ROZDZIAA 8 Równania liniowe 8.1. Wstęp (V, F, +, ), (W, F, +, ) - przestrzenie wektorowe T " L(V, W), Y0 " W. (8.1.1) T (X) = Y0 równanie liniowe X - niewiadoma Rozwiązanie - każdy wektor X0 " V taki, że T (X0) = Y0 (8.1.2) T (X) = Ś równanie jednorodne stowarzyszone z równaniem8.1.1 (Y0 = ) KerT - zbiór rozwiazań równania jednorodnego8.1.2. baza KerT - fundamentalny układ rozwiązań rozwiązanie ogólne - dowolne rozwiązanie Równanie8.1.1 jest niesprzeczne (istnieje rozwiązanie) wtw gdy Y0 " ImT . TWIERDZENIE 8.1.1. Zbiór wszystkich rozwiązań równania8.1.1 jest warstwą X0 + KerT = [X0]KerT , gdzie X0 jest dowolnie wybranym, szczególnym rozwiązaniem. T - epim ! "Y0 " W " rozwiązanie T - monom ! "Y0 " W " co najwyżej jedno rozwiązanie T - izom ! "Y0 " W " dokładnie jedno rozwiązanie 95 (V, F, +, ) - przestrzeń wektorowa w " V", b " F w, X = b równanie skalarne, ńł ł w1, X = b1 ł (8.1.3) . . . . . . . . . . . . . . . ł ół wm, X = bm układ równań skalarnych (liniowych). T : V - Fm (8.1.4) T (X)=( w1,X , .., wm,X ) X-rozwiązanie układu 8.1.3 ! X-rozwiązanie równania 8.1.4 dim V = n, X1, . . . , Xn - baza V, v1, . . . , vn - baza V"- dualna dla i = 1, . . . , m n n
X = xjXj, wi = aijvj j=1 j=1 n
wi, X = aijxj j=1 Układ 8.1.3 możemy zapisać jako układ równań a11x1 + + a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + + amnxn = bm x1, . . . , xn - niewiadome b1, . . . , bm - wyrazy wolne A = (aij) " M(m, n) - reprezentacja macierzowa układu rów- nań (macierz układu) - względem bazy X1, . . . , Xn. dim V = n, dim W = m, T " L(V, W) X1, . . . , Xn-baza V Y1, . . . , Ym-baza W T ! A T (X) = B AX = B ł łł ł łł ł łł a11 a1n x1 b1 ł śł ł śł ł śł . . . . ł śł ł śł ł śł . . . . = . . . . ł ł ł ł ł ł amn amn xn bm TWIERDZENIE 8.1.2. Kroneckera-Capellego Układ równań liniowych AX = B posiada co najmniej jedno roz- wiązanie (jest niesprzeczny) wtw gdy
rzA = rzA
gdzie A = [A, B]. TWIERDZENIE 8.1.3. Niech A " M(m, n). m Układ równań liniowych AX = B posiada dla dowolnego B " F co najmniej jedno rozwiązanie wtw n m = rzA. Układ (8.1.5) AX = B jest układem Cramera, jeśli A " Mo(n). n TWIERDZENIE 8.1.4. Jeśli A " Mo(n), to dla każdego B " F istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania8.1.5 X = A-1B 8.2. Układ jednorodny (8.2.1) AX = Ś Istnieje co najmniej jedno rozwiazanie - wektor Ś.
rzA = rz[A, Ś] = rzA. a11x1 + . . . + a1nxn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + . . . + amnxn = 0 rzA = k min{n, m}. TWIERDZENIE 8.2.1. Istnieje n - k liniowo niezależnych roz- wiązań układu 8.2.1 (1) Jeśli n > m (ilość niewiadomych jest większa od ilości równań), to istnieje rozwiązanie niezerowe. (2) A " M(n) - układ n równan o n niewiadomych posiada tylko rozwiązanie zerowe wtw A " Mo(n). n m = k A1, . . . , Am - liniowo niezależne kolumny macierzy A x1A1 + . . . + xnAn = Ś x1A1 + . . . + xmAm = -xm+1Am+1 - . . . - xnAn D = [A1 . . . Am] D " Mo(m). ł łł x1 ł łł ł śł x1 . ł śł . ł śł . ł śł . ł śł . X "! ł śł , X "! . ł ł . ł śł . ł . ł xm xn DX = -xm+1Am+1 - . . . - xnAn Podstawiamy kolejno za xm+1, . . . , xn 1, . . . , 0 . . . . . . . . . 0, . . . , 1 dostajemy n - m układów Cramera: DX = -Am+i i = 1, . . . , n - m. Xi - rozwiązanie i-tego układu. Oznaczmy ł łł x1 1 ł łł ł śł . . ł śł X1 . ł śł ł śł ł śł 1 ł śł x1 ł śł m ł śł X1 "! ł śł = , . ł śł ł śł . 1 ł ł . ł śł ł . śł . 0 ł ł . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ł łł xn-m 1 ł łł ł śł . . ł śł Xn-m . ł śł ł śł ł śł xn-m śł ł 0 ł śł m ł śł Xn-m "! ł śł = . ł śł ł śł . 0 ł . ł ł śł ł . śł . 1 ł ł . 1 wektory X1, . . . , Xn-m są: " rozwiązaniami układu wyjściowego 8.2.1 " układem liniowo niezależnym. Jest to fundamentalny układ rozwiązań - baza KerT . Rozwiazanie ogólne : n-m
X = aiXi i=1 8.3. Układ niejednorodny n m = k (8.3.1) AX = B Zbiór rozwiązań jest warstwą X0 + KerT Wyznaczamy " fundamentalny układ rozwiązań - bazę KerT dla układu sto- warzyszonego 8.2.1 " jedno dowolne rozwiązanie X0 układu 8.3.1. x1A1 + . . . + xnAn = B x1A1 + . . . + xmAm = B - xm+1Am+1 - . . . - xnAn DX = B - xm+1Am+1 - . . . - xnAn Podstawiamy xm+1 = . . . = xn = 0 dostajemy układ Cramera: DX = B ł łł x0 1 ł śł . ł śł . Wektor X0 "! jest rozwiązaniem tego układu. . ł ł x0 m ł łł x0 1 ł śł . . ł śł . ł śł ł śł x0 ł śł m Wektor X0 "! ł śł jest rozwiązaniem układu 8.3.1. ł śł 0 ł śł ł . śł . ł ł . 0 Dowolne rozwiazanie układu 8.3.1 jest wpostaci n-m
X = X0 + aiXi i=1 gdzie n-m
aiXi i=1 jest rozwiązaniem ogólnym układu stowarzyszonego8.2.1. Każdy inny przypadek możemy sprowadzić do przypadku n m = k. Rozpatrzmy układ równań skalarnych ńł ł v1, X = b1 ł (8.3.2) . . . . . . . . . . . . . . . ł ół vm, X = bm Równanie v0, X = b0 jest kombinacją liniową równań 8.3.2, jeśli "c1, . . . , cm " F takie, że m m
v0 = civi, b0 = cibi i=1 i=1 Równania 8.3.2 nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli żadne z nich nie jest kombinacją pozostałych. Formy v1, .., vm l.n. to równania 8.3.2 l.n
ilość l.n. równań=ilości l.n. wierszy macierzy uzupełnionej=rzA ilość l.n. form= ilości l.n. wierszy macierzy A = rzA Inna forma tw. Kroneckera-Capellego TWIERDZENIE 8.3.1. Układ równań liniowych AX = B posia- da co najmniej jedno rozwiązanie (jest niesprzeczny) wtw gdy ilość l.n.
wierszy macierzy uzupełnionej A równa jest ilości l.n wierszy macie- rzy A. Dane są dwa układy równań skalarnych: ńł ńł ł ł v1, X = b1 w1, X = c1 ł ł (A) . . . . . . . . . . . . (B) . . . . . . . . . . . . ł ł ół vm, X = bm ół wp, X = cp Dwa układy równań (A) i (B) z n niewiadomymi nazywamy rów- noważnymi gdy każde równanie układu (A) jest kombinacją liniową równań układu (B) i na odwrót. TWIERDZENIE 8.3.2. Dwa niesprzeczne układy równań (A) i (B) z n niewiadomymi są równoważne wtw gdy posiadają te same zbiory rozwiązań. TWIERDZENIE 8.3.3. Jeśli układ równań ńł ł v1, X = b1 ł (8.3.3) . . . . . . . . . . . . . . . ł ół vm, X = bm jest niesprzeczny i rzA = k, to układ ten jest równoważny układo- wi k równań odpowiadających k liniowo niezależnym wierszom macie- rzy A. ńł v1, X = b1 ł ł ńł ł ł ł ł . . . . . . . . . . . . v1, X = b1 ł ł (A) vk, X = bk (B) . . . . . . . . . . . . ł ł ł ół ł . . . . . . . . . . . . vk, X = bk ł ł ół vm, X = bm Algorytm rozwiązywania układu równań: