Wykład 12. Wzajemne położenie prostych w R3, proste skośne. Definicja 12.1.1. Rzutem ukośnym punktu P (x, y, z) -
względem wektora a = ax, ay, az na płasz- [ ]
2 2 2 2 czyznę Ą nazywamy punkt P x , y , z tej płasz- czyzny, który do niej należy. (rysunek) Dygresja: W szczególnym przypadku mamy 2 P P Ą" Ą, co oznacza, że wektor kierunkowy -
k prostej l, na której leżą punkty jest wektorem -
- - ). normalnym n płaszczyzny Ą ( k = n Definicja 12.1.2. Określanie wielkości związanych z płaszczyzną: 1. Odległość punktu P0 x0, y0, z0 od płasz- ( ) czyzny Ą : Ax + By + Cz + D = 0 jest określona jako |Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d = A2 + B2 + C2 Dygresja: Odległość punktu od płaszczy- 2 zny jest równa długości odcinka P P , gdzie
2 2 2 2 P x , y , z jest rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę Ą. 2. Odległości pomiędzy dwoma równoległymi płaszczyznami Ą1 : Ax+By+Cz +D1 = 0, Ą2 : Ax+By +Cz +D2 = 0 określa się jako |D1 - D2|
d = A2 + B2 + C2 3. KÄ…t nachylenia prostej l o wektorze kierun- -
kowym k do płaszczyzny Ą o wektorze nor- -
malnym n określamy jako
- -
- -
n × k n ć% k
cos Ć = - - lub sin Ć =
- - || k || k n n 4. Kąt między dwiema płaszczyznami Ą1, Ą2 o - -
wektorach normalnych n , n wyraża się 1 2 formułą - - | ć% n | n 1 2 cos Ć = - - | | | | n n 1 2 Defincja 12.1.3. Określanie wielkości związanych z prostą: 1. Odległość punktu od P0 x0, y0, ( - z0) od pro- stej l o wektorze kierunkowym k określamy jako
- -- -
k × P0P1
d = , -
k gdzie P1 x1, y1, z1 jest dowolnym punk- ( ) tem leżącym na prostej l 2. Odległość pomiędzy prostymi skośnymi l1, l2 wyraża się wzorem
- -- - -
P1P2 × k ć% k 1 2
d = , - -
k × k 1 2 - -
gdzie k , k są wektorami kierunkowymi 1 2 prostych skośnym, natomiast punkty P1 x1, y1, z1 , P2 x2, y2, z2 są punktami ( ) ( ) leżącymi na prostych l1 i l2. 3. Kąt między dwiema prostymi l1 i l2 o wekto- - -
rach kierunkowych k , k wyraża się for- 1 2 mułą
- -
k ć% k 1 2
cos Ć = - -
k k 1 2 Literatura " Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976. " Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Czę- stochowa 2001. " Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi- nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000. " Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li- niowa, PWN, Warszawa 1992. " Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War- szawa 1968. " Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975. " Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.