wykorzystanie zależności przekształcającej płaszczyznę s na płaszczyznę z.
Jeśli wyznaczy się transformatę Z dla próbek sygnału ciągłego e(t), to wówczas bieguny transformaty
dyskretnej E(z) mają powiązanie z biegunami transformaty ciągłej E(s) przez przekształcenie z = esT .
Oczywiście przy przekształcaniu transmitancji ciągłej na jej dyskretny odpowiednik to samo
przekształcenie z = esT musi być również zastosowane do zer. Metoda ta składa się ze zbioru
poniższych reguł heurystycznych pozwalających na przekształcanie położeń zer i biegunów i na
ustalenie wzmocnienia transmitancji dyskretnej, równoważnej transmitancji G(s). Reguły te są
następujące:
1. Wszystkie bieguny transmitancji ciągłe G(s) są przekształcane stosownie do z = esT . Jeśli G(s)
ma biegun w s = -�, to Gzp (z) ma biegun w z = e-�T . Jeśli G(s) ma biegun w s = -� + j�,
j�
wówczas Gzp(z) ma biegun w z = re , gdzie r = e-�T oraz � = �T .
2. Wszystkie skończone zera są również przekształcane przez z = esT . Jeśli G(s) ma zero s = -�, to
Gzp (z) ma zero w z = e-�T , i tak dalej.
3. Zera transmitancji G(s) znajdujące się w nieskończoności (s = ") są przekształcane na punkt
z= -1. Z reguły tej wynika, że przekształcenie częstotliwości rzeczywistych od j� = 0 do
j0
rosnących � powoduje przemieszczanie po okręgu jednostkowym od z = e =1 aż
jĄ
z = e = -1. Dlatego też punkt z =  1 reprezentuje w rzeczywisty sposób, największą możliwą
częstotliwość, która może zostać przetworzona przez układ cyfrowy.
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 8
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
(a) Jeśli nie jest pożądane żadne opóz
nienie w odpowiedzi dyskretnej to wówczas wszystkie
zera znajdujące się w s = " są przekształcane na z =  1.
(b) Jeśli natomiast pożądany jest jeden okres opóz
nienia po to aby dać komputerowi czas na
skompletowanie obliczeń to wówczas jedno z zer znajdujących się w s = " jest
przekształcane na z = " , natomiast pozostałe przekształcane są na z =  1. W tym przypadku
Gzp (z) ma o jedno zero mniej niż biegunów.
4. Wzmocnienie układu cyfrowego wybierane jest w taki sposób aby przekształcić wzmocnienie
transmitancji G(s) w środku pasma lub w innym podobnym punkcie krytycznym. W większości
zastosowań sterowania, częstotliwość krytyczna znajduje się w punkcie s = 0 i stąd zazwyczaj
wybiera się wzmocnienie tak aby
G(s) = Gzp (z) (15)
s=0
z=1
Przykład 3
Wyznacz dyskretny odpowiednik transmitancji
1
G(s) = (3.1)
s + 0.5
przez przekształcenie zerowo-biegunowe według punktu 3(b). Częstotliwość próbkowania
wynosi T = 1 [s].
Rozwiązanie: Po przekształceniu bieguna G(s) znajdującego się w s = -0.5 na biegun G(z)
w punkcie z = e-0.5T uzyskuje się transmitancję dyskretną postaci
1
G(z) = K (3.2)
z - 0.6065
Pozostaje do wyznaczenia wartość wzmocnienia K, która oblicza się z zależności (14)
G(s) = 2 = Gzp (z) = 2.5415K (3.3)
s=0
z=1
Z powyższej zależności (3.3) uzyskuje się poszukiwaną wartość wzmocnienia K = 0.7869
i ostatecznie poszukiwana transmitancja dyskretna ma postać
0.7869
G(z) = (3.4)
z - 0.6065
Te same wyniki można uzyskać korzystając z funkcji c2d z biblioteki MATLABA.
T = 1; % Okres próbkowania
numC = 1; % Licznik transmitancji ciągłej
denC = [1 0.5]; % Mianownik transmitancji
sysC = tf(numC, denC); % Transmitancja operatorowa
sysD = c2d( sysC, T,'matched'); % Wyznaczenie transmitancji dyskretnej
[numD, denD] = tfData( sysD,  v )
4. ODPOWIEDNIK DYSKRETNY UZYSKIWANY METODAMI EKSTRAPOLACJI
Odpowiedniki dyskretne są wyznaczane w tej metodzie w układzie naszkicowanym na rysunku 3.
Impulsatory na rysunku 3(b) dostarczają próbek na wejście Gho(z) i pobierają próbki z wyjścia
zabezpieczając w ten sposób to, że Gho(z) może być zrealizowane jako transmitancja dyskretna.
Wyznaczanie transmitancji dyskretnej dla układu ciągłego poprzedzonego przetwornikiem C/A
wymaga uwzględnienia w transmitancji dyskretnej jego równoważnika w postaci ekstrapolatora.
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 9
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
Dyskretny równoważnik ekstrapolatora (hold equivalent) konstruowany jest w oparciu o pierwszą
aproksymację sygnału e(t) z próbek e(k). Jest wiele metod otrzymywania sygnału ciągłego na
podstawie ciągu próbek. W przypadku gdy sygnał ciągły uzyskiwany na podstawie próbek sygnału ma
postać kawałkami stałych aproksymacji e(t) uzyskanych przez operację stałego podtrzymania
w chwilach e(k) przez przedział czasu od kT do (k+1)T to operacja ta nazywana jest ekstrapolacją
zerowego rzędu (ZOH).
e(t) y(t)
G(s)
E(s) Y(s)
(a)
impulsator
impulsator
e(t) e(k) u(t) u(k)
Ekstrapolator G(s)
T T
Gho(z)
(b)
Rys. 3. Układu dla dyskretnych odpowiedników wyznaczanych metodami ekstrapolacji, (a) transmitancja
ciągła, (b) schemat blokowy układu równoważnego.
e(t)
0 1 2 3 4 5 6 7
Rys.4. Sygnał, jego próbki oraz jego aproksymacja przez ekstrapolator zerowego rzędu.
4.1. ODPOWIEDNIK EKSTRAPOLATORA ZEROWEGO RZ
DU
Jeśli aproksymowanym podtrzymaniem jest ekstrapolator zerowego rzędu, wówczas dla niego
rozważana jest taka sama aproksymacja, która analizowana była dla układu impulsowego. Dlatego też
odpowiednik ekstrapolatora zerowego rzędu do H(s) dany jest przez
G(s)
ńł �ł
-1
Gh0 (z) =(1 - z )Z (16)
�ł żł
s
ół �ł
W bibliotece Matlaba funkcja c2d może obliczyć odpowiednik ekstrapolatora zerowego rzędu w
następujacy sposób
sysD = c2d(sysC, Ts,  zoh )
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 10
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
4.2. ODPOWIEDNIK EKSTRAPOLATORA TRÓJK
TNEGO
Interesujący odpowiednik ekstrapolatora konstruowany jest przy założeniu, że dostępna jest
odpowiedz
impulsowa ekstrapolatora pierwszego rzędu o postaci pokazanej na rysunku 5, nazywana
ekstrapolatorem trójkątnym w celu odróżnienia go od ekstrapolatora pierwszego rzędu.
1.0
-2T -T T 2T t
Rys. 5. Odpowiedz
impulsowa ekstrapolatora pierwszego rzędu.
Wpływ ekstrapolatora trójkątnego polega na tym, że ekstrapoluje ona próbki w taki sposób, że są one
łączone linią prostą. Transformata Laplace a impulsu pokazanego na rysunku 5 jest następująca
esT - 2 + e-sT
Gh (s) =
Ts2
Dlatego też dyskretny odpowiednik który odpowiada równaniu (16)
2
(z -1) G(s)
ńł �ł
Ghtri (z) = Z (17)
�ł żł
Tz
s2
ół �ł
W bibliotece Matlaba funkcja c2d może obliczyć odpowiednik ekstrapolatora trójkątnego (określany
jako odpowiednik ekstrapolatora pierwszego rzędu) układu ciągłego sysC
sysD = c2d(sysC, Ts,  foh )
Przykład 4
Oblicz odpowiednikm ekstrapolatora trójkątnego dla G(s) =1 s2 .
Rozwiązanie. W tym przypadku, z tablicy transformat z
3 2
G(s) 1 T (z + 4z + 1)z
ńł �ł ńł �ł
Z = Z = (4.1)
�ł żł �ł żł
4
6
s2 s4
ół �ł ół �ł (z -1)
i bezpośrednio podstawiając do równania (6.39) uzyskuje się
2
3 2 2 2
(z -1) T (z + 4z + 1)z T z + 4z + 1
Gtri (z) = = (4.2)
4 2
Tz 6 6
(z -1) (z -1)
ĆWICZENIA
1. Naszkicuj na płaszczyz
nie z, gdzie znajdą się bieguny odpowiadające lewej półpłaszczyz
nie s która
jest przekształcona metodami: przekształcenia zerowo-biegunowego i ekstrapolatora zerowego
rzędu.
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 11
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
2. Poniższa transmitancja opisuje układ wyprzedzający fazę, który dodaje 60o fazy przy
częstotliwości �1 = 3 rad/s.
s + 1
G(s) =
0.1s + 1
(a) Dla każdej z poniższych metod projektowania oblicz i wykreśl na płaszczyz
nie z położenia zer
j�1t
i biegunów oraz oblicz ilość fazy wprowadzanej przez równoważny filtr w z1 = e , jeśli
T = 0.25 [s], a projekt prowadzony jest
i) regułą prostokątną wprzód
ii) regułą prostokątną wsteczna
iii) reguła biliniowa Tustina
iv) reguła biliniowa z prewarping (użyj �1 jako częstotliwość warping)
v) przekształcenie zero-biegunowe
vi) równoważnik ekstrapolatora zerowego rzędu
vii) równoważnik ekstrapolatora trójkątnego
(b) Wykonaj wykresy Bodego amplitudy i fazy dla każdego z powyższych równoważników w
zakresi �l = 0.1 -> �h = 100.
3. Dla poniższej transmitancji filtru dolno-przepustowego zaprojektowanego po to aby zwiększyć Kv
przez współczynnik 10 i mieć pomijalną fazę �1 = 3 rad
10s + 1
G(s) =10
100s + 1
Dla każdej z poniższych metod projektowania oblicz i wykreśl na płaszczyz
nie z położenia zer
j�1t
i biegunów oraz oblicz ilość fazy wprowadzanej przez równoważny filtr w z1 = e , jeśli T = 0.25
[s], a projekt prowadzony jest
(a) Dla każdej z poniższych metod projektowania oblicz i wykreśl na płaszczyz
nie z położenia zer
j�1t
i biegunów oraz oblicz ilość fazy odejmowanej przez równoważny filtr w z1 = e , jeśli
T = 0.25 [s], a projekt prowadzony jest
i) regułą prostokątną wprzód
ii) regułą prostokątną wstecz
iii) reguła biliniowa
iv) reguła biliniowa z prewarping (użyj �1 jako częstotliwość warping)
v) przekształcenie zero-biegunowe
vi) równoważnik ekstrapolatora zerowego rzędu
vii) równoważnik ekstrapolatora trójkątnego
Wykonaj wykresy Bodego amplitudy i fazy dla każdego z powyższych równoważników w
zakresie �l = 0.01 -> �h = 10.
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 12
Teoria sterowania Równoważniki dyskretne dla transmitancji układów ciągłych
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ZADAC

LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed.
Addison-Wesley Publishing Company, 1998.
2. Kuo B.C. Automatic Control Systems, John Wiley&Sons, 1995.
Ostatnia aktualizacja: 05-12-15 � M. Tomera 13