Aleksandra Falkowska
ZBIOR MANDELBROTA
Zbiory Mandelbrota to nie są zwykłe fraktale, ale mapa zbiorów Julii,
czasem zwane fraktalami brzegowymi. "Niektórzy twierdzą, że jest on
nie tylko najpiękniejszym, ale również najbardziej skomplikowanym
obiektem, jaki kiedykolwiek zobaczono". Pierwszy zbiór stworzony
przez B.Mandelbrota powstał na ekranie komputera około 1979 roku.
Budowa zbioru była bardzo interesująca i nieoczekiwana.
Wyobraz
my sobie ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2,z3, ... i przyjmijmy,
że pierwszy wyraz jest zerem, a każdy następny wyraża się przez
kwadrat poprzedniego, zwiększony o pewną stałą zespoloną, czyli
zn+1=zn2+c, gdzie c oznacza pewną stałą zespoloną, spełniającą tu rolę
parametru.
Kilka pierwszych elementów tego ciagu: z0=0, z1=c, z2=c2+c, z3=
(c2+c)2+c, ... itd. gdzie dodawanie i potęgowanie należy rozumieć w
sensie liczb zespolonych.
Okazuje się, że dla pewnych wartości parametru c ciąg ten jest
ograniczony na płaszczyz
nie zespolonej, a dla innych - nie. Ograniczony
oznacza tu: mieszczący się w całości wewnątrz koła o skończonym
promieniu.
W ten sposób wyznacza sie zbiory Julii.
Gdybyśmy narysowali układ współrzędnych o osiach Re(c) oraz Im(c), a
w nim koło środku(0,0) i promieniu - powiedzmy - 2. Ustalmy jakiś
zakres zmiany parametru c, np. -2Re(c)1, -1.5Im(c)1.5. Zbiór tych
wartości utworzy kwadrat - wewnątrz niego powstanie nasz fraktal.
Dla każdego punktu leżącego wewnątrz kwadratu obliczamy N
pierwszych wyrazów ciągu (N wystarczająco duże, np. kilkaset) i
sprawdzamy warunek ograniczoności powstałego zbioru punktów, czyli
czy wszystkie wyrazy leżą wewnątrz narysowanego koła. Jeżeli tak, to
domniemamy, że wszystkie następne punkty też będą leżeć wewnątrz -
rysujemy punkt odpowiadający parametrowi c i przechodzimy do
następnego punktu.
Gdy jakikolwiek punkt opuści koło, to przechodzimy do następnego bez
żadnej akcji. I tak dalej ... To, co otrzymamy w granicy jest właśnie
zbiorem Mandelbrota, czyli zbiorem tych wartości parametru c, dla
których wyrazy ciągu z0, z1, z2, z3,... określone zależnością
rekurencyjną zn+1=zn2+c leżą wewnątrz koła o stałym promieniu.
Program1.
Program napisany w Javie, pozwala nam uzyskac taki oto obraz:
Czarny obszar to zbior Mandelbrota. Kolorowy obszar to punkty dla
ktorych ciag jest nieskonczony, kolor zostaje wyznaczony za pomoca
numeru iteracji w ktorej wartosc kolejnego wyrazu ciagu przekroczyla
przyjeta wartosc.
Powiekszajac niektore fragmenty zbioru Mandelbrota mozemy uzyskac
rozne obrazy (te obrazy nie sa wynikiem programu, zostaly wybrane z
zasobow internetowych):
Program2.
Wyresla zbior Mandelbrota w trybie tekstowym. Jest mniej efektowny
niz poprzedni, ma ograniczone mozliwosci wyswietlania ze wzgledu na
wielkosc znakow, ale daje rownie ciekawy wynik: