Politechnika Aódzka Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalnośd: Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na życie kalkulacja składek Projekt wykonany przez: Imię i nazwisko: Nr indeksu: Joanna Józwiak Anna Ociepa 158180 Agnieszka Jaroszewska Opiekun: dr inż. Violetta Lipioska Aódz 2011/2012 Spis treści 1. Wprowadzenie& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ......& & ... & ....& ..2 2. Oznaczenia i wzory& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ......& 2 2.1. Podstawowe oznacznia& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ...& ..2 2.2. Funkcje komutacyjne& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & & & .& .....& .3 3. Założenia i twierdzenia& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & ....& .& & & ..3 4. Jednorazowa składka netto& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & ....& & & .& & & & .4 4.1. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci i dożycie odroczone& & & .& & & & .....& & .& & & ..4 4.1.1.Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone& & & & & & & & & .& & & .......& & & .5 4.1.2.Ubezpieczenie na dożycie odroczone& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & .........6 4.2. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone o funkcji wypłaty malejącej schodkowo& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & ..........6 4.3. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone o funkcji wypłaty rosnącej schodkowo& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ...8 4.4. Renta życiowa terminowa płatna z góry odroczona& & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & ....& & ...9 4.5. Renta życiowa terminowa płatna z dołu odroczona& & & & & & & & & & & & & & & & & ...& & & & & ...10 5. Koszty ponoszone przez firmę ubezpieczeniową& & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & .& & & & & .11 6. Jednorazowa składka netto w pakiecie ubezpieczeniowym& & & & & & & & & & & & .& & & & .& & & ...11 7. Zwrot składki & & & & & ............& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & & .& & & & .13 8. Ratalna składka netto& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & ..& & ...14 8.1. Ratalna składka netto bez zwrotu składek.................................................................................14 8.2. Ratalna składka netto ze zwrotem składek................................................................................15 9. Ratalna składka brutto& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..& & & 15 9.1. Ratalna składka brutto bez zwrotu składek................................................................................15 9.2. Ratalna składka brutto ze zwrotem składek...............................................................................16 10. Instrukcje do arkusza kalkulacyjnego programu Excel& & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..& & .... 18 1 1. Wprowadzenie Pakiet ubezpieczeniowy, który przedstawimy w naszym projekcie, składa się z następujących elementów: terminowej renty życiowej płatnej z dołu, terminowego ubezpieczenia ciągłego na wypadek śmierci i dożycie, terminowego ubezpieczenia ciągłego, o malejącej lub rosnącej schodkowo funkcji wypłaty. Wypłata świadczeo z tytułu powyższych składników następuje w chwili śmierci osoby ubezpieczonej. Dodatkowo, jeśli osoba ubezpieczona umrze przed czasem rozpoczęcia pierwszego elementu, czyli w okresie tzw. ciszy ubezpieczeniowej , to osoba uposażona otrzyma zakumulowaną wartośd składek, które zostały wpłacone do momentu śmierci klienta. Elementy pakietu mogą występowad w dowolnej kolejności, lecz nie mogą się powtarzad. Dodatkowo, nie mogą one pokrywad się w czasie, innymi słowy, drugi element powinien nastąpid w momencie zakooczenia pierwszego, lecz może także byd względem niego odroczony. Składki w pakiecie płacone są przez klienta z góry, od momentu podpisania umowy, do momentu zakooczenia drugiego elementu, z wybraną przez niego częstotliwością. Celem tego projektu jest wyznaczenie ratalnej składki brutto. Aby było to możliwe, zostanie także policzona jednorazowa oraz ratalna składka netto dla całego pakietu. Firma ubezpieczeniowa ustala wysokośd stopy procentowej, a także koszty związane z niniejszym pakietem, które zostaną omówione dokładniej w dalszej części projektu. Do wykonania wszystkich obliczeo w tym projekcie wykorzystujemy tablice trwania życia z 2007 roku. 2. Oznaczenia i wzory 2.1. Podstawowe oznaczenia Wprowadzimy teraz podstawowe oznaczenia, które będą wykorzystywane w całym projekcie: (x) wiek osoby podpisującej polisę ubezpieczeniową; s funkcja przeżywalności; T(x) zmienna losowa opisująca przyszły czas życia osoby w wieku x; px prawdopodobieostwo, że osoba w wieku x przeżyje kolejne t lat; t qx prawdopodobieostwo, że osoba w wieku x nie przeżyje kolejnych t lat; t 2 mx+t intensywnośd wymierania; m termin odroczenia ubezpieczenia; n czas trwania ubezpieczenia; jm jednostka monetarna; lx wartośd oczekiwana liczby noworodków, które dożyły do wieku x; l0 początkowa liczba noworodków; dx liczba zgonów między wiekiem x a x+1; JSN jednorazowa składka netto; RSN ratalna składka netto; RSB ratalna składka brutto; RSNZ ratalna składka netto ze zwrotem składki; RSBZ ratalna składka brutto ze zwrotem składki. 2.2. Funkcje komutacyjne Do obliczenia wartości poszczególnych składek netto oraz wartości obecnych rent życiowych wykorzystamy następujące wzory na funkcje komutacyjne: 575e = 5Y5e " 5c5e, 565e = 5c5e +1 " 5Q5e, " " 5@5e = 565e+5X , 5A5e = 575e+5X, 5X=0 5X=0 " " 5E5e = 5@5e+5X = 5X + 1 " 565e +5X , 5X=0 5X=0 gdzie: 1 5Q5e = 5Y5e - 5Y5e+1, 5Y5e = 5Y0 " 5` 5e , 5c = . 1 + 5V 3. Założenia i twierdzenia W naszym projekcie wykorzystujemy następujące założenia: Nieselektywna teoria przeżywalności 5C 5G 5e > 5a = 5C 5K > 5e + 5a 5K e" 5e dla 5a > 0 i 5e > 0; 3 Twierdzenie: Jeżeli spełnione jest założenie o braku selekcji, to dla ustalonego 5e e" 0 oraz dowolnego 5a > 0 zachodzi: 5` 5e + 5a 5]5e = . 5a 5` 5e Dowód: 5C 5K > 5e + 5a Ł X e" x 5C(5K > 5e + 5a) 5`(5e + 5a) 5]5e = 5C 5G 5e > 5a = 5C 5K > 5e + 5a 5K e" 5e = = = . 5a 5C 5K e" 5e 5C(5K e" 5e) 5`(5e) Założenie o jednostajnej wymieralności między całkowitymi liczbami lat (UDD, z ang. Uniform Distribution of Death) dla 5e{0,1,2, & } i 5a(0,1) ma postad: 5` 5e + 5a = 1 - 5a " 5` 5e + 5a " 5` 5e + 1 . Twierdzenie: Gęstośd zmiennej losowej 5G 5e przy założeniu UDD wynosi: 5]5e " m5e+5a = 5^5e . 5a Dowód: 5` 5e + 5a 5`5a 2 5e + 5a 5`5a 2 5e + 5a 5]5e " 55e+5a = " - = - 5a 5` 5e 5` 5e + 5a 5` 5e = przy założeniu UDD: 5` 5e + 5a = 1 - 5a " 5` 5e + 5a " 5` 5e + 1 -5` 5e + 5` 5e + 1 5` 5e - 5` 5e + 1 5` 5e + 1 = - = = 1 - = 5^5e . 5` 5e 5` 5e 5` 5e Funkcja akumulacji, według której naliczane są odsetki, dla 5a{0,1,2, & } ma postad: 5N 5a = (1 + 5V)5a . 4. Jednorazowa składka netto W tym rozdziale zostaną wyprowadzone wzory na jednorazowe składki netto dla odpowiednich ubezpieczeo wykorzystanych w naszym pakiecie ubezpieczeniowym. Będą to składki dla ubezpieczeo typu ciągłego i dyskretnego. Wykazane zostaną zależności pomiędzy tymi dwoma typami składek oraz zapisane zostaną one za pomocą funkcji komutacyjnych, co będzie wykorzystane do wykonania większości obliczeo. Dla uogólnienia bierzemy tutaj po uwagę ubezpieczenia i renty życiowe odroczone, gdyż oczywiste jest, że jeśli odroczenie będzie równe 0, to będziemy mieli do czynienia z rentą lub ubezpieczeniem nieodroczonym. 4.1. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci i dożycie odroczone Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci i dożycie jest jednym ze składników naszego pakietu ubezpieczeniowego. Zajmiemy się teraz wyprowadzeniem wzorów na jednorazowe składki netto 4 osobno dla odroczonego ubezpieczenia na wypadek śmierci oraz dla odroczonego ubezpieczenia na dożycie, a następnie wykorzystamy wzór na poszukiwaną składkę, który ma postad: dla przypadku dyskretnego: 1 54 5e:5[| = 541 + 54 5e:5[ | , 5Z| 5Z| 5e:5[| 5Z| dla przypadku ciągłego: 1 54 5e:5[| = 541 + 54 5e:5[ | . 5Z| 5Z| 5e:5[| 5Z| 4.1.1. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone Jednorazowa składka netto dla ubezpieczenia n - letniego na wypadek śmierci odroczonego o m lat, które wypłaca 1 jm w momencie śmierci osoby ubezpieczonej. Przypadek dyskretny, czyli taki, w którym wypłata świadczenia z tytułu śmierci ubezpieczonego następuje na koniec roku, w którym nastąpił zgon tej osoby: 5Z +5[-1 5Z+5[-1 5Z +5[ -1 5Y5e+5X 5Y5e+5X+1 5Y5e+5X - 5Y5e+5X+1 541 = 5c5X+1 " 5]5e " 5^5e+5X = 5c5X " " 1 - = 5c5X+1 " 5Z | 5e:5[| 5X 5Y5e 5Y5e+5X 5X=5Z 5Y5e 5X=5Z 5X=5Z 5Z +5[-1 5Z +5[ -1 5Q5e+5X " 5c5e 1 = 5c5X+1 " = " 565e+5X 5Y5e " 5c5e 575e 5X=5Z 5X=5Z " " 5Z-1 " " 1 1 565e+5X - 565e+5X) = = " ( 565e+5X - " ( 565e - 565e+5X) 575e 5X=0 575e 5X=5Z +5X 5X=5Z +5[ 5X=0 5X=5Z +5[ = 5]5\5Q5`5a5N5d5V5N5Z5f: 5X - 5Z = ś, 5X - 5Z - 5[ = d " " 1 5@5e+5Z - 5@5e+5Z +5[ = " 565e+5Z+ś - 565e +5Z +5[+d = . 575e ś=0 575e d=0 Przypadek ciągły, czyli taki, w którym wypłata świadczenia z tytułu śmierci ubezpieczonego następuje w momencie zgonu tej osoby: 5Z+5[ 541 = 5c5a " 5]5e " m5e+5a 5Q5a . 5Z| 5e:5[| 5a 5Z Związek między ubezpieczeniem dyskretnym a ciągłym: Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi równośd: 5V 54 1:5[| = " 541 . 5Z | 5e 5Z| 5e:5[| d 5 Dowód: 5Z +5[ 5X+1 5Z +5[-1 1 545e:5[| = 5c5a " 5]5e " m5e+5a5Q5a = 5c5a " 5]5e " m5e+5a5Q5a = 5]5\5Q5`5a5N5d5V5N5Z5f: 5a = 5X + 5` 5a 5a 5Z | 5X=5Z 5Z 5X 1 5Z +5[-1 = 5c5X +5` " 5]5e " m5e+5X+5`5Q5` 5X+5` 5X=5Z 0 1 5Z +5[-1 = 5c5X+1 " 5]5e " 5c5`-1 " 5]5e+5X " m5e+5X+5`5Q5` 5X 5` 5X=1 0 Stosując założenie UDD otrzymujemy dalej: 1 1 5Z +5[-1 5Z+5[-1 1 5V 545e:5[| = 5c5X+1 " 5]5e " 5c5`-1 " 5^5e+5X5Q5` = 5c5X+1 " 5]5e " 5^5e+5X 5c5`-15Q5` = " 541 . 5X 5X 5Z| 5e:5[| 5Z | d 5X=5Z 5X=5Z 0 0 4.1.2. Ubezpieczenie na dożycie odroczone Jednorazowa składka netto dla ubezpieczenia na dożycie odroczonego o m lat, które wypłaca 1 jm w momencie dożycia przez osobę ubezpieczoną wieku x+n+m: 5Y5e+5Z+5[ " 5c5e 1 575e+5Z +5[ 1 54 :5[ | = 5c5Z +5[ " 5]5e = 5c5Z +5[ " = " 5c5e+5Z +5[ " 5Y5e+5Z +5[ = . 5Z | 5e 5Z+5[ 5Y5e " 5c5e 575e 575e 4.2. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone o funkcji wypłaty malejącej schodkowo Ubezpieczenie n -letnie na wypadek śmierci odroczone o m lat o funkcji wypłaty malejącej schodkowo jest kolejnym ze składników naszego pakietu. Poniżej wyprowadzimy więc wzory na jednorazową składkę netto dla tego ubezpieczenia. Przypadek dyskretny, czyli taki, w którym wypłata świadczenia z tytułu śmierci ubezpieczonego następuje na koniec roku, w którym nastąpił zgon tej osoby: 5Z+5[-1 (5754)1:5[| = 5[ + 5Z - 5X " 5c5X+1 " 5]5e " 5^5e+5X 5Z | 5e 5X 5X=5Z 5Z +5[-1 5Y5e+5X 5Y5e+5X - 5Y5e+5X+1 5c5e = 5[ + 5Z - 5X " 5c5X+1 " " " 5Y5e 5Y5e+5X 5c5e 5X=5Z 5Z +5[-1 5Q5e+5X 5c5e = 5[ + 5Z - 5X " 5c5X+1 " " 5Y5e 5c5e 5X=5Z 5Z +5[ -1 5Z +5[-1 1 1 = " 5[ + 5Z - 5X " 5c5X+5e+1 " 5Q5e+5X = " 5[ + 5Z - 5X " 565e+5X 575e 5X =5Z 575e 5X=5Z 6 " " 1 = " 5[ + 5Z - 5X " 565e+5X - - 5X " 565e+5X 5[ + 5Z 575e 5X=5Z 5X=5Z +5[ = 5]5\5Q5`5a5N5d5V5N5Z5f: 5` = 5X - 5Z; 5a = 5X - 5Z - 5[ " " 1 = " 5[ - 5` " 565e+5Z +5` + 5a " 565e+5Z +5[ +5a 575e 5`=0 5a=0 " " " " 1 = " 5[ " 5@5e+5Z - 5` + 1 " 565e +5Z +5` + 565e +5Z +5` + 5a + 1 " 565e+5Z+5[ +5a - 565e +5Z +5[+5a 575e 5`=0 5`=0 5a=0 5a=0 (5[ + 1) " 5@5e+5Z - 5E5e+5Z + 5E5e+5Z +5[ - 5@5e+5Z +5[ = . 575e Przypadek ciągły, czyli taki, w którym wypłata świadczenia z tytułu śmierci ubezpieczonego następuje w momencie zgonu tej osoby: 5Z +5[ (5754 )1:5[| = (5[ + 5Z - 5a ) " 5c5a " 5]5e " m5e+5a 5Q5a . 5Z| 5e 5a 5Z Związek między ubezpieczeniem dyskretnym a ciągłym: Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi zależnośd: 5V (5754 )1:5[| = " (5754)1:5[| , 5Z | 5e 5Z | 5e d gdzie d = ln(1 + i). Dowód: 5Z+5[ 5X+1 5Z+5[-1 (5754 )1:5[| = (5[ + 5Z - 5a ) " 5c5a " 5]5e " m5e+5a5Q5a = (5[ + 5Z - 5a ) " 5c5a " 5]5e " m5e+5a5Q5a 5Z | 5e 5a 5a 5X=5Z 5Z 5X = 5]5\5Q5`5a5N5d5V5N5Z5f: 5a = 5X + 5` 1 5Z +5[-1 = (5[ + 5Z - 5X + 5` ) " 5c5X+5` " 5]5e " m5e+5X+5`5Q5` 5X+5` 5X=5Z 0 1 5Z +5[-1 = 5c5X+1 " 5]5e " (5[ + 5Z - 5X + 5` ) " 5c5`-1 " 5]5e+5X " m5e+5X+5`5Q5` . 5X 5` 5X=1 0 Stosując założenie UDD otrzymujemy dalej: 7 1 5Z +5[-1 (5754)1 = 5c5X +1 " 5]5e " 5[ + 5Z - 5X + 5` " 5c5`-1 " 5^5e+5X5Q5` 5Z | 5X 5e:5[| 5X=5Z 0 1 5Z +5[-1 = 5c5X+1 " 5]5e " 5^5e+5X " (5[ + 5Z - 5X + 5` ) " 5c5`-15Q5` 5X 5X=5Z 0 1 5Z +5[-1 = (5[ + 5Z - 5X) " 5c5X+1 " 5]5e " 5^5e+5X " 5c5`-15Q5` 5X 5X=5Z 0 1 5V = (5754)1 " 5c5`-15Q5` = " (5754)1 5Z | 5Z | 5e:5[| 5e:5[| 5 0 4.3. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone o funkcji wypłaty rosnącej schodkowo Ubezpieczenie n -letnie na wypadek śmierci odroczone o m lat o funkcji wypłaty rosnącej schodkowo może byd jednym ze składników naszego pakietu, co zostanie omówione w dalszej części projektu, dlatego poniżej wyprowadzimy wzory na jednorazową składkę netto także dla tego ubezpieczenia. Przypadek dyskretny, w którym wypłata świadczenia następuje na koniec roku, w którym nastąpił zgon tej osoby: 5Z +5[-1 (5<54)1:5[| = 5X - 5Z + 1 " 5c5X+1 " 5]5e " 5^5e+5X 5Z | 5e 5X 5X=5Z 5Z +5[-1 5Y5e+5X 5Y5e+5X - 5Y5e+5X+1 5c5e = 5X - 5Z + 1 " 5c5X+1 " " " 5Y5e 5Y5e+5X 5c5e 5X=5Z 5Z +5[-1 5Q5e+5X 5c5e = 5X - 5Z + 1 " 5c5X+1 " " 5Y5e 5c5e 5X=5Z 5Z +5[-1 5Z +5[-1 1 1 = " 5X - 5Z + 1 " 5c5X+5e+1 " 5Q5e+5X = " 5X - 5Z + 1 " 565e+5X 575e 5X=5Z 575e 5X =5Z " " 1 = " 5X - 5Z + 1 " 565e+5X - - 5Z + 1 " 565e+5X 5X 575e 5X=5Z 5X=5Z +5[ = 5]5\5Q5`5a5N5d5V5N5Z5f: 5` = 5X - 5Z; 5a = 5X - 5Z - 5[ " " 1 = " 5` + 1 " 565e+5Z+5` + (5a + 5[ + 1) " 565e +5Z +5[+5a 575e 5`=0 5a=0 5E5e+5Z - 5[ " 5@5e+5[ +5Z - 5E5e+5Z +5[ = . 575e 8 Przypadek ciągły, w którym wypłata świadczenia następuje w momencie zgonu tej osoby: 5Z +5[ (5<54 )1:5[| = ( 5a + 1 - 5Z) " 5c5a " 5]5e " m5e+5a 5Q5a . 5Z | 5e 5a 5Z Związek między ubezpieczeniem dyskretnym a ciągłym: Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi równośd: 5V (5<54 )1:5[| = " (5<54)1:5[| . 5Z| 5e 5Z | 5e d Dowód: 5Z +5[ 5X+1 5Z+5[-1 (5<54 )1:5[| = ( 5a + 1 - 5Z) " 5c5a " 5]5e " m5e+5a5Q5a = ( 5a + 1 - 5Z) " 5c5a " 5]5e " m5e+5a5Q5a 5Z | 5e 5a 5a 5X=5Z 5Z 5X = 5]5\5Q5`5a5N5d5V5N5Z5f: 5a = 5X + 5` 1 5Z +5[-1 = ( 5X + 5` + 1 - 5Z) " 5c5X+5` " 5]5e " m5e+5X+5`5Q5` 5X+5` 5X=5Z 0 1 5Z +5[-1 = 5c5X+1 " 5]5e " ( 5X + 5` + 1 - 5Z) " 5c5`-1 " 5]5e+5X " m5e+5X+5` 5Q5`. 5X 5` 5X=1 0 Stosując założenie UDD otrzymujemy dalej: 1 5Z +5[-1 (5<54 )1:5[| = 5c5X+1 " 5]5e " 5X + 1 - 5Z " 5c5`-1 " 5^5e+5X5Q5` 5Z | 5e 5X 5X=5Z 0 1 5Z +5[-1 5V = (5X + 1 - 5Z) " 5c5X+1 " 5^5e+5X " 5c5`-15Q5` = " (5<54)1 . 5Z | 5e:5[| d 5X=5Z 0 4.4. Renta życiowa terminowa płatna z góry odroczona Wartośd obecną renty życiowej n-letniej odroczonej o m lat płatnej na początku każdego okresu, którą wyznaczymy poniżej, wykorzystamy m.in. do wyprowadzenia wzorów na wartośd obecną renty życiowej płatnej z dołu. Wprowadzmy dodatkowo: 5V " 5Q 5V - 5V(5X) 5 5X = , 5ż 5X = , 5V(5X) " 5Q(5X) 5V(5X) " 5Q(5X) gdzie: 5V 5V 5X 5Q 5X 5Q = , (1 + )5X = 1 + 5V , (1 - )5X = 1 - 5Q . 1 + 5V 5X 5X 9 Renta zgodna: Wartośd obezna renty płatnej jeden raz w ciągu roku, przez kolejne n lat odroczonej o m lat: 5Z +5[ -1 5N5e:5[| = 5c5Z " 5N5X+1-5Z | " 5]5e " 5^5e+5X + 5c5Z " 5N5[| " 5]5e 5Z | 5X 5[+5Z 5X=5Z 5Z +5[-1 1 - 5c5X+1-5Z = 5c5Z " " 5]5e " 5^5e+5X + 5c5Z " 5N5[| " 5]5e . 5X 5[+5Z 5Q 5X=5Z Porównując wartośd obecną renty życiowej w metodzie płatności zagregowanych i metodzie płatności indywidualnych otrzymujemy kolejny wzór na wartośd obecną powyższej renty: 5Z +5[ -1 5Z +5[-1 5N5e:5[| = 5c5Z " 5N5X+1-5Z | " 5]5e " 5^5e+5X + 5c5Z " 5N5[| " 5]5e = 5c5X " 5]5e . 5Z | 5X 5[+5Z 5X 5X=5Z 5X=5Z Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi równośd: 5A5e+5[ - 5A5e+5Z +5[ 5N5e:5[ = . 5Z | 575e Dowód: 5Z +5[ -1 5Z +5[-1 " " 575e+5X 1 5N5e:5[| = 5c5X " 5]5e = = " ( 575e+5X - 575e+5X) 5Z | 5X 575e 575e 5X=5Z 5X=5Z 5X=5Z 5X=5Z +5[ = 5]5\5Q5`5a5N5d5V5N5Z5f: 5X - 5Z = ś, 5X - 5Z - 5[ = d " " 1 5A5e+5Z - 5A5e+5Z+5[ = " ( 575e+5Z+ś - 575e+5Z +5[+d) = . 575e ś=0 575e d=0 Renta niezgodna: Renta płatna k razy w ciągu roku przez kolejne n lat. Kwota wypłacana w kolejnych okresach ma 1 wartośd 5X. Wówczas przy założeniu UDD jej wartośd obecną opisuje wzór: 575e+5Z 575e+5Z +5[ 5N(5X) = 5 5X " 5N5e:5[| - 5ż 5X " (5Z 585e - 585e) = 5(5X) " 5N5e:5[| - 5ż 5X " - 5Z | 5Z| 5Z+5[ 5Z | 5e:5[| 575e 575e 5A5e+5Z - 5A5e+5Z+5[ 575e+5Z - 575e+5Z +5[ = 5 5X " - 5ż 5X " . 575e 575e 4.5. Renta życiowa terminowa płatna z dołu odroczona Renta życiowa n-letnia odroczona o m lat płatna na koocu każdego okresu jest kolejnym elementem naszego pakietu. Jest ona płatna k razy w ciągu roku, a kwota wypłacana na koniec każdego okresu 1 ma wartośd 5X . Poniżej wyprowadzimy wzór na jej wartośd obecną. 10 1 1 575e+5Z 575e+5Z +5[ 5N(5X) = 5N(5X) - " 585e - 585e = 5N(5X) - " ( - ) 5Z | 5Z | 5Z 5Z+5[ 5Z | 5e:5[| 5e:5[| 5e:5[| 5X 5X 575e 575e 5A5e+5Z - 5A5e+5Z +5[ 575e+5Z - 575e+5Z +5[ 1 575e+5Z - 575e+5Z +5[ = 5 5X " - 5ż 5X " - " . 575e 575e 5X 575e 5. Koszty ponoszone przez firmę ubezpieczeniową Wyliczając składkę brutto w naszym pakiecie przyjmujemy następujące koszty ponoszone w kolejnych latach przez firmę ubezpieczeniową: a1 koszty stałe w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia; a koszty stałe w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia; b1ż koszty związane z sumą ubezpieczenia życiowego w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia życiowego; bż koszty związane z sumą ubezpieczenia życiowego w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia życiowego; b1r koszty związane z sumą ubezpieczenia rentowego w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia rentowego; br koszty związane z sumą ubezpieczenia rentowego w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia rentowego; g1 koszty związane ze składką brutto w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia; g koszty związane ze składką brutto w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia; s1 koszty związane ze zwrotem ratalnej składki brutto w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia; s - koszty związane ze zwrotem ratalnej składki brutto w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia. Jak widad, rozróżniamy koszty związane z ubezpieczeniem bądz rentą w pierwszym roku trwania umowy oraz w pozostałych latach. Powyższe koszty określane są przez firmę ubezpieczeniową, tak więc klient nie ma wpływu na ich wartośd. 6. Jednorazowa składka netto w pakiecie ubezpieczeniowym Wprowadzmy dodatkowe oznaczenia, które będziemy wykorzystywad w dalszej części naszego projektu: n1 - czas obowiązywania pierwszego elementu pakietu; n2 czas obowiązywania drugiego elementu pakietu; n3 czas obowiązywania trzeciego elementu pakietu; 11 m1 odroczenie pierwszego elementu pakietu; m2 odroczenie drugiego elementu pakietu w stosunku do kooca poprzedniego elementu; m3 odroczenie trzeciego elementu pakietu w stosunku do kooca poprzedniego elementu; w długośd trwania całego pakietu, gdzie 5d = 5Z1 + 5[1 + 5Z2 + 5[2 + 5Z3 + 5[3; k - częstotliwośd wypłacania renty w ciągu roku (1,2,3,4,6,12); l - częstotliwośd płacenia składki na fundusz w ciągu roku (1,2,3,4,6,12); Vs - wysokośd wypłacanego świadczenia na wypadek śmierci; K - stała, o którą powiększa się świadczenie na wypadek śmierci; H - początkowa wysokośd wypłaty ubezpieczenia malejącego/rosnącego; DH - wartośd, o którą zmniejsza się/zwiększa się po każdym roku wypłata w ubezpieczeniu malejącym/rosnącym; R - wysokośd wypłacanej renty. Zakładamy także, że n1, n2, n3, m1, m2, m3, Vs, K, R oraz H są większe od zera, natomiast DH jest większa od zera dla ubezpieczenia rosnącego, a mniejsza od zera dla malejącego. Ustalmy teraz przykładową kolejnośd składników w naszym pakiecie, lecz pamiętajmy, że może byd ona dowolnie zmieniana przez klienta. Niech kolejnośd składników wygląda następująco: 1) ubezpieczenie malejące/rosnące schodkowo; 2) renta życiowa płatna z dołu; 3) ubezpieczenie na wypadek śmierci i dożycie. Dla podanego układu wprowadzmy teraz oznaczenia na jednorazowe składki netto i wartości obecne rent: JSN1 jest jednorazową składką netto dla n1- letniego ubezpieczenia malejącego/rosnącego odroczonego o m1 lat względem momentu podpisania umowy z firmą ubezpieczeniową. Aby wartośd wypłaty nie mogła byd w pewnym momencie wartością mniejszą lub równą zero, należy wprowadzid następujący warunek ograniczający: 5; + "5; " 5[1 - 1 > 0. Zatem wykorzystując wyprowadzone przez nas wcześniej wzory możemy zapisad wzór na JSN1. Ma on następującą postad: 1 1 5=5F5A1 = 5; - "5; " 545e:5[1| + "5; " 5<54 5Z1| 5Z1| 5e:5[1| 5V 5@5e+5Z1 - 5@5e+5Z1+5[1 5V 5E5e+5Z1 - 5E5e +5Z1+5[1 - 5[1 " 5@5e+5Z1+5[1 = " 5; - "5; " + " "5; " . 5 575e 5 575e 12 JSN2 jest wartością obecną renty n2 - letniej odroczonej o m2 lat wzglądem pierwszego 1 elementu oraz płatnej z dołu k razy w ciągu roku. Stąd wiadomo, że wypłaca ona kwotę 5X w każdym okresie. Oznaczmy dla uproszczenia zapisu czas odroczenia tego elementu względem momentu podpisania umowy jako b. Tak więc 5O = 5[1 + 5Z1 + 5Z2. Zatem wykorzystując wzór z rozdziału 4.5. możemy wyprowadzid wzór opisujący JSN2. Ma on podaną poniżej postad: 5=5F5A2 = 5X " 5E " 5N 5X 5O| 5e:5[2| 5A5e+5O - 5A5e+5O+5[2 575e+5O 575e+5O+5[2 1 575e+5O 575e+5O+5[2 = 5X " 5E " 5 5X " - 5ż 5X " - - " - . 575e 575e 575e 5X 575e 575e JSN3 jest jednorazową składką netto dla n3-letniego ubezpieczenia na wypadek śmierci i dożycie odroczonego o m3 lat względem zakooczenia drugiego elementu pakietu. Oznaczmy dla uproszczenia zapisu czas odroczenia tego elementu względem momentu podpisania umowy ubezpieczeniowej jako c. Tak więc 5P = 5[1 + 5Z1 + 5[2 + 5Z2 + 5Z3. Zatem wykorzystując odpowiednie wzory z rozdziałów 4.1.1. i 4.1.2. możemy wyprowadzid wzór opisujący JSN3. Ma on następującą postad: 1 5V 5@5e+5P - 5@5e+5P+5[3 575e+5P+5[3 1 5=5F5A3 = 5I5` " 545e:5[3 + 5I5` " 5> " 54 5e:5[3| = " 5I5` " + 5I5` " 5> " . 5P| 5P| 5 575e 575e Zatem wykorzystując wzory z powyższych podpunktów otrzymujemy ogólne równanie na jednorazową składkę netto dla trzech podanych wcześniej składników naszego pakietu. Oznaczmy ją jako JSN. Mamy więc: 5=5F5A = 5=5F5A1 + 5=5F5A2 + 5=5F5A3 . 7. Zwrot składki W tym rozdziale omówimy przypadek, kiedy zgon osoby ubezpieczonej następuje w okresie tzw. ciszy ubezpieczeniowej , czyli w okresie przed rozpoczęciem pierwszego elementu pakietu. Oczywiście ma to miejsce, gdy pierwszy element jest odroczony w stosunku do momentu rozpoczęcia umowy. Jeśli zajdzie powyżej opisana sytuacja, towarzystwo ubezpieczeniowe wypłaca osobie uposażonej zakumulowaną wartośd składek, które zostały na to ubezpieczenie do tej pory wpłacone. Zależnośd, która opisze nam zakumulowaną wartośd składek oznaczmy jako 58 5L5g oraz zapiszmy ją za pomocą poniższego wzoru: 5N 5Y 5Z1| 58 5L5g = 5Y " (5N 5Y - 5N 5Y " 5]5e) = 5Y " (5N 5Y - " 5c5Z1 " 5]5e) = 5Z1 5Z1 5e:5Z1| 5Z1| 5e:5Z1| 5c5Z1 = 5Y " 5N 5Y - 5` 5Y " 585e , 5Z1 5e:5Z1| 5Z1| 13 gdzie 5` 5Y jest zakumulowaną wartością renty pewnej 5N 5Y i jest równa: 5Z1| 5Z1| 5Z1 1 + 5V - 1 5` 5Y = . 5Z1| 5Q 5Y Zatem możemy zapisad dalej: 5A5e - 5A5e+5Z1 575e+5Z1 (1 + 5V)5Z1 - 1 575e+5Z1 58 5L5g = 5Y " 5 5Y " - 5ż 5Y " 1 - - " . 575e 575e 5Q(5Y) 575e 8. Ratalna składka netto W tym rozdziale określimy wzór na ratalną składkę netto dla naszego pakietu ubezpieczeniowego. Składki w naszym pakiecie płacone są przez klienta na początku każdego okresu, czyli l razy w ciągu roku od momentu podpisania umowy z firmą ubezpieczeniową do momentu zakooczenia drugiego elementu pakietu. Tak więc czas płacenia składek przez klienta wynosi m1+n1+m2+n2 lat, co oznaczymy jako j. Podzielimy ten rozdział na dwie części, w których wyprowadzimy wzory osobno na ratalną składkę netto bez zwrotu składek oraz ze zwrotem składek. 8.1. Ratalna składka netto bez zwrotu składek Wzór na ratalną składkę netto naszego pakietu ubezpieczeniowego bez zwrotu składek ma postad: 5=5F5A 5E5F5A = , 5Y " 5N 5Y | 5e:5W gdzie przy założeniu UDD: (5Y) (5Y) 5N(5Y) = 5N5e - 585e " 5N5e+5W 5W 5e:5W | oraz 585e oznacza współczynnik dyskonta aktuarialnego. Możemy zapisad go za pomocą funkcji 5W komutacyjnych : 5Y5e+5W " 5c5e 1 575e+5W 585e = 5c5W " 5]5e = 5c5W " = " 5c5e +5W " 5Y5e+5W = . 5W 5W 5Y5e " 5c5e 575e 575e Przy założeniu UDD zachodzi równośd: 5A5e - 5A5e+5W 575e+5W 5N(5Y) = 5 5Y " - 5ż 5Y " 1 - . 5e:5W | 575e 575e 14 8.2. Ratalna składka netto ze zwrotem składek Wzór na ratalną składkę netto naszego pakietu ubezpieczeniowego, która uwzględnia zwrot składek ma postad: 5=5F5A 5E5F5A5M = . 5Y " 5N 5Y | - 58 5L5g 5e:5W 9. Ratalna składka brutto W tym rozdziale wyznaczymy wartośd ratalnej składki brutto. Jest to składka, którą klient będzie płacił firmie ubezpieczeniowej z góry, czyli na początku każdego okresu. Wpłaty te będą miały miejsce l razy w ciągu roku od momentu rozpoczęcia trwania ubezpieczenia, czyli podpisania umowy do momentu zakooczenia drugiego elementu tego pakietu. Czas płacenia składek brutto oznaczyliśmy wcześniej jako j. Podzielimy ten rozdział na dwie części, w których wyprowadzimy wzory osobno na ratalną składkę brutto bez zwrotu składek oraz ze zwrotem składek. 9.1. Ratalna składka brutto bez zwrotu składek Wiedząc, że wpływy pieniężne i wydatki klienta powinny byd równe, możemy zapisad warunek na ratalną składkę brutto: 5Y " 5E5F55 " 5N 5Y | = 5=5F5A + 5>5H1 , 5e:5W gdzie KU1 jest sumą wszystkich kosztów ponoszonych przez firmę ubezpieczeniową. Opiszemy ją za pomocą poniższego wzoru: 5>5H1 = 5>5F + 5>5@ + 5>5E + 5>57 + 5>5: . Podamy teraz wzory na poszczególne koszty, które wystąpiły w powyższym równaniu. Tak więc: Niech KS będzie wartością obecną sumy kosztów stałych, które odnoszą się do całego naszego pakietu ubezpieczeniowego. Zapiszmy ją za pomocą wzoru: 5>5F = 51 + 5 " 5N . 1| 5e:5d-1| Niech KM będzie wartością obecną sumy kosztów związanych z ubezpieczeniem o malejącej/rosnącej funkcji wypłaty. Aby koszty naliczone zostały sprawiedliwie, wprowadzmy następujący wzór: ż 5>5@ = 5; " 5ż1 " 5N1| + 5; + "5; " 5żż " 5N5e:5[1-1|. 5Z1| 5Z1+1| Niech KR będzie wartością obecną sumy kosztów związanych z rentą życiową płatną z dołu w podokresach. Możemy zapisad więc następujący wzór: 5_ 5>5E = 5E " 5X " 5ż1 " 5N(5X) + 5E " 5X " 5ż5_ " 5N(5X) . 5O| 5O+1| 5e:1| 5e:5[2-1| Niech KD będzie wartością obecną sumy kosztów związanych z ubezpieczeniem na wypadek śmierci i dożycie. Zapiszmy zatem: ż 5>57 = 5I5` " 5ż1 " 5N5e:1| + 5I5` " 5żż " 5N5e:5[3-1| + 5I5` " 5> " 5żż " 5N5e:1|. 5P| 5P+1| 5d| 15 Niech KG będzie wartością obecną sumy kosztów związanych z ratalną składką brutto. Mamy zatem: 5>5: = 5Y " 5E5F55 " 51 " 5N 5Y + 5Y " 5E5F55 " 5 " 5N(5Y) . 1| 5e:1| 5e:5W -1| Zatem podstawiając do wzoru: 5Y " 5E5F55 " 5N 5Y | = 5=5F5A + 5>5H1 . 5e:5W wyprowadzone powyżej wzory otrzymamy: 5Y " 5E5F55 " 5N 5Y | = 5=5F5A1 + 5=5F5A2 + 5=5F5A3 + 5>5F + 5>5@ + 5>5E + 5>57 + 5>5: . 5e:5W Dalej otrzymamy: ż 5Y " 5E5F55 " 5N 5Y | = 5=5F5A1 + 5=5F5A2 + 5=5F5A3 + 51 + 5 " 5N + 5; " 5ż1 " 5N1| + 5; + "5; " 5żż 1| 5Z1| 5e:5d-1| 5e:5W 5_ ż " 5N5e:5[1-1| + 5E " 5X " 5ż1 " 5N 5X + 5E " 5X " 5ż5_ " 5N(5X) + 5I5` " 5ż1 " 5N5e:1| + 5I5` 5Z1+1| 5O| 5O+1| 5P| 5e:1| 5e:5[2-1| 5Y " 5żż " 5N5e:5[3-1| + 5I5` " 5> " 5żż " 5N5e:1| + 5Y " 5E5F55 " 51 " 5N 5e:1| + 5Y " 5E5F55 " 5 5P+1| 5d| " 5N(5Y) . 5e:5W-1| 1| Stąd ostateczny wzór na ratalną składkę brutto w naszym pakiecie ubezpieczeniowym ma postad: ż 5=5F5A1 + 5=5F5A2 + 5=5F5A3 + 51 + 5 " 5N5e:5d -1| + 5; " 5ż1 " 5N1| 1| 5Z1| 5E5F55 = 5Y " 5N 5Y | - 5Y " 51 " 5N 5Y - 5Y " 51| 5N 5Y -1| 5e:1| 5e:5W 5e:5W 5_ 5; + "5; " 5żż " 5N5e:5[1-1| + 5E " 5ż1 " 5N(5X) + 5E " 5X " 5ż5_ " 5N(5X) 5Z1+1| 5O| 5O+1| 5e:1| 5e:5[2-1| + 5Y " 5N 5Y | - 5Y " 51 " 5N 5Y - 5Y " 51| 5N 5Y -1| 5e:1| 5e:5W 5e:5W ż ż 5I5` " 5ż1 " 5N5e:1| + 5I5` " 5żż " 5N5e:5[3-1| + 5I5` " 5> " 5ż1 " 5N5e:1| 5P| 5P+1| 5d | + . 5Y " 5N 5Y | - 5Y " 51 " 5N 5Y - 5Y " 51| 5N 5Y -1| 5e:1| 5e:5W 5e:5W 9.2. Ratalna składka brutto ze zwrotem składek W tym rozdziale, aby uwzględnid w ratalnej składce brutto zwrot tej składki, należy zapisad następujący warunek: 5Y " 5E5F555M " 5N 5Y | = 5=5F5A + 5E5F555M " 58 5L5g + 5>5H2 . 5e:5W Wykorzystamy teraz oznaczenia i wzory z poprzedniego rozdziału oraz dodatkowo wprowadzmy: 5>5H2 = 5>5H1 + 5>5M . Niech KZ będzie wartością obecną sumy kosztów związanych ze zwrotem składki. Zapiszmy więc wzór: 5>5M = 58[5L5g] " 51 " 5Y " 5N 5Y + 58[5L5g] " 5 " 5Y " 5N(5Y) . 1| 5e:1| 5e:5Z1-1| 16 Zatem podstawiając do wzoru: 5Y " 5E5F555M " 5N 5Y | = 5=5F5A + 5E5F555M " 58 5L5g + 5>5H2 5e:5W wyprowadzone powyżej równania otrzymamy: 5Y " 5E5F555M " 5N 5Y | = 5=5F5A1 + 5=5F5A2 + 5=5F5A3 + 5E5F555M " 58 5L5g + 5>5F + 5>5@ + 5>5E + 5>57 + 5>5: + 5>5M . 5e:5W Dalej otrzymamy: 5Y " 5E5F555M " 5N 5Y | = 5=5F5A1 + 5=5F5A2 + 5=5F5A3 + 5E5F555M " 58 5L5g + 51 + 5 " 5N 5e:5d-1| + 5; " 5żż " 5N 1| 1 5e:5W 1| 5Z1| 5X 5X + 5; + "5; " 5żż " 5N 5e:5[1-1| + 5E " 5X " 5ż5_ " 5N 5e:1| + 5E " 5X " 5ż5_ " 5N 5e:5[ -1| 1 5Z1+1| 2 5O| 5O+1| + 5I5` " 5żż " 5N 5e:1| + 5I5` " 5żż " 5N 5e:5[3-1| + 5I5` " 5> " 5żż " 5N 5e:1| + 5Y " 5E5F55 " 51 " 5N 5Y 1 5e:1| 5P| 5P+1| 5d| + 5Y " 5E5F55 " 5 " 5N(5Y) + 58[5L5g] " 51 " 5Y " 5N 5Y + 58[5L5g] " 5 " 5Y " 5N(5Y) . 1| 1| 5e:1| 5e:5W -1| 5e:5Z1-1| Stąd ostateczny wzór na ratalną składkę brutto w naszym pakiecie ubezpieczeniowym ma postad: 5=5F5A1 + 5=5F5A2 + 5=5F5A3 + 5E5F555M " 58 5L5g + 51 + 5 " 5N 5e:5d-1| + 5; " 5żż " 5N 1| 1 1| 5Z1| 5E5F555M = 5Y " 5N(5Y) - 5Y " 51 " 5N(5Y) - 5Y " 5 " 5N(5Y) - 58[5L5g] 1| 5e:5W | 5e:1| 5e:5W -1| 5X 5X 5; + "5; " 5żż " 5N 5e:5[1-1| + 5E " 5X " 5ż5_ " 5N 5e:1| + 5E " 5X " 5ż5_ " 5N 5e:5[ -1| + 5I5` " 5żż " 5N 5e:1| 1 1 5Z1+1| 2 5P| 5O| 5O+1| + 5Y " 5N(5Y) - 5Y " 51 " 5N(5Y) - 5Y " 5 " 5N(5Y) - 58[5L5g] 1| 5e:5W | 5e:1| 5e:5W -1| 5I5` " 5żż " 5N 5e:5[3-1| + 5I5` " 5> " 5żż " 5N 5e:1| + 58[5L5g] " 51 " 5Y " 5N 5Y + 58[5L5g] " 5 " 5Y " 5N(5Y) 1| 5e:1| 5e:5Z1-1| 5P+1| 5d| + . 5Y " 5N(5Y) - 5Y " 51 " 5N(5Y) - 5Y " 5 " 5N(5Y) - 58[5L5g] 1| 5e:5W | 5e:1| 5e:5W -1| Dodatkowo przyjmuje się następujący warunek, który muszą spełniad koszty wyznaczane przez firmę ubezpieczeniową oraz ratalna składka brutto ze zwrotem składek, aby pakiet był zgodny z regulacjami prawnymi: 5E5F555M d" 125% " 5E5F5A5M. 17 10. Instrukcje do arkusza kalkulacyjnego programu Excel W ostatnim rozdziale opiszemy, jak korzystad ze stworzonego przez nas arkusza kalkulacyjnego. Arkusz o nazwie Panel klienta służy do uzupełnienia przez klienta odpowiednich danych do wyliczenia jednorazowej i ratalnej składki netto oraz ratalnej składki brutto. W arkuszu tym są także widoczne wartości tych składek. Podamy teraz kilka instrukcji, jakie komórki należy uzupełnid i w jakie wartości powinny się w nich znalezd oraz kilka warunków, których spełnienie jest niezbędne do poprawnego działania tego arkusza. W komórkach, które są wypełnione na żółto wpisz lub wybierz z listy dane osoby, która podpisuje umowę ubezpieczeniową. W komórkach, które są wypełnione na zielono wpisz lub wybierz z listy odpowiednie dane dotyczące pakietu ubezpieczeniowego. Pamiętaj o tym, że elementy pakietu nie mogą się powtarzad oraz że nie mogą się pokrywad. Momenty rozpoczęcia oraz zakooczenia wszystkich elementów muszą byd liczbami naturalnymi lub równymi zero. Wpisane parametry: Vs, K, R, H muszą byd większe od zera. Jeśli wybrałeś w arkuszu Panel klienta w polu płed ubezpieczanej osoby K lub M, to odpowiednio w arkuszu kobiety lub mężczyzni w komórce wypełnionej kolorem czerwonym wpisz wartośd stopy procentowej i, pamiętając, żeby była ona większa od zera. Następnie w arkuszu koszty w komórkach o takim samym kolorze uzupełnij wysokośd kosztów, pamiętając, aby były one większe od zera oraz żeby wszystkie koszty oprócz a1 i a były wyrażone w %. Dodatkowo przy wypełnianiu tablicy z kosztami zwród uwagę na poniższy warunek: 5E5F555M d" 1,25 " 5E5F5A5M , który przez odpowiedni dobór kosztów musi byd spełniony. Jeśli w którymś momencie podczas wypełniania wyznaczonych komórek w całym arkuszu zauważysz wyskakujący komunikat, musisz zmienid wpisane przez siebie wartości. 18 Bibliografia: *1+ Actuarial Mathematics Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbitt, The Society of Actuaries, 1986 *2+ Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie , Błaszczyszyn B., Rolski T., Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004 *3+ Tablice trwania życia opublikowane przez GUS z roku 2007 19