Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
8. Funkcje dwóch zmiennych cd.
1
1. Na płaszczyz
nie znalez
ć punkty, w których gradient funkcji f(x, y) = ln x +
y
jest równy wektorowi u = 1, -16 . Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu
9
funkcji f w punkcie (x0, y0) = (1, 1).
y
2. Znalez
ć gradient "f funkcji f(x, y) = ln . Obliczyć kąt między gradientami
x
1 1
tej funkcji w punktach (x1, y1) = (1, 2) i (x2, y2) = , .
2 4
3. Znalez
ć trzy pierwsze wyrazy i resztę rozwinięcia w szereg:
(a) Maclaurina funkcji f(x, y) = ex sin y,
(b) Taylora funkcji f(x, y) = ex+y w otoczeniu punktu (-1, 1).
4. Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji:
(a) f(x, y) = x3 + 3xy2 - 15x - 12y, x > 0, y > 0,
(b) f(x, y) = ex-y(x2 - 2y2),
(c) f(x, y) = x2 + xy + y2 - 4 ln x - 10 ln y,
(d) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z,
(e) f(x, y, z) = xyz(4 - x - y - z), x > 0, y > 0, z > 0.
5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem:
(a) x2 - xy - y2 + 5 = 0,
(b) x3 + y3 - 6xy = 0.
6. Przyjmując nowe zmienne u i v, przekształcić równanie:
"z "z
(a) = , z = f(x, y), u = x + y, v = x - y,
"x "y
y
"z "z
(b) x"x + y = z, z = f(x, y), u = x, v = .
"y x
7. Wyznaczyć macierz Jacobiego i jakobian funkcji wektorowych:
(a) F : (r, Ć) (x, y), gdzie x = arccos Ć, y = 1 + br sin Ć, (r, Ć) "
[0, ") × [0, 2Ä„),
y
(b) G : (x, y) (u, v), gdzie u = , v = xy, (x, y) " (0, ")2.
x