Dr inż. Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI LABORATORIUM Ćw. S-II.2 CHARAKTERYSTYKI SKOKOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem charakterystyki skokowej h(t), praktycznym sposobem jej otrzymywania oraz możliwościami wykorzystania do identyfikacji parametrów badanych elementów. Dodatkowym celem jest zapoznanie się z metodami symulacji działania elementów automatyki, w tym przypadku poprzez graficzne przedstawianie charakterystyk skokowych wykorzystując programy Matlab lub SciLab. Program ćwiczenia 1. Cześć doświadczalna Należy zarejestrować wykresy charakterystyk skokowych trzech termopar: " T1 termopara typu J (żelazo-konstantan) w osłonie, " T2 termopara typu J bez osłony, " T3 termopara lotnicza (do pomiaru temperatury głowicy silnika lotniczego). 2. Opracowanie wyników " Dla każdej termopary należy napisać G(s) wyznaczajśc uprzednio z otrzymanych wykresów charakterystyk skokowych wartości współczynników występujących w tych transformatach, " Narysować wykresy charakterystyk skokowych elementów automatyki opisanych w/w transformatami korzystając z dostępnego oprogramowania. Przeanalizować wpływ parametrów na przebieg h(t). Podstawy teoretyczne Analiza i synteza układów sterowania automatycznego opiera się na wykorzystaniu charakterystyk dynamicznych. Charakterystyki te opisują zachowanie się układu sterowania jako całości lub poszczególnych jego elementów w stanach dynamicznych, tj. podczas trwania procesów przejściowych. Rozróżniamy dwa rodzaje charakterystyk dynamicznych: 1) charakterystyki czasowe, 1 2) charakterystyki częstotliwościowe. Charakterystyka czasowa Jest to przebieg w czasie odpowiedzi y(t) układu (elementu) dynamicznego (rys. 2.1) na określone wymuszenie x(t), zwane typowym wymuszeniem . Rys. 2.1. Ilustracja definicji charakterystyki czasowej W celu badania właściwości dynamicznych elementów należy rozwiązać równanie różniczkowe lub jakimś pośrednim sposobem przebadać jego rozwiązanie. Możliwe to jest pod warunkiem, że znana jest wielkość wejściowa x(t) jako funkcja czasu. W warunkach rzeczywistych przy pracy układu sterowania wielkość wejściowa każdego elementu jest właściwie przypadkową funkcją czasu. Dlatego do badania elementów przyjmuje się kilka typowych (standardowych) sygnałów odzwierciedlających różne stany zbioru wejściowych sygnałów przypadkowych. Sygnały wejściowe nazywają się wymuszeniami, a sygnały wyjściowe powstające w wyniku ich oddziaływania - odpowiedzią na te wymuszenia. Typowe wymuszenia przed tabela 2.1. Tabela 2.1. Typowe wymuszenia Lp. Nazwa Wykres f(t) F(s) 1 Skok jednostkowy x(t) a1(t) 1 (funkcja Heaviside'a) 1(t) 1(t) s t 2 Wymuszenie a 0 skokowe 1śąt źą"a s 3 Funkcja Diraca (wymuszenie d (t) 0 przy t ą 0
impulsowe) d(t) =
+ Ą przy t = 0
F(s) = 1 t 4 Wymuszenie liniowo at narastajśce (skok a prędkości) a"t t s2 5 Wymuszenie x paraboliczne (skok przyśpieszenia) at2 2a a"t2 s3 t 2 Charakterystyki skokowe Najczęściej stosowanym wymuszeniem jest wymuszenie skokowe. Wymuszenie to osiąga skokowo w chwili t = 0 wartość a = const i dalej pozostaje stałe. Znaczy to, że x(t) = a przy tŁ0 i x(t) = 0 przy t < 0. Często dla funkcji skokowej używa się oznaczenia xśąt źą=a"1śątźą Funkcja 1(t) nazywa się jednostkową funkcją skokową lub krótko skokiem jednostkowym. Jeśli amplituda skoku jest różna od jedności i wynosi a, to takie wymuszenie nazywamy wymuszeniem skokowym (Tabela 2.1). Powstawanie skokowego sygnału wejściowego jest bardzo typowe. W urządzeniach elektrycznych i elektromechanicznych sygnał skokowy oznacza przyłączenie napięcia stałego na wejście elementu np. napięcia zasilania. W miernikach podanie na zaciski wejściowe mierzonej wielkości oznacza podanie wymuszenia skokowego. W rezultacie takiego wymuszenia miernik przejdzie do nowego stanu równowagi. Proces przechodzenia do nowego stanu równowagi przy wymuszeniu skokowym opisuje się rozwiązaniem równania różniczkowego przy x(t) = a" 1(t). Proces ten czyli odpowiedz skokowa (lub charakterystyka skokowa) - to odpowiedz elementu lub układu na skokowe wymuszenie wejściowe. 1= a L [a"1 śątźą]=a Transformata Laplace'a wymuszenia skokowego ma postać: . s s Odpowiedzi skokowe podstawowych elementów automatyki Odpowiedzią y(t) na wymuszenie x(t) nazywamy przebieg w czasie wielkości wyjściowej y następujący po wprowadzeniu sygnału wejściowego x(t). Z definicji transmitancji bm smąbm-1 sm-1ą...ąbo Y śąsźą M śąsźą Gśą sźą= = = X śą sźą an snąbn-1 sn-1ą...ąao N śą sźą M śąsźą mamy Y śąsźą=G śąsźą"X śąsźą= X śąsźą . N śą sźą Ogólnie, odpowiedz y(t) jest oryginałem transformaty Y(s) Odpowiedz skokowa układu lub elementu - jest to odpowiedz na funkcję skokową x(t) = a" 1(t). Charakteryzuje ona przejście układu z jednego stanu równowagi lub stanu ustalonego do drugiego. Jeśli równanie liniowe układu słuszne jest dla małych odchyleń, to wielkość a funkcji skokowej powinna być mała. Dla układów liniowych zwykle przyjmuje się a = 1. Odpowiedz układu na jednostkowe wymuszenie skokowe przyjęto oznaczać jako h(t). W celu określenia odpowiedzi skokowej układu lub elementu liniowego należy rozwiązać równanie niejednorodne układu (patrz równanie 1.1 w ćw. 1) przy założeniu, że na wejście podamy wymuszenie skokowe x(t) = 1(t). Wówczas za y(t) możemy podstawić h(t) i otrzymamy n n-1 2 an d h +an-1 d h +...+a2 d h +a1 d h +ao h=ż dtn dtn-1 dt2 dt (2.1) 2 m bo 1(t)+b1 d1(t)+b2 d 1(t)+...+bm d 1(t) dt dt2 dtm Rozwiązanie równania (2.1) jest równoważne określeniu oryginału transmitancji 3 M śą sźą 1 1 H śą sźą=G śą sźą = s N śą sźą s skąd n i h śątźą= L-1[H śą sźą]=coą ci es t (2.2) " i =1 gdzie: bo M śą0źą co= = N śą0źą ao si - pierwiastki równania charakterystycznego. Wyrażenie (2.2) jest słuszne tylko wtedy, gdy wielomian N(s) nie ma pierwiastków wielokrotnych ani pierwiastka równego zero. Odpowiedz skokowa h(t), charakteryzująca proces ustalania wielkości wyjściowej przy n i skokowej zmianie wielkości wejściowej składa się z dwóch składowych: co i ci es t . Druga " i=1 składowa przedstawia sobą całkę równania jednorodnego (2.1), tzn. składową przejściową procesu ustalania. Składowa ta jest nazywana uchybem dynamicznym. W układzie lub elemencie stabilnym składowa przejściowa dąży do zera z upływem czasu, tzn. że n i lim cies t=0 (2.3) " t Śą " i =1 bo M śą0źą Składowa co= = to szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego N śą0źą ao (2.1), tzn. ustalona wartość wielkości wyjściowej. Do tej wartości wielkość wyjściowa dąży w miarę zanikania składowej przejściowej czyli uchybu dynamicznego. Rys. 2.3. Przykładowe charakterystyki skokowe 4 Odpowiedz skokowa w ogólnym przypadku (rys. 2.3) charakteryzuje się czasem regulacji tr, wielkością przekroczeń "h1, "h2 i ich liczbą. "h1 nazywa się przeregulowaniem. Czas regulacji to czas, po upływie którego odpowiedz skokowa pozostaje w granicach 0.95 co < h(t) < 1.05 co. Praktycznie można uważać, że w czasie tr wielkość wyjściowa osiąga swoją wartość ustaloną. Teoretyczny czas ustalania w układzie liniowym dąży do nieskończoności zgodnie z wyrażeniem (2.3). Przeregulowanie - to przekroczenie przez wielkość wyjściową swojej wartości ustalonej w procesie ustalania. Przeregulowania zwykle są określane jako odchylenia procentowe od wartości co i w tej postaci oznaczane jako . Rozpatrzymy odpowiedzi skokowe podstawowych członów przyjmując wymuszenie skokowe o amplitudzie równej a ( x(t)=a1(t)). Człon wzmacniający Odpowiedz skokowa członu wzmacniającego h śątźą=k"a"1śątźą przedstawia sobą funkcją skokową zwiększoną k razy w stosunku do wejściowej. Człon o stałym opóznieniu Odpowiedz skokowa będzie funkcją skokową przesuniętą wzdłuż osi czasu o wielkość , tzn. h śątźą=k1"a"1śąt-ąźą Rys.2.4. Charakterystyka skokowa członu wzmacniającego (proporcjonalnego) i członu wzmacniającego z opóznieniem Człon inercyjny Transmitancja i wzór na charakterystykę skokową elementu inercyjnego I-go rzędu mają postać śą sźą k Gśą sźą= y śąsźą= ; x Tsą1 (2.4) -t T śą źą h śątźą= L-1 k =ka 1-e [ ] śąTsą1źąs Odpowiedz skokową członu można otrzymać także z rozwiązania równania niejednorodnego opisującego człon inercyjny (2.5). dhśąt źą T ąhśątźą=k"a"1śątźą (2.5) dt Odpowiedz skokowa posiada dwie składowe: ka i - ka e-t/T. Druga składowa to całka 5 jednorodnego równania (2.5), tzn. składowa przejściowa procesu ustalania (uchyb dynamiczny). Jak widać, uchyb dynamiczny zmniejsza się z upływem czasu według zależności wykładniczej. Składowa ka jest rozwiązaniem szczególnym równania pełnego (2.5). Przedstawia ona wartość ustaloną, do której dąży wielkość wyjściowa w miarę zanikania składowej przejściowej. Zauważmy, że rozwiązanie równania (2.5) we współrzędnych h i t jest funkcją wykładniczą. Na rys. 2.5 przedstawiono krzywe h(t) dla trzech wartości T (T1 < T2 < T3 ). Jak widać z krzywych, czas trwania procesu przejściowego (ustalenia wielkości wyjściowej) jest tym mniejszy, im mniejsza jest stała czasowa. Przy T = 0 funkcja wykładnicza zamienia się w funkcją skokową ka1(t), a człon inercyjny staje się członem wzmacniającym. Odpowiedz skokowa członu inercyjnego nie ma przeregulowania, a czas regulacji równy jest w przybliżeniu 34 stałym tr=34 czasowym, tzn. . Rys. 2.5. Odpowiedzi skokowe członu inercyjnego przy rożnych stałych czasowych Rys. 2.6. Sposoby wyznaczania stałej czasowej z wykresu charakterystyki skokowej członu inercyjnego 6 Odpowiedz skokową elementu inercyjnego (jak i innych) można otrzymać eksperymentalnie przykładając na wejście rzeczywistego elementu inercyjnego sygnał skokowy. Zarejestrowany przebieg zmian wielkości wyjściowej będzie właśnie odpowiedzią skokową. Z zapisu eksperymentalnego h(t) można określić parametry k i T odpowiedzi skokowej. W celu określenia T przeprowadza się styczną do h(t) przy t = 0 (rys. 2.6). Styczna ta odcina na asymptocie krzywej wykładniczej (prosta ka) stałą czasową T. Jeżeli początek procesu na zapisie (oscylogramie) trudno jest ustalić, to styczną można poprowadzić z dowolnego punktu krzywej wykładniczej przenosząc w ten punkt początek układu współrzędnych. Człon całkujący Równanie członu ca_kującego przy wymuszeniu skokowym x(t) = a1(t) ma postać dy =ka"1 śątźą (2.6) dt Odpowiedz skokowa opisana jest wzorem t h śątźą= kadt=kat +" 0 i przedstawia równanie linii prostej. Wielkość wyjściowa nieprzerwanie wzrasta liniowo przy stałej wartości wielkości wejściowej. Jest to naturalne ponieważ człon ten nie posiada równowagi statycznej. Pojęcie czasu regulacji nie ma tutaj sensu. Człon drugiego rzędu Odpowiedz skokową otrzymuje się jako rozwiązanie równania 2 d hśąt źąą2 źąT dhśątźąąh śątźą=k"1 śątźą 2 T dt dt2 przy zerowych warunkach początkowych lub jako oryginał z wyrażenia 1 k 1 H śą sźą=G śąsźą = . 2 s s T s2ą2 źąTsą1 W zależności od wartości ś otrzymujemy następujące przypadki i związane z nimi wyrażenia odpowiedzi skokowej: 1. ś > 1, oba pierwiastki są liczbami ujemnymi rzeczywistymi (typowy człon inercyjny drugiego rzędu) t t r2 -r 1 r1 -r 2 T T h śątźą=k 1- e ą e (2.7) [ ] r2-r1 r2-r1 gdzie: . r1=źą-ćą ćą śąźą2-1źą ,r2=źą" śąźą2-1źą 2. ś < 1, oba pierwiastki są liczbami zespolonymi sprzężonymi; w tym przypadku człon nazywa się oscylacyjnym a charakterystyka skokowa ma postać t -źą T e t (2.8) h śątźą=k 1- sin r ąą [ śą źą] r T r gdzie: r= 1-źą2 , ą=arctg . ćą źą 7 3. ś = 0 - przypadek krytyczny (oscylacje niegasnące) -t t T h śątźą=k 1- 1ą e (2.9) śą źą [ ] T W celu otrzymania równania (2.9) należy się posłużyć wzorem rozkładu funkcji wymiernej dla pierwiastków wielokrotnych lub szukać rozwiązania równania 2 d h1śąt źą dh1śąt źą 2 T ą2źą T ąh1śątźą=0 (2.10) dt dt2 w postaci -t -t T T h1śątźą=c1 e ąc2 t e gdzie c1 i c2 - stałe. Wyrażnie (2.9) otrzymuje się także drogą przekształcenia granicznego z (2.7) lub (2.8) przy ś 1. Przy ś < 1 (pierwiastki zespolone sprzężone) proces przejściowy jest oscylacyjnie gasnący (jak na rys. 2.3). Przy ś > 1 proces jest aperiodyczny i przebiega bez oscylacji (jak krzywa 2 na rys. 2.3). Na rys. 2.7 przedstawiono przebiegi charakterystyk skokowych członu opisanego równaniem (2.10) dla następujących danych: T = 4, ś = 0; 0,25; 1,2;-0,07. Czytelnikowi pozostawimy dopasowanie poszczególnych krzywych do poszczególnych wartości ś. Rys. 2.7. Charakterystyki skokowe członu o równaniu (2.10) Termoelement (termopara) jako element automatyki Dwa przewody z różnych metali zespawane na jednym końcu tworzą termoelement. Jeżeli spoina pomiarowa ma inną temperaturę nić wolne końce w termoelemencie powstaje siła termoelektryczna. Jeżeli temperatura wolnych końców jest stała i znana, wartość powstającej siły termoelektrycznej jest miarę temperatury spoiny pomiarowej. Czujniki termoelektryczne zwane 8 potocznie termoparami są elementami pomiarowymi często wykorzystywanymi w układach automatycznej regulacji. Mierzą różnicę temperatur pomiędzy gorącym i zimnymi końcami termopary. Wielkością wyjściową jest siła termoelektryczna mierzona miliwoltomierzem. Charakteryzują się dużym zakresem pomiarowym, dobrą liniowością charakterystyk i dokładnością. Termopary wykonywane są z różnymi typami osłon, zależnie od środowiska i temperatury pracy. Osłony z żelaza, żeliwa i stali są stosowane do 350C, mosiądz i stale nierdzewne do 800C, specjalne stale żaroodporne do 1200C i osłony ceramiczne do 2200C. Coraz częściej stosowane są obecnie specjalne czujniki płaszczowe, w których termoelement w izolacji z tlenku magnezu jest zaprasowany w osłonie stalowej o średnicy 0.16 mm. Czujniki te mają bardzo małą bezwładność cieplną i dają się wyginać. W urządzeniach laboratoryjnych stosuje się często termoelementy bez osłony. Przewody kompensacyjne służą do przedłużenia termoelementu od głowicy czujnika (zimnych końców), w której występują duże wahania temperatury do miejsca, w którym utrzymuje się stałą temperaturę odniesienia. Przewody kompensacyjne, zwłaszcza w zakresie 0200C, mają taką samą charakterystykę termoelektryczną jak termoelement z którym współpracują, ale są tańsze. Najczęściej stosowanym i najtańszym układem termometru termoelektrycznego jest układ odchyłowy. Schemat takiego układu przedstawia rys. 2.8. Jego wskazania są prawidłowe wówczas, gdy rezystancja obwodu zewnętrznego miernika jest równa wartości znamionowej, podanej na mierniku. Wartość tę dopasowuje się przez odpowiednie nastawienie rezystora wyrównawczego Rk. Rys. 2.8. Termometr termoelektryczny w układzie odchyłowym; T termoelement, 1 spoina pomiarowa, 2 przewody kompensacyjne, 3 wolne końce, 4 przewody łączeniowe, Tz - temperatura odniesienia (zimnych końców), Tg temperatura mierzona (złącza pomiarowego gorących końców), Rk - rezystor kompensacyjny, mV - miliwoltomierz Właściwości dynamiczne termoelementu bez osłony lub w osłonie o małej bezwładności cieplnej (np. termopary płaszczowe) opisuje się równaniem charakterystycznym dla elementu inercyjnego I-go rzędu. W przypadku masywnej osłony konieczne jest uwzględnienie stałej czasowej obudowy, która w tym przypadku jest dominująca. Własności dynamiczne takiej termopary opisuje się przy pomocy równania charakterystycznego dla elementu inercyjnego II-go rzędu. W celu uproszczenia opisu często stosuje się opis własności dynamicznych termopary w obudowie w postaci opisu dla elementu inercyjnego I-go rzędu z opóznieniem. Przykładowe charakterystyki termopar przedstawia rys. 2.9. Krzywa 1 charakterystyczna jest dla termopar o małej stałej czasowej (małej bezwładności np. dla termopar płaszczowych lub termopar bez osłony). Krzywa 2 odpowiada charakterystyce skokowej termopary w masywnej osłonie. Współczynnik wzmocnienia k określamy jako stosunek sygnału wyjściowego w stanie ustalonym do amplitudy sygnału wejściowego. Stan ustalony symbolizować będziemy znakiem 9 Rys. 2.9. Przykładowe charakterystyki skokowe termopar h ( ") [mV ] k= nieskończoności. Współczynnik wzmocnie k wyznaczymy ze wzoru . a [oC ] Interpretacja fizyczna współczynnik wzmocnienia termoelementu pokazuje o ile wzrośnie wartość sygnału wyjściowego (w tym przypadku napięcia) przy wzroście amplitudy sygnału wejściowego o jedną jednostkę (w tym przypadku o 1 stopień). Transmitancję termopary 1 zapiszemy w postaci transmitancji elementu inercyjnego I-go stopnia czyli k G1(s)= 1+T s 1 Transmitancją termopary 2 można w sposób przybliżony zapisać następująco k G2(s)= e- s . 1+T s 2 10 Praktyczna realizacja ćwiczenia Część doświadczalna Badaniu podlegać będą trzy termopary: T1, T2 i T3. Schemat stanowiska do rejestracji charakterystyk skokowych termopar przedstawiony jest na rys. 2.10 a rzeczywisty wygląd prezentuje foto 2.1. Wymuszenie skokowe, które dla termopar ma postać różnicy temperatur pomiędzy zimnymi i gorącym końcami termopary , będziemy realizowali w następujący sposób: Rys. 2.10. Schemat stanowiska laboratoryjnego do rejestracji charakterystyk skokowych termopar W kolbie znajdującej się w płaszczu grzewczym mamy wrzącą wodę. Temperaturę wrzenia wody przyjmujemy równą 100C. Zimne końce mają temperaturę równą temperaturze otoczenia. Wartość temperatury otoczenia odczytujemy z termometru cieczowego wiszącego w laboratorium na filarze. Po energicznym zanurzeniu badanej termopary do wrzącej wody będziemy przyjmowali, że podaliśmy na nią temperaturowe wymuszenie skokowe, którego amplituda wynosi 100C temperatura otoczenia. Końce termopary podłączymy do rejestratora X-t. Sposób podłączenia, wskazane zakresy pomiarowe i ogólnie, obsługa techniczna rejestratora zostanie omówiona przez prowadzącego bezpośrednio przed realizacją ćwiczenia. Należy zarejestrować dwie pary charakterystyk (dwa razy po dwa wykresy). W jednym układzie współrzędnych należy zarejestrować charakterystyki skokowe termopar T1 i T2. Są to termopary wykonane z tej samej pary metali (Fe-Konst). Pierwsza jest w osłonie, druga - bez osłony. Należy porównać właściwości metrologiczne tych termopar i wyciągnąć wnioski. W drugim układzie współrzędnych należy zarejestrować wykresy charakterystyk skokowych termopar T1 i T3. Mają one zbliżone właściwości cieplne (stałe czasowe) natomiast inny współczynnik nachylenia charakterystyki. Poziom sygnału wyjściowego w stanie ustalonym dla tych termopar będzie inny. 11 Foto 2.1. Fotografia stanowiska do rejestrowania charakterystyk skokowych Część obliczeniowa Cześć obliczeniowa w tym ćwiczeniu sprowadzać się będzie do dwóch zadań: 1. Identyfikacji badanych termopar jako elementów automatyki, czyli napisania dla każdej z badanych termopar ich transmitancji operatorowych. 2. Stworzenia modeli tych termopar i narysowanie wykresów charakterystyk skokowych uzyskanych na podstawie tych modeli. Ad. 1. Na podstawie charakterystyki skokowej termopary T1 zapisanej w pierwszej parze wykresów oraz na podstawie charakterystyk skokowych termopar T2 i T3 zapisanych jako druga para wykresów można przypisać każdej termoparze następujące postacie transmitancji operatorowych: k1 s k k 2 3 G1(s)= e- ;G2(s)= ;G3(s)= . 1+T s 1+T s 1+T s 1 2 3 Wykorzystując metody przedstawione na rys. 2.6 i 2.9 należy określić liczbowe parametry badanych termopar: k1 , k2 , k3 , T1 , T2 , T3 , i napisać wyżej przedstawione transmitancje operatorowe wstawiając wyznaczone parametry. Przeanalizować wykresy oraz transmitancje operatorowe i wyciągnąć rozsądne wnioski. 12 Ad. 2. Ta część sprawozdania ma za zadanie poćwiczenie problemów symulacji elementów automatyki z wykorzystaniem programu symulacyjnego: Matlab lub SciLab. Zadanie sprowadza się do narysowania charakterystyk skokowych elementów o transmitancjach G1(s), G2(s), G3(s). Można to zrobić na wiele sposobów. Jednym z nich jest poniższy schemat, przy pomocy którego zostały uzyskane wykresy na rys. 2.7 z wykorzystaniem programu SciLab. Rys. 2.11. Schemat blokowy układu w programie SciLab (xcos) do rysowania charakterystyk skokowych 13