A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI normatywnej teorii decyzji. 2. Uwagi na temat użyteczności pieniędzy W wielu sytuacjach praktycznych, zwłaszcza w działalności gospodarczej, perspektywy mo\na wyrazić jako sumy pienię\ne. Miarami ilości pieniędzy są pewne liczby jednostek monetarnych (złotych, euro, dolarów itp.). W takich przypadkach często a nawet zwykle traktuje się liczby owych jednostek monetarnych jako u\yteczności lub jako liczby proporcjonalne do u\yteczności, to jest zakłada się, \e u(M) = M lub u(M) = kM. Objawia się to tym, \e często w problemach decyzyjnych (np. zadaniach optymalizacyjnych) dą\ymy do maksymalizacji uzyskanych kwot pieniędzy lub minimalizacji kwot wydawanych. Ale jeśli nawet świadomie zaniedbamy fakt, \e taka funkcja u\yteczności pomija inne aspekty perspektyw (np. etyczne i humanitarne), to i tak ta skala wartości zwykle nie jest całkowicie odpowiednią podstawą analizy problemów decyzyjnych dotyczących pieniędzy. Przykład tak zwanego paradoksu petersburskiego" jest ilustracją wynikających stąd trudności. Przykład (Paradoks Petersburski) Proponują Wam za opłatą, następującą perspektywę losową. Zostanie Wam wypłacona kwota 2N złotych, pod warunkiem, \e w serii rzutów monetą pierwszego orła uzyskacie dopiero w N-tym rzucie. Oznacza to, \e jeśli orzeł wypadnie za pierwszym razem otrzymacie 2 zł , jeśli za pierwszym razem reszka a orzeł za drugim dostaniecie 22=4zł , & ., jeśli przez pierwszych 9 rzutów wypadną reszki a orzeł wypadnie za 10 to otrzymacie 210=1024 zł, itd. Jaką opłatę zgodzicie się wnieść za udział w tej loterii? Zastanówmy się co wasza (nieznana mi) odpowiedz oznacza dla przypuszczenia, \e u\yteczność pieniędzy jest dla was proporcjonalna do ich ilości, tzn. \e jest funkcją liniową. Oznaczmy Strona 26 A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI naszą grę jako mieszankę L = [ l, 2, 3, ...](1/2 ,1/4,1/8,...). Jak wiadomo prawdopodobieństwo uzyskania pierwszego orła dopiero w N tym rzucie jest równe 1/2N. Zatem, zakładając, \e u\yteczność pieniędzy jest funkcją liniową, tzn. u(M) = k M, dla dowolnej skończonej liczby N otrzymujemy: N " 1 n n u(L) e" = "u(2 ) 2n = "k2 1 k(1+1+1+ .... +1) = kN 2n n=1 n=1 Poniewa\ N mo\e być dowolnie du\e, więc okazuje się, \e u(L)=" . Okazało się więc, \e je\eli u\yteczność pieniędzy mierzy się wielkością proporcjonalną do ich kwoty, to powinniście zgodzić się na wniesienie ka\dej opłaty w zamian za mo\liwość uczestnictwa w tej grze, poniewa\ u\yteczność loterii wynosi nieskończoność, a zatem z własności A funkcji u\yteczności wynika, \e loteria ta jest dla nas bardziej atrakcyjna od dowolnej kwoty pieniędzy (np. 1 mln zł) bo u\yteczność dowolnej, określonej kwoty pieniędzy jest skończona. Jasne jest, \e ludzie zdrowi na umyśle nie wniosą dowolnie wielkiej zapłaty za udział w tej loterii - na ogół nie chcą wnosić nawet skończonych, ale wysokich opłat za udział w tej grze. Wynika z tego, \e u\yteczność pieniędzy nie jest liniową funkcją ich ilości. W rzeczywistości badania behawioralne wykazują, \e większość ludzi ma nieliniową funkcję u\yteczności pieniędzy. Na przykład całkowity kapitał wielkości kilku groszy jest tak samo zły jak zupełny brak pieniędzy czyli u\yteczność sum groszowych jest w istocie zerowa. Z drugiej strony perspektywa otrzymania dwu miliardów złotych nie jest du\o atrakcyjniejsza ni\ perspektywa jednego miliarda - z pewnością nie jest dwukrotnie atrakcyjniejsza! Gdy wielkość kapitału osiąga takie wy\yny, przyrosty u\yteczności zdają się stopniowi maleć. Na rysunku 1 pokazano typowy wykres funkcji u\yteczności u(M), wykreśloną względem kapitału Strona 27 A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI całkowitego M - krzywa ta ilustruje funkcje u\yteczności pieniędzy charakterystyczne dla większości ludzi. Jest ona zawsze funkcją rosnącą, zgodnie z obserwacją, \e im większa jest ilość pieniędzy, tym większa jest jej atrakcyjność. W normalnych sytuacjach nie zdarza się, by większy kapitał był mniej u\yteczny" ni\ mniejszy, niezale\nie od osobistego stosunku decydenta do pieniędzy. Wszak gdyby na przykład był pieniądzom zupełnie niechętny właściciel kapitału mógłby nadmiar spalić, zakopać lub oddać komuś (np. bardziej potrzebującym) osiągając w ten sposób wy\szą u\yteczność. u(M) M Rys.1 Typowy kształt funkcji u\yteczności pieniędzy W trakcie rozwiązywania konkretnego problemu decyzyjnego wygodnie jest czasem skupić uwagę na małym fragmencie krzywej reprezentującej u(M), czyli naszą funkcję u\yteczności pieniędzy, a mianowicie, na tej części krzywej, która jest w danym problemie istotna. Rzeczą naturalną jest przy tym odkładanie na osi odciętych raczej sum pienię\nych, które mo\na zyskać lub stracić, ni\ ogólnych zasobów kapitałowych. Trzeba jednak pamiętać, \e wówczas funkcja u(M), gdzie Strona 28 A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI przez M oznaczono przyrost lub zmniejszenie zasobów od stanu początkowego M0, jest w rzeczywistości funkcją uMo(M)=u(M+Mo). Stąd te\ przyjmowana przez daną osobę funkcja u\yteczności pieniędzy mo\e wydawać się ró\ną, w ró\nych sytuacjach, po prostu dlatego, \e osoba ta działa wokół ró\nych punktów na swej pełnej krzywej u\yteczności. Je\eli przyjęta funkcja u\yteczności pieniędzy jest taka, jak pokazano na rysunku 1 to jest oczywiście mo\liwe, \e (lokalne) funkcje u\yteczności dla zysków i strat będą wypukłe w jednych, a liniowe lub wklęsłe w innych przypadkach, czyli takie, jak pokazane na kolejnych rysunkach. u(M) u(M) M M Rys. 2. Wklęsła funkcja u\yteczności Rys. 3. Wypukła funkcja u\yteczności Rysunek 2 na ogół odpowiada du\emu kapitałowi początkowemu M0, rys 3 odpowiada sytuacjom, w których kapitał początkowy M0 jest bliski zera. Zastanówmy się co się kryje za jednym lub drugim kształtem funkcji ryzyka. Przykład. Przypuśćmy, \e decydent staje przed następującym wyborem: za 1600 zł mo\e wziąć udział w loterii [10 000 zł., 0zł.]0.16 ( np. w losowaniu na kole fortuny, lub inwestycje w pewna spółkę). Znaczy to, \e je\eli zapłaci za udział w losowaniu (kupi akcje) to zyskuje 8 400 zł jeśli wylosuje 10 000, je\eli z kolei wylosuje 0 to straci posiadane 1 600zł. Strona 29 A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI Zauwa\my, \e wartość oczekiwana wygranej w loterii jest równa kwocie, którą nale\y uiścić za wzięcie w niej udziału. Inaczej mówiąc decydent stoi przed wyborem: pewne 1600 zł czy (w zamian) udział w loterii, której wartość oczekiwana wynosi dokładnie tyle samo. Co wybierze? Dowiemy się o tym jeśli poznamy jego funkcji u\yteczności. Załó\my, \e jest ona dla kwot mniejszych od 1 000 000 zł dana wzorem: u(M ) = M Otrzymujemy, \e u(0) = 0, u(1600) = 40, i u(10 000) = 100. W takim razie u\yteczność proponowanej decydentowi loterii wyliczamy nastepująco u([0, 10 000]0.16) = 0,84 u(0) + 0,16 u(10) = 16 U\yteczność tego zakładu jest więc mniejsza ni\ u\yteczność zatrzymania 1 600zł przy sobie, wynosząca 40. Tak więc status quo będzie atrakcyjniejsze dla tego decydenta ni\ perspektywa losowania, pomimo \e wartość oczekiwana wygranej w zakładzie jest identyczna jak kwota, która trzeba by zainwestować. Powiemy, \e nasz decydent ma awersje do ryzyka. Rozumowanie podobne do przedstawionego w przykładzie stanowi podstawę do umownego, ale zgodnego z intuicją podziału decydentów na skłonnych do ryzyka i na czujących awersje do ryzyka, no i na względem ryzyka obojętnych. Je\eli decydent woli gwarantowaną kwotę M od udziału w loterii w której oczekiwana wygrana wynosi M, to mówimy, \e ma awersje do ryzyka. Woli to znaczy, \e dla niego u\yteczność loterii jest mniejsza od równowa\nej jej kwoty pieniędzy uzyskiwanej na pewno. Zauwa\my, \e ryzykując, mógłby zyskać więcej, ale mógłby te\ stracić i tego się właśnie obawia. Ryzykując czyli biorąc udział w przedsięwzięciu, którego modelem Strona 30 A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI jest loteria, w praktyce mo\e to być inwestycja giełdowa lub jakieś inne przedsięwzięcie gospodarcze zamiast np. pewnej inwestycji w obligacje skarbu państwa. Zauwa\my, \e taki decydent ma wklęsłą funkcję u\yteczności, tak jak pokazano na poni\szym rysunku. u(M) u(r M1+(1-r)M2) u(M2) u(M1) M2 M1 M u([M1,M2] )=r u(M1)+(1-r)u(M2) r Na rysunku tym czerwona linia reprezentuje u\yteczności ró\nych loterii (ró\ne punkty zale\ą od tego jakie jest prawdopodobieństwo r wygranej M1). Widzimy, \e u\yteczności kwot równym wartościom oczekiwanym loterii znajdują się ponad nimi tzn. u(E([M1,M2]r))= u(r M1+(1-r)M2) > r u(M1)+(1-r)u(M2) = u([M1,M2]r ) czyli loterie są dla takiego decydenta mniej atrakcyjne. Jest oczywiste, \e analogicznie argumentując mo\emy wykazać, \e wypukła funkcja u\yteczności obserwowana w pewnym przedziale kwot pienię\nych sygnalizuje skłonność decydenta do ryzyka, co w naszej interpretacji ściśle rzecz ujmując oznacza, \e decydent ka\dą posiadaną kwotę M uwa\a za mniej atrakcyjną od udziału w loterii, w której Strona 31 A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI oczekiwana wygrana wynosi M, a wygrane nale\ą do z rozwa\anego zakresu kwot. Wynika te\ z naszych rozwa\ań, \e decydent obojętny wobec ryzyka to taki którego funkcja ryzyka w zakresie obejmującym rozwa\ane w problemie kwoty jest liniowa. Na zakończenie wykładu poświęconego teorii u\yteczności przedstawimy jeszcze jeden interesujący przykład. Pochodzi on z pracy M. Allais z 1953 roku. Ilustruje on dwa wa\ne aspekty związane z wykorzystywaniem tej teorii. Rozwa\my mianowicie sytuację, w której decydent ma przed sobą trzy (nielosowe) perspektywy uporządkowane następująco: P1>P2>P3. Zgodnie z poznaną teorią zawsze mo\emy tak wybrać funkcję u\yteczności u, \e u(P1)=1 oraz u(P3)=0. Zatem wszystkie mo\liwe preferencje decydenta zale\ą od wyboru wartości u2=u(P2). Dokładniej, preferencje te od tej wartości nie zale\ą mamy na myśli jedynie to, \e ró\ne mo\liwe preferencje odzwierciedlane są jednoznacznie przez jedyny odpowiadający im wybór wartości u2. Rozwa\my teraz dwie ró\ne loterie tych perspektyw. O ich postaci decyduje wybór prawdopodobieństw wylosowania poszczególnych perspektyw. Niech dla pierwszej loterii będzie to L1=[P1,P2,P3](p1,p2,p3) a dla drugiej: L2=[P1,P2,P3](q1,q2,q3) . Zauwa\my, \e L1>L2 czyli u(L1)>u(L2) ma miejsce wtedy tylko wtedy, gdy p1-q1+(p2-q2)u2 > 0 (1.war) Zatem nie znając dokładnych wartości funkcji, z samego faktu jedynie, \e funkcja u\yteczności istnieje wnioskujemy ponad wszelką wątpliwość , \e np. loteria [P1,P2,P3](0.4,0.2,0.4)> [P1,P2,P3](0.2,0.5,0.3) wtedy i tylko wtedy, gdy [P1,P2,P3](0.5,0,0.5)> [P1,P2,P3](0.3,0.3,0.4), gdy\ dla obu tych Strona 32 A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI loterii warunek (1.war) ma postać identyczną. To ciekawe spostrze\enie, ilustruje fakt, ze wiele mo\na się dowiedzieć o problemie decyzyjnym jedynie na podstawie faktu, \e funkcja u\yteczności istnieje. Ale przykład ma jeszcze jeden aspekt behawioralny. Pokazuje jak trudno mo\e być zidentyfikować perspektywy stojące przed decydentem. Rozwa\my dwie sytuacje praktyczne. W pierwszej z nich decydent ma do wyboru (pierwsza perspektywa): dostać 5 milionów złotych od razu lub (druga perspektywa) wziąć udział w losowaniu 10 milionów zł. , 5 milionów zł lub niczego z prawdopodobieństwami odpowiednio: 0.1, 0.89, 0.01. Jaką decyzję byś podjął? W drugiej sytuacji mo\liwe są następujące nagrody (trzecia perspektywa) 5 milionów zł lub nic z prawdopodobieństwami odpowiednio: 0.11, 0.89 lub (czwarta perspektywa) 10 milionów zł. lub nic z prawdopodobieństwami 0.1, 0.9. Co teraz byś wybrał czytelniku? Na czym polega istota i osobliwość tego przykładu? Otó\ zgodnie z poprzednimi rozwa\aniami powinno być: [10 mln, 5 mln, nic](0,1,0) > [10 mln, 5 mln, nic](0.1,0.89,0.01) wtedy i tylko wtedy , gdy [10 mln, 5 mln, nic](0, 0.11,0.89) > [10 mln, 5 mln, nic](0.1, 0, 0.9) Badania behawioralne pokazują, \e przytłaczająca większość ludzi wskazuje przeciwne znaki preferencji w przypadku tych loterii! Dlaczego? Czy\by przeczyło to całej teorii, jak tą sprzeczność wyjaśnić? Strona 33