11 Główne centralne osie bezwładności


Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 11
Wykład nr 11
Główne centralne osie bezwładności.
Główne centralne osie bezwładności.
Charakterystyki geometryczne
Charakterystyki geometryczne
figur płaskich  przykłady.
figur płaskich  przykłady.
1
1
Obrót układu
Obrót układu
współrzędnych(1)
współrzędnych(1)
y
x =x cosf +h sinf
h
y =-x sinf +h cosf
hcos f x
h xcosf
h xcosf
y
y
hsinf
f
x
Ix = y2dA

xsinf
A
x
dA
x
Iy = x2dA

y
x
A
h
Ixy = xydA
x

f
A
2
2
Obrót układu
Obrót układu
współrzędnych(2)
współrzędnych(2)
2
Ix = y2dA =
(-x sinf +h cosf) dA =
AA
2 2
= sin2 fdA - 2 sinf cosfdA + cos2 fdA =
x xh h
AA A
AA A
= Ih sin2 f + Ix cos2 f - 2Ixh sinf cosf
2
Iy = x2dA = cosf +h sinf dA =
)
(x
AA
2 2
= cos2fdA + 2 sinf cosfdA + sin2 fdA =
x xh h
AA A
= Ih cos2f + Ix sin2f + 2Ixh sinf cosf
3
3
Obrót układu
Obrót układu
współrzędnych(3)
współrzędnych(3)
Ixy = xy dA =
(-x sinf +h cosf )(x cosf +h sinf )dA =
AA
2
= cos2f dA - sinf cosf dA +
xh x
AA
AA
2
+ sinf cosf dA - sin2f dA =
h xh
AA
= Ix - Ih sinf cosf + Ixh cos2f - sin2f
( ) ( )
4
4
Obrót układu
Obrót układu
współrzędnych(4)
współrzędnych(4)
1- cos 2f 1+ cos 2f
sin2 f = cos2 f =
2 2
2sinf cosf = sin 2f
11
Ix = Ix + Ih + Ix - Ih cos 2f - Ixh sin 2f
( ) ( )
22
11
Iy = Ix + Ih - Ix - Ih cos 2f + Ixh sin 2f
( ) ( )
22
1
Ixy = Ix - Ih sin 2f + Ixh cos 2f
( )
2
5
5
Warunek
Warunek
Zerowanie się momentu
Zerowanie się momentu
odśrodkowego:
odśrodkowego:
I = 0
Ixy = 0
1
Ix - Ih sin 2f0 + Ixh cos 2f0 = 0
( )
2
Kąt obrotu osi:
Kąt obrotu osi:
-2Ixh 2Ixh
tg2f0 ==
Ix - Ih Ih - Ix
6
6
Warunek występowania
Warunek występowania
ekstremum
ekstremum
dIx
=- Ix - Ih sin 2f - 2Ixh cos 2f0 =-2Ihx
( )
df
dIy
= Ix - Ih sin 2f + 2Ixh cos 2f0 = 2Ihx
= Ix - Ih sin 2f + 2Ixh cos 2f0 = 2Ihx
( )
( )
df
f
dIy
dIx
=-2Ixy = 0
f = f0 = 2Ixy = 0
df
df
Ixy = 0
Iy
Ix , ekstremalne
, ekstremalne
7
7
Ekstremalne wartości
Ekstremalne wartości
momentów bezwładności
momentów bezwładności
Ix - Ih
-2Ihx
1
cos2f0 ==
tg2f0 =
2
Ix - Ih
1+ tg2 2f0
Ix - Ih + 4Ihx 2
( )
-2Ihx
-2Ihx
tg2f0
tg2f0
sin2f ==
sin2f0 ==
2
1+ tg2 2f0
Ix - Ih + 4Ihx 2
( )
2
Ix + Ih Ix - Ih
ć
I =ą + Ixh 2
max

min
22
Łł
8
8
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności
bezwładności
Osie wzajemnie prostopadłe względem
Osie wzajemnie prostopadłe względem
których moment odśrodkowy równy
których moment odśrodkowy równy
jest 0 to osie główne bezwładności.
jest 0 to osie główne bezwładności.
jest 0 to osie główne bezwładności.
jest 0 to osie główne bezwładności.
Jeżeli są one osiami środkowymi, to są
Jeżeli są one osiami środkowymi, to są
to główne centralne osie
to główne centralne osie
bezwładności.
bezwładności.
Ix, Iy = max min
Ixy = 0
9
9
Obrót z osi głównych
Obrót z osi głównych
na dowolne
na dowolne
h
y
x = x cosf + y sinf
h =-xsinf + y cosf
h =-xsinf + y cosf
ycosf
ycosf
x
x
xcosf
ysinf
f
x
xsinf
Ix = Iy sin2f + Ix cos2f - 2Ixy sinf cosf = Iy sin2f + Ix cos2f
Ih = Iy cos2f + Ix sin2f + 2Ixy sinf cosf = Iy cos2f + Ix sin2f
10
10
Koło Mohra(1)
Koło Mohra(1)
Ih
B
Imin=Ix
Ixh
2f
0
momenty bezwładności
O
Ixh
Ix A
(Ix+Iy)/2=(Ix+Ih)/2
Imax=Iy
11
11
Koło Mohra(2)
Koło Mohra(2)
Etapy graficznego wyznaczania
Etapy graficznego wyznaczania
momentów bezwładności względem
momentów bezwładności względem
środkowych osi głównych:
środkowych osi głównych:
 zaznaczenie na układzie współrzędnych
 zaznaczenie na układzie współrzędnych
 zaznaczenie na układzie współrzędnych
 zaznaczenie na układzie współrzędnych
punktów : A(Jx , -Jxh) i B(Jh , Jxh);
punktów : A(Jx , -Jxh) i B(Jh , Jxh);
 zaznaczenie środka okręgu O jako punktu
 zaznaczenie środka okręgu O jako punktu
przecięcia osi rzędnych i linii łączącej
przecięcia osi rzędnych i linii łączącej
punkty AB;
punkty AB;
 wyrysowanie okręgu o promieniu OA.
 wyrysowanie okręgu o promieniu OA.
12
12
o
momenty od
ś
rodkowe
Koło Mohra(3)
Koło Mohra(3)
Punkty przecięcia okręgu i osi
Punkty przecięcia okręgu i osi
rzędnych wyznaczają wartości
rzędnych wyznaczają wartości
ekstremalnych momentów
ekstremalnych momentów
bezwładności względem środkowych
bezwładności względem środkowych
bezwładności względem środkowych
bezwładności względem środkowych
osi głównych.
osi głównych.
Kąt pomiędzy osią rzędnych; a linią AB
Kąt pomiędzy osią rzędnych; a linią AB
jest równy 2fo.
jest równy 2fo.
Układ współrzędnych obracamy o kąt
Układ współrzędnych obracamy o kąt
fo przeciwnie do wskazówek zegara.
fo przeciwnie do wskazówek zegara.
13
13
Wzory(1)
Wzory(1)
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
w układzie xh
w układzie xh
Prostokąt
Prostokąt
bh3 b2h2
b
Ix = Ixh =
Ix = Ixh =
x =
x =
3 4
2
h
hb3
h0
h
Ih =
h =
Ix h = 0
3
0 0
2
x0
h
bh3
Ix =
0
x
b
12
hb3
Ih =
0
12
A = bh
14
14
Wzory(2)
Wzory(2)
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
w układzie xh
w układzie xh
Trójkąt
Trójkąt
bh3 b2h2
b
Ix = Ixh =
Ix = Ixh =
prostokątny
prostokątny
prostokątny x =
prostokątny x =
12 24
3
hb3
h
h
h0 Ih = b2h2
h =
Ix h0 =-
12
3 0
72
bh3
h Ix =
x0
0
36
hb3
Ih =
0
b
x
36
bh
A =
2
15
15
Wzory(3)
Wzory(3)
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
w układzie xh
w układzie xh
4
Koło
Koło
55
p d
d 4
Ix = p r = p d
Ix = p r4 = p d
Ixh =p r =
Ixh =p r4 =
x = r =
x = r =
464
464
16
h0 2
h
55
4
d Ix h = 0
Ih = p r4 = p d
0 0
h = r =
r
464
x0
2
4
p r4 p d
Ix = =
0
4 64
x
4
d = 2r p r4 p d
Ih = =
0
4 64
2
p d
4
A =p r2 =
p r4 p d
4 IC = =
2 32
16
16
Wzory(4)
Wzory(4)
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
w układzie xh
w układzie xh
4
Półkole
Półkole
p r4 p d
Ixh = 0
Ixh = 0
Ix = =
Ix = =
x = 0
x = 0
8 128
h=h0
4
4 r
p r4 p d
Ix h0 = 0
h = = 0,4244r
Ih = = 0
3 p
8 128
x0
r
p 8

Ix = r4 ć - =

0
x
8 9p
Łł
d = 2r
= 0,1098r4
2
4
p r2 p d
p r4 p d
A = =
Ih = =
0
2 8
8 128
17
17
Wzory(5)
Wzory(5)
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
Figura, Współrzędne Momenty Momenty
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe
w układzie xh
w układzie xh
4
p r4 p d
Ćwiartka koła
Ćwiartka koła
r4
4 r
Ix = =
x
Ixh =
Ixh =
x = = 0,4244r
x = = 0,4244r
16 256
16 256
8
3p
p
4
h h0
p r4 p d
4 r
1 4
ć
Ih = =
h = = 0,4244r
Ix h = - r4 =
16 256
0 0
3p
8 9p
Łł
r4 p 8
ć=-0,0165r4
x0
Ix =- =

0
2 8 9p
Łł
r
= 0,0549r4
x
d = 2r
r4 p 8
ć
Ih =- =

0
2
2 8 9p
Łł
p r2 p d
A = =
= 0,0549r4
4 16
18
18
Przykład 1
Przykład 1
19
19
Podział na figury proste
Podział na figury proste
r := 6 cm
a := 9 cm
1
a := 12 cm
a := 3 cm
2
b := 6 cm
h := 6 cm
h
C1 C2
C C
A
B
x
20
20
Pole powierzchni
Pole powierzchni
2
p r
- 3 2 2
AA = AA = 2.827 10 m AA = 28.274cm
4
- 3 2 2
AB = a b AB = 7.200 10 m AB = 72cm
1
- 3 2 2
AC1 = a1 h AC1 = 2.700 10 m AC1 = 27cm
2
1
- 4 2 2
AC2 = a2 h AC2 = 9.000 10 m AC2 = 9cm
2
A = AA + AB + AC1 + AC2
2 - 2 2
A = 136.274cm A = 1.363 10 m
21
21
Momenty statyczne (1)
Momenty statyczne (1)
4 r
3 - 5 3
SAx = AA SAx = 72cm SAx = 7.200 10 m
3
p
1
3 - 4 3
SBx = AB b SBx = 216cm SBx = 2.160 10 m
2
3 - 4 3
ćb 1
SC1x = AC1 + h SC1x = 216cm SC1x = 2.160 10 m

3
Ł ł
3 - 5 3
ćb 1
SC2x = AC2 + h SC2x = 72cm SC2x = 7.200 10 m

3
Ł ł
Sx = SAx + SBx + SC1x + SC2x
3 - 4 3
Sx = 576cm Sx = 5.760 10 m
22
22
Momenty statyczne (2)
Momenty statyczne (2)
4 r
3 - 5 3
ć
SAh = AA SAh = -72cm SAh = -7.200 10 m
- 3 p

Ł ł
1
3 - 4 3
SBh = AB a SBh = 432cm SBh = 4.320 10 m
2
2
2
3 - 4 3
SC1h = AC1 a1 SC1h = 162cm SC1h = 1.620 10 m
3
3 - 5 3
ća1 1
SC2h = AC2 + a2 SC2h = 90cm SC2h = 9.000 10 m

3
Ł ł
Sh = SAh + SBh + SC1h + SC2h
3 - 4 3
Sh = 612cm Sh = 6.120 10 m
23
23
Współrzędne środka
Współrzędne środka
ciężkości
ciężkości
Sx
h0 = h0 = 4.227cm h0 = 0.042m
A
Sh
- 2
x0 = x0 = 4.491cm x0 = 4.491 10 m
h0
A
A
h
C1 C2
x0
A
B
x
24
24
Warianty transformacji
Warianty transformacji
momentów bezwładności
momentów bezwładności
Wariant A
Wariant A
 Transformacja z osi własnych każdej z figur
 Transformacja z osi własnych każdej z figur
składowych do osi dowolnych, a następnie z tych
składowych do osi dowolnych, a następnie z tych
osi dowolnych do osi własnych całej figury
osi dowolnych do osi własnych całej figury
osi dowolnych do osi własnych całej figury
osi dowolnych do osi własnych całej figury
złożonej.
złożonej.
Wariant B
Wariant B
 Transformacja z osi własnych każdej z figur
 Transformacja z osi własnych każdej z figur
składowych do osi własnych całej figury złożonej,
składowych do osi własnych całej figury złożonej,
które dla każdej z figur prostych są dowolnymi
które dla każdej z figur prostych są dowolnymi
(nie przechodzą przez ich środki ciężkości).
(nie przechodzą przez ich środki ciężkości).
25
25
Wariant A
Wariant A
Momenty bezwładności (1)
Momenty bezwładności (1)
4
p r
4 - 6 4
IAx = IAx = 254.469cm IAx = 2.545 10 m
16
3
a b
4 - 6 4
IBx = IBx = 864cm IBx = 8.640 10 m
3
3
2
a1 h
4 - 5 4
ćb 1
IC1x = + AC1 + h IC1x = 1782cm IC1x = 1.782 10 m

36 3
Ł ł
3
2
a2 h
4 - 6 4
ćb 1
IC2x = + AC2 + h IC2x = 594cm IC2x = 5.940 10 m

36 3
Ł ł
4 - 5 4
Ix = IAx + IBx + IC1x + IC2x Ix = 3494.469cm Ix = 3.494 10 m
26
26
Wariant A
Wariant A
Momenty bezwładności (2)
Momenty bezwładności (2)
4
p r
4 - 6 4
IAh = IAh = 254.469cm IAh = 2.545 10 m
16
3
a b
4 - 5 4
IBh = IBh = 3456cm IBh = 3.456 10 m
3
3
3
2
2
a1 h
2
4 - 5 4
ć
IC1h = + AC1 a1 IC1h = 1093.5cm IC1h = 1.093 10 m

36 3
Ł ł
3
2
a2 h
4 - 6 4
ća1 1
IC2h = + AC2 + a2 IC2h = 904.5cm IC2h = 9.045 10 m

36 3
Ł ł
4 - 5 4
Ih = IAh + IBh + IC1h + IC2h Ih = 5708.469cm Ih = 5.708 10 m
27
27
Wariant A
Wariant A
Momenty odśrodkowe (2)
Momenty odśrodkowe (2)
4
r
4 - 6 4
IAxh = - IAxh = -162cm IAxh = -1.620 10 m
8
2 2
a b
4 - 5 4
IBxh = IBxh = 1296cm IBxh = 1.296 10 m
4
2 2
a1 h
2
4 - 5 4
ćb 1
IC1xh = + AC1 a1 + h IC1xh = 1336.5cm IC1xh = 1.336 10 m

72 3 3
Ł ł
2 2
a2 h
4 - 6 4
ća1 1 ćb 1
IC2xh = - + AC2 + a2 + h IC2xh = 715.5cm IC2xh = 7.155 10 m

72 3 3
Ł ł Ł ł
4 - 5 4
Ixh = IAxh + IBxh + IC1xh + IC2xh Ixh = 3186cm Ixh = 3.186 10 m
28
28
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
względem osi własnych
względem osi własnych
2
4 - 5 4
Ix0 = Ix - A h0 Ix0 = 1059.851cm Ix0 = 1.060 10 m
2
4 - 5 4
Ih0 = Ih - A x0 Ih0 = 2960.013cm Ih0 = 2.960 10 m
4 - 6 4
Ix0h0 = Ixh - A x0 h0 Ix0h0 = 599.218cm Ix0h0 = 5.992 10 m
29
29
Wariant B
Wariant B
Momenty bezwładności (1)
Momenty bezwładności (1)
4 2
r p 8
4 - 6 4
ć
ćh0 4 r
IAx0 = - + AA - IAx0 = 150.951cm IAx0 = 2.545 10 m

2 8 3
9p p
Ł ł Ł ł
3 2
a b
4 - 6 4
ćh0 b
IBx0 = + AB - IBx0 = 324.357cm IBx0 = 3.244 10 m

12 2
Ł ł
3
2
2
a1 h
a1 h
1
1
4 - 6 4
4 - 6 4
ć ł
h0 ć ł
IC1x0 = + AC1 - b + h IC1x0 = 438.407cm IC1x0 = 4.384 10 m
ę ś
36 3
Ł ł
3
2
a2 h
1
4 - 6 4
h0 ć ł
IC2x0 = + AC2 - b + h IC2x0 = 146.136cm IC2x0 = 1.461 10 m
ę ś
36 3
Ł ł
4 - 5 4
Ix0 = IAx0 + IBx0 + IC1x0 + IC2x0 Ix0 = 1059.851cm Ix0 = 1.060 10 m
30
30
Wariant B
Wariant B
Momenty bezwładności (2)
Momenty bezwładności (2)
4 2
r p 8 4 r
4 - 5 4
ć
x0 ć ł
IAh0 = - + AA - IAh0 = 1471.417cm IAh0 = 1.471 10 m
ę - 3 p ś
2 8
9 p
Ł ł Ł ł
3 2
a b a
4 - 5 4
ć
IBh0 = + AB x0 - IBh0 = 1027.963cm IBh0 = 1.028 10 m

12 2
Ł ł
3
2
2
a1 h
a1 h
2
4 - 6 4
4 - 6 4
ć
ćx0 2
IC1h0 = + AC1 - a1 IC1h0 = 182.986cm IC1h0 = 1.830 10 m

36 3
Ł ł
3
2
a2 h
1
4 - 6 4
x0 ć ł
IC2h0 = + AC2 - a1 + a2 IC2h0 = 277.648cm IC2h0 = 2.776 10 m
ę ś
36 3
Ł ł
4 - 5 4
Ih0 = IAh0 + IBh0 + IC1h0 + IC2h0 Ih0 = 2960.013cm Ih0 = 2.960 10 m
31
31
Wariant B
Wariant B
Momenty odśrodkowe
Momenty odśrodkowe
1 4 4 r
4
ć ćh0 4 r x0 ć ł
IAx0h0 = - - r + AA - -
ę - 3 p ś
8 3
9p p
Ł ł Ł ł Ł ł
4 - 6 4
IAx0h0 = 355.688cm IAx0h0 = 3.557 10 m
4 - 6 4
ćh0 b ćx0 a
IBx0h0 = 0 + AB - - IBx0h0 = -133.291cm IBx0h0 = -1.333 10 m

2 2
2 2
Ł ł Ł ł
Ł ł Ł ł
2 2
a1 h
h0 ćb 1 ł ćx0 2
IC1x0h0 = + AC1 - + h - a1
ę ś
72 3 3
Ł ł Ł ł
4 - 6 4
IC1x0h0 = 194.239cm IC1x0h0 = 1.942 10 m
2 2
a2 h
h0 ćb 1 ł x0 ća1 1 ł
IC2x0h0 = - + AC2 - + h - + a2
ę ś ę ś
72 3 3
Ł ł Ł ł
4 - 6 4
IC2x0h0 = 182.583cm IC2x0h0 = 1.826 10 m
4 - 6 4
Ix0h0 = IAx0h0 + IBx0h0 + IC1x0h0 + IC2x0h0 Ix0h0 = 599.218cm Ix0h0 = 5.992 10 m
32
32
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności (1)
bezwładności (1)
2Ix0h0
ć
y = 2f0 y = atan
f0

Ih0 - Ix0
Ł ł
y = 0.563rad y = 32.240deg
y
f0 = f0 = 0.281rad f0 = 16.120deg
2
33
33
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności (2)
bezwładności (2)
y
h0
h
C1 C2
x
x
x0
A
B
x
34
34
Ekstremalne wielkości
Ekstremalne wielkości
momentów bezwładności
momentów bezwładności
2
Ix0 + Ih0 Ix0 - Ih0
ć
2
Imax = + + Ix0h0

2 2
Ł ł
4 - 5 4
4 - 5 4
I = 3133.193cm I = 3.133 10 m
Imax = 3133.193cm Imax = 3.133 10 m
2
Ix0 + Ih0 Ix0 - Ih0
ć
2
Imin = - + Ix0h0

2 2
Ł ł
4 - 6 4
Imin = 886.67cm Imin = 8.867 10 m
35
35
Koło Mohra
Koło Mohra
36
36
Przykład 2
Przykład 2
37
37
Podział na figury proste
Podział na figury proste
h
B
B
A
C
x
38
38
Pole powierzchni
Pole powierzchni
- 3 2 2
AA = a b AA = 4.000 10 m AA = 40cm
2
p r
- 3 2 2
AB = AB = 3.927 10 m AB = 39.27cm
2
2
1
- 4 2 2
AC = c d AC = 6.000 10 m AC = 6cm
2
A = AA + AB - AC
2 - 3 2
A = 73.270cm A = 7.327 10 m
39
39
Momenty statyczne (1)
Momenty statyczne (1)
1
3 - 5 3
SAx = AA b SAx = 80cm SAx = 8.000 10 m
2
3 - 4 3
ćb 4 r
SBx = AB + SBx = 240.413cm SBx = 2.404 10 m

3
3
p
p
Ł ł
Ł ł
1
3 - 6 3
SCx = AC d SCx = 6 cm SCx = 6.000 10 m
3
Sx = SAx + SBx - SCx
3 - 4 3
Sx = 314.413cm Sx = 3.144 10 m
40
40
Momenty statyczne (2)
Momenty statyczne (2)
3 - 4 3
SAh = AA r SAh = 200cm SAh = 2.000 10 m
1
3 - 4 3
SBh = AB a SBh = 196.35cm SBh = 1.963 10 m
2
2
3 - 5 3
ća 1
SCh = AC - c SCh = 52cm SCh = 5.200 10 m

3
Ł ł
Sh = SAh + SBh - SCh
3 - 4 3
Sh = 344.35cm Sh = 3.443 10 m
41
41
Współrzędne środka
Współrzędne środka
ciężkości
ciężkości
Sx
h0 =
h0
A
- 2
h
h0 = 4.291cm h0 = 4.291 10 m
Sh
h
x =
x0 =
B
A
- 2
x0
x0 = 4.7cm x0 = 4.700 10 m
A
C
x
42
42
Wariant A
Wariant A
Momenty bezwładności (1)
Momenty bezwładności (1)
3
a b
4 - 6 4
IAx = IAx = 213.333cm IAx = 2.133 10 m
3
2
p 8 4 r
4 4 - 5 4
ć
ć
ć
ć
IBx = r - + AB b + IBx = 1540.422cm IBx = 1.540 10 m
IBx = r - + AB b + IBx = 1540.422cm IBx = 1.540 10 m


8 3
9p p
Ł ł Ł ł
3 2
c d 1
4 - 8 4
ć
ICx = + AC d ICx = 9 cm ICx = 9.000 10 m

36 3
Ł ł
4 - 5 4
Ix = IAx + IBx - ICx Ix = 1744.755cm Ix = 1.745 10 m
43
43
Wariant A
Wariant A
Momenty bezwładności (2)
Momenty bezwładności (2)
3
a b
4 - 5 4
IAh = IAh = 1333.333cm IAh = 1.333 10 m
3
4
p r
p r
2 4 - 5 4
2 4 - 5 4
IBh = + AB r IBh = 1227.185cm IBh = 1.227 10 m
IBh = + AB r IBh = 1227.185cm IBh = 1.227 10 m
8
3 2
c d 1
4 - 6 4
ć
ICh = + AC a - c ICh = 456cm ICh = 4.560 10 m

36 3
Ł ł
4 - 5 4
Ih = IAh + IBh - ICh Ih = 2104.518cm Ih = 2.105 10 m
44
44
Wariant A
Wariant A
Momenty odśrodkowe (2)
Momenty odśrodkowe (2)
2 2
a b
4 - 6 4
IAxh = IAxh = 400cm IAxh = 4.000 10 m
4
4 - 5 4
ćb 4 r
IBxh = 0 + AB r + IBxh = 1202.065cm IBxh = 1.202 10 m

3
3
p
p
Ł ł
Ł ł
2 2
c d 1
4 - 7 4
ća 1
ICxh = + AC d - c ICxh = 54cm ICxh = 5.400 10 m

72 3 3
Ł ł
4 - 5 4
Ixh = IAxh + IBxh - ICxh Ixh = 1548.065cm Ixh = 1.548 10 m
45
45
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
względem osi własnych
względem osi własnych
2
4 - 6 4
Ix0 = Ix - A h0 Ix0 = 395.559cm Ix0 = 3.956 10 m
2
2
4 - 6 4
4 - 6 4
I = I - A x I = 486.165cm I = 4.862 10 m
Ih0 = Ih - A x0 Ih0 = 486.165cm Ih0 = 4.862 10 m
4 - 7 4
Ix0h0 = Ixh - A x0 h0 Ix0h0 = 70.406cm Ix0h0 = 7.041 10 m
46
46
Wariant B
Wariant B
Momenty bezwładności (1)
Momenty bezwładności (1)
3 2
a b
4 - 6 4
ćh0 b
IAx0 = + AA - IAx0 = 263.31cm IAx0 = 2.633 10 m

12 2
Ł ł
2
p 8
4
ć
h0 ćb 4 r ł
IBx0 = r - + AB - +
ę ś
8 3
8 3
9p p
9p p
Ł ł Ł ł
Ł ł Ł ł
4 - 6 4
IBx0 = 200.239cm IBx0 = 2.002 10 m
3 2
c d
4 - 7 4
ćh0 1
ICx0 = + AC - d ICx0 = 67.99cm ICx0 = 6.799 10 m

36 3
Ł ł
4 - 6 4
Ix0 = IAx0 + IBx0 - ICx0 Ix0 = 395.559cm Ix0 = 3.956 10 m
47
47
Wariant B
Wariant B
Momenty bezwładności (2)
Momenty bezwładności (2)
3 2
a b a
4 - 6 4
ć
IAh0 = + AA x0 - IAh0 = 336.94cm IAh0 = 3.369 10 m

12 2
Ł ł
4
r
4 - 6 4
IBh0 = p + AB x0 - r IBh0 = 248.977cm IBh0 = 2.490 10 m
IBh0 = p + AB x0 - r IBh0 = 248.977cm IBh0 = 2.490 10 m
( )
( )2
8
8
3 2
c d
x0 ća 1 ł
ICh0 = + AC - - c
ę ś
36 3
Ł ł
4 - 7 4
ICh0 = 99.752cm ICh0 = 9.975 10 m
4 - 6 4
Ih0 = IAh0 + IBh0 - ICh0 Ih0 = 486.165cm Ih0 = 4.862 10 m
48
48
Wariant B
Wariant B
Momenty odśrodkowe
Momenty odśrodkowe
4 - 7 4
ćh0 b ćx0 a
IAx0h0 = 0 + AA - - IAx0h0 = -27.518cm IAx0h0 = -2.752 10 m

2 2
Ł ł Ł ł
4 - 7 4
h0 ćb 4 r ł
IBx0h0 = 0 + AB - + x0 - r IBx0h0 = 21.589cm IBx0h0 = 2.159 10 m
( )
ę ś
3
p
Ł ł
2 2
c d
ćh0 1 x0 ća 1 ł
ICx0h0 = + AC - d - - c
ę ś
72 3 3
Ł ł Ł ł
4 - 7 4
ICx0h0 = -76.335cm ICx0h0 = -7.633 10 m
4 - 7 4
Ix0h0 = IAx0h0 + IBx0h0 - ICx0h0 Ix0h0 = 70.406cm Ix0h0 = 7.041 10 m
49
49
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności (1)
bezwładności (1)
2Ix0h0
ć
y = 2f0 y = atan
f0

Ih0 - Ix0
Ł ł
y = 0.999rad y = 57.241deg
y
f0 = f0 = 0.500rad f0 = 28.620deg
2
50
50
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności (2)
bezwładności (2)
h0
y
h
x
B
B
x0
A
C
x
51
51
Ekstremalne wielkości
Ekstremalne wielkości
momentów bezwładności
momentów bezwładności
2
Ix0 + Ih0 Ix0 - Ih0
ć
2
Imax = + + Ix0h0

2 2
Ł ł
4 - 6 4
4 - 6 4
Imax = 524.583cm Imax = 5.246 10 m
2
Ix0 + Ih0 Ix0 - Ih0
ć
2
Imin = - + Ix0h0

2 2
Ł ł
4 - 6 4
Imin = 357.14cm Imin = 3.571 10 m
52
52
Koło Mohra
Koło Mohra
53
53
Przykład 3
Przykład 3
y1
Wyznaczyć położenie
Wyznaczyć położenie
yc
yk
głównych centralnych
głównych centralnych
osi bezwładności i
osi bezwładności i
główne momenty
główne momenty
główne momenty
główne momenty
bezwładności przekroju
bezwładności przekroju
xk
xc
złożonego z
złożonego z
kształtowników
kształtowników
walcowanych:
walcowanych:
ceownik 200
x1
2
kątownik 120x80x10
2
54
54
Charakterystyki
Charakterystyki
geometryczne
geometryczne
yc
kątownik 120x80x10
ceownik 200
tga = 0.435
2
2
Ak = 19.1cm
Imaxk = Ixk
Ac = 32.2cm
4
Ixyk = tga Iyk - Imaxk
4
( )
Ixk = 276cm
Ixc = 1910cm
4
- 7 4
- 7 4
Ixyk = -9.535 10 m
Ixyk = -9.535 10 m
4
4
4 xc
x
Iyk = 98.1cm
Iyc = 148cm
4
4 Ixyk = -95.352cm
yk
Ihk = 56.8cm
eyc = 2.01cm
4
Ixk = 317.3cm
hc = 200mm
4
exk = 3.92cm
Ixyc = 0m
xk
eyk = 1.95cm
hk = 120mm
55
55
Momenty statyczne (1)
Momenty statyczne (1)
y1
Pola powierzchni:
Pola powierzchni:
yc
yk
2 - 3 2
Af = Ak + Ac Af = 51.3cm Af = 5.13 10 m
Współrzędne środków ciężkości:
Współrzędne środków ciężkości:
xk
xk
xc
y1k = hc - hk + exk y1k = 0.119m y1k = 11.92cm
hc
y1c = y1c = 10cm y1c = 0.1m
2
x1
Momenty statyczne:
Momenty statyczne:
3 - 4 3
Sx1c = Acy1c Sx1c = 322cm Sx1c = 3.22 10 m
3 - 4 3
Sx1k = Aky1k Sx1k= 227.672cm Sx1k= 2.277 10 m
3 - 4 3
Sx1f = Sx1c + Sx1k Sx1f = 549.672cm Sx1f = 5.497 10 m
56
56
Momenty statyczne (2)
Momenty statyczne (2)
y1
yc
Współrzędne środków ciężkości:
Współrzędne środków ciężkości:
yk
x1k = eyk x1k = 1.95cm x1k = 0.02m
xk
x1c = -eyc x1c = -0.02m x1c = -2.01cm
x1c = -eyc x1c = -0.02m x1c = -2.01cm
x
xc
Momenty statyczne:
Momenty statyczne:
x1
3 - 5 3
Sy1c = Acx1c Sy1c = -64.722cm Sy1c = -6.472 10 m
3 - 5 3
Sy1k = Akx1k Sy1k = 37.245cm Sy1k = 3.725 10 m
3 - 5 3
Sy1f = Sy1c + Sy1k Sy1f = -27.477cm Sy1f = -2.748 10 m
57
57
Współrzędne środka
Współrzędne środka
ciężkości przekroju
ciężkości przekroju
y0
y1
yc
Sy1f
yk
x0 =
Af
Af
- 3
x0 = -0.536cm x0 = -5.356 10 m
xk
Sx1f xc
x0
y0 =
Af
y0 = 10.715cm y0 = 0.107m
x1
x1
x1
x1
58
58
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
i moment odśrodkowy
i moment odśrodkowy
y0
Ix0 = Ixk + Ak y1k - y0 + Ixc + Ac y1c - y0
( )2 ( )2
4 - 5 4 y1
Ix0 = 2230.195cm Ix0 = 2.23 10 m
yc
yk
I = I + A x - x + I + A x - x
Iy0 = Iyk + Ak x1k - x0 + Iyc + Ac x1c - x0
( )2 ( )2
( )2 ( )2
4 - 6 4
Iy0 = 434.102cm Iy0 = 4.341 10 m
xk
xc
x0
Ix0y0 = Ixyk + Ak x1k - x0 y1k - y0 ...
( ) ( )
+ Ixyc + Ac x1c - x0 y1c - y0
( ) ( )
4 - 8 4
Ix0y0 = -4.2cm Ix0y0 = -4.2 10 m
x1
x1
x1
x1
59
59
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności (1)
bezwładności (1)
y
y1
yc
yk
= 1
2Ix0y0
2Ix0y0
ć
ć
y = 2f0 y = atan

Iy0 - Ix0
Ł ł
xk
y = 0.005rad y = 0.268deg
xc
x
y
f0 = f0 = 0.002rad f0 = 0.134deg
2
x1
x1
x1
x1
60
60
Ekstremalne wielkości
Ekstremalne wielkości
momentów bezwładności
momentów bezwładności
y
2
Ix0 + Iy0 Ix0 - Iy0
ć
2
y1
Imax = + + Ix0y0
yc
2 2
Ł ł
yk
4 - 5 4
4 - 5 4
I = 2230.205cm I = 2.23 10 m
Imax = 2230.205cm Imax = 2.23 10 m
xk
2
xc
Ix0 + Iy0 Ix0 - Iy0
ć x
2
Imin = - + Ix0y0
2 2
Ł ł
4 - 6 4
Imin = 434.092cm Imin = 4.341 10 m
x1
x1
x1
x1
61
61
Koło Mohra
Koło Mohra
62
62


Wyszukiwarka