MINISTERSTWO EDUKACJI i NAUKI Wojciech J. Klimasara Konstruowanie elementów maszyn 311[50].O2.03 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji PaÅ„stwowy Instytut Badawczy Radom 2005 Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego Recenzenci: mgr inż. StanisÅ‚aw Popis mgr inż. Marek Zalewski Opracowanie redakcyjne: mgr inż. Katarzyna Maćkowska Konsultacja: dr inż. Janusz Figurski Korekta: mgr Joanna Iwanowska Poradnik stanowi obudowÄ™ dydaktycznÄ… programu jednostki moduÅ‚owej 311[50].O2.03. Konstruowanie elementów maszyn zawartego w moduÅ‚owym programie nauczania dla zawodu technik mechatronik. Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji PaÅ„stwowy Instytut Badawczy, Radom 2005 Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 1 SPIS TREÅšCI 1. Wprowadzenie 3 2. Wymagania wstÄ™pne 4 3. Cele ksztaÅ‚cenia 5 4. MateriaÅ‚ nauczania 6 4.1. Statyka 6 4.1.1. MateriaÅ‚ nauczania 6 4.1.2. Pytania sprawdzajÄ…ce 16 4.1.3. Ćwiczenia 16 4.1.4. Sprawdzian postÄ™pów 19 4.2. Kinematyka 19 4.2.1. MateriaÅ‚ nauczania 19 4.2.2. Pytania sprawdzajÄ…ce 26 4.2.3. Ćwiczenia 26 4.2.4. Sprawdzian postÄ™pów 28 4.3. Dynamika 28 4.3.1. MateriaÅ‚ nauczania 28 4.3.2. Pytania sprawdzajÄ…ce 36 4.3.3. Ćwiczenia 36 4.3.4. Sprawdzian postÄ™pów 40 4.4. WytrzymaÅ‚ość materiałów 40 4.4.1. MateriaÅ‚ nauczania 40 4.4.2. Pytania sprawdzajÄ…ce 46 4.4.3. Ćwiczenia 46 4.4.4. Sprawdzian postÄ™pów 48 4.5. Części maszyn 49 4.5.1. MateriaÅ‚ nauczania 49 4.5.2. Pytania sprawdzajÄ…ce 56 4.5.3. Ćwiczenia 57 4.5.4. Sprawdzian postÄ™pów 60 5. Sprawdzian osiÄ…gnięć 61 6. Literatura 65 Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 2 1. WPROWADZENIE Poradnik bÄ™dzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o konstruowaniu elementów maszyn. W poradniku zamieszczono: - wymagania wstÄ™pne, wykaz umiejÄ™tnoÅ›ci, jakie powinieneÅ› mieć już uksztaÅ‚towane, abyÅ› bez problemów mógÅ‚ korzystać z poradnika, - cele ksztaÅ‚cenia, wykaz umiejÄ™tnoÅ›ci, jakie uksztaÅ‚tujesz podczas pracy z poradnikiem, - materiaÅ‚ nauczania, piguÅ‚kÄ™ wiadomoÅ›ci teoretycznych niezbÄ™dnych do opanowania treÅ›ci jednostki moduÅ‚owej, - zestaw pytaÅ„ przydatny do sprawdzenia, czy już opanowaÅ‚eÅ› podane treÅ›ci, - ćwiczenia pomogÄ… Ci zweryfikować wiadomoÅ›ci teoretyczne oraz uksztaÅ‚tować umiejÄ™tnoÅ›ci praktyczne, - sprawdzian osiÄ…gnięć, przykÅ‚adowy zestaw zadaÅ„ i pytaÅ„. Pozytywny wynik sprawdzianu potwierdzi, że dobrze pracowaÅ‚eÅ› podczas lekcji i że opanowaÅ‚eÅ› umiejÄ™tnoÅ›ci z zakresu tej jednostki moduÅ‚owej, - literaturÄ™ uzupeÅ‚niajÄ…cÄ…. GwiazdkÄ… oznaczono pytania i ćwiczenia, których rozwiÄ…zanie może Ci sprawiać trudnoÅ›ci. W razie wÄ…tpliwoÅ›ci zwróć siÄ™ o pomoc do nauczyciela. Jednostka moduÅ‚owa Konstruowanie elementów maszyn jest wprowadzeniem do jednostki Wytwarzanie elementów maszyn . Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 3 2. WYMAGANIA WSTPNE PrzystÄ™pujÄ…c do realizacji programu nauczania jednostki moduÅ‚owej powinieneÅ› umieć: - stosować ukÅ‚ad SI, - przeliczać jednostki ukÅ‚adu SI, - rozwiÄ…zywać równania i ukÅ‚ady równaÅ„, - sporzÄ…dzać wykresy funkcji, - odczytywać dokumentacjÄ™ konstrukcyjnÄ… i interpretować zawarte w niej oznaczenia, - rysować szkice części maszyn odwzorowujÄ…ce ksztaÅ‚ty zewnÄ™trzne i wewnÄ™trzne z zachowaniem proporcji i oznaczeÅ„ zgodnych z obowiÄ…zujÄ…cymi normami rysunku technicznego, - tworzyć dokumentacjÄ™ technicznÄ… z wykorzystaniem oprogramowania komputerowego, - korzystać z różnych zródeÅ‚ informacji. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 4 3. CELE KSZTAACENIA W wyniku realizacji programu jednostki moduÅ‚owej powinieneÅ› umieć: - wykonać podstawowe dziaÅ‚ania na wektorach, - rozróżnić rodzaje wiÄ™zów, wskazać w nich kierunki reakcji oraz okreÅ›lić warunki równowagi ciaÅ‚a sztywnego, - obliczyć: prÄ™dkość obrotowÄ…, pracÄ™ mechanicznÄ…, moc, energiÄ™ i sprawność, - rozróżnić rodzaje odksztaÅ‚ceÅ„ i naprężeÅ„ oraz wyjaÅ›nić pojÄ™cie naprężenia dopuszczalnego, - wyznaczyć siÅ‚Ä™ tarcia tocznego i Å›lizgowego, - scharakteryzować siÅ‚Ä™ bezwÅ‚adnoÅ›ci, - rozróżnić wyważanie statyczne i dynamiczne, - rozróżnić proste przypadki obciążeÅ„ elementów konstrukcyjnych, - obliczyć naprężenia w elementach Å›ciskanych i rozciÄ…ganych (dla prostych przypadków), - obliczyć naprężenia gnÄ…ce i skrÄ™cajÄ…ce dla prostych przypadków obciążenia waÅ‚u, - rozróżnić konstrukcje poÅ‚Ä…czeÅ„, osi, wałów, Å‚ożysk, sprzÄ™gieÅ‚, przekÅ‚adni mechanicznych i mechanizmów (dzwigniowe, krzywkowe, Å›rubowe) oraz wskazać ich zastosowanie w maszynach i urzÄ…dzeniach, - okreÅ›lić na podstawie dokumentacji technicznej elementy skÅ‚adowe maszyny lub urzÄ…dzenia, - zaprojektować wybrany element konstrukcyjny urzÄ…dzenia mechatronicznego, - skorzystać z literatury technicznej, norm i katalogów. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 5 4. MATERIAA NAUCZANIA 4.1. Statyka 4.1.1. MateriaÅ‚ nauczania Wektory WielkoÅ›ci fizyczne spotykane w mechanice takie jak np. siÅ‚a, prÄ™dkość, przyspieszenie, moc, energia, można podzielić na dwie grupy: " wielkoÅ›ci skalarne nazywane skalarami, " wielkoÅ›ci wektorowe nazywane wektorami. Skalary sÄ… wielkoÅ›ciami nieukierunkowanymi. Ich wartość możemy jednoznacznie okreÅ›lić przez podanie wartoÅ›ci liczbowej. Skalarami sÄ… np.: masa, czas, moc, energia, praca, sprawność. Wektory sÄ… wielkoÅ›ciami ukierunkowanymi. Można je przedstawić za pomocÄ… usytuowanego w przestrzeni odcinka majÄ…cego okreÅ›lony kierunek i zwrot. W mechanice wektorami sÄ… np.: przemieszczenie w danym kierunku w przestrzeni, prÄ™dkość, przyspieszenie, siÅ‚a, moment siÅ‚y. Na rys. 4.1 sÄ… przedstawione wektory. ProstÄ… l, na której leży wektor, nazywamy liniÄ… dziaÅ‚ania wektora. Punkt A jest poczÄ…tkiem, zaÅ› punkt B jest koÅ„cem wektora. Rys. 4.1. Wektory w przestrzeni Wektor ma trzy zasadnicze cechy: " wartość liczbowa (moduÅ‚), " kierunek, " zwrot. Wartość liczbowa wektora jest liczbÄ… nieujemnÄ… okreÅ›lajÄ…cÄ… dÅ‚ugość odcinka AB przedstawiajÄ…cego wektor. Wartość ta jest nazywana moduÅ‚em wektora. Kierunek wektora jest liniÄ… dziaÅ‚ania wektora. Kierunek wektora w przyjÄ™tym ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych okreÅ›lamy przez podanie kÄ…tów, które tworzy linia dziaÅ‚ania z osiami ukÅ‚adu współrzÄ™dnych. Wektory których linie dziaÅ‚ania pokrywajÄ… siÄ™ lub też sÄ… do siebie równolegÅ‚e majÄ… jednakowe kierunki. Zwrot wektora jest zaznaczony grotem (strzaÅ‚kÄ…). Grot oznacza również koniec wektora. Wektor dodatni, to taki wektor którego zwrot jest zgodny ze zwrotem dodatnio okreÅ›lonej linii dziaÅ‚ania (rys. 4.2). W przeciwnym razie wektor jest ujemny. Wektor F1 jest dodatni zaÅ› F2 ujemny. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 6 Rys. 4.2. Wektory dodatnie i ujemne Wektor zapisujemy symbolem z poziomÄ… strzaÅ‚kÄ… u góry. Symbol bez strzaÅ‚ki oznacza jedynie wartość liczbowÄ… wektora, wyrażonÄ… w jednostkach fizycznych np. w niutonach, metrach na sekundÄ™. DziaÅ‚ania na wektorach Wyróżniamy nastÄ™pujÄ…ce dziaÅ‚ania na wektorach: " dodawanie i odejmowanie wektorów, " mnożenie i dzielenie wektora przez skalar, " iloczyn skalarny dwóch wektorów, " iloczyn wektorowy dwóch wektorów. Sumowanie wektorów możemy dokonać metoda geometrycznÄ… lub analitycznÄ…. W metodzie geometrycznej sumowanie dwóch wektorów odbywa siÄ™ na tzw. zasadzie równolegÅ‚oboku lub na zasadzie wieloboku siÅ‚. Sumowanie dwóch wektorów F1 i F2 na zasadzie równolegÅ‚oboku (rys. 4.3) polega na wyznaczeniu wektora wypadkowego W, który stanowi przekÄ…tnÄ… równolegÅ‚oboku zbudowanego na wektorach F1 i F2. Wektor W jest nazywany wektorem równoważącym dziaÅ‚anie wektorów F1 i F2. Rys. 4.3. Sumowanie wektorów metodÄ… równolegÅ‚oboku Wartość wektora wypadkowego dwóch wektorów zbieżnych można również obliczyć analitycznie korzystajÄ…c z twierdzenia cosinusów: W2 = F12 + F22 + 2 · F1 · F2 · cos Ä… Sumowanie wektorów na zasadzie wieloboku (rys. 4.4) polega na kolejnym Å‚Ä…czeniu poczÄ…tku wektora z koÅ„cem wektora poprzedniego. Zasada ta umożliwia sumowanie wiÄ™kszej liczby wektorów niż dwa. SumÄ… wektorów jest wektor Å‚Ä…czÄ…cy poczÄ…tek wektora pierwszego z koÅ„cem wektora ostatniego. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 7 Rys. 4.4. Sumowanie wektorów metodÄ… wieloboku ObowiÄ…zuje prawo przemiennoÅ›ci dodawania wektorów, wektor wypadkowy nie zależy od kolejnoÅ›ci wystÄ™powania wektorów w wieloboku. Suma wektorów może być równa zero tylko wtedy gdy wektor wypadkowy jest zerowy. PoczÄ…tek wektora pierwszego pokrywa siÄ™ wówczas z koÅ„cem wektora ostatniego. Wielobok taki nazywamy wielobokiem zamkniÄ™tym. Odejmowanie wektorów (rys. 4.5) jest dziaÅ‚aniem odwrotnym do dodawania. Aby od
wektora F1 odjąć wektor F2 należy do wektora F1 dodać wektor -F2. Wektor F2 ma zwrot
przeciwny niż wektor F2. Jego wartość i kierunek są takie same jak dla wektora F2. Rys. 4.5. Odejmowanie wektorów Mnożenie i dzielenie wektora przez skalar
Mnożenie wektora a przez skalar k (b = a · k) jest dziaÅ‚aniem polegajÄ…cym na utworzenia
wektora b, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora a.
Dzielenie wektora a przez skalar k ( b = a· 1/k) polega na mnożeniu tego wektora przez odwrotność liczby k. JeÅ›li k jest liczbÄ… dodatniÄ…, to zwrot wektora b jest zgodny z kierunkiem wektora a.
Jeśli k jest liczbą ujemną, to zwrot wektora b jest przeciwny do zwrotu wektora b.
Jeśli k= 0, to w przypadku mnożenia wektor b jest wektorem zerowym.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów F · S jest liczbÄ… równÄ… iloczynowi modułów tych
wektorów i cosinusa kÄ…ta Ä… . (rys. 4.6), a wiÄ™c: F · S = F · S · cos Ä… Rys. 4.6. Iloczyn skalarny dwóch wektorów Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 8 Iloczyn skalarny jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów jest wektorem zerowym lub jeÅ›li wektory te sÄ… prostopadÅ‚e.
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów c = a x b jest wektorem mającym następujące cechy: Kierunek wektora c jest prostopadły do obu wektorów (rys. 4.7): Rys 4.7. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
Wartość (moduł) wektora c jest równy iloczynowi modułów tych wektorów i sinusa kąta zawartego między nimi
| c | = | a x b | = a · b · sin Ä…
Zwrot wektora c jest taki, aby trójka wektorów a, b, c tworzyła prawoskrętny układ współrzędnych. Uwaga: Trzy wektory a, b, c stanowią układ prawoskrętny, jeżeli patrząc z końca wektora c wektor
a widzimy po prawej stronie wektora b. Iloczyn wektorowy nie podlega prawu przemienności ponieważ zmiana kolejności mnożonych wektorów daje wektor o zwrocie przeciwnym, czyli
a x b = - b x a Modele teoretyczne ciał stałych Badanie ruchu rzeczywistych ciał stałych jest na ogół bardzo trudne. W celu uproszczenia i przejrzystości rozważań z tym związanych ciała rzeczywiste zastępujemy modelami teoretycznymi. Są to: " punkt materialny, " ciało sztywne, " ciało sprężyste, " ciało sprężysto-plastyczne. Punkt materialny jest punktem geometrycznym, w którym jest skupiona cała masa ciała. W wielu rozważaniach wygodne jest pominięcie wymiarów ciała rzeczywistego i zastąpienie go punktem materialnym o masie m. Ciało sztywne jest to układ punktów materialnych niezmiennie ze sobą związanych. W ciele sztywnym odległości między poszczególnymi punktami pozostają niezmienne również pod wpływem działających sił zewnętrznych. Ciało sprężyste jest to ciało, które pod wpływem sił zewnętrznych odkształca się. Wraca do pierwotnego kształtu po ustaniu oddziaływania sił zewnętrznych. Ciało sprężysto-plastyczne jest to ciało, które pod wpływem sił zewnętrznych odkształca się. Nie wraca jednak w pełni to pierwotnego kształtu po ustaniu oddziaływania sił zewnętrznych. Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego 9 Więzy i reakcje więzów Ciało mogące dowolnie zmieniać swoje położenie w przestrzeni jest nazywane ciałem swobodnym. Na ogół mamy do czynienia z ciałami, których swoboda poruszania została ograniczona czynnikami zewnętrznymi. Ciała takie nazywamy ciałami nieswobodnymi, na przykład pociąg może poruszać się wzdłuż torów. Wirnik silnika elektrycznego może wykonywać tylko ruch obrotowy, tłok silnika spalinowego może wykonywać tylko ruch posuwisto- zwrotny. Czynniki ograniczające swobodę ruchu ciała nazywamy więzami. Siły z jakimi więzy oddziałują na ciało nieswobodne są nazywane reakcjami więzów. W praktyce możemy spotkać różne rodzaje więzów. Większość z nich należy do jednej z wymienionych grup: " podpory stałe, " podpory ruchome, " więzy wiotkie. Podpory stałe (rys. 4.8) uniemożliwiają przesunięcie ciała. Umożliwiają jedynie obrót ciała wokół nieruchomego punktu podpory. Do podpór stałych należy uskok lub zagłębienie (rys. 4.8a) oraz przegub (rys. 4.8b). Podporę stałą oznaczamy schematycznie za pomocą trójkąta równobocznego (rys.4.8c). W więzach tych kierunek oraz wielkość reakcji w ogólnym przypadku nie są znane. Należy je wyznaczyć metodami wykreślnymi lub analitycznymi. Rys. 4.8. Podpory stałe Podpory ruchome (rys. 4.9) Reakcja podpory ruchomej powstaje w punkcie styczności ciała z podporą. Podporę ruchomą podpartą na idealnie gładkiej powierzchni przedstawiono na (rys. 4.9a), na łożysku ruchomym (rys. 4.1.9b). Podporę ruchomą oznaczamy schematycznie trójkątem równobocznym dodatkowo podkreślonego linią, która przedstawia powierzchnię podpierającą (rys. 4.9c). Kierunek reakcji jest zawsze prostopadły do powierzchni podpierającej Rys. 4.9. Podpory ruchome Więzy wiotkie (rys. 4.10.). Więzy są tu realizowane za pomocą lin, pasów, łańcuchów itp. Kierunek reakcji jest zawsze skierowany wzdłuż osi więzów. Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego 10 Rys. 4.10. Podpory wiotkie Rzuty sił na osie prostokątnego układu współrzędnych.
Rzut siły F na oś x lub y (rys. 4.11) równa się iloczynowi wartości tej siły i cosinusa kąta zawartego między linią działania tej siły a osią układu współrzędnych. Rys. 4.11. Rzuty siły na osie układu współrzędnych
Fx = F cos ą; Fy = F sin ą F2 = Fx2 + Fy 2 Twierdzenie o sumie rzutów Dla zbieżnego układu sił suma rzutów dowolnej liczby sił na oś jest równa rzutowi sumy tych sił na tę oś. W przypadku prostokątnego układu współrzędnych twierdzenie to można zapisać w postaci układu równań: " Fi x = S x; " Fi y = S y
gdzie: Fi x, Fi y - rzuty siły Fi na osie x i y,
S x , S y - rzuty siły wypadkowej S na osie z i y. Moment siły względem punktu
Momentem Mo siÅ‚y F wzglÄ™dem punktu O (rys. 4.12) nazywamy wektor, który ma nastÄ™pujÄ…ce cechy: - wartość liczbowa Mo jest równa iloczynowi wartoÅ›ci siÅ‚y F i ramienia a (Mo =F ·a) Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 11
- kierunek Mo jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linię działania wektora
siły i biegun O. Zwrot wektora Mo przyjmuje się zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Uwaga: Przy obracaniu śruby prawoskrętnej zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara jest ona wkręcana. Zwrot wektora osiowego przemieszczenia śruby wyznacza zwrot wektora
Mo. Rys. 4.12. Moment siły względem punktu Para sił Para sił jest układem dwóch sił F równej wartości i równoległych, lecz o przeciwnych zwrotach. (rys. 4.13) Odległość r linii działania obu sił nazywamy ramieniem pary sił. Para sił przyłożona do ciała daje moment dążący do jego obrócenia. Rys. 4.13. Para sił i moment pary sił
Moment pary siÅ‚ F jest wektor M, którego wartość liczbowa jest równa M = F · r . Moment pary siÅ‚ jest dodatni jeÅ›li para dąży do obrócenia ramienia r w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. JednostkÄ… momentu w ukÅ‚adzie SI jest niutonometr [Nm]. WÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci pary siÅ‚ - Wartość momentu pary siÅ‚ nie zależy od obranego bieguna. - Skutek dziaÅ‚ania pary siÅ‚ nie zmieni siÄ™, jeżeli danÄ… parÄ™ przeniesiemy w inne miejsce w jej pÅ‚aszczyznie dziaÅ‚ania lub w pÅ‚aszczyznie równolegÅ‚ej do pÅ‚aszczyzny dziaÅ‚ania. - Pary siÅ‚ nie można zastÄ…pić jednÄ… siÅ‚Ä… wypadkowÄ…. Pary siÅ‚ nie można zrównoważyć jednÄ… siÅ‚Ä… równoważącÄ…. - ParÄ™ siÅ‚ można zrównoważyć tylko drugÄ… parÄ… siÅ‚ o równym co do wartoÅ›ci momencie, lecz przeciwnego znaku. - DziaÅ‚anie pary siÅ‚ nie zmieni siÄ™, jeÅ›li proporcjonalne powiÄ™kszymy siÅ‚y, a pomniejszymy jej ramiÄ™, lub odwrotnie. Warunki równowagi ciaÅ‚a sztywnego CiaÅ‚o sztywne pozostaje w spoczynku pod wpÅ‚ywem dziaÅ‚ajÄ…cych na nie siÅ‚ zewnÄ™trznych jeÅ›li siÅ‚y te pozostajÄ… w równowadze. Mówimy wtedy po prostu o równowadze ciaÅ‚a sztywnego. Warunki równowagi ciaÅ‚a sztywnego rozpatrzymy gdy na dane ciaÅ‚o dziaÅ‚a: " pÅ‚aski ukÅ‚ad siÅ‚ zbieżnych, Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 12 " dowolny pÅ‚aski ukÅ‚ad siÅ‚. Warunki równowagi pÅ‚askiego ukÅ‚adu siÅ‚ zbieżnych PÅ‚aski ukÅ‚ad siÅ‚ jest zbieżny wtedy gdy linie dziaÅ‚ania tych siÅ‚ przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie. PÅ‚aski zbieżny ukÅ‚ad siÅ‚ jest w równowadze gdy wielobok siÅ‚ tego ukÅ‚adu byÅ‚ zamkniÄ™ty (rys. 4.14). Rys. 4.14. Warunek geometryczny równowagi pÅ‚askiego ukÅ‚adu siÅ‚ zbieżnych Warunkiem analitycznym równowagi zbieżnego pÅ‚askiego ukÅ‚adu siÅ‚ jest speÅ‚nienie dwóch warunków: - suma algebraiczna rzutów siÅ‚ na oÅ› x jest równa zeru, - suma algebraiczna rzutów siÅ‚ na oÅ› y jest równa zeru. Warunek analityczny zapisujemy w postaci ukÅ‚adu dwóch równaÅ„:
" Fi x = 0 i " Fi y = 0 Warunki analityczne równowagi dowolnego płaskiego układu sił Istnieją trzy alternatywne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił: " Dowolny plaski układ sił jest w równowadze jeśli: - suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x jest równa zeru, - suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y jest równa zeru, - suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem dowolnego bieguna jest równa zeru. Musi być spełniony układ równań:
" Fi x = 0; " Fi y = 0; " Mi = 0 Warunek ten nazywany jest warunkiem równowagi rzutów sił na osie x i y oraz równowagi momentów względem dowolnie wybranego punktu. " Dowolny układ sił jest w równowadze jeśli: - sumy algebraiczne momentów wszystkich sił względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej są równe zeru. Musi być spełniony układ równań:
" MA = 0; "MB = 0; " MC = 0 Przy czym punkty A , B, C nie leżą na jednej prostej Warunek ten nazywany jest warunkiem równowagi momentów względem trzech punktów. " Dowolny układ sił jest w równowadze jeśli: - sumy algebraiczne momentów względem dwóch dowolnych punktów są równe zeru. Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego 13 - suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na dowolną oś nie prostopadłą do odcinka łączącego te dwa punkty jest równa zeru. Musi więc być spełniony układ równań:
" MA = 0; " MB = 0; " Fi l = 0 Przy czym oś l nie jest prostopadła do odcinka AB Warunek ten nazywany jest warunkiem równowagi momentów względem dwóch punktów oraz równowagi rzutów sił. Podane wyżej warunki umożliwiają analityczne wyznaczenie reakcji podpór w belkach statycznie wyznaczalnych. Belka jest bardzo często stosowanym w mechanice modelem elementu konstrukcyjnego, który przenosi obciążenia zginające. Do belek statycznie wyznaczalnych należą belki obciążone siłami zewnętrznymi mające jedną podporę stałą i jedną ruchomą. Z punktu widzenia metody obliczeń sił reakcji w podporach belką są np. oś pojazdu, wał maszyny, belka stropowa lub skrzydło samolotu. Do obliczeń reakcji podpór wybieramy jeden z wyżej wymienionych warunków równowagi sił. Wybieramy zwykle ten warunek równowagi, który umożliwia najprostszy tok obliczeń. Warunki analityczne równowagi dowolnego przestrzennego układu sił Dowolny przestrzenny układ sił jest w równowadze jeśli jest spełnionych sześć następujących warunków równowagi: " Sumy algebraiczne rzutów wszystkich sił na osie x, y, z muszą być równe zero, to znaczy, że: " Fi x = 0; " Fi y = 0; " Fi z = 0 " Sumy algebraiczne momentów wszystkich sił i momentów par sił względem osi x, y, z muszą być równe zero, to znaczy, że:
" M i x = 0; " M i y = 0; " M i z = 0 Tarcie Å›lizgowe Tarcie pojawia siÄ™ z chwilÄ… przyÅ‚ożenia siÅ‚y która dąży do wywoÅ‚ania poÅ›lizgu dwóch stykajÄ…cych siÄ™ ciaÅ‚. Powierzchnie stykajÄ…cych siÄ™ ciaÅ‚ nie sÄ… idealnie gÅ‚adkie, wystÄ™pujÄ… zawsze pewne nierównoÅ›ci (wzniesienia, wklÄ™sÅ‚oÅ›ci). NierównoÅ›ci przeszkadzajÄ… poÅ›lizgowi. W przypadku Å‚ożysk i prowadnic tarcie jest zjawiskiem niepożądanym. W bardzo wielu przypadkach tarcie jest zjawiskiem jak najbardziej korzystnym, dążymy do jego zwiÄ™kszenia, np. hamulcach, sprzÄ™gÅ‚ach i przekÅ‚adniach pasowych. Tarcie umożliwia poruszanie siÄ™ ludzi i zwierzÄ…t, ruch pojazdów po jezdni itp.. Rozważmy ciaÅ‚o o ciężarze G leżące na pÅ‚askim podÅ‚ożu (rys. 4.15) : Rys. 4.15. SiÅ‚a tarcia Å›lizgowego Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 14 PodÅ‚oże oddziaÅ‚uje na ciaÅ‚o z siÅ‚Ä… N prostopadÅ‚Ä… do podÅ‚oża, która równoważy ciężar G, a wiÄ™c N = G. Przy próbie przemieszczenia ciaÅ‚a po podÅ‚ożu np. w prawÄ… stronÄ™ napotykamy opór i dopiero gdy siÅ‚a F, która przekroczyÅ‚a pewnÄ… wartość granicznÄ… Fgr powoduje, że ciaÅ‚o ulega przemieszczeniu. SiÅ‚a Fgr pokonaÅ‚a siÅ‚Ä™, która przeciwdziaÅ‚aÅ‚a ruchowi i która jest zwiÄ…zana z oddziaÅ‚ywaniem powierzchni ciaÅ‚a i podÅ‚oża. SiÅ‚Ä™ tÄ… nazywa siÄ™ siÅ‚Ä… tarcia T, a wiÄ™c T = Fgr Istnieje proporcjonalność miÄ™dzy wielkoÅ›ciÄ… siÅ‚y T, a reakcjÄ… normalnÄ… N. Współczynnik proporcjonalnoÅ›ci nazywamy współczynnikiem tarcia µ. SiÅ‚a tarcia Å›lizgowego T jest wiÄ™c równa iloczynowi współczynnika tarcia Å›lizgowego µ i wartoÅ›ci reakcji normalnej N. T= µ · N Zaobserwowano, że w przypadku ruchu (dla niewielkich prÄ™dkoÅ›ci) siÅ‚a tarcia Tk jest mniejsza niż w przypadku spoczynku, a wiÄ™c Tk < T. Wnioskujemy, że współczynnik tarcia µk jest w przypadku ruchu mniejszy niż współczynnik tarcia w spoczynku, a wiÄ™c: µk < µ µ nazywamy współczynnikiem statycznego tarcia Å›lizgowego, µk nazywamy współczynnikiem kinetycznego tarcia Å›lizgowego. WartoÅ›ci współczynników tarcia Å›lizgowego wyznaczonych doÅ›wiadczalnie dla różnych materiałów można znalezć w poradnikach, np. w Poradniku Mechanika lub innych tego typu publikacjach. Tarcie toczne Podczas toczenia siÄ™ walca o ciężarze G po poziomej pÅ‚aszczyznie (rys. 4.16) wystÄ™pujÄ… sprężyste odksztaÅ‚cenia walca oraz podÅ‚oża. Rys. 4.16. SiÅ‚y wystÄ™pujÄ…ce podczas toczenia Przy próbie obrócenia walca siÅ‚Ä… F zaczepionÄ… na osi walca pojawia siÄ™ reakcja R, która może być zastÄ…piona dwiema siÅ‚ami skÅ‚adowymi: siÅ‚a normalnÄ… N i stycznÄ… T do powierzchni podÅ‚oża. Z warunków równowagi siÅ‚ wzglÄ™dem osi poziomej i pionowej oraz równowagi momentów wzglÄ™dem chwilowego punktu obrotu A otrzymujemy: F = f · G/r OdlegÅ‚ość f miÄ™dzy punktem A przyÅ‚ożenia reakcji normalnej N i teoretycznym punktem styku walca z podÅ‚ożem O, nazywa siÄ™ współczynnikiem tarcia tocznego albo ramieniem tarcia tocznego. Z powyższego wzoru wynika, że opór toczenia F nie zależy tylko od współczynnika tarcia f lecz również od promienia r. Ze wzrostem promienia r opór toczenia maleje. WartoÅ›ci f (najczęściej w cm) dla różnych materiałów można również znalezć w poradnikach. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 15 4.1.2. Pytania sprawdzajÄ…ce OdpowiadajÄ…c na pytania, sprawdzisz, czy jesteÅ› przygotowany do wykonania ćwiczeÅ„. 1. Jakie dziaÅ‚ania mogÄ… być wykonywane na wektorach? 2. W jaki sposób dodajemy i odejmujemy wektory? 3. Jakie modele ciaÅ‚ sÄ… stosowane w mechanice? 4. OkreÅ›l rodzaje wiÄ™zów wystÄ™pujÄ…ce w mechanice? 5. Które wielkoÅ›ci w mechanice sÄ… wektorami, a które skalarami? 6. Jakie cechy ma wektor? 7. Jaki ukÅ‚ad siÅ‚ nazywamy zbieżnym? 8. Jakie warunki muszÄ… być speÅ‚nione aby pÅ‚aski ukÅ‚ad siÅ‚ zbieżnych byÅ‚ w równowadze? 9. Co to jest moment siÅ‚y wzglÄ™dem punktu? 10. Co to jest para siÅ‚? 11. Jakie warunki muszÄ… być speÅ‚nione aby pÅ‚aski dowolny ukÅ‚ad siÅ‚ byÅ‚ w równowadze? 12. Jakie warunki muszÄ… być speÅ‚nione aby przestrzenny dowolny ukÅ‚ad siÅ‚ byÅ‚ w równowadze? 4.1.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Wyznacz analitycznie reakcje podpór A i B lampy ulicznej o masie m zawieszonej na linach miÄ™dzy sÅ‚upami: Ä… = 50 , ² = 100 , m = 60kg. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) zaznaczyć na rysunku kierunki i zwroty wektorów reakcji RA i RB, 2) zastosować odpowiedni warunek równowagi ukÅ‚adu siÅ‚, 3) uÅ‚ożyć ukÅ‚ad równaÅ„ równowagi siÅ‚, 4) rozwiÄ…zać ukÅ‚ad równaÅ„ i obliczyć reakcje RA i RB, 5) zapisać wyniki obliczeÅ„: RA = ...................N RB = ...................N 6) porównać wartoÅ›ci siÅ‚ RA i RB z ciężarem lampy. Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 16 Ćwiczenie 2 Wyznaczyć reakcje podpór belki w punktach A i B: Dane: F1 = 500 N F1 = 250 N M = 500 Nm a = 0,2m Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) narysować ukÅ‚ad współrzÄ™dnych, 2) zaznaczyć na rysunku spodziewane kierunki i zwroty wektorów reakcji RA i RB w podporach A i B, 3) zastosować do obliczeÅ„ odpowiedni warunek równowagi ukÅ‚adu siÅ‚, 4) uÅ‚ożyć ukÅ‚ad równaÅ„, 5) rozwiÄ…zać ukÅ‚ad równaÅ„ i obliczyć skÅ‚adowe reakcji reakcje RA i RB na osie x i y ukÅ‚adu współrzÄ™dnych, 6) zapisać wyniki obliczeÅ„: RAx = .....................N RAy =.......................N. RA = ......................N RBx =.......................N . RBy = ......................N RB = ......................N 7) zweryfikować otrzymane wyniki ze wzglÄ™du na znaki (dodatnie, czy ujemne) wartoÅ›ci otrzymanych reakcji. Wyposażenie stanowiska pracy: literatura, poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 3 Wyznaczyć reakcje podpór belki w punktach A i B: Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 17 Dane: F1 = 300 kN F2 = 400 kN F3 = 250 kN F4 = 200 kN F5 = 250 kN a = 0,5 m Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) wprowadzić ukÅ‚ad współrzÄ™dnych, 2) zaznaczyć na rysunku spodziewane kierunki i zwroty wektorów reakcji RA i RB w podporach A i B, 3) zastosować do obliczeÅ„ odpowiedni warunek równowagi ukÅ‚adu siÅ‚, 4) uÅ‚ożyć ukÅ‚ad równaÅ„, 5) rozwiÄ…zać ukÅ‚ad równaÅ„ i obliczyć skÅ‚adowe reakcji reakcje RA i RB na osie x i y ukÅ‚adu współrzÄ™dnych, 6) zapisać wyniki obliczeÅ„: RAx = .................... kN RAy =........................kN RA = .......................kN RBx =........................kN . RBy = .......................kN RB = ........................kN 7) zweryfikować otrzymane wyniki ze wzglÄ™du na znaki (dodatnie, czy ujemne) wartoÅ›ci otrzymanych reakcji. Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnia, - poradnik dla ucznia Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 18 4.1.4. Sprawdzian postÄ™pów Tak Nie Czy potrafisz: 1) zdefiniować pojÄ™cia: wektor i skalar? Ä„% Ä„% 2) wymienić dziaÅ‚ania na wektorach? Ä„% Ä„% 3) zdefiniować pojÄ™cia punktu materialnego oraz Ä„% Ä„% ciaÅ‚a sztywnego? Ä„% Ä„% 4) podać definicjÄ™ iloczynu skalarnego? Ä„% Ä„% 5) podać definicjÄ™ iloczynu wektorowego? Ä„% Ä„% 6) podać definicjÄ™ pary siÅ‚ jej wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci? Ä„% Ä„% 7) okreÅ›lić warunek równowagi zbieżnego ukÅ‚adu siÅ‚? Ä„% Ä„% 8) okreÅ›lić warunki równowagi ciaÅ‚a sztywnego Ä„% Ä„% na który dziaÅ‚a dowolny pÅ‚aski ukÅ‚ad siÅ‚? Ä„% Ä„% 9) wyznaczyć reakcje podpór belki pÅ‚askiego Ä„% Ä„% dowolnego ukÅ‚adu siÅ‚? Ä„% Ä„% 4.2. Kinematyka 4.2.1. MateriaÅ‚ nauczania Kinematyka jest dziaÅ‚em mechaniki, który zajmuje siÄ™ ruchami ciaÅ‚ bez zajmowania siÄ™ jego przyczynami. PosÅ‚uguje siÄ™ znanymi już ze statyki modelami uproszczonymi ciaÅ‚a materialnego takimi jak: punkt materialny oraz ciaÅ‚o sztywne. Ruch okreÅ›la zmianÄ™ poÅ‚ożenia ciaÅ‚a materialnego wzglÄ™dem ukÅ‚adu odniesienia, to znaczy wzglÄ™dem innego ciaÅ‚a lub ukÅ‚adu ciaÅ‚ uważanych za pozostajÄ…ce w spoczynku. Ruch jest zawsze pojÄ™ciem wzglÄ™dnym. Ruch zawsze okreÅ›lamy wzglÄ™dem czegoÅ›. To samo ciaÅ‚o może wykonywać ruchy wzglÄ™dem różnych ukÅ‚adów odniesienia. y wzglÄ™dem , które mogÄ… być zwiÄ…zane z powierzchniÄ… ZiemiÄ…, budynkiem, pojazdem, pokÅ‚adem samolotu, korpusem maszyny itp. Dlatego też przy rozpatrywaniu ruchu należy dodawać wzglÄ™dem jakiego ukÅ‚adu odniesienia ruch ten bÄ™dzie rozważany. CzÅ‚owiek siedzÄ…cy w fotelu lecÄ…cego samolotu pozostaje w spoczynku wzglÄ™dem pokÅ‚adu samolotu lecz wykonuje razem z samolotem ruch wzglÄ™dem Ziemi. W rozważaniach technicznych wygodnie jest przyjmować ukÅ‚ad, który bÄ™dzie pozostawaÅ‚ zawsze w spoczynku jako nieruchomy ukÅ‚ad odniesienia. Ruchy realizowane wzglÄ™dem tego ukÅ‚adu nazywamy ruchami bezwzglÄ™dnymi. Ruchy rozpatrywane wzglÄ™dem ruchomych ukÅ‚adów odniesienia nazywamy ruchami wzglÄ™dnymi. Kinematyka dzieli siÄ™ na dwa dziaÅ‚y: - kinematyka punktu materialnego, - kinematyka ciaÅ‚a sztywnego. Tor ruchu Kolejne poÅ‚ożenia poruszajÄ…cego siÄ™ punktu materialnego tworzÄ… liniÄ™ nazywanÄ… torem ruchu punktu materialnego. Ruchem prostoliniowym nazywamy ruch którego tor jest liniÄ… prostÄ…. Ruchem krzywoliniowym nazywamy ruch którego tor nie jest liniÄ… prostÄ…. Szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch po okrÄ™gu. PrÄ™dkość ruchu PrÄ™dkość wyraża drogÄ™ jakÄ… przebywa punkt materialny w jednostce czasu np. w ciÄ…gu 1s, czyli prÄ™dkość. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 19 JeÅ›li prÄ™dkość jest przez caÅ‚y czas taka sama to ruch nazywamy ruchem jednostajnym. JeÅ›li natomiast prÄ™dkość nie jest staÅ‚a to ruch nazywamy ruchem zmiennym. WÅ›ród ruchów zmiennych wyróżniamy ruchy jednostajnie zmienne. SÄ… to ruchy: jednostajnie przyspieszony, w których prÄ™dkość wzrasta o staÅ‚Ä… wartość w jednostce czasu, oraz jednostajnie opózniony, w których prÄ™dkość maleje o staÅ‚Ä… wartość w jednostce czasu. Ruch prostoliniowy jednostajny punktu materialnego ruchu prostoliniowym jednostajnym prÄ™dkość v ma wartość staÅ‚Ä…. Przebyta droga s zależy od czasu trwania ruchu i wyraża siÄ™ wzorem: s = v · t Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny W ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym prÄ™dkość poruszajÄ…cego siÄ™ punktu materialnego jest jednostajnie rosnÄ…ca lub jednostajnie malejÄ…ca. PrÄ™dkość v w chwili t wyraża siÄ™ wzorem: vt = vo + a · t gdzie: vo oznacza prÄ™dkość v w chwili t = 0, a przyspieszenie. JeÅ›li: a > 0 to ruch jest jednostajnie przyspieszony, a < 0 to ruch jest jednostajnie opózniony, a = 0 to ruch jest jednostajny, tzn. prÄ™dkość v ma wartość staÅ‚Ä…. Droga w ruchu jednostajnie zmiennym z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… vo wyraża siÄ™ wzorem: s = vo · t + a · t2/2 Ruch krzywoliniowy zmienny W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu materialnego tworzy z wektorem prÄ™dkoÅ›ci kÄ…t Ä… (rys. 4.17). Rys. 4.17. Wektory prÄ™dkoÅ›ci i przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym Wektor przyspieszenia a możemy zastÄ…pić dwiema skÅ‚adowymi, z których jedna jest prostopadÅ‚a a druga styczna do toru ruchu. Przyspieszenie normalne (nazywane doÅ›rodkowym): an = a · cos Ä… , Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 20 Przyspieszenie an jest zwiÄ…zane ze zmianÄ… kierunku wektora prÄ™dkoÅ›ci. Przyspieszenie styczne: at = a · sin Ä… Przyspieszenie at jest zwiÄ…zane ze zmianÄ… wartoÅ›ci wektora prÄ™dkoÅ›ci OczywiÅ›cie: a2 = an2 + at2 JeÅ›li: - an `" 0 i at `" 0, to rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, - an `" 0 i at = 0, to rozważany ruch jest ruchem jednostajnym krzywoliniowym, - an = 0 i at = 0, to rozważany ruch jest ruchem jednostajnym prostoliniowym, - an = 0 i at `" 0, to rozważany ruch jest ruchem prostoliniowym zmiennym. Ruch punktu materialnego po okrÄ™gu Ruch po okrÄ™gu jest bardzo czÄ™sto spotykanym rodzajem ruchu. Ruch taki wykonuje np. ciężarek umocowany na nici, której jeden koniec jest nieruchomy.(rys. 4.18): Rys. 4.18. Ruch punktu materialnego po okrÄ™gu PrÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É [rad/s] nazywamy stosunek kÄ…ta Ä… do czasu t w którym ten kÄ…t zostaÅ‚ zatoczony: É = Ä…/t [rad/s] PrÄ™dkość liniowa v wyraża siÄ™ wzorem: v = É · r Przyspieszenie normalne an wyraża siÄ™ wzorem: an = v2/r lub an = É2· r Ruch obrotowy ciaÅ‚a sztywnego Podczas ruchu obrotowego ciaÅ‚o sztywne obraca siÄ™ wokół osi l. OÅ› obrotu może znajdować siÄ™ poza ciaÅ‚em. Analogicznie jak w przypadku ruchu prostoliniowego, w ruchu obrotowym wyróżniamy ruch obrotowy jednostajny i ruch obrotowy zmienny. Ruch obrotowy jednostajny W ruchu tym prÄ™dkość kÄ…towa É = Ä…/t jest staÅ‚a. W technice zwyczajowo prÄ™dkość kÄ…towÄ… okreÅ›la siÄ™ prÄ™dkoÅ›ciÄ… obrotowÄ… n wyrażonÄ… w obrotach na minutÄ™ [obr/min]. OczywiÅ›cie prÄ™dkoÅ›ci É i n możemy przeliczać pamiÄ™tajÄ…c, że: 1 obrót stanowi kÄ…t Ä… = 2Ä„ [rad], natomiast 1 minuta = 60 sekund. stÄ…d: 1[obr/min] = 2Ä„/60 = Ä„/30 [rad/s] JeÅ›li ciaÅ‚o wykonuje n [obr/min] to jego prÄ™dkość kÄ…towa wyrażona w [rad/s] wyraża siÄ™ wzorem; Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 21 É = Ä„/30 · n [rad/s] PrÄ™dkość liniowa dowolnego punktu ciaÅ‚a oddalonego od osi obrotu o odlegÅ‚ość r wyraża siÄ™ wzorem: v = É · r Wzór na prÄ™dkość v możemy również przedstawić w postaci: v = Ä„ · d ·n/60 gdzie d jest Å›rednicÄ… (d = 2 r). Kierunek wektora prÄ™dkoÅ›ci liniowej jest w każdej chwili styczny do toru ruchu. Ruch obrotowy zmienny W ruchu tym prÄ™dkość kÄ…towa É jest zmienna. JeÅ›li prÄ™dkość wzrasta mamy do czynienia z ruchem przyspieszonym, a jeÅ›li maleje z ruchem opóznionym. JeÅ›li stosunek przyrostu prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É - Éo do czasu t jest staÅ‚y to ruch taki nazywamy ruchem kÄ…towym jednostajnie przyspieszonym. Przyspieszeniem kÄ…towym nazywamy wartość µ (epsilon) : µ = (É - Éo )/t [rad/s2] Przyspieszenie kÄ…towe µ jest wektorem leżącym na osi obrotu (rys. 4.19). Rys. 4.19. Ruch obrotowy zmienny W ruchu przyspieszonym (µ > 0, gdy (É - Éo) > 0), zwrot przyspieszenia kÄ…towego jest zgodny ze zwrotem prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É. W ruchu opóznionym (µ < 0, gdy (É - Éo) < 0) wektor przyspieszenia kÄ…towego µ ma zwrot przeciwny do kierunku wektora prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É. JeÅ›li µ = const to ruch obrotowy jest jednostajnie przyspieszony lub opózniony. W przypadku gdy µ = 0 to ruch obrotowy jest jednostajny, wówczas É = Éo = const. Przyspieszenie styczne at punktu materialnego oddalonego o wartość promienia r od osi obrotu jest równe iloczynowi przyspieszenia kÄ…towego i promienia r. at = µ · r Przyspieszenie doÅ›rodkowe an punktu materialnego oddalonego o wartość promienia r od osi obrotu jest równe iloczynowi kwadratu prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej i promienia r. an = É2· r Przyspieszenie caÅ‚kowite a punktu materialnego oddalonego o wartość r od osi obrotu obliczamy ze wzoru: a2= at2 + an2 Droga kÄ…towa Ä… w ruchu obrotowym jednostajnie zmiennym wyraża siÄ™ wzorem: Ä… = Éo · t + µ · t2/2 Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 22 Ruch pÅ‚aski W ruchu pÅ‚askim wszystkie punkty ciaÅ‚a poruszajÄ… siÄ™ po torach pÅ‚askich leżących w pÅ‚aszczyznach równolegÅ‚ych do pÅ‚aszczyzny kierujÄ…cej P (rys. 4.20). Rys. 4.20. Ruch pÅ‚aski ZastÄ™pcza oÅ› i Å›rodek obrotu w ruchu pÅ‚askim. Ruch pÅ‚aski ciaÅ‚a z poÅ‚ożenia 1 do poÅ‚ożenia 2 (rys. 4.21) możemy traktować jako ruch obrotowy wzglÄ™dem osi l nazywanÄ… zastÄ™pczÄ… osiÄ… obrotu. OÅ› obrotu l jest prostopadÅ‚Ä… do pÅ‚aszczyzny kierujÄ…cej P i przecina jÄ… w punkcie O nazywanym zastÄ™pczym Å›rodkiem obrotu. ZakÅ‚adamy, że pÅ‚aszczyznÄ… kierujÄ…cÄ… jest pÅ‚aszczyzna rysunku, a wiÄ™c oÅ› l jest widziana jako punkt O. Dalsze rozważania dotyczÄ…ce pÅ‚askiego ruchu ciaÅ‚a możemy ograniczyć do ruchów przekroju tego ciaÅ‚a w pÅ‚aszczyznie kierujÄ…cej, którÄ… jest pÅ‚aszczyzna rysunku (rys. 4.20). PojÄ™cie chwilowego Å›rodka obrotu jest wygodne w analizie mechanizmów maszyn, ponieważ umożliwia sprowadzenie ruchu pÅ‚askiego ciaÅ‚a do ruchów obrotowych wykonywanych wzglÄ™dem zastÄ™pczych Å›rodków obrotu. Rys. 4.21. ZastÄ™pczy Å›rodek obrotu w ruchu pÅ‚askim Chwilowa oÅ› obrotu, chwilowy Å›rodek obrotu ZnajÄ…c wektory prÄ™dkoÅ›ci w dwóch różnych punktach ciaÅ‚a w pÅ‚aszczyznie kierujÄ…cej (rys. 4.22.) możemy wyznaczyć chwilowÄ… oÅ› obrotu oraz Å›rodek chwilowego obrotu O, jak również chwilowÄ… prÄ™dkość kÄ…towÄ… ÉO ciaÅ‚a wzglÄ™dem chwilowego Å›rodka obrotu: ÉO = vA/rA= vB/rB Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 23 Rys. 4.22. Chwilowy Å›rodek obrotu w ruchu pÅ‚askim Twierdzenie o rzutach prÄ™dkoÅ›ci Z rys 4.22. widać, że rzuty prÄ™dkoÅ›ci vA i vB na prostÄ… l przechodzÄ…cÄ… przez punkty A i B ciaÅ‚a sztywnego muszÄ… być równe sobie tzn. że vAl. = vBl. Gdyby rzuty te nie byÅ‚y równe tzn. vAl. `" vBl , to oznaczaÅ‚oby, że punkty A i B oddalajÄ… siÄ™ od siebie lub zbliżajÄ…. Zjawisko to oczywiÅ›cie nie wystÄ™puje w przypadku ciaÅ‚a sztywnego. Powyższe spostrzeżenie pozwala na sformuÅ‚owanie ważnego twierdzenia, że: Rzuty prÄ™dkoÅ›ci dwu dowolnych punktów ciaÅ‚a sztywnego na prostÄ… Å‚Ä…czÄ…cÄ… te punkty muszÄ… być sobie równe. Ruch postÄ™powy Ruch postÄ™powy stanowi rodzaj ruchu pÅ‚askiego w którym wszystkie kolejne poÅ‚ożenia ciaÅ‚a sÄ… równolegÅ‚e do poÅ‚ożenia poczÄ…tkowego (rys. 4.23). Tory przemieszczenia, prÄ™dkoÅ›ci i przyspieszenia wszystkich punktów ciaÅ‚a sztywnego sÄ… w danej chwili jednakowe, a wiÄ™c znajomość wektora przemieszczenia, prÄ™dkoÅ›ci i przyspieszenia w jednym punkcie ciaÅ‚a umożliwia okreÅ›lenie przemieszczenia, prÄ™dkoÅ›ci i przyspieszenia w dowolnym punktu tego ciaÅ‚a. Rys. 4.23. Ruch postÄ™powy PrÄ™dkość w ruchu zÅ‚ożonym Ruch punktu materialnego możemy rozpatrywać wzglÄ™dem staÅ‚ego lub ruchomego ukÅ‚adu odniesienia. Ruch punktu wzglÄ™dem staÅ‚ego ukÅ‚adu odniesienia nazywamy ruchem bezwzglÄ™dnym. Ruch ukÅ‚adu ruchomego wzglÄ™dem staÅ‚ego ukÅ‚adu odniesienia nazywamy ruchem unoszenia. Ruchem wzglÄ™dnym nazywamy ruch wzglÄ™dnym ruchomego ukÅ‚adu odniesienia. Ruch bezwzglÄ™dny jest wynikiem zÅ‚ożenia ruchu wzglÄ™dnego i unoszenia. Na przykÅ‚ad ruch bezwzglÄ™dny wzglÄ™dem Ziemi pasażera idÄ…cego po pokÅ‚adzie statku jest rezultatem zÅ‚ożenia dwóch ruchów: ruchu unoszenia, czyli ruchu statku wzglÄ™dem Ziemi oraz ruchu wzglÄ™dnego tego pasażera wzglÄ™dem pokÅ‚adu statku. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 24 PrÄ™dkość bezwzglÄ™dna vB jest sumÄ… geometrycznÄ… prÄ™dkoÅ›ci wzglÄ™dnej vw oraz prÄ™dkoÅ›ci unoszenia vU: vB = vW+ vU Przyspieszenie w ruchu zÅ‚ożonym Przyspieszenie punktu materialnego w ruchu zÅ‚ożonym zależy od rodzaju ruchu ukÅ‚adu odniesienia. Możliwe sÄ… dwa przypadki: " ukÅ‚ad odniesienia wykonuje ruch postÄ™powy (brak ruchu obrotowego), " ukÅ‚ad odniesienia wykonuje ruch obrotowy. UkÅ‚ad odniesienia wykonuje ruch postÄ™powy. W tym przypadku przyspieszenie bezwzglÄ™dne jest sumÄ… geometrycznÄ… przyspieszenia wzglÄ™dnego i przyspieszenia unoszenia: aB =aW + aU UkÅ‚ad odniesienia wykonuje ruch obrotowy. W tym przypadku przyspieszenie bezwzglÄ™dne jest sumÄ… geometrycznÄ… trzech przyspieszeÅ„: aB =aW + aU + aC Przyspieszenie aC jest nazywane przyspieszeniem Coriolisa (czyt. Koriolisa) (rys. 4.24). Przyspieszenie to wystÄ™puje tylko wówczas gdy ukÅ‚ad odniesienia wykonuje ruch obrotowy. Wartość przyspieszenia aC jest równa: aC = 2É · vW · sin Ä… gdzie: É prÄ™dkość kÄ…towa ukÅ‚adu ruchomego, vW wartość prÄ™dkoÅ›ci wzglÄ™dnej, Ä… kÄ…t zawarty miÄ™dzy wektorem prÄ™dkoÅ›ci wzglÄ™dnej vW , a osiÄ… obrotu ukÅ‚adu ruchomego (tzn. kierunkiem wektora É). Przyspieszenie Coriolisa nie wystÄ™puje gdy: É =0, tzn. gdy brak jest ruchu obrotowego, vW = 0 , tzn. gdy brak jest ruchu wzglÄ™dnego, Ä… =0, tzn. gdy wektor prÄ™dkoÅ›ci wzglÄ™dnej jest równolegÅ‚y do osi obrotu ukÅ‚adu unoszenia. Rys. 4.24. Przyspieszenie Coriolisa CiaÅ‚o poruszajÄ…ce siÄ™ po powierzchni Ziemi wzdÅ‚uż poÅ‚udnika z prÄ™dkoÅ›ciÄ… vW podlega przyspieszeniu Coriolisa którego wektor aC jest prostopadÅ‚y do wektorów É oraz vW. Wektor przyspieszenia Coriolisa jest skierowany wzdÅ‚uż poÅ‚udnika. Dla ciaÅ‚ poruszajÄ…cych siÄ™ po powierzchni Ziemi przyspieszenie to jest najwiÄ™ksze na biegunach, zaÅ› na równiku w ogóle nie wystÄ™puje bo kÄ…t Ä… = 0. Przyspieszenie aC ma niewielkÄ… wartość ponieważ prÄ™dkość kÄ…towa É jest niewielka (2Ä„rad/dobÄ™). Jest jednak powodem wystÄ™powania wielu zjawisk meteorologicznych takich jak np. pasaty lub wiatry monsunowe. Zaobserwowano również, że brzegi rzek pÅ‚ynÄ…cych w kierunkach zgodnych z kierunkiem poÅ‚udników sÄ… intensywniej rozmywane z jednej strony. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 25 4.2.2. Pytania sprawdzajÄ…ce OdpowiadajÄ…c na pytania, sprawdzisz, czy jesteÅ› przygotowany do wykonania ćwiczeÅ„. 1. WyjaÅ›nij na czym polega wzglÄ™dność zjawiska ruchu. 2. Jak dzielimy ruchy ze wzglÄ™du na ksztaÅ‚t toru? 3. Jak dzielimy ruchy ze wzglÄ™du na przebieg prÄ™dkoÅ›ci? 4. Podaj definicjÄ™ ruchu postÄ™powego. 5. Podaj definicjÄ™ ruchu jednostajnie przyspieszonego. 6. Podaj twierdzenie o rzutach prÄ™dkoÅ›ci. 7. WyjaÅ›nij sposób wyznaczania zastÄ™pczego Å›rodka obrotu. 8. Na czym polega ruch jednostajny po okrÄ™gu? 9. WyjaÅ›nij, z jakich skÅ‚adowych skÅ‚ada siÄ™ wektor przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym. 10. WyjaÅ›nij, kiedy wystÄ™puje i na czym polega przyspieszenie Coriolisa. 4.2.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 PÅ‚yta porusza siÄ™ ruchem postÄ™powym jednostajnym z prÄ™dkoÅ›ciÄ… v = 0.5 m/s toczÄ…c siÄ™ po koÅ‚ach o Å›rednicy d = 0,2 m. Oblicz prÄ™dkość kół w obrotach na minutÄ™. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) wyznaczyć prÄ™dkość liniowÄ… w Å›rodku koÅ‚a, 2) obliczyć prÄ™dkość kÄ…towÄ… koÅ‚a É [1/s], 3) przeliczyć prÄ™dkość kÄ…towÄ… É wyrażonÄ… w radianach na prÄ™dkość obrotowÄ… n [obr/min], 4) zapisać wyniki obliczeÅ„: v0 =.................... m/s É =.....................rad n =.....................obr/min Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia Ćwiczenie 2 Po wÅ‚Ä…czeniu silnika maszyny tarcza szlifierska porusza siÄ™ ruchem obrotowym jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kÄ…towym µ = 60 [1/ s2]. Åšrednica d tarczy wynosi 0,4 m. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 26 Oblicz: a) prÄ™dkość obrotowÄ… tarczy n [obr/min] po 5 sekundach od chwili wÅ‚Ä…czenia maszyny, b) przyspieszenie caÅ‚kowite a [m/s2] w punkcie A na powierzchni tarczy w chwili t = 5s. Sposób wykonania ćwiczenia. Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć prÄ™dkość obrotowÄ… É tarczy w chwili t = 5s korzystajÄ…c ze wzoru na prÄ™dkość koÅ„cowÄ… w ruchu obrotowym jednostajnie przyspieszonym, 2) wyrazić prÄ™dkość kÄ…towÄ… w obr/min, 3) obliczyć przyspieszenie styczne at [ m/s2], 4) obliczyć przyspieszenie doÅ›rodkowe an [m/s2], 5) obliczyć przyspieszenie caÅ‚kowite jako sumÄ™ geometrycznÄ… at i an, 6) zapisać wyniki obliczeÅ„: É t=5s = ..................... 1/s n t=5s = .................... .obr/min at = ......................... m/s2 an = ........................ m/s2 a =......................... m/s2 Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 3 Wyznacz chwilowy Å›rodek obrotu oraz oblicz chwilowÄ… prÄ™dkość kÄ…towÄ… É ciaÅ‚a sztywnego pokazanego na rysunku. Dane: vA = 0.5 m/s, d = 0,5 m Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć vB stosujÄ…c twierdzenie o rzutach prÄ™dkoÅ›ci, 2) obliczyć promienie rA i rB, Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 27 3) obliczyć prÄ™dkość kÄ…towÄ…, 4) zapisać wyniki obliczeÅ„: VB = ................. m/s rA = .................mm rB = .................mm É = ...................1/s n = ..................obr/min Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia 4.2.4. Sprawdzian postÄ™pów Tak Nie Czy potrafisz: 1) zdefiniować pojÄ™cie wzglÄ™dnoÅ›ci ruchu? Ä„% Ä„% 2) obliczyć przebytÄ… drogÄ™ w ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym? Ä„% Ä„% 3) zdefiniować pojÄ™cie ruchu postÄ™powego? Ä„% Ä„% 4) obliczyć prÄ™dkość obrotowÄ… n [obr/min] znajÄ…c prÄ™dkość kÄ…towÄ… É [1/s]? Ä„% Ä„% 5) obliczyć przyspieszenie doÅ›rodkowe w ruchu obrotowym? Ä„% Ä„% 6) zdefiniować pojÄ™cia przyspieszenia stycznego i przyspieszenia doÅ›rodkowego? Ä„% Ä„% 7) wyznaczyć zastÄ™pczy Å›rodek obrotu ciaÅ‚a w ruchu pÅ‚askim? Ä„% Ä„% 8) wyznaczyć chwilowy Å›rodek obrotu oraz obliczyć chwilowÄ… prÄ™dkość kÄ…towÄ… ciaÅ‚a w ruchu pÅ‚askim? Ä„% Ä„% 9) obliczyć prÄ™dkość i przyspieszenie w ruchu zÅ‚ożonym? Ä„% Ä„% 10) wyjaÅ›nić, kiedy wystÄ™puje przyspieszenia Coriolisa? Ä„% Ä„% 4.3. Dynamika 4.3.1. MateriaÅ‚ nauczania DynamikÄ… nazywa siÄ™ dziaÅ‚ mechaniki zajmujÄ…cy siÄ™ badaniem ruchu ciaÅ‚ materialnych z uwzglÄ™dnieniem przyczyn które ten ruch wywoÅ‚aÅ‚y. Podobnie jak kinematykÄ™, dynamikÄ™ dzieli siÄ™ na: - dynamikÄ™ punktu materialnego, - dynamikÄ™ ciaÅ‚a sztywnego. Dynamika opiera siÄ™ na zasadach, prawach przyrody, które jako pierwszy sformuÅ‚owaÅ‚ Izaak Newton w XVI wieku. Zasady te sÄ… nazywane zasadami dynamiki Newtona lub po prostu zasadami dynamiki. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 28 Zasada 1: JeÅ›li na ciaÅ‚o nie dziaÅ‚a żadna siÅ‚a lub siÅ‚y dziaÅ‚ajÄ…ce na to ciaÅ‚o równoważą siÄ™ to ciaÅ‚o pozostaje w spoczynku lub porusza siÄ™ ruchem jednostajnym prostoliniowym. W mechanice teoretycznej ciaÅ‚o na które nie dziaÅ‚a żadna siÅ‚a nazywa siÄ™ ciaÅ‚em izolowanym. CiaÅ‚o takie w myÅ›l pierwszej zasady dynamiki pozostaje w spoczynku lub wprawione w ruch porusza siÄ™ ruchem jednostajnym po linii prostej. Stan taki wystÄ™puje w przestrzeni kosmicznej. W rzeczywistoÅ›ci na Ziemi na każde ciaÅ‚o dziaÅ‚a siÅ‚a przyciÄ…gania ziemskiego oraz inne siÅ‚y jak np. siÅ‚y tarcia, oporu powierza. Zasada 2: SiÅ‚a przyÅ‚ożona do ciaÅ‚a nadaje temu ciaÅ‚u przyspieszenie. Wektor przyspieszenia jest skierowany wzdÅ‚uż linii dziaÅ‚ania przyÅ‚ożonej siÅ‚y. Wartość przyspieszenia jest wprost proporcjonalna do wartoÅ›ci tej siÅ‚y. ZasadÄ™ tÄ… wyrażamy wzorem: a = F/m albo F = m · a gdzie: F siÅ‚a dziaÅ‚ajÄ…ca na ciaÅ‚o, m masa ciaÅ‚a, a przyspieszenie. Im wiÄ™ksza jest masa ciaÅ‚a m tym dana siÅ‚a F powoduje mniejsze przyspieszenie. Masa ciaÅ‚a jest miarÄ… jego bezwÅ‚adnoÅ›ci. JednostkÄ… masy jest 1kg, natomiast jednostkÄ… siÅ‚y jest 1 N (niuton). SiÅ‚a F ma wartość 1N, jeÅ›li masie m = 1kg nadaje przyspieszenie a = 1m/s2 . 1N = 1 kg · 1 m/s2. Na każde ciaÅ‚o dziaÅ‚a siÅ‚a przyciÄ…gania ziemskiego G = m · g g = 9.81 m/ s2 nazywamy przyspieszeniem ziemskim. Zasada 3: Każdemu dziaÅ‚aniu towarzyszy równe, lecz zwrócone przeciwnie przeciwdziaÅ‚anie. PrzykÅ‚ad: Leżąca na stole książka o masie m wywiera na powierzchnie stoÅ‚u siÅ‚Ä™ G = m · g równÄ… ciężarowi książki. SiÅ‚a ciężaru jest równoważona siÅ‚Ä… oddziaÅ‚ywania powierzchni stoÅ‚u N. Książka pozostaje w spoczynku, a wiÄ™c siÅ‚a ta jest równa sile nacisku książki tzn. N = G. SiÅ‚y bezwÅ‚adnoÅ›ci DziaÅ‚anie siÅ‚y bezwÅ‚adnoÅ›ci odczuwamy w samochodzie, tramwaju lub autobusie. Przy ruszaniu i przyspieszaniu siÅ‚a bezwÅ‚adnoÅ›ci stara siÄ™ nas przesunąć do tyÅ‚u , natomiast przy hamowaniu stara siÄ™ nas przesunąć do przodu . - SiÅ‚a bezwÅ‚adnoÅ›ci jest równa iloczynowi masy m poruszajÄ…cego siÄ™ ciaÅ‚a i przyspieszenia a, któremu to ciaÅ‚o podlega. - Zwrot siÅ‚y bezwÅ‚adnoÅ›ci jest przeciwny do zwrotu przyspieszenia. - W ruchu jednostajnym a = 0 siÅ‚a bezwÅ‚adnoÅ›ci nie wystÄ™puje. PowiÄ…zanie drugiej zasady dynamiki z wystÄ™pujÄ…cymi siÅ‚ami bezwÅ‚adnoÅ›ci opisuje zasada d Alemberta. Zasada d Alemberta SiÅ‚a wypadkowa siÅ‚ zewnÄ™trznych dziaÅ‚ajÄ…cych na ciaÅ‚o równoważy siÄ™ z siÅ‚Ä… bezwÅ‚adnoÅ›ci StÄ…d: " Fi + (- m · a) = 0 gdzie: - m · a jest siÅ‚Ä… bezwÅ‚adnoÅ›ci. WprowadzajÄ…c siÅ‚Ä™ bezwÅ‚adnoÅ›ci możemy dla ciaÅ‚ bÄ™dÄ…cych w ruchu stosować znane ze statyki równania równowagi siÅ‚ i obliczać reakcje wiÄ™zów. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 29 PÄ™d i impuls siÅ‚y PÄ™dem nazywamy iloczyn masy punktu materialnego i prÄ™dkoÅ›ci.: B = m · v PÄ™d B jest wektorem. Jego kierunek i zwrot jest zgodny z kierunkiem prÄ™dkoÅ›ci. Impulsem siÅ‚y nazywamy iloczyn siÅ‚y i czasu. Impuls siÅ‚y F · t powoduje przyrost pÄ™du ciaÅ‚a: F · t = m · v2 - m · v1 Wnioski: - zmiana pÄ™du wymaga aby na ciaÅ‚o dziaÅ‚aÅ‚a przez pewien czas t siÅ‚a F, - zmiana pÄ™du jest tym wiÄ™ksza im wiÄ™ksza jest siÅ‚a i im dÅ‚uższy jest czas jej dziaÅ‚ania, - pÄ™d ciaÅ‚a jest staÅ‚y jeÅ›li wypadkowa siÅ‚ zewnÄ™trznych dziaÅ‚ajÄ…cych na ciaÅ‚o jest równa zeru. Åšrodek masy ciaÅ‚a Åšrodek masy ciaÅ‚a sztywnego jest wyobrażalnym punktem majÄ…cym tÄ™ wÅ‚aÅ›ciwość, że ciaÅ‚o podparte w tym punkcie znajduje siÄ™ zawsze w stanie równowagi obojÄ™tnej, a wiÄ™c jest w równowadze w każdym poÅ‚ożeniu. Åšrodek masy jest nazywany również Å›rodkiem ciężkoÅ›ci ciaÅ‚a. CzÄ™sto w rozważaniach i obliczeniach ciaÅ‚o sztywne zastÄ™pujemy punktem materialnym. PoÅ‚ożenie tego punktu pokrywa siÄ™ z poÅ‚ożeniem Å›rodka masy ciaÅ‚a. Punktowi temu przypisujemy masÄ™ m równÄ… masie ciaÅ‚a. Dla ciaÅ‚ o staÅ‚ej gÄ™stoÅ›ci, majÄ…cych ksztaÅ‚t bryÅ‚ geometrycznych poÅ‚ożenia Å›rodków ciężkoÅ›ci pokrywa siÄ™ z poÅ‚ożeniami Å›rodków symetrii tych bryÅ‚. Ruch Å›rodka masy Åšrodek ciężkoÅ›ci pod wpÅ‚ywem siÅ‚ zewnÄ™trznych porusza siÄ™ tak, jakby w nim byÅ‚a skupiona caÅ‚a masa i jakby w nim byÅ‚a przyÅ‚ożona siÅ‚a F równa sile wypadkowej wszystkich siÅ‚ zewnÄ™trznych dziaÅ‚ajÄ…cych na ukÅ‚ad. Masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ukÅ‚adu punktów materialnych Moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ukÅ‚adu punktów materialnych wzglÄ™dem osi l nazywamy sumÄ™ iloczynów mas tych punktów i kwadratów ich odlegÅ‚oÅ›ci od osi l (rys. 4.25): Rys. 4.25. Masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ukÅ‚adu punktów materialnych wzglÄ™dem osi Moment bezwÅ‚adnoÅ›ci oznaczamy literÄ… J. Jl = " m i · ri 2 Masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a CiaÅ‚o sztywne możemy umownie podzielić na n części o masach "m1, "m2, "m3..... "mn. OdlegÅ‚oÅ›ci Å›rodków ciężkoÅ›ci tych mas od osi l oznaczamy przez r1, r2, r3,....., rn . Momentem bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a wzglÄ™dem osi l nazywamy granicÄ™, do której dąży suma: " "m i · ri 2 gdy masy "m i malejÄ… dążąc do zera "m i 0 Jl = lim " "m i · ri 2 "m i 0 Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 30 Wzory matematyczne do obliczenia masowych momentów bezwÅ‚adnoÅ›ci bryÅ‚ np. walca, tarczy lub kuli możemy znalezć w poradnikach technicznych lub w podrÄ™cznikach z zakresu mechaniki. WÅ›ród osi ciaÅ‚a wyróżniamy osie które nazywamy tzw. głównymi Å›rodkowymi osiami bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a. W przypadku walca głównymi osiami bezwÅ‚adnoÅ›ci sÄ… osie symetrii. CiaÅ‚o obracajÄ…ce siÄ™ wokół tej osi lub też innej osi równolegÅ‚ej nie powoduje powstawania pary siÅ‚ odÅ›rodkowych, które dajÄ… moment pary siÅ‚ odÅ›rodkowych. Moment ten oddziaÅ‚uje na Å‚ożyska w których jest podparte obracajÄ…ce siÄ™ ciaÅ‚o. ZnajÄ…c masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a wzglÄ™dem osi przechodzÄ…cej przez Å›rodek masy możemy wyznaczyć masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem dowolnej osi równolegÅ‚ej. Korzystamy wówczas z twierdzenia Steinera: Twierdzenie Steinera Masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a wzglÄ™dem dowolnej osi l równolegÅ‚ej do osi a, przechodzÄ…cej przez Å›rodek masy, jest równy momentowi Ja wzglÄ™dem tej osi powiÄ™kszonemu o iloczyn masy ciaÅ‚a i kwadratu odlegÅ‚oÅ›ci miÄ™dzy osiami.(rys. 4.26): Jl = Ja + m · r2 Rys. 4.26. Masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a wzglÄ™dem dowolnej osi równolegÅ‚ej. Istnieje analogia matematyczna opisu zjawisk ruchu ciaÅ‚a w ruchu postÄ™powym prostoliniowym i ruchu obrotowym. W ruchu postÄ™powym prostoliniowym miarÄ… bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a jest masa m. W ruchu obrotowym miarÄ… bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a jest masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci J. Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Moment M nadaje ciaÅ‚u przyspieszenie kÄ…towe µ, które jest proporcjonalne do wartoÅ›ci tego momentu i odwrotnie proporcjonalne do wartoÅ›ci masowego momentu bezwÅ‚adnoÅ›ci J. StÄ…d: µ = M/ J albo M = J · µ Widzimy tu analogiÄ™ do drugiej zasady dynamiki dla ruchu postÄ™powego: a = F/ m albo F = m · a Zasada d Alemberta dla ruchu obrotowego W ruchu obrotowym suma momentów siÅ‚ zewnÄ™trznych (wypadkowy moment zewnÄ™trzny) równoważy momenty siÅ‚ bezwÅ‚adnoÅ›ci To znaczy, że: " Mi + (- J · µ) = 0 J · µ jest momentem siÅ‚ bezwÅ‚adnoÅ›ci J moment bezwÅ‚adnoÅ›ci µ przyspieszenie kÄ…towe Reakcje dynamiczne w ruchu obrotowym Podczas ruchu obrotowego obracajÄ…ca siÄ™ masa wywoÅ‚uje siÅ‚Ä™ odÅ›rodkowÄ… FO, która jest równoważona reakcjÄ… wiÄ™zów R (rys. 4.27). W przeciwieÅ„stwie do reakcji statycznych, które sÄ… niezmienne, reakcje dynamiczne zależą od prÄ™dkoÅ›ci ruchu obrotowego oraz mas i ich Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 31 rozmieszczenia wzglÄ™dem osi obrotu. Podczas ruchu obrotowego wektory reakcji dynamicznych wiÄ™zów wirujÄ… wraz z masÄ…. Wektor caÅ‚kowitej reakcji wiÄ™zów jest sumÄ… wektorów reakcji statycznych i dynamicznych. Rys. 4.27. SiÅ‚a odÅ›rodkowa obracajÄ…cej siÄ™ masy i reakcja wiÄ™zów Jego wartość jest sumÄ… geometrycznÄ… obu reakcji. Przy dużych prÄ™dkoÅ›ciach obrotowych reakcje dynamiczne mogÄ… być wielokrotnie wiÄ™ksze od reakcji statycznych. NajwiÄ™ksze reakcje wystÄ™pujÄ… w chwili gdy masa znajduje siÄ™ w najniższym poÅ‚ożeniu, najmniejsze natomiast gdy masa znajduje siÄ™ w poÅ‚ożeniu najniższym. Wyrównoważanie Reakcje dynamiczne wywoÅ‚ujÄ… w maszynach niepożądane zjawiska takie jak np. niestabilna praca, haÅ‚as, drgania, szybkie zużywanie siÄ™ Å‚ożysk, zjawiska zmÄ™czeniowe w materiale. PrzeciwdziaÅ‚anie tym zjawiskom polega na wyrównoważaniu czyli wprowadzaniu dodatkowych mas (lub ich ujmowaniu) w celu doprowadzaniu do stanu w którym reakcje dynamiczne sÄ… równe zero. Wyrównoważanie jest nazywane potocznie wyważaniem. Mówimy np. o wyważaniu kół samochodowych. Maszyny na których wykonujemy wyrównoważanie nazywa siÄ™ wyważarkami. Rozróżniamy wyrównoważanie: - statyczne, - dynamiczne, - statyczno-dynamiczne. CiaÅ‚o jest wyrównoważone statycznie, gdy Å›rodek jego masy przechodzi przez oÅ› obrotu. CiaÅ‚o znajduje siÄ™ w równowadze w każdym poÅ‚ożeniu. Wyrównoważanie polega na doÅ‚ożeniu pewnej masy korekcyjnej tak, aby ciaÅ‚o byÅ‚o w równowadze obojÄ™tnej tzn. aby byÅ‚o w równowadze w każdym poÅ‚ożeniu. Niekiedy wyrównoważanie polega na ujmowaniu masy np. przez nawiercanie w okreÅ›lonych miejscach otworów. CiaÅ‚o jest wyrównoważone dynamicznie gdy Å›rodek jego masy leży na osi obrotu, oraz gdy oÅ› ta pokrywa siÄ™ z głównÄ… Å›rodkowÄ… osiÄ… bezwÅ‚adnoÅ›ci tego ciaÅ‚a. CiaÅ‚o może być wyrównoważone statycznie ale nie być wyrównoważone dynamicznie (rys. 4.28): Rys. 4.28. PrzykÅ‚ad ciaÅ‚a niewyrównoważonego dynamicznie CiaÅ‚o znajduje siÄ™ w równowadze obojÄ™tnej, jednak podczas ruchu obrotowego wystÄ™pujÄ… dwie przeciwnie skierowane siÅ‚y bezwÅ‚adnoÅ›ci, które tworzÄ… parÄ™ siÅ‚. Para ta daje moment dynamicznego niewyrównoważenia. Moment ten zgodnie z zasadÄ… d Alemberta jest równoważony rekcjami wiÄ™zów RA i RB. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 32 Wyrównoważanie dynamiczne polega na doÅ‚ożeniu dwóch mas korekcyjnych leżących po przeciwnych stronach osi obrotu, rozmieszczonych w ten sposób aby powstaÅ‚ moment równoważący moment dynamicznego niewyrównoważenia (rys. 4.29). Wyrównoważanie statyczno-dynamiczne polega na wykonaniu obu opisanych wyżej rodzajów wyrównoważenia. Rys. 4.29. Wyrównoważenie dynamiczne przez wprowadzenie mas korekcyjnych m1 i m2 Zasada zachowania krÄ™tu (momentu pÄ™du) KrÄ™tem K nazywamy iloczyn momentu bezwÅ‚adnoÅ›ci J oraz prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É wzglÄ™dem osi obrotu l. K = J · É W myÅ›l tej zasady: KrÄ™t ciaÅ‚a w ruchu obrotowym jest staÅ‚y, jeżeli suma zewnÄ™trznych momentów wzglÄ™dem osi obrotu jest równa zeru. To znaczy, że: K = J · É = const, gdy " Mi = 0 Zasada ta stanowi analogie do zasady zachowania pÄ™du dla ruchu prostoliniowego. Energia kinetyczna Energia kinetyczna ciaÅ‚a o masie m poruszajÄ…cego siÄ™ prostoliniowym ruchem postÄ™powym z prÄ™dkoÅ›ciÄ… v wyraża siÄ™ wzorem: EK = ½ · m · v2 Energia kinetyczna ciaÅ‚a w ruchu obrotowym wyraża siÄ™ wzorem: EK = ½ · J · É 2 Gdzie J masowy moment bezwÅ‚adnosci, É prÄ™dkość kÄ…towa ciaÅ‚a. Twierdzenie Koeniga EnergiÄ… kinetyczna ciaÅ‚a w ruchu zÅ‚ożonym, skÅ‚adajÄ…cym siÄ™ z ruchu postÄ™powego Å›rodka masy oraz ruchu obrotowego wzglÄ™dem Å›rodka masy jest równa sumie energii kinetycznych ruchu postÄ™powego i energii kinetycznej ciaÅ‚a w ruchu obrotowym: EK = ½ · m · v2 + ½ · J · É 2 Energia potencjalna Energia potencjalnÄ… nazywa siÄ™ zdolność do wykonania pracy. Energia potencjalna powstaje na skutek wczeÅ›niej wykonanej pracy. Np. podczas napinania Å‚uku jest wykonana praca. Praca ta jest gromadzona (akumulowana) w Å‚uku w postaci energii potencjalnej. Energia ta jest zwiÄ…zana z odksztaÅ‚ceniem sprężystym materiaÅ‚u z którego wykonano Å‚uk. Energia ta jest nastÄ™pnie przekazywana strzale i zamieniona na energiÄ™ kinetycznÄ… pÄ™dzÄ…cej Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 33 strzaÅ‚y. W polu grawitacyjnym ziemi energia potencjalna ciaÅ‚a o masie m jest zwiÄ…zana z wysokoÅ›ciÄ… h i wyrażona wzorem: EP = m · g · h Masa wody m znajdujÄ…ca siÄ™ w zbiorniku retencyjnym elektrowni wodnej na wysokoÅ›ci h wzglÄ™dem turbogeneratora ma energiÄ™ potencjalnÄ… EP. Woda ta wypÅ‚ywajÄ…c ze zbiornika i spadajÄ…c z wysokoÅ›ci h posiada prÄ™dkość v, a wiÄ™c również energiÄ™ kinetycznÄ…, która jest zamieniana w turbogeneratorze na energiÄ™ elektrycznÄ…. NapeÅ‚nienie zbiornika retencyjnego wymaga wykonania pracy zwiÄ…zanej z przepompowaniem wody na wysokość h. Praca Praca mechaniczna w ruchu prostoliniowym jest równa iloczynowi wartoÅ›ci siÅ‚y dziaÅ‚ajÄ…cej wzdÅ‚uż kierunku ruchu i drogi jakÄ… przebyÅ‚ punkt zaczepienia tej siÅ‚y (rys. 4.30). W = F · s · cos Ä… Rys. 4.30 Praca mechaniczna w ruchu prostoliniowym JeÅ›li siÅ‚a dziaÅ‚a w kierunku przeciwnym ruchowi to praca jest ujemna. Jednostka pracy jest 1J (Joule) (czytaj: dżul). Jest to praca wykonana przez siÅ‚Ä™ 1N na drodze 1 metra. 1 J = 1 N · 1 m JeÅ›li podczas ruchu na drodze s siÅ‚a F jest zmienna to pracÄ™ wykonanÄ… na tej drodze obliczamy przez sumowanie prac " Wi na poszczególnych odcinkach drogi " si na których siÅ‚y Fi oraz kÄ…ty Ä… i przyjmujÄ… staÅ‚e wartoÅ›ci. Praca wyraża siÄ™ wówczas wzorem: W = " " Wi = " Fi · " si · cos Ä… i W ruchu obrotowym praca wyraża siÄ™ wzorem: W = M · Ä… gdzie: M moment obrotowy Ä… kÄ…t obrotu (w radianach) Zasada równoważnoÅ›ci pracy i energii Zgodnie z tÄ… zasadÄ… praca wszystkich siÅ‚ dziaÅ‚ajÄ…cych na ciaÅ‚o jest równa przyrostowi energii mechanicznej tego ciaÅ‚a. W = " E Energia mechaniczna E ciaÅ‚a jest sumÄ… energii kinetycznej EK oraz energii potencjalnej EP. E = EK + EP Zasada zachowania energii mechanicznej JeÅ›li na ciaÅ‚o nie dziaÅ‚ajÄ… żadne siÅ‚y zewnÄ™trzne lub praca siÅ‚ dziaÅ‚ajÄ…cych jest równa zero to suma energii kinetycznej i potencjalnej tego ciaÅ‚a jest staÅ‚a: E = EK + EP = const JeÅ›li np. energia potencjalna ciaÅ‚a maleje to wzrasta energia kinetyczna. Może również nastÄ™pować zjawisko odwrotne. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 34 Moc Moc jest zdolnoÅ›ciÄ… do wykonania pracy w ciÄ…gu okreÅ›lonego czasu. JeÅ›li czas ten jest krótszy, to moc jest wiÄ™ksza. W mechanice moc P wyraża siÄ™ wzorem: P = W/t Gdzie:W praca T czas wykonania pracy PamiÄ™tajÄ…c, że W = F · s oraz, że s/t = v W ruchu postÄ™powym moc P możemy wyrazić jako iloczyn siÅ‚y F i prÄ™dkoÅ›ci v P = F · v W ruchu obrotowym moc wyrażamy jako iloczyn momentu obrotowego M i prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É: P = M · É W ukÅ‚adzie SI jednostkÄ… mocy jest 1 W (wat). Moc 1W oznacza pracÄ™ 1J wykonanÄ… w ciÄ…gu 1 sekundy. 1W = 1 J/s Sprawność SprawnoÅ›ciÄ… maszyny nazywamy stosunek pracy użytecznej Wu do pracy wÅ‚ożonej W. Sprawność oznaczamy greckÄ… literÄ… · (eta) i wyrażamy wzorem: · = Wu/W · < 1 Praca użyteczna Wu jest mniejsza od pracy wÅ‚ożonej ze wzglÄ™du na energiÄ™ straconÄ… Ws na pokonanie siÅ‚ tarcia. Sprawność możemy również wyrażać w procentach: · = Wu/W · 100% Sprawność wypadkowa · urzÄ…dzenia, które skÅ‚ada siÄ™ z szeregu poÅ‚Ä…czonych ze sobÄ… mechanizmów lub urzÄ…dzeÅ„ o sprawnoÅ›ciach ·1, ·2, ·3,....., ·n okreÅ›la siÄ™ jako iloczyn sprawnoÅ›ci poszczególnych mechanizmów lub urzÄ…dzeÅ„. · = ·1 · ·2 · ·3 · ,..., · ·n =" ·i Uderzenie 1 2 Rys. 4.31. Zjawisko uderzenia Zjawisko uderzenia pokazano na rys. 4.31. Dwie kulki poruszajÄ… siÄ™ z różnÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ…. PrÄ™dkość kulki 1 jest wiÄ™ksza niż kulki 2. Po pewnym czasie kulki siÄ™ zetknÄ… i przez czas t bÄ™dÄ… poruszać siÄ™ razem. Czas ten okreÅ›lamy czasem uderzenia. Po upÅ‚ywie tego czasu, nastÄ…pi rozÅ‚Ä…czenie siÄ™ kulek. W czasie trwania uderzenia dziaÅ‚a zmienna siÅ‚a zwana siÅ‚Ä… uderzenia, osiÄ…gajÄ…ca tuż przed rozÅ‚Ä…czeniem siÄ™ ciaÅ‚ wartość zero. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 35 4.3.2. Pytania sprawdzajÄ…ce OdpowiadajÄ…c na pytania, sprawdzisz, czy jesteÅ› przygotowany do wykonania ćwiczeÅ„. 1. Podaj definicjÄ™ zasady dynamiki Newtona. 2. Podaj treść drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego. 3. Na czym polega zasada zachowania pÄ™du? 4. Podaj definicjÄ™ zasady zachowania krÄ™tu (momentu pÄ™du). 5. Podaj definicjÄ™ ruchu jednostajnie przyspieszonego 6. Podaj definicjÄ™ osiowego momentu bezwÅ‚adnoÅ›ci. 7. Podaj definicjÄ™ twierdzenia Steinera. 8. WyjaÅ›nij zasadÄ™ równoważnoÅ›ci pracy i energii. 9. Jaki jest cel wyrównoważenia ciaÅ‚ i na czym ono polega? 10. Na czym polega statyczne niewyrównoważenie? 11. Na czym polega dynamiczne niewyrównoważenie? 12. Podaj definicjÄ™ twierdzenia Koeniga. 13. Co to jest współczynnik tarcia? 14. Co okreÅ›la współczynnik tarcia Å›lizgowego? 15. Co okreÅ›la współczynnik tarcia tocznego? 16. Co to jest sprawność maszyny? 17. Co to jest uderzenie? 4.3.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1* UkÅ‚ad pokazany na rysunku pozostaje w chwili t = 0 w spoczynku. Oblicz prÄ™dkość obrotowÄ… n [obr/min] po czasie t = 10 sekund. Dane: R = 0,4 m, D = 0,4 m, r = 0,1 m, masy ciężarków w ksztaÅ‚cie kuli oraz walca m = 2kg, moment bezwÅ‚adnoÅ›ci kuli wzglÄ™dem osi przechodzÄ…cej przez jej Å›rodek Js = 2/5m· r2. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć korzystajÄ…c z twierdzenia Steinera wypadkowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci J ukÅ‚adu trzech mas: dwóch kul oraz masy walca m wzglÄ™dem osi obrotu, 2) obliczyć wypadkowy moment M siÅ‚y grawitacji dziaÅ‚ajÄ…cej na ukÅ‚ad (moment pochodzi od masy walca), Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 36 3) obliczyć korzystajÄ…c z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego przyspieszenie kÄ…towe µ, 4) obliczyć prÄ™dkość kÄ…towÄ… É po czasie t =10s i wyrazić jÄ… w n obr/min, 5) zapisać wyniki obliczeÅ„: J = ...............................kgm2 M = .............................Nm µ =...............................1/s2 É = .............................1/s n = .............................obr/min Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 2 PiÅ‚ka o masie m i Å›rednicy 2r toczy siÄ™ po poziomym podÅ‚ożu z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… v. Obliczyć dÅ‚ugość drogi s toczenia siÄ™ piÅ‚ki do chwili zatrzymania. Dane: m = 5kg, v = 1,5 m/s, 2r = 0,3 m, f = 0,01 m Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć korzystajÄ…c z twierdzenia Koeniga poczÄ…tkowÄ… energiÄ™ kinetycznÄ… toczÄ…cej siÄ™ piÅ‚ki na poczÄ…tku drogi, 2) obliczyć siÅ‚Ä™ tarcia T, 3) obliczyć drogÄ™ s, 4) zapisać wyniki obliczeÅ„: Ek = .......................Nm T =..........................N L =..........................Nm S =..........................m Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia Ćwiczenie 3 Krzywka w ksztaÅ‚cie krążka o promieniu r i gruboÅ›ci h jest mimoÅ›rodowo zamocowana na wale. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 37 W chwili t = 0 krzywka pozostaje w spoczynku. Po wÅ‚Ä…czeniu silnika waÅ‚ krzywki jest napÄ™dzany momentem M. Dane: a = 0,12 m, b = 0,1 m, r = 0,08 m, mimoÅ›rodowość zamocowania tarczy na wale e = 0,015m, m = 2kg, M = 15Nm. Moment bezwÅ‚adnoÅ›ci tarczy wzglÄ™dem jej osi symetrii prostopadÅ‚ej do jej pÅ‚aszczyzny jest równy Js= m/2 · r2 Oblicz: 1. PrÄ™dkość obrotowÄ… waÅ‚u n [obr/min] po czasie t = 5 sekund. 2. Maksymalne reakcje Å‚ożysk w punktach A oraz B po czasie 10 sekund od chwili wÅ‚Ä…czenia silnika. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć korzystajÄ…c z twierdzenia Steinera moment bezwÅ‚adnoÅ›ci J krzywki wzglÄ™dem osi obrotu, 2) obliczyć korzystajÄ…c z II zasady dynamiki oblicz przyspieszenie kÄ…towe waÅ‚u µ, 3) obliczyć prÄ™dkość kÄ…towÄ… waÅ‚u É po czasie t = 5s,. 4) obliczyć siÅ‚Ä™ odÅ›rodkowÄ… Fr od masy m po czasie t = 10s zakÅ‚adajÄ…c, że Å›rodek masy leży w Å›rodku geometrycznym krzywki, 5) uÅ‚ożyć równania równowagi belki korzystajÄ…c z zasady d Alemberta , waÅ‚ traktujemy jako belkÄ™ i stosujemy znane ze statyki warunki równowagi, 6) obliczyć reakcje podpór waÅ‚u w punktach A i B pamiÄ™tajÄ…c również o sile grawitacji dziaÅ‚ajÄ…cej na krzywkÄ™, masÄ™ waÅ‚u pominąć, 7) zapisać wyniki obliczeÅ„: J = ....................kgm2 µ = ...................1/s2 É =...................1/s Fr =...................N RA = .............. ..N RB = .................N. Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 4 Oblicz energiÄ™ kinetycznÄ… ukÅ‚adu pokazanego na rysunku, jeÅ›li masa pÅ‚yty wynosi 40 kg, zaÅ› masa koÅ‚a wynosi 10 kg. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) skorzystać z zależnoÅ›ci, że energia kinetyczna ukÅ‚adu jest sumÄ… energii kinetycznej pÅ‚yty oraz energii kinetycznej kół, Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 38 2) obliczyć energiÄ™ kinetycznÄ… pÅ‚yty, 3) obliczyć energiÄ™ kinetycznÄ… kół, 4) zapisać wyniki obliczeÅ„: Ek pÅ‚yty =...................................... Nm Ek kół = ........................................ Nm Ek caÅ‚kowita =............................... Nm Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia Ćwiczenie 5 Motocyklista jadÄ…cy z nadmiernÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… zderza siÄ™ na Å‚uku drogi z grubym pniem drzewa. Oblicz: SiÅ‚Ä™ bezwÅ‚adnoÅ›ci F z jakÄ… motocyklista zostaje wyrzucony z siodeÅ‚ka motocykla i uderza o pieÅ„ drzewa. Dane: prÄ™dkość motocykla w chwili zderzenia v = 100 km/godz, masa motocyklisty m = 70 kg, s = 1,5 m. ZakÅ‚adamy dla uproszczenia, że podczas zderzenia ruch na drodze s jest jednostajnie opózniony. W chwili zderzenia prÄ™dkość motocykla i motocyklisty gwaÅ‚townie maleje do zera. Energia kinetyczna ciaÅ‚a motocyklisty zamienia siÄ™ na pracÄ™ siÅ‚y bezwÅ‚adnoÅ›ci F. SiÅ‚a ta wykonuje pracÄ™ na drodze s polegajÄ…cÄ… na wyrzuceniu motocyklisty z siodeÅ‚ka. Jest to siÅ‚a z jaka motocyklista uderza o pieÅ„ drzewa. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć energiÄ™ kinetycznÄ… motocyklisty Ek, 2) przyrównać energiÄ™ kinetycznÄ… Ek z wykonanÄ… pracÄ… siÅ‚y bezwÅ‚adnoÅ›ci F na drodze s, 3) obliczyć siÅ‚Ä™ F w niutonach oraz w tonach siÅ‚y, 4) zapisać wyniki obliczeÅ„: Ek = ........................Nm F = ..........................N F = ..........................T Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 39 4.3.4. Sprawdzian postÄ™pów Tak Nie Czy potrafisz: 1) podać definicje zasad dynamiki Newtona? Ä„% Ä„% 2) obliczyć przyspieszenie punktu materialnego na który dziaÅ‚a ukÅ‚ad siÅ‚ zbieżnych? Ä„% Ä„% 3) obliczyć moment bezwÅ‚adnoÅ›ci punktu materialnego wzglÄ™dem osi? Ä„% Ä„% 4) obliczyć siÅ‚Ä™ odÅ›rodkowÄ… gdy punkt materialny porusza siÄ™ po okrÄ™gu? Ä„% Ä„% 5) obliczyć reakcjÄ™ dynamicznÄ… Å‚ożysk w przypadku niewyrównoważenia dynamicznego obracajÄ…cej siÄ™ masy? Ä„% Ä„% 6) obliczać momenty bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚? Ä„% Ä„% 7) obliczyć energiÄ™ kinetycznÄ… ciaÅ‚a w ruchu? Ä„% Ä„% 8) obliczać energiÄ™ kinetycznÄ… ciaÅ‚a poruszajÄ…cego siÄ™ ruchem zÅ‚ożonym? Ä„% Ä„% 9) obliczyć opór toczenia ciaÅ‚a znajÄ…c jego wymiary, masÄ™ i współczynnik tarcia? Ä„% Ä„% 10) obliczyć sprawność wypadkowÄ… urzÄ…dzenia znajÄ…c sprawnoÅ›ci elementów skÅ‚adowych? Ä„% Ä„% 4.4. WytrzymaÅ‚ość materiałów 4.4.1. MateriaÅ‚ nauczania Dziedzina nauki wytrzymaÅ‚ość materiałów umożliwia poznanie zależnoÅ›ci potrzebnych do okreÅ›lenia wymiarów i ksztaÅ‚tów elementów konstrukcyjnych oraz obliczenie dopuszczalnych naprężeÅ„ lub odksztaÅ‚ceÅ„ w tych elementach. WytrzymaÅ‚oÅ›ciÄ… elementu konstrukcyjnego nazywa siÄ™ granicznÄ… wartość obciążenia, przy którym element ulega zniszczeniu lub niedopuszczalnemu odksztaÅ‚ceniu. W zależnoÅ›ci od dziaÅ‚ania obciążenia na ciaÅ‚o rozróżniamy nastÄ™pujÄ…ce rodzaje tzw. prostych odksztaÅ‚ceÅ„: - rozciÄ…ganie, - Å›ciskanie, - Å›cinanie, - skrÄ™canie, - zginanie. W praktyce najczęściej mamy do czynienia z odksztaÅ‚ceniami zÅ‚ożonymi np. ze zginaniem, któremu towarzyszy np. skrÄ™canie. Prawo Hooke a Rozpatrzmy prÄ™t (np. stalowy) o dÅ‚ugoÅ›ci l i przekroju S obciążony siÅ‚Ä… osiowÄ… F. Prawo Hooke a brzmi: WydÅ‚użenie "l jest wprost proporcjonalne do wartoÅ›ci siÅ‚y dziaÅ‚ajÄ…cej F oraz do dÅ‚ugoÅ›ci elementu l, odwrotnie zaÅ› proporcjonalne do pola przekroju S tego elementu. Prawo to możemy zapisać w postaci "l = F/E · l/S lub F/S = à = E · "l/l Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 40 Z ostatniego wzoru wynika, że prawo Hooke a można sformuÅ‚ować również w nastÄ™pujÄ…cy sposób: Naprężenie normalne à jest proporcjonalne do wydÅ‚użenia wzglÄ™dnego ("l/l). Współczynnik E we wzorze jest nazywany moduÅ‚em Younga lub moduÅ‚em sprężystoÅ›ci wzdÅ‚użnej. Współczynnik ten jest cechÄ… materiaÅ‚u. Im wiÄ™ksza jest wartość moduÅ‚u Younga tym dany materiaÅ‚ jest mniej podatny na odksztaÅ‚cenia przy rozciÄ…ganiu lub Å›ciskaniu. Próba rozciÄ…gania Rzetelne informacje o wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ciach wytrzymaÅ‚oÅ›ciowych materiałów konstrukcyjnych sÄ… niezwykle ważne dla konstruktora. Informacje te otrzymujemy na podstawie badaÅ„ próbek materiałów w laboratorium. Badania takie w pierwszej kolejnoÅ›ci wykonuje producent materiałów (np. huta, odlewnia, walcowania) w celu zbadania czy wyprodukowany materiaÅ‚ speÅ‚nia okreÅ›lone wymagania jakoÅ›ciowe i specyfikacje techniczne (np. normy okreÅ›lajÄ…ce wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci wytrzymaÅ‚oÅ›ciowe okreÅ›lonych gatunków stali).Jednym z badaÅ„ wytrzymaÅ‚oÅ›ciowych jest próba rozciÄ…gania próbki materiaÅ‚u na zrywarce. Wymiary i ksztaÅ‚ty próbek zostaÅ‚y znormalizowane. Podczas powolnego rozciÄ…gania sÄ… mierzone i rejestrowane siÅ‚a oraz wydÅ‚użenie próbki. WartoÅ›ci pomiarów sÄ… automatycznie nanoszone na wykres. Na rys. 4.32a przedstawiono: wykres rozciÄ…gania próbki ze stali konstrukcyjnej niskowÄ™glowej, natomiast na rys. 4.32b badane próbki. Z wykresu widać, że w poczÄ…tkowej fazie rozciÄ…gania (odcinek O-H) wydÅ‚użenie próbki "l jest proporcjonalny do siÅ‚y rozciÄ…gajÄ…cej. Na odcinku O-H materiaÅ‚ zachowuje siÄ™ zgodnie z prawem Hooke a. Powyżej punktu H obserwujemy, że wykres zaczyna przebiegać bardziej pÅ‚asko. WydÅ‚użenie próbki powiÄ™ksza siÄ™ bez znaczÄ…cego wzrostu siÅ‚y rozciÄ…gajÄ…cej. NastÄ™pnie wykres zaczyna znowu przebiegać bardziej stromo, wydÅ‚użenie wymaga wiÄ™kszego wzrostu siÅ‚y rozciÄ…gajÄ…cej. Zjawisko to nazywamy umocnieniem materiaÅ‚u. Narastanie siÅ‚y trwa do chwili gdy osiÄ…gnie ona wartość odpowiadajÄ…cÄ… punktowi M. Rys. 4.32. Próba rozciÄ…gania: a )wykres rozciÄ…gania próbki ze stali niskowÄ™glowej, b)badana próbka Wówczas na próbce pojawia siÄ™ przewężenie, które staje siÄ™ coraz bardziej wyrazne. Dalsze wydÅ‚użenia sÄ… już lokalizowane w pobliżu przewężenia. WydÅ‚użenie zachodzi przy coraz mniejszej sile rozciÄ…gajÄ…cej. W punkcie U nastÄ™puje zerwanie próbki. - GranicÄ… proporcjonalnoÅ›ci Rh nazywamy stosunek siÅ‚y rozciÄ…gajÄ…cej odpowiadajÄ…cej punktowi H do wartoÅ›ci przekroju poprzecznego próbki So :Granica proporcjonalnoÅ›ci odpowiada naprężeniu, po przekroczeniu którego materiaÅ‚ nie podlega prawu Hooke a. Rh = Fh / So MPa - GranicÄ… plastycznoÅ›ci Re nazywamy stosunek siÅ‚y rozciÄ…gajÄ…cej odpowiadajÄ…cej punktowi E do wartoÅ›ci przekroju poprzecznego próbki So. Granica plastycznoÅ›ci odpowiada naprężeniu, po osiÄ…gniÄ™ciu którego wzrost wydÅ‚użenia próbki nastÄ™puje bez wzrostu lub nawet przy spadku obciążenia Re = Fe / So MPa Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 41 - GranicÄ… wytrzymaÅ‚oÅ›ci na rozciÄ…ganie Rm nazywamy stosunek siÅ‚y rozciÄ…gajÄ…cej odpowiadajÄ…cej punktowi M do wartoÅ›ci przekroju poprzecznego próbki Sm . Rm = Fm / So MPa Naprężenia dopuszczalne Naprężenia rzeczywiste w częściach konstrukcyjnych nie mogÄ… przekraczać naprężeÅ„ dopuszczalnych. Naprężenia dopuszczalne k muszÄ… być mniejsze od granicy wytrzymaÅ‚oÅ›ci Rm oraz od granicy plastycznoÅ›ci Re. Dla materiałów plastycznych naprężenia dopuszczalne przy rozciÄ…ganiu kr zależą od granicy plastycznoÅ›ci Re. i sÄ… wyznaczane ze wzoru: kr = Re/n, gdzie n jest współczynnikiem bezpieczeÅ„stwa Dla materiałów kruchych, naprężenia dopuszczalne k zależą od wytrzymaÅ‚oÅ›ci wartoÅ›ci granicznej na rozciÄ…ganie Rm i sÄ… wyznaczane ze wzoru : kr = Rm/n, gdzie n jest współczynnikiem bezpieczeÅ„stwa Podobnie sÄ… okreÅ›lane naprężenia dopuszczalne przy innych rodzajach naprężeÅ„: przy Å›ciskaniu kc, zginaniu kg, Å›cinaniu kt i skrÄ™caniu ks. Wartość współczynnika bezpieczeÅ„stwa n zależy od wielu czynników. WiÄ™kszÄ… wartość przyjmuje siÄ™ dla materiałów kruchych, niejednorodnych. Wybór współczynnika jest kompromisem miÄ™dzy wymaganiami bezpieczeÅ„stwa, a wzglÄ™dami ekonomicznymi. Zbyt duże współczynniki bezpieczeÅ„stwa prowadzÄ… do konstrukcji drogich i ciężkich. Konstruktor korzysta podczas pracy z poradników technicznych lub np. przepisów resortowych, które podajÄ… wartoÅ›ci naprężeÅ„ dopuszczalnych. Zawarte tam tabele podajÄ… wartoÅ›ci naprężeÅ„ dopuszczalnych k dla różnych materiałów, rodzaju odksztaÅ‚ceÅ„ i dla różnych zastosowaÅ„. Konstruktor wykonuje obliczenia wytrzymaÅ‚oÅ›ciowe w celu okreÅ›lenia wymiarów elementów konstrukcyjnych jak również sprawdzenia czy wartoÅ›ci rzeczywiste naprężeÅ„ w elementach konstrukcyjnych nie przekraczajÄ… wartoÅ›ci naprężeÅ„ dopuszczalnych. Jest to sprawdzenie warunku wytrzymaÅ‚oÅ›ci. W wielu elementach konstrukcyjnych np. w przypadku belek sprawdza siÄ™ również warunek sztywnoÅ›ci, który polega na sprawdzeniu ugięć elementu konstrukcyjnego pod wpÅ‚ywem dziaÅ‚ajÄ…cych siÅ‚ i momentów. Naprężenia normalne i styczne Rozpatrzmy prÄ™t rozciÄ…gany osiowÄ… siÅ‚Ä… F (rys. 4.33), w którym wykonano umownie przekrój a-a. Pod wpÅ‚ywem siÅ‚ F pojawiajÄ… siÄ™ w tym przekroju naprężenia, które sÄ… rozÅ‚ożone na caÅ‚ej powierzchni przekroju. WypadkowÄ… tych naprężeÅ„ jest siÅ‚a R która równoważy siÅ‚Ä™ rozciÄ…gajÄ…cÄ… F. SiÅ‚Ä™ R można rozÅ‚ożyć na dwie skÅ‚adowe: siÅ‚Ä™ N normalnÄ… (tzn. prostopadÅ‚Ä… do przekroju oraz siÅ‚Ä™ T stycznÄ… (równolegÅ‚a do przekroju). Rys. 4.33. Naprężenia styczne oraz normalne LiterÄ… à (sigma) oznaczamy naprężenia normalne à = N/S , zaÅ› literÄ… Ä (tau) oznaczamy naprężenia styczne Ä = T/S. Dla przekroju prostopadÅ‚ego do osi prÄ™ta mamy à = N/S = F/S, zaÅ› naprężenia styczne nie wystÄ™pujÄ…. (Ä = 0).W ukÅ‚adzie SI jednostkÄ… naprężenia jest paskal Pa 1Pa = 1 N/m2 Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 42 W praktyce stosuje siÄ™ jednostki bÄ™dÄ…ce wielokrotnoÅ›ciÄ… paskala: Kilopaskal 1kPa = 103 Pa, oraz Megapaskal 1MPa = 106 Pa Obliczanie elementów, które sÄ… narażone na rozciÄ…ganie i Å›ciskanie Obliczenie wytrzymaÅ‚oÅ›ciowe polega na okreÅ›leniu wartoÅ›ci naprężeÅ„ rzeczywistych à i sprawdzeniu, czy sÄ… one nie wiÄ™ksze od naprężeÅ„ dopuszczalnych przy rozciÄ…ganiu kr lub Å›ciskaniu kc: Ãr = Fr/S d" kr lub Ãc = Fc/S d" kc Naprężenia termiczne Na skutek wzrostu temperatury "t ciaÅ‚a fizyczne rozszerza siÄ™, jego wymiar liniowy l wydÅ‚uża siÄ™ o wartość "l = Ä… · l · "t gdzie: Ä… - współczynnik liniowej rozszerzalnoÅ›ci cieplnej. Przy spadku temperatury nastÄ™puje skrócenie wymiarów ciaÅ‚a. Jeżeli nie jest możliwa zmiana wymiarów ciaÅ‚a b np. ze wzglÄ™dów na jego zamocowanie, to przy wzroÅ›cie temperatury "t wystÄ…piÄ… naprężenia termiczne à równe: à = E · Ä… · "t gdzie: E moduÅ‚ Younga. Obliczanie elementów, które sÄ… narażone na Å›cinanie Åšcinaniem nazywa siÄ™ oddziaÅ‚ywanie dwóch siÅ‚ tworzÄ…cych parÄ™ o bardzo maÅ‚ym ramieniu. (rys. 4.34). Rys. 4.34. Åšcinanie Naprężenia styczne Ä w przekroju Å›cinanym wyraża siÄ™ wzorem : Ä = F/S gdzie: F siÅ‚a Å›cinajÄ…ca, styczna do przekroju Å›cinanego, S pole przekroju Å›cinanego Warunek wytrzymaÅ‚oÅ›ci elementu na Å›cinanie: Ä = F/S d" kt Obliczanie wytrzymaÅ‚oÅ›ciowe elementów, które sÄ… narażone na zginanie Czystym zginaniem nazywa siÄ™ odksztaÅ‚cenie belki poddanej dziaÅ‚aniu momentów zginajÄ…cych M (rys. 4.35) . PrzyjÄ™to, że moment zginajÄ…cy jest dodatni, jeÅ›li wygina belkÄ™ wypukÅ‚oÅ›ciÄ… ku doÅ‚owi. Na rysunku poniżej belka jest wyginana wypukÅ‚oÅ›ciÄ… ku górze, a wiÄ™c oddziaÅ‚ujÄ…ce na belkÄ™ momenty sÄ… ujemne. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 43 Rys. 4.35. Czyste zginanie: a) oÅ› obojÄ™tna, b) warstwy rozciÄ…gane, c) warstwy Å›ciskane Przy czystym zginaniu w przekroju poprzecznym belki mamy tylko naprężenia normalne Ã, których wartość zwiÄ™ksza siÄ™ proporcjonalnie wraz z odlegÅ‚oÅ›ciÄ… od osi obojÄ™tnej a. NajwiÄ™ksze naprężenia à max wystÄ™pujÄ… w warstwach skrajnych. SÄ… one równe: à max = Ä… M/W gdzie : M moment zginajÄ…cy, W- wskaznik wytrzymaÅ‚oÅ›ci przekroju na zginanie. Warunek wytrzymaÅ‚oÅ›ci belki na zginanie ma postać: à max = Ä… M/W d" kg gdzie: kg - naprężenie dopuszczalne na zginanie. Wzory matematyczne do obliczania wartoÅ›ci wskazników wytrzymaÅ‚oÅ›ci W dla różnych ksztaÅ‚tów przekroju belki znajdziemy w poradnikach technicznych. Na rys. 4.36. przedstawiono belkÄ™ poddanÄ… dziaÅ‚aniu dowolnego ukÅ‚adu siÅ‚. Taki przypadek nazywamy zginaniem zÅ‚ożonym. Rys. 4.36. Zginanie zÅ‚ożone SkrÄ™canie waÅ‚u Rozpatrzmy skrÄ™canie waÅ‚u. Podczas skrÄ™cania w przekroju porzecznym pojawiajÄ… siÄ™ naprężenia styczne Ä, których wartość roÅ›nie proporcjonalnie wraz z ich odlegÅ‚oÅ›ciÄ… od Å›rodka przekroju (rys. 4.37): Rys. 4.37. Naprężenia w przekroju poprzecznym skrÄ™canego waÅ‚u Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 44 Warunek wytrzymaÅ‚oÅ›ci waÅ‚u na skrÄ™canie ma postać: Ä = Ms/Wo d" ks gdzie: Wo wskaznik wytrzymaÅ‚oÅ›ci na skrÄ™canie, ks naprężenia dopuszczalne przy skrÄ™caniu. Wskaznik wytrzymaÅ‚oÅ›ci przekroju okrÄ…gÅ‚ego prÄ™ta (waÅ‚u) na skrÄ™canie wyraża siÄ™ wzorem: Wo = Ä„/16 · d3 Wzory na obliczenie wskaznika Wo dla innych przekrojów znajdziemy w poradnikach technicznych. KÄ…t skrÄ™cenia waÅ‚u (prÄ™ta) pod wpÅ‚ywem momentu WaÅ‚ utwierdzony w Å›cianie jest skrÄ™cany momentem Mo (rys. 4.45). Przekrój koÅ„cowy ulega skrÄ™ceniu o kÄ…t Ć nazywany kÄ…tem skrÄ™cenia. KÄ…t skrÄ™cenia Ć (rad) wyraża siÄ™ wzorem: Ć = (Ms · l)/(G · Jo) gdzie: Ms moment skrÄ™cajÄ…cy, l dÅ‚ugość prÄ™ta, G moduÅ‚ odksztaÅ‚cenia postaciowego przy skrÄ™caniu, Jo biegunowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci przekroju poprzecznego. Wyboczenie prÄ™tów W przypadku Å›ciskania osiowego prÄ™tów dÅ‚ugich o maÅ‚ym przekroju obserwuje siÄ™, że poczÄ…wszy od pewnej wartoÅ›ci siÅ‚y Å›ciskajÄ…cej oÅ› prÄ™ta dość gwaÅ‚townie siÄ™ wygina. Stan taki nazywamy wyboczeniem prÄ™ta. Mówimy o utracie statecznoÅ›ci prÄ™ta. Wartość siÅ‚y, po przekroczeniu której nastÄ™puje utrata statecznoÅ›ci prÄ™ta nazywa siÄ™ siÅ‚Ä… krytycznÄ… Fkr. Poprawna konstrukcja musi speÅ‚niać nie tylko warunek wytrzymaÅ‚oÅ›ci na Å›ciskanie, lecz również warunek statecznoÅ›ci. SiÅ‚Ä™ krytycznÄ… wyznaczamy ze wzoru Eulera: Fkr = Ä„2 · E · J/ lr2 Gdzie: E moduÅ‚ sprężystoÅ›ci wzdÅ‚użnej, J najmniejszy główny Å›rodkowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci przekroju prÄ™ta wyrażony w m4 lr dÅ‚ugość zredukowana prÄ™ta, która jest zależna od sposobu zamocowania koÅ„ców prÄ™ta w m. Åšciskanie i rozciÄ…ganie nieosiowe W przypadku, gdy dziaÅ‚ajÄ…ce na prÄ™t siÅ‚y (rozciÄ…gajÄ…ce lub Å›ciskajÄ…ce) dziaÅ‚ajÄ… wzdÅ‚uż linii prostej równolegÅ‚ej do osi prÄ™ta zachodzi wówczas przypadek Å›ciskania (rozciÄ…gania) nieosiowego. W prÄ™tach poddanych dziaÅ‚aniu takim siÅ‚om oprócz Å›ciskania (rozciÄ…gania) dodatkowo wystÄ™puje zginanie. WytrzymaÅ‚ość zmÄ™czeniowa W przypadku, gdy na element konstrukcyjny dziaÅ‚ajÄ… przez dÅ‚ugi czas naprężenia zmienne tzn. na przemian Å›ciskajÄ…ce i rozciÄ…gajÄ…ce może pojawić siÄ™ tzw. zÅ‚om zmÄ™czeniowy, nastÄ™puje zniszczenie elementu konstrukcyjnego. ZÅ‚om zmÄ™czeniowy poprzedza pojawianie siÄ™ mikropÄ™knięć, które majÄ… tendencjÄ™ do powiÄ™kszania siÄ™. WytrzymaÅ‚oÅ›ciÄ… zmÄ™czeniowÄ… nazywamy takie naprężenie à , przy którym element max konstrukcyjny nie ulegnie zniszczeniu po osiÄ…gniÄ™ciu umownej liczby cykli zmian obciążeÅ„ N. Naprężenia à okreÅ›lamy dla danego cyklu obciążeÅ„ (np. naprężeÅ„ tÄ™tniÄ…cych max Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 45 wahadÅ‚owych). LiczbÄ™ cykli N podajemy w postaci wykÅ‚adniczej. Np. dla konstrukcji spawanych przyjmuje siÄ™ czÄ™sto N = 2 ·106 cykli. WytrzymaÅ‚ość zmÄ™czeniowa zależy nie tylko od rodzaju materiaÅ‚u, ale również od szeregu innych czynników takich jak: - ksztaÅ‚t elementu konstrukcyjnego i możliwoÅ›ci wystÄ…pienia dziaÅ‚ania karbu, - stanu powierzchni i rodzaju obróbki np. hartowanie powierzchniowe, azotowanie, dogÅ‚adzanie, zgniot powierzchniowe, - przebiegu zmian obciążenia. 4.4.2. Pytania sprawdzajÄ…ce OdpowiadajÄ…c na pytania, sprawdzisz, czy jesteÅ› przygotowany do wykonania ćwiczeÅ„. 1. OkreÅ›l, czego dotyczy prawo Hooke? 2. Co to sÄ… naprężenia cieplne? 3. Jakie rodzaje naprężeÅ„ wyróżniamy w nauce o wytrzymaÅ‚oÅ›ci materiałów? 4. Czym siÄ™ różni graniczna wytrzymaÅ‚ość na rozciÄ…ganie Rm od dopuszczalnej wytrzymaÅ‚oÅ›ci na rozciÄ…ganie kr ? 5. Co to sÄ… naprężenia styczne Ä i normalne à w przekroju ciaÅ‚a? 6. Co to jest czyste zginanie? 7. Jakie rodzaje naprężeÅ„ mogÄ… wystÄ…pić w zginanej belce? 8. Od jakich parametrów zależy kÄ…t sprężystego skrÄ™cenia waÅ‚u? 9. Co to jest wskaznik wytrzymaÅ‚oÅ›ci przekroju? 10. Jakimi wskaznikami wytrzymaÅ‚oÅ›ci przekroju poprzecznego posÅ‚ugujemy siÄ™ przy zginaniu oraz przy skrÄ™caniu? 4.4.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz naprężenia normalne w prÄ™cie okrÄ…gÅ‚ym o przekroju S = 6·10-4 m2 Å›ciskanym siÅ‚Ä… F= 1000 N. Sposób wykonania ćwiczenia: Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) odszukać odpowiedni wzór na naprężenia w prÄ™cie poddanym czystemu Å›ciskaniu. Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia/ Ćwiczenie 2 Oblicz maksymalne naprężenia styczne powstaÅ‚e w wale przedstawionym na rysunku, jeÅ›li Å›rednica waÅ‚u wynosi d = 0, 3 m, moment skrÄ™cajÄ…cy Ms = 3000 Nm. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 46 Sposób wykonania ćwiczenia: Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) odszukać odpowiedni wzór na naprężenia w prÄ™cie poddanym czystemu Å›ciskaniu. Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 3 Oblicz przekroje lin na jakich powinna być zawieszona lampa przedstawiona na rysunku. Dane: dopuszczalne naprężenie na rozciÄ…ganie liny kr = 100 MPa. OdlegÅ‚ość AB wynosi 20m. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć reakcje RA i RB, 2) obliczyć przekroje SA i SB lin przenoszÄ…cych siÅ‚y reakcji RA i RB, 3) obliczyć wydÅ‚użenia sprężyste lin " lA, " lB pod wpÅ‚ywem siÅ‚ RA i RB, 4) zapisać wyniki: RA =.................... ..N RB =.................... ..N SA =......................mm2 SB = .....................mm2. lA = .......................mm lB = .......................mm " lA = ...................mm " lB =....................mm Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 47 Ćwiczenie 4 Sprawdz, czy przedstawiona na rysunku belka może przenosić zaczepione na jej koÅ„cu obciążenie. Dane: a = 0,04 m, h = 0,025m, l = 0,500 m, m = 100kg, wskaznik wytrzymaÅ‚oÅ›ci przekroju belki na zginanie W = a/6 · h2 , naprężenie dopuszczalne kg = 70 MPa. Sposób wykonania ćwiczenia: Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) wyznaczyć przekrój belki w którym moment jest maksymalny, 2) wyznaczyć wartość wskaznika wytrzymaÅ‚oÅ›ci W, 3) obliczyć wartość naprężeÅ„ maksymalnych Ãmax, 4) porównać wartość naprężenia maksymalnego Ãmax z wartoÅ›ciÄ… naprężeÅ„ dopuszczalnych kg. 5) zapisać wyniki: Mmax = ...............................Nm W = ....................................m3 Ãmax = .................................................N/m2 Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia. 4.4.4. Sprawdzian postÄ™pów Tak Nie Czy potrafisz: 1) podać i opisać rodzaje naprężeÅ„ wystÄ™pujÄ…cych w materiaÅ‚ach? Ä„% Ä„% 2) zdefiniować pojÄ™cie naprężenia dopuszczalnego? Ä„% Ä„% 3) podać ogólny warunek speÅ‚niania wymagania wytrzymaÅ‚oÅ›ci elementu konstrukcyjnego? Ä„% Ä„% 4) zdefiniować pojÄ™cie wskaznika wytrzymaÅ‚oÅ›ci przekroju? Ä„% Ä„% 5) zdefiniować pojÄ™cie wytrzymaÅ‚oÅ›ci zmÄ™czeniowej? Ä„% Ä„% 6) wymienić czynniki od których zależy wytrzymaÅ‚ość zmÄ™czeniowa elementu konstrukcyjnego? Ä„% Ä„% Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 48 4.5. Części maszyn 4.5.1. MateriaÅ‚ nauczania Klasyfikacja i cechy użytkowe części maszyn Części maszyn możemy umownie podzielić na trzy podstawowe grupy: - poÅ‚Ä…czenia, - elementy obrotowe oraz napÄ™dy, - korpusy, szkielety i obudowy. PoÅ‚Ä…czenia dzielimy na: - poÅ‚Ä…czenia nierozÅ‚Ä…czne, które podczas rozÅ‚Ä…czenia ulegajÄ… uszkodzeniu. - poÅ‚Ä…czenia rozÅ‚Ä…czne, które umożliwiajÄ… rozÅ‚Ä…czenie części bez ich uszkodzenia. Do poÅ‚Ä…czeÅ„ nierozÅ‚Ä…cznych zaliczamy poÅ‚Ä…czenia spajane, a wÅ›ród nich poÅ‚Ä…czenia: spawane, zgrzewane, lutowane, klejone. PoÅ‚Ä…czenia spajane PoÅ‚Ä…czenie spawane należy do poÅ‚Ä…czeÅ„ nierozÅ‚Ä…cznych. Powstaje w wyniku nadtopienia brzegów Å‚Ä…czonych elementów oraz na wprowadzeniu stopionego metalu dodatkowego, który stanowi spoiwo. Spoiwem jest materiaÅ‚ elektrody topliwej lub drut spawalniczy. Podczas spawania w wyniku kohezji nastÄ™puje zmieszanie stopionych materiałów na gÅ‚Ä™bokość kilku milimetrów. W celu nadtopienia brzegów Å‚Ä…czonych elementów oraz stopienia elektrody jest doprowadzone ciepÅ‚o, które umożliwia uzyskanie temperatury powyżej 30000C. W zależnoÅ›ci od rodzaju zródÅ‚a ciepÅ‚a rozróżnia siÄ™ spawanie: gazowe, Å‚ukowe, laserowe, plazmowe. Przy spawaniu drutem jest konieczne zastosowanie osÅ‚ony miejsca spawania obojÄ™tnym gazem szlachetnym np. argonem, który zapobiega utlenianiu siÄ™ powierzchni spawanych. Przy spawaniu tworzyw sztucznych zródÅ‚em ciepÅ‚a jest gorÄ…cy strumieÅ„ sprężonego powietrza. Spoiny spawane sÄ… przedstawiane w sposób umowny na rysunkach technicznych (rys. 4.38). Rys. 4.38. PrzykÅ‚ad oznaczania spoiny czoÅ‚owej na rysunku technicznym a) na przekroju i widoku, b) na widokach. W obliczeniach wytrzymaÅ‚oÅ›ciowych spoin, bÄ™dÄ…cych najsÅ‚abszym miejscem poÅ‚Ä…czenia, stosuje siÄ™ wzory dotyczÄ…ce wytrzymaÅ‚oÅ›ci przy Å›ciskaniu lub rozciÄ…ganiu, Å›cinaniu albo zginaniu. Jako naprężenia dopuszczalne k materiaÅ‚u spoiny przyjmujemy wartoÅ›ci podawane w poradnikach technicznych. SÄ… one 0.8 0.65 razy mniejsze w stosunku do odpowiednich naprężeÅ„ k na Å›ciskanie lub rozciÄ…ganie, Å›cinanie lub zginanie. PoÅ‚Ä…czenie zgrzewane należy do poÅ‚Ä…czeÅ„ nierozÅ‚Ä…cznych. Proces zgrzewania odbywa siÄ™ bez udziaÅ‚u materiaÅ‚u dodatkowego i polega na ogrzaniu Å‚Ä…czonych materiałów do temperatury bliskiej temperatury topnienia (tzw. stanu ciastowatoÅ›ci), a nastÄ™pnie ich docisku. PoÅ‚Ä…czenie nastÄ™puje w wyniku dyfuzji i rekrystalizacji ziaren metalu. Do nagrzewania elementów stosuje siÄ™ energiÄ™ elektrycznÄ… (zgrzewanie oporowe lub iskrowe), energiÄ™ powstajÄ…cÄ… przy spalaniu acetylenu (zgrzewanie gazowe), energiÄ™ cieplnÄ… powstajÄ…cÄ… przy tarciu powierzchni styku Å‚Ä…czonych elementów (zgrzewanie tarciowe). PoÅ‚Ä…czenie lutowane należy do poÅ‚Ä…czeÅ„ nierozÅ‚Ä…cznych. Polega na wprowadzeniu roztopionego metalu (spoiwa) zwanego lutem pomiÄ™dzy dwa metalowe elementy pozostajÄ…ce w stanie staÅ‚ym. Temperatura topnienia lutu jest niższa od temperatury topnienia Å‚Ä…czonych Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 49 metali. Roztopiony lut Å‚Ä…czy siÄ™ z bÄ™dÄ…cymi w stanie staÅ‚ym metalami dziÄ™ki zjawisku kohezji i dyfuzji. Powierzchnie Å‚Ä…czone muszÄ… być czyste, odtÅ‚uszczone, wolne od tlenków. Części, które majÄ… być ze sobÄ… poÅ‚Ä…czone, muszÄ… być tak skonstruowane, aby spoina pracowaÅ‚a tylko na Å›cinanie. WytrzymaÅ‚ość poÅ‚Ä…czenia lutowanego obliczamy na Å›cinanie. Wartość naprężeÅ„ dopuszczalnych kr spoiny okreÅ›lamy na podstawie wytrzymaÅ‚oÅ›ci doraznej lutu na Å›cinanie Rt, przyjmujÄ…c odpowiedni współczynnik bezpieczeÅ„stwa n. A wiÄ™c kr = Rt/n. Wartość n zależy od rodzaju obciążeÅ„. Np. dla obciążeÅ„ tÄ™tniÄ…cych przyjmujemy n = 5. PoÅ‚Ä…czenia klejone polega na naÅ‚ożeniu warstwy kleju na oczyszczone powierzchnie klejone, a nastÄ™pnie ich docisku oraz odczekaniu pewnego czasu w celu utwardzeniu kleju. DziaÅ‚anie kleju polega na dziaÅ‚aniu siÅ‚ adhezji (przyczepnoÅ›ci) oraz kohezji (wewnÄ™trznej spoistoÅ›ci) czÄ…steczek kleju. Konstrukcja elementów klejonych powinna być taka, aby poÅ‚Ä…czenie klejone byÅ‚o narażone tylko na Å›cinanie lub Å›ciskanie, nigdy zaÅ› na zrywanie lub rozwarstwienie. PoÅ‚Ä…czenia klejone umożliwiajÄ… Å‚Ä…czenie różnych materiałów, w tym metali z niemetalami. WytrzymaÅ‚ość poÅ‚Ä…czeÅ„ klejonych obliczamy stosujÄ…c wzory dotyczÄ…ce Å›cinania, podobnie jak dla obciążeÅ„ spoin lutowanych. PoÅ‚Ä…czenia ksztaÅ‚towe należą do poÅ‚Ä…czeÅ„ rozÅ‚Ä…cznych. W poÅ‚Ä…czeniach tych zÅ‚Ä…czenie współpracujÄ…cych części jest uzyskane tylko przez odpowiednie uksztaÅ‚towanie części (rys. 4.39) lub też przez zastosowanie dodatkowego Å‚Ä…cznika, np. wpustu (rys. 4.40), który okreÅ›la nazwÄ™ poÅ‚Ä…czenia. Rys. 4.39. PoÅ‚Ä…czenia ksztaÅ‚towe bezpoÅ›rednie [1] a) wielowypustowe, b) wielokarbowe. 1-koÅ‚o, 2 -waÅ‚ek Rys. 4.40. PoÅ‚Ä…czenie ksztaÅ‚towe poÅ›rednie koÅ‚a zÄ™batego 1 z waÅ‚em 3 zrealizowane za pomocÄ… wpustu pryzmatycznego [1] Wymiary wpustów pryzmatycznych sÄ… znormalizowane i podane w normie PN-70/M- 85005. WytrzymaÅ‚ość poÅ‚Ä…czenia wpustowego obliczamy stosujÄ…c wzory dotyczÄ…ce Å›cinania przekroju wpustu oraz na naciski powierzchniowe. PoÅ‚Ä…czenia wciskowe należą do poÅ‚Ä…czeÅ„ rozÅ‚Ä…cznych. Przez zachowanie odpowiednich tolerancji wymiarów Å‚Ä…czonych elementów części przy wciskaniu nastÄ™puje odksztaÅ‚cenie sprężyste, zaÅ› wystÄ™pujÄ…ce siÅ‚y zapewniajÄ… trwaÅ‚e poÅ‚Ä…czenie. Operacja wciskania może wymagać użycia specjalistycznych narzÄ™dzi. PewnÄ… odmianÄ… sÄ… poÅ‚Ä…czenia wtÅ‚aczane, podczas których nastÄ™pujÄ… odksztaÅ‚cenia plastyczne Å‚Ä…czonych części. PoÅ‚Ä…czenia wtÅ‚aczane Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 50 wymagajÄ… użycia dużych siÅ‚ podczas montażu. Wykonuje siÄ™ je przy użyciu prasy. UmożliwiajÄ… przenoszenie dużych siÅ‚ i momentów. PoÅ‚Ä…czenia gwintowe należą do poÅ‚Ä…czeÅ„ ksztaÅ‚towych rozÅ‚Ä…cznych. Zasadniczymi elementami poÅ‚Ä…czenia Å›rubowego jest Å‚Ä…cznik (rys. 4.41a) skÅ‚adajÄ…cy siÄ™ ze Å›ruby 1 z gwintem zewnÄ™trznym i nakrÄ™tki 2 z gwintem wewnÄ™trznym (poÅ‚Ä…czenie poÅ›rednie). W poÅ‚Ä…czeniach bezpoÅ›rednich (rys. 4.41b) rolÄ™ nakrÄ™tki peÅ‚ni Å‚Ä…czony element. Rys. 4.41. PoÅ‚Ä…czenie gwintowe spoczynkowe [1]: a) poÅ›rednie (Å›rubowe), b) bezpoÅ›rednie [1] PoÅ‚Ä…czenia gwintowe mogÄ… stanowić poÅ‚Ä…czenia spoczynkowe (rys. 4.41) lub poÅ‚Ä…czenia ruchowe, które okreÅ›lamy również jako mechanizmy Å›rubowe (np. pomiarowe, nastawcze lub napÄ™dowe). SÄ… stosowane różne zarysy linii Å›rubowej (gwintu), który jest nacinany na powierzchni walcowej Å›ruby oraz na powierzchni wewnÄ™trznej nakrÄ™tki. Zarys gwintu może być trójkÄ…tny, trapezowy lub koÅ‚owy. Zarysy gwintów sÄ… znormalizowane. Gwinty metryczne, które sÄ… stosowane w budowie maszyn sÄ… ujÄ™te normÄ… PN-ISO 724:1995. Oznaczenie gwintu metrycznego skÅ‚ada siÄ™ z symbolu literowego M, wartoÅ›ci Å›rednicy znamionowej i podziaÅ‚ki oddzielonych znakiem x., np. M20x1. W przypadku gwintów zwykÅ‚ych symbol podziaÅ‚ki pomija siÄ™. Elementy podatne majÄ… za zadanie: zapewnienie wzajemnego przemieszczenia siÄ™ części maszyn w okreÅ›lonych granicach, akumulowanie energii mechanicznej, kasowanie luzów oraz amortyzowanie uderzeÅ„. Najczęściej stosowanymi elementami podatnymi sÄ…: sprężyny (rys. 4.42) oraz Å‚Ä…czniki gumowe (rys. 4.43): Rys. 4.42. Sprężyna jako element konstrukcyjny [1] Rys. 4.43. Gumowe elementy sprężyste [1] PoÅ‚Ä…czenia rurowe poÅ‚Ä…czenia rurowe dzielimy na nierozÅ‚Ä…czne np. spawane, lutowane lub klejone, oraz poÅ‚Ä…czenia rozÅ‚Ä…czne np. skrÄ™cane (gwintowe), kielichowe i koÅ‚nierzowe. Wymiary rur sÄ… podawane w mm (Å›rednica zewnÄ™trzna x grubość Å›cianki rury). Wymiary rur stosowanych w instalacjach hydraulicznych, gazowych sÄ… podawane w calach. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 51 PoÅ‚Ä…czenia skrÄ™cane (gwintowe) sÄ… wykonywane za pomocÄ… Å‚Ä…czników rurowych gwintowych wyposażonych w gwinty rurowe (oznaczane literÄ… G). SÄ… one objÄ™te normÄ… PN-ISO 8434-1: 1996. Osie i waÅ‚y to elementy maszyny podparte na Å‚ożyskach wykonujÄ…ce ruch obrotowy lub wahadÅ‚owy. Osie sÄ… narażone tylko na zginanie. OÅ› może być nieruchoma. OÅ› utwierdzonÄ… jednostronnie nazywamy półosiÄ…. KrótkÄ… oÅ› nazywamy sworzniem. Głównym zadaniem waÅ‚u jest przenoszenie momentu obrotowego. Pod wpÅ‚ywem siÅ‚ porzecznych waÅ‚ jest również narażony na zginanie. Zależnie od liczby Å‚ożysk stanowiÄ…cych podpory waÅ‚u, rozróżniamy waÅ‚y dwu i wielopodporowe. WaÅ‚y mogÄ… być proste lub wykorbione. W celu zmniejszenia ciężaru konstrukcji mogÄ… być stosowane waÅ‚y drążone, które majÄ… mniejszy ciężar niż waÅ‚y peÅ‚ne. Czopami nazywa siÄ™ części wałów stykajÄ…ce siÄ™ ze współpracujÄ…cymi elementami takimi jak: Å‚ożyska, koÅ‚a zÄ™bate (rys.4.44). Åšrednice czopów waÅ‚u należy dobierać wg PN-78/M-02041. Åšrednice wałów stosowane w urzÄ…dzeniach mechatronicznych zmieniajÄ… siÄ™ stopniowo. Zależą od wzglÄ™dów wytrzymaÅ‚oÅ›ciowych oraz sposobu montażu. WaÅ‚y obliczamy na skrÄ™canie, jeÅ›li przenoszÄ… tylko momenty skrÄ™cajÄ…ce. W ogólnym przypadku, gdy waÅ‚ przenosi równoczeÅ›nie naprężenia zginajÄ…ce i naprężenia styczne od momentów skrÄ™cajÄ…cych obliczamy naprężenia zredukowane (nazywane również naprężeniami zastÄ™pczymi), korzystajÄ…c z wzorów opartych na hipotezach wytrzymaÅ‚oÅ›ciowych, np. na hipotezie wytrzymaÅ‚oÅ›ciowej Hubera. Wzory do wykonania obliczeÅ„ znajdziemy w poradnikach technicznych. Rys. 4.44. PrzykÅ‚ad waÅ‚u [1]: 1 i 4 - czopy ruchome współpracujÄ…ce panewkami Å‚ożysk. 2 i 3 - czopy spoczynkowe współpracujÄ…ce z elementami osadzonymi, np. koÅ‚ami zÄ™batymi. 5 i 6 - rowki czopów pod wpusty pryzmatyczne. Aożyska Å›lizgowe skÅ‚adajÄ… siÄ™ z czopu i panewki (rys. 4.45). W czasie pracy powierzchnia czopu waÅ‚u Å›lizga siÄ™ po powierzchni panewki, wystÄ™puje zatem tarcie Å›lizgowe. Rys. 4.45. Aożyska Å›lizgowe [1] a) poprzeczne, b) wzdÅ‚użne, c) skoÅ›ne 1- Å‚ożysko, 2- czop, 3- tuleja Å‚ożyska, 4-korpus. Czop Å‚ożyska jest najczęściej wykonany z hartowanej i szlifowanej stali, zaÅ› tuleje jako elementy wymienne sÄ… wykonane z brÄ…zu, stopu Å‚ożyskowego (cynowo-oÅ‚owiowego), mosiÄ…dzu lub materiałów porowatych, spiekanych np. z proszku żelaza lub brÄ…zu. W mechanizmach drobnych i precyzyjnych tuleje Å‚ożyskowe sÄ… wykonywane z tworzyw sztucznych takich jak np. poliamid, teflon lub z materiałów mineralnych jak np. szafir lub rubin. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 52 Aożyska toczne (rys. 4.46) skÅ‚adajÄ… siÄ™ z pierÅ›cienia zewnÄ™trznego 2 oraz wewnÄ™trznego 3, elementów tocznych 1, koszyczka 5. MiÄ™dzy bieżniami 4 toczÄ… siÄ™ elementy toczne 1 (np. w postaci kulek). Blaszki ochronne lub uszczelki gumowe 6 zabezpieczajÄ… przed dostawaniem siÄ™ brudu i kurzu do wnÄ™trza Å‚ożyska. Stosowane sÄ… również Å‚ożyska nie majÄ…ce blaszek lub uszczelek gumowych. 6 6 Rys. 4.46. Aożyska toczne [1] a) kulkowe jednorzÄ™dowe, b) kulkowe dwurzÄ™dowe Wymiary Å‚ożysk zostaÅ‚y znormalizowane. SÄ… podane w normach: PN-85/M-86100 i PN- 89/M-86208. Normalizacja dotyczy Å›rednicy otworu, Å›rednicy zewnÄ™trznej oraz szerokoÅ›ci Å‚ożyska. Dobór Å‚ożyska obejmuje wybór typu oraz wielkoÅ›ci Å‚ożyska. WybierajÄ…c typ Å‚ożyska należy brać pod uwagÄ™ rodzaj wystÄ™pujÄ…cych w danej konstrukcji obciążeÅ„ (wystÄ™powanie siÅ‚ osiowych i promieniowych) oraz warunki eksploatacji urzÄ…dzenia. Wielkość Å‚ożyska powinna zapewnić jego trwaÅ‚ość w okreÅ›lonych warunkach eksploatacyjnych w ciÄ…gu zaÅ‚ożonego czasu pracy urzÄ…dzenia. W tym celu należy wybrać Å‚ożysko o okreÅ›lonej noÅ›noÅ›ci statycznej C0 oraz dynamicznej C. Niezwykle ważne znaczenie na trwaÅ‚ość Å‚ożyska ma staranność montażu oraz warunki eksploatacji. Niestaranny, wykonany nieodpowiednimi narzÄ™dziami montaż, niezgodne z zaleceniami producenta smarowanie, mogÄ… znacznie skrócić czas eksploatacji Å‚ożyska mimo jego wÅ‚aÅ›ciwego doboru przez konstruktora. PrzekÅ‚adnie mechaniczne stanowiÄ… mechanizmy do przekazywania energii kinetycznej z waÅ‚u czynnego na waÅ‚ bierny przy jednoczesnej zmianie prÄ™dkoÅ›ci obrotowej oraz momentu obrotowego. Parametrami przekÅ‚adni sÄ…: - przeÅ‚ożenie kinematyczne i = n1/n2 , gdzie: n1 - prÄ™dkość waÅ‚u czynnego , n2 prÄ™dkość waÅ‚u biernego, - moment obrotowy na każdym wale: M = 9950 P/n, gdzie M - Nm, P - kW, n obr/min, - Moc w kW, - sprawność · = P2/P1 (· - gr. eta ) · < 1 gdzie: P1 moc podawana, P2 moc odbierana. PrzekÅ‚adnie zÄ™bate stanowiÄ… mechanizm utworzony z jednej lub wielu par kół zÄ™batych. Moment obrotowy jest przenoszony dziÄ™ki zazÄ™bianiu siÄ™ kół. W przypadku wystÄ™powania wielu par kół mamy przekÅ‚adniÄ™ wielostopniowÄ…. Na rys 4.47 sÄ… przedstawiono różne rodzaje przekÅ‚adni zÄ™batych. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 53 Rys. 4.47. PrzekÅ‚adnie zÄ™bate [1] a walcowa z zazÄ™bieniem zewnÄ™trznym o zÄ™bach prostych, b walcowa o zÄ™bach skoÅ›nych, c walcowa o zÄ™bach daszkowych, d walcowa o zazÄ™bieniu wewnÄ™trznym, e zÄ™batkowa, f stożkowa o zÄ™bach prostych, g oraz i stożkowa o zÄ™bach skoÅ›nych lub krzywoliniowych, j Å›rubowa, k Å›limakowa. Technologia wykonania przekÅ‚adni o zÄ™bach skoÅ›nych, daszkowych lub krzywoliniowych jest o wiele trudniejsza niż technologia wykonania przekÅ‚adni o zÄ™bach prostych. PrzekÅ‚adnie zÄ™bate o zÄ™bach skoÅ›nych lub krzywoliniowych sÄ… jednak czÄ™sto stosowane ze wzglÄ™du na bardziej cichÄ… pracÄ™ przekÅ‚adni oraz wiÄ™kszÄ… wytrzymaÅ‚ość zÄ™bów niż podobne zÄ™by proste. PrzekÅ‚adnie ciÄ™gnowe skÅ‚adajÄ… siÄ™ z dwóch rozsuniÄ™tych kół i opasujÄ…cego ciÄ™gna. SÄ… stosowane wówczas, gdy koÅ‚a współpracujÄ…ce dzieli znaczna odlegÅ‚ość. W zależnoÅ›ci od rodzaju ciÄ™gna rozróżniamy: - przekÅ‚adnie pasowe z pasem pÅ‚askim, okrÄ…gÅ‚ym, klinowym lub zÄ™batym, - przekÅ‚adnie Å‚aÅ„cuchowe z Å‚aÅ„cuchem ogniwowym, pÅ‚ytkowym lub zÄ™batym, - przekÅ‚adnie linowe. PrzekÅ‚adnie Å‚aÅ„cuchowe oraz przekÅ‚adnie pasowe zÄ™bate zapewniajÄ… staÅ‚ość przeÅ‚ożenia. PozostaÅ‚e przekÅ‚adnie nie zapewniajÄ… staÅ‚oÅ›ci przeÅ‚ożenia. Brak staÅ‚oÅ›ci przeÅ‚ożenia przekÅ‚adni pasowych z pasem pÅ‚askim, klinowym lub okrÄ…gÅ‚ym może być w pewnych zastosowaniach ich zaletÄ…. W przypadku przeciążenia nastÄ™puje poÅ›lizg pasa. PrzekÅ‚adnie te mogÄ… wiÄ™c speÅ‚niać również rolÄ™ sprzÄ™gÅ‚a przeciążeniowego. Informacje na temat innych rodzajów przekÅ‚adni można znalezć w pozycjach [1, 2, 3, 4, 5] w spisie literatury. SprzÄ™gÅ‚a sÅ‚użą do: Å‚Ä…czenia poszczególnych części waÅ‚u w celu przenoszenia momentu obrotowego, do wÅ‚Ä…czenia i wyÅ‚Ä…czenia poszczególnych części waÅ‚u przy stale obracajÄ…cym siÄ™ wale napÄ™dowym, do zmiany kÄ…ta miÄ™dzy osiami geometrycznymi Å‚Ä…czonych wałów. SprzÄ™gÅ‚o skÅ‚ada siÄ™ z czÅ‚onu czynnego, czÅ‚onu biernego oraz Å‚Ä…cznika. CzÅ‚on czynny jest osadzony na wale napÄ™dowym natomiast czÅ‚on bierny na wale napÄ™dzanym. AÄ…cznikiem sÄ… elementy konstrukcyjne lub czynnik (np. ciecz, proszek) przekazujÄ…ce moment obrotowy z czÅ‚onu czynnego na czÅ‚on bierny. SprzÄ™gÅ‚a dzieli siÄ™ na: sztywne stosowane, gdy można zapewnić współosiowość obu Å‚Ä…czonych wałów w czasie montażu, samonastawne stosowane, gdy należy kompensować przesuniÄ™cie waÅ‚u wzdÅ‚uż jego osi lub też niewielkie kÄ…towe, lub promieniowe równolegÅ‚e Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 54 przesuniÄ™cie osi wałów, bezpieczeÅ„stwa stosowane, gdy przy nadmiernym wzroÅ›cie obciążenia powinno nastÄ…pić wyÅ‚Ä…czenie wałów, podatne stosowane, gdy należy zabezpieczyć współpracujÄ…ce urzÄ…dzenie przed szkodliwymi skutkami przeciążeÅ„ lub drgaÅ„. Klasyfikacja sprzÄ™gieÅ‚ mechanicznych jest podana w PN-71/M-85250. Wiele rodzajów sprzÄ™gieÅ‚ zostaÅ‚o znormalizowanych. Podstawowym parametrem sprzÄ™gÅ‚a jest maksymalny moment obrotowy. Moment ten obliczamy znajÄ…c moc i prÄ™dkość obrotowÄ… ze wzoru: Mmax = K · 9550 · P/n gdzie: Mmax w Nm, P w kW, n - prÄ™dkość obrotowa w obr/min, K Współczynnik przeciążenia. Współczynnik K ustala siÄ™ doÅ›wiadczalnie. W maszynach o niewielkich wahaniach momentu obrotowego wartość K jest równa 1,0÷1,5, natomiast w maszynach o dużych wahaniach momentu przyjmuje siÄ™ K 3÷5. Hamulce sÅ‚użą do zatrzymywania części maszyn bÄ™dÄ…cych w ruchu lub ich utrzymywaniu w żądanym poÅ‚ożeniu. Podczas zatrzymywania części za pomocÄ… hamulców ciernych energia kinetyczna tych części jest stopniowo zamieniana na pracÄ™ tarcia i na ciepÅ‚o, które jest nastÄ™pnie rozproszone do atmosfery. Hamulce luzowe stanowiÄ… odmianÄ™ hamulców ciernych. UtrzymujÄ… części maszyn w okreÅ›lonym poÅ‚ożeniu dziÄ™ki sile wywieranej na nie przez sprężyny lub magnesy staÅ‚e. Zniesienie ich dziaÅ‚ania wymaga doprowadzenia energii (np. energii elektrycznej lub energii sprężonego powietrza). Hamulce luzowe sÄ… stosowane w mechanizmach podnoszenia suwnic i w kolejnictwie. SÄ… również stosowane w robotach przemysÅ‚owych i manipulatorach. UtrzymujÄ… one manipulator w zadanych poÅ‚ożeniach wówczas, gdy zostanie wyÅ‚Ä…czone zasilanie silników elektrycznych lub np. odÅ‚Ä…czone sprężone powietrze. Brak hamulców luzowych w manipulatorach mógÅ‚by spowodować po wyÅ‚Ä…czeniu zasilania, nagÅ‚y, niekontrolowany i niebezpieczny ruch zespołów manipulatora pod wpÅ‚ywem siÅ‚ grawitacji. Mechanizmy funkcjonalne MaszynÄ™ można podzielić umownie na elementarne, samodzielne zespoÅ‚y ruchowe poÅ‚Ä…czonych ze sobÄ… części maszyn, nazywanych mechanizmami. Maszyna skÅ‚ada siÄ™ z mechanizmów. Mechanizm stanowi zespół czÅ‚onów (ogniw), które sÄ… poÅ‚Ä…czone ze sobÄ… ruchowo w taki sposób aby ruch jednego z tych ogniw powodowaÅ‚ Å›ciÅ›le okreÅ›lone ruchy ogniw pozostaÅ‚ych. W każdym mechanizmie wystÄ™puje czÅ‚on czynny (napÄ™dzajÄ…cy) oraz czÅ‚ony bierne (napÄ™dzane). UkÅ‚ad dwóch czÅ‚onów (ogniw) mechanizmu poÅ‚Ä…czonych ruchowo tworzy tzw. parÄ™ kinematycznÄ…. Najprostsze pary kinematyczne to np. Å›ruba i nakrÄ™tka lub czop i panewka. Pary kinematyczne dzieli siÄ™ na klasy od I do V. Klasa okreÅ›la liczbÄ™ odebranych stopni swobody. W analizie mechanizmów podstawowÄ… rolÄ™ odgrywa pojÄ™cie tzw. liczby stopni swobody czÅ‚onu w przestrzeni. CzÅ‚on w przestrzeni ma sześć stopni swobody. Tzn. może siÄ™ przemieszczać wzglÄ™dem osi x, y, z i może również zmieniać poÅ‚ożenie kÄ…towe wzglÄ™dem każdej z osi. Razem daje to sześć stopni swobody. W wyniku poÅ‚Ä…czenia czÅ‚onów w parÄ™ kinematycznÄ… liczba stopni swobody każdego czÅ‚onu zostaje ograniczona. Ograniczenie to zależy od rodzaju zastosowanych wiÄ™zów. Na rysunku 4.48 przedstawiono dwie pary kinematyczne. Rys. 4.48. Pary kinematyczne Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 55 Para na rys. 4.48a stanowiÄ…ca tuleje i waÅ‚ek jest parÄ…, która ma dwa stopnie swobody. Możliwy jest obrót waÅ‚ka i jego osiowe przemieszczanie. ZostaÅ‚y zatem odjÄ™te 4 stopnie swobody. Para ta jest wiÄ™c parÄ… 4 klasy. Para na rysunku 4.48b jest przegubem kulistym. Jest parÄ… trzeciej klasy. PojÄ™cie par kinematycznych i klas umożliwia analizÄ™ zÅ‚ożonych mechanizmów pod wzglÄ™dem tzw ruchliwoÅ›ci w. Ruchliwość jest liczbÄ… stopni swobody mechanizmu wzglÄ™dem podstawy. Istnieje zwiÄ…zek miÄ™dzy liczbÄ… czÅ‚onów, par kinematycznych, a ruchliwoÅ›ciÄ…. mechanizmu. ZwiÄ…zek ten jest nazywamy wzorem strukturalnym. Dla mechanizmów przestrzennych zwiÄ…zek ten ma postać: w = 6n 5 p5 4p4 -3p3 - 2p2 - p1 W przypadku mechanizmów pÅ‚askich wzór ten przybiera postać: w = 3n 2 p5 p4 gdzie: w ruchliwość mechanizmu, n liczba czÅ‚onów ruchowych, p1, p2,... p5 liczba par kinematycznych należących do odpowiednich klas. JeÅ›li w = 1 to znaczy, że mechanizm ma jeden czÅ‚on napÄ™dzajÄ…cy. JeÅ›li w >1 to oznacza, że jeden czÅ‚on napÄ™dzajÄ…cy nie wystarczy do poruszania mechanizmem. Wzory strukturalne stanowiÄ… ważne narzÄ™dzia analizy zÅ‚ożonych mechanizmów. WiÄ™cej informacji na temat rodzajów mechanizmów i ich struktury można znalezć w pozycjach [1, 2, 3] ze spisu literatury. 4.5.2. Pytania sprawdzajÄ…ce OdpowiadajÄ…c na pytania, sprawdzisz, czy jesteÅ› przygotowany do wykonania ćwiczeÅ„. 1. Czym charakteryzuje siÄ™ poÅ‚Ä…czenie spawane? 2. Czym charakteryzuje siÄ™ poÅ‚Ä…czenia zgrzewane? 3. Czym charakteryzuje siÄ™ poÅ‚Ä…czenia lutowane? 4. Jak powinny być uksztaÅ‚towane powierzchnie w poÅ‚Ä…czeniach klejonych? 5. W jakim celu sÄ… stosowane sprzÄ™gÅ‚a? 6. Jakie znasz rodzaje sprzÄ™gieÅ‚? 7. W jakim celu sÄ… stosowane sprzÄ™gÅ‚a podatne? 8. Jaki podstawowy parametr należy brać pod uwagÄ™ przy wyborze sprzÄ™gÅ‚a? 9. W jakim celu sÄ… stosowane sprężyny? 10. Jakie obciążenia przenoszÄ… osie i waÅ‚y? 11. Z jakich części skÅ‚adowych skÅ‚ada siÄ™ Å‚ożysko Å›lizgowe? 12. Z jakich elementów skÅ‚ada siÄ™ Å‚ożysko toczne? 13. Na czym polega dobór Å‚ożyska tocznego? 14. Jakie znasz rodzaje przekÅ‚adni zÄ™batych? 15. Które przekÅ‚adnie ciÄ™gnowe zapewniajÄ… staÅ‚ość przeÅ‚ożenia? 16. W jakim celu sÄ… stosowane hamulce? 17. Co to jest para kinematyczna? 18. Ile stopni swobody ma para kinematyczna V-klasy? Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 56 4.5.3.Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz dÅ‚ugość spoin l1, l2 jeÅ›li poÅ‚Ä…czenie spawane ma przenosić siÅ‚Ä™ F równÄ… 8 kN. Linia dziaÅ‚ania siÅ‚y F jest zbiorem geometrycznym Å›rodków ciężkoÅ›ci Cs przekrojów kÄ…townika. Należy zaÅ‚ożyć, że naprężenia tnÄ…ce Ä [N/m2] w obu spoinach majÄ… być jednakowe, stÄ…d siÅ‚y F1 i F2 bÄ™dÄ… różne. Różne bÄ™dÄ… też dÅ‚ugoÅ›ci spoin l1 i l2. Dane: a1 = a2 = 0,007 m, e1 = 0,025 m, b = 0,080 m. Naprężenia dopuszczalne, styczne w przekroju spoiny kt = 90 MPa. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć siÅ‚y F1 i F2 przenoszone przez spoiny, 2) obliczyć dÅ‚ugoÅ›ci spoin l1 i l2, 3) zapisać wyniki obliczeÅ„: F1 = .............kN, F2 = .............kN, l1 =.............mm, l2 =..............mm Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - katalogi, - poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 2 Reduktor skÅ‚ada siÄ™ z kół zÄ™batych o Å›rednicach podziaÅ‚owych d1 = 0,045 m i d2 =0,0135m osadzonych na waÅ‚ach I i II, zabezpieczonych przed obrotem za pomocÄ… wpustów pryzmatycznych. PozostaÅ‚e wymiary reduktora to: a =0,090 m, b = 0,070m, c = 0,090m. s = 0,030m. Reduktor jest napÄ™dzany silnikiem elektrycznym o mocy znamionowej P = 1.5 kW. PrÄ™dkość znamionowa silnika wynosi n = 1450 obr/min. KoÅ‚a zÄ™bate sÄ… koÅ‚ami o zazÄ™bieniu ewolwentowym o zÄ™bach prostych. Oblicz reakcje w Å‚ożyskach A, B, C, D podczas pracy reduktora przy peÅ‚nym obciążeniu. Schemat ukÅ‚adu RozkÅ‚ad siÅ‚ Uwaga W budowie maszyn powszechnie stosuje siÄ™ zÄ™by, których zarys jest ewolwentÄ…. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 57 Podczas pracy przekÅ‚adni zÄ™batej, zÄ™by kół oddziaÅ‚ujÄ… na siebie z siÅ‚Ä… obwodowÄ… Fo oraz siÅ‚Ä… promieniowÄ… Fr. SiÅ‚a ta jest zależna od tzw. kÄ…ta przyporu Ä…0. KÄ…t ten jest charakterystyczny dla uzÄ™bienia ewolwentowego. Najczęściej stosowane sÄ… uzÄ™bienia w których kÄ…t przyporu Ä…0 = 200. WaÅ‚ na którym jest osadzone koÅ‚o zÄ™bate jest zginany siÅ‚Ä… Fz bÄ™dÄ…cÄ… wypadkowÄ… siÅ‚: obwodowej Fo i promieniowej Fr. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) obliczyć siÅ‚Ä™ obwodowÄ… Fo, 2) obliczyć siÅ‚Ä™ zastÄ™pczÄ… Fz. Potraktuj waÅ‚y I i II jako belki. Z warunków równowagi siÅ‚ wyznacz siÅ‚y reakcji w Å‚ożyskach. PomiÅ„ siÅ‚y grawitacji. 3) zapisać wyniki obliczeÅ„: Fo = ............. ..N, Fz = ......... N, RA = ...... ..N, RB = ..........N, RC = ..........N, RD =..........N Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 3* KorzystajÄ…c z wyników ćwiczenia 2 dobierz Å‚ożyska kulkowe do reduktora. ZaÅ‚ożenia: 1) Å‚ożyska majÄ… zapewnić bezawaryjnÄ… pracÄ™ reduktora w ciÄ…gu 3 lat. Praca reduktora bÄ™dzie dwuzmianowa, 2) Å›rednice czopów wałów i wynoszÄ… odpowiednio: dA = 30 mm, dB = 30 mm, 3) dC = 35 mm, dD = 35 mm, 4) obciążenia statyczne wałów pominąć, 5) zastosować Å‚ożyska kulkowe zwykÅ‚e. Oznaczenie tych Å‚ożysk zaczyna siÄ™ cyfrÄ… 6. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) dobrać Å‚ożyska zgodnie z zaÅ‚ożeniami, 2) zapisać wyniki obliczeÅ„ oraz peÅ‚ne nazwy dobranych Å‚ożysk, Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - katalog Å‚ożysk tocznych, - poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 4 Na podstawie dokumentacji technicznej zidentyfikuj elementy konstrukcyjne i wystÄ™pujÄ…ce miÄ™dzy nimi poÅ‚Ä…czenia. Wypisz nazwy części. Krótko scharakteryzuj poÅ‚Ä…czenia. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 58 Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) przeanalizować dokumentacjÄ™ technicznÄ… urzÄ…dzenia, 2) wypisać nazwy elementów konstrukcyjnych urzÄ…dzenia, 3) zidentyfikować poÅ‚Ä…czenia miÄ™dzy elementami, 4) pogrupować poÅ‚Ä…czenia wedÅ‚ug nastÄ™pujÄ…cego kryterium: - poÅ‚Ä…czenia rozÅ‚Ä…czne, - poÅ‚Ä…czenia spajane, 5) scharakteryzować poszczególne rodzaje poÅ‚Ä…czeÅ„. Wyposażenie stanowiska pracy: - dokumentacja techniczna urzÄ…dzeÅ„ mechatronicznych, - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - katalogi, - poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 5 Zaprojektuj pokazany na rysunku rozciÄ…gany element konstrukcji spawanej wykonany z dwóch ceowników zakoÅ„czonych . SiÅ‚a rozciÄ…gajÄ…ca F = 2000N. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie powinieneÅ›: 1) przeanalizować rysunek, 2) obliczyć przekrój i dobrać ceowniki, 3) obliczyć Å›rednicÄ™ otworu ucha z warunku na Å›cinanie sworznia, 4) obliczyć grubość ucha z warunku na nacisk, 5) obliczyć szerokość ucha z warunku na rozciÄ…ganie, 6) obliczyć dÅ‚ugość spoiny, 7) zapisać wyniki obliczeÅ„, 8) wykonać rysunek elementu konstrukcyjnego z naniesionymi wymiarami. Wyposażenie stanowiska pracy: - literatura zgodna z punktem 6 poradnika, - katalogi, - poradnik dla ucznia. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 59 4.5.4. Sprawdzian postÄ™pów Czy potrafisz: Tak Nie 1) wymienić rodzaje poÅ‚Ä…czeÅ„ nierozÅ‚Ä…cznych stosowanych w budowie urzÄ…dzeÅ„ mechatronicznych? Ä„% Ä„% 2) wymienić przekÅ‚adnie ciÄ™gnowe zapewniajÄ…ce staÅ‚ość przeÅ‚ożenia? Ä„% Ä„% 3) wyjaÅ›nić w jakim celu sÄ… stosowane reduktory mechaniczne? Ä„% Ä„% 4) wyjaÅ›nić w jakim celu sÄ… w konstrukcjach stosowane sprężyny? Ä„% Ä„% 5) obliczyć siÅ‚y wystÄ™pujÄ…ce w czopach waÅ‚u przekÅ‚adni zÄ™batej o zÄ™bach prostych? Ä„% Ä„% 6) dobrać Å‚ożyska z katalogu Å‚ożysk tocznych gdy znane sÄ… wystÄ™pujÄ…ce w czopach waÅ‚u siÅ‚? Ä„% Ä„% 7) okreÅ›lić na podstawie dokumentacji technicznej elementy skÅ‚adowe maszyny? Ä„% Ä„% 8) zaprojektować element konstrukcyjny urzÄ…dzenia? Ä„% Ä„% Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 60 5. SPRAWDZIAN OSIGNIĆ INSTRUKCJA DLA UCZNIA 1. Przeczytaj uważnie instrukcjÄ™. 2. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartÄ™ odpowiedzi. 3. Zapoznaj siÄ™ z zestawem zadaÅ„ testowych. 4. Test zawiera 10 zadaÅ„. Do każdego zadania doÅ‚Ä…czone sÄ… 4 możliwoÅ›ci odpowiedzi. Tylko jedna jest prawidÅ‚owa. Zadania 3, 5, 7, 8 wymagajÄ… przeprowadzenia obliczeÅ„. Wykonaj je na dodatkowej kartce i doÅ‚Ä…cz do karty odpowiedzi. Wymienione zadania bez zaÅ‚Ä…czonych obliczeÅ„, nie bÄ™dÄ… uznane. 5. Udzielaj odpowiedzi na zaÅ‚Ä…czonej karcie odpowiedzi, stawiajÄ…c w odpowiedniej rubryce znak X. W przypadku pomyÅ‚ki należy bÅ‚Ä™dnÄ… odpowiedz zaznaczyć kółkiem, a nastÄ™pnie ponownie zakreÅ›lić odpowiedz prawidÅ‚owÄ…. 6. Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy bÄ™dziesz miaÅ‚ satysfakcjÄ™ z wykonanego zadania. 7. Kiedy udzielenie odpowiedzi bÄ™dzie Ci sprawiaÅ‚o trudność, wtedy odłóż jego rozwiÄ…zanie na pózniej i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas. 8. Na rozwiÄ…zanie testu masz 45 min. Zestaw zadaÅ„ testowych 1. Podstawowe cechy wektora to a) kierunek, wartość liczbowa. b) wartość liczbowa, kierunek, zwrot. c) zwrot, wartość liczbowa. d) kierunek, zwrot. 2. Przedstawione na rysunku wiÄ™zy to a) podpory staÅ‚e. b) wiotkie. c) Å‚ożyska ruchome. d) podpory ruchome. 3. Moment pary siÅ‚ przedstawionej na rysunku wzglÄ™dem punktu O wynosi 100 N 100 N 0,2m 0,3m O a) 20 Nm. b) 30 Nm. c) 50 Nm. d) 60 Nm. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 61 4. Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi dowolnego pÅ‚askiego ukÅ‚adu siÅ‚ jest, aby a) sumy algebraiczne rzutów wszystkich siÅ‚ na dwie osie byÅ‚y równe zeru. b) suma algebraiczna momentów wszystkich siÅ‚ wzglÄ™dem dowolnego punktu byÅ‚a równa zeru oraz suma algebraiczna rzutów wszystkich siÅ‚ na dowolnÄ… oÅ› byÅ‚a równa zeru. c) sumy algebraiczne rzutów wszystkich siÅ‚ na dwie osie byÅ‚y równe zeru oraz suma algebraiczna momentów wszystkich siÅ‚ wzglÄ™dem dowolnego punktu byÅ‚a równa zeru. d) suma algebraiczna momentów wszystkich siÅ‚ wzglÄ™dem dwóch dowolnych punktów byÅ‚a równa zeru. 5. Reakcja podpory w punkcie A belki pokazanej na poniższym rysunku wynosi a) 1 kN. b) 2 kN. c) 3 kN. d) 4 kN. 6. Chwilowy Å›rodek obrotu przedstawionego ukÅ‚adu znajduje siÄ™ w punkcie a) O1. b) O2. c) O3. d) O4. 7. Naprężenia normalne w prÄ™cie o przekroju S = 4 10-4 m2 rozciÄ…ganym siÅ‚Ä… F =20 kN wynoszÄ… a) 500 MPa. b) 50 MPa. c) 40 MPa. d) 4 MPa. 8. Krążek wiruje z prÄ™dkoÅ›ciÄ… obrotowÄ… = 3000 obr/min. PrÄ™dkość liniowa V punktu oddalonego o r = 0,12 m od Å›rodka obrotu wynosi Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 62 a) 9.81 m/s. b) 12.6 m/s. c) 37.7 m/s. d) 64.4 m/s 9. Przedstawione na schemacie poÅ‚Ä…czenie koÅ‚a zÄ™batego 1 z waÅ‚em 2 zrealizowano za pomocÄ… a) wpustu pryzmatycznego. b) klina. c) wielowypustu. d) wpustu czółenkowego. 10. Zgrzewanie jest poÅ‚Ä…czeniem spajanym, w którym temperatura zgrzewania jest a) niższa niż temperatura topnienia elementów zgrzewanych, wymaga doprowadzenia dodatkowego spoiwa, b) bliska temperaturze topnienia Å‚Ä…czonych elementów, nie wymaga dodatkowego spoiwa, c) wyższa niż temperatura topnienia Å‚Ä…czonych elementów, nie wymaga dodatkowego spoiwa, d) wyższa niż temperatura topnienia Å‚Ä…czonych elementów, nie wymaga dodatkowego spoiwa. Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 63 KARTA ODPOWIEDZI ImiÄ™ i nazwisko ................................................................................................ Konstruowanie elementów maszyn ZakreÅ›l poprawnÄ… odpowiedz. Nr Odpowiedz Punkty zadania 1 a b c d 2 a b c d 3 a b c d 4 a b c d 5 a b c d 6 a b c d 7 a b c d 8 a b c d 9 a b c d 10 a b c d Razem: Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 64 6. LITERATURA 1. Kozak B.: Części maszyn z elementami mechaniki technicznej WSiP Warszawa 2000 2. Morecki A.(red), BuÅ›ko Z., KÄ™dzior K., SzydÅ‚owski W., Wolski K.: Maszyny i urzÄ…dzenia mechaniczne. WSiP Warszawa 1985 3. Okraszewski K.: Ćwiczenia konstrukcyjne WSiP. Warszawa 1997 4. PotyÅ„ski A.: Podstawy technologii i konstrukcji mechanicznych WSiP. Warszawa 1999 5. Rutkowski A.: Części maszyn. WSiP, Warszawa 1994 6. Siuta W. Mechanika techniczna. WSiP, Warszawa 1999. 7. Siuta W., Rososinski S., Kozak B.: Zbiór zadaÅ„ z mechaniki technicznej. Wyd. 26. WSiP, Warszawa 1962 Katalogi, poradniki: 1. Aożyska toczne. Katalog informator. Centrala techniczno-handlowa przemysÅ‚u precyzyjnego PREMA . Wyd. VI. Wydawnictwa PrzemysÅ‚u Maszynowego WEMA , Warszawa 1989 2. MaÅ‚y Poradnik Mechanika. Praca zbiorowa. Wyd. XVII. Wydawnictwa Naukowo- Techniczne Warszawa 1988 Polskie Normy: 1. PN-70/M-85005 Wpusty pryzmatyczne 2. PN-ISO 724:1995 Gwinty metryczne ISO ogólnego przeznaczenia. Wymiary nominalne 3. PN-ISO 8434-1:1996 AÄ…czniki rurowe metalowe do napÄ™dów i sterowaÅ„ hydraulicznych i pneumatycznych oraz zastosowania ogólnego. AÄ…czniki rurowe gwintowane 24 stopni z pierÅ›cieniem zacinajÄ…cym 4. PN-78/M02041 Wymiary normalne 5. PN-85/M-86100 Aożyska toczne. Aożyska kulkowe 6. PN-89/M-86208 Aożyska toczne. Aożyska walcowe wielorzÄ™dowe 7. PN-71/M-85250 SprzÄ™gÅ‚a do Å‚Ä…czenia wałów. Podstawowe nazwy, okreÅ›lenia i podziaÅ‚ Projekt współfinansowany ze Å›rodków Europejskiego Funduszu SpoÅ‚ecznego 65