Mechanika ogólna Mechanika ogólna Wykład nr 11 Wykład nr 11 Główne centralne osie bezwładności. Główne centralne osie bezwładności. Charakterystyki geometryczne Charakterystyki geometryczne figur płaskich przykłady. figur płaskich przykłady. 1 1 Obrót układu Obrót układu współrzędnych(1) współrzędnych(1) y x =x cosf +h sinf h y =-x sinf +h cosf hcos f x h xcosf h xcosf y y hsinf f x Ix = y2dA
xsinf A x dA x Iy = x2dA
y x A h Ixy = xydA x
f A 2 2 Obrót układu Obrót układu współrzędnych(2) współrzędnych(2) 2 Ix = y2dA = (-x sinf +h cosf) dA = AA 2 2 = sin2 fdA - 2 sinf cosfdA + cos2 fdA = x xh h AA A AA A = Ih sin2 f + Ix cos2 f - 2Ixh sinf cosf 2 Iy = x2dA = cosf +h sinf dA = ) (x AA 2 2 = cos2fdA + 2 sinf cosfdA + sin2 fdA = x xh h AA A = Ih cos2f + Ix sin2f + 2Ixh sinf cosf 3 3 Obrót układu Obrót układu współrzędnych(3) współrzędnych(3) Ixy = xy dA = (-x sinf +h cosf )(x cosf +h sinf )dA = AA 2 = cos2f dA - sinf cosf dA + xh x AA AA 2 + sinf cosf dA - sin2f dA = h xh AA = Ix - Ih sinf cosf + Ixh cos2f - sin2f ( ) ( ) 4 4 Obrót układu Obrót układu współrzędnych(4) współrzędnych(4) 1- cos 2f 1+ cos 2f sin2 f = cos2 f = 2 2 2sinf cosf = sin 2f 11 Ix = Ix + Ih + Ix - Ih cos 2f - Ixh sin 2f ( ) ( ) 22 11 Iy = Ix + Ih - Ix - Ih cos 2f + Ixh sin 2f ( ) ( ) 22 1 Ixy = Ix - Ih sin 2f + Ixh cos 2f ( ) 2 5 5 Warunek Warunek Zerowanie się momentu Zerowanie się momentu odśrodkowego: odśrodkowego: I = 0 Ixy = 0 1 Ix - Ih sin 2f0 + Ixh cos 2f0 = 0 ( ) 2 Kąt obrotu osi: Kąt obrotu osi: -2Ixh 2Ixh tg2f0 == Ix - Ih Ih - Ix 6 6 Warunek występowania Warunek występowania ekstremum ekstremum dIx =- Ix - Ih sin 2f - 2Ixh cos 2f0 =-2Ihx ( ) df dIy = Ix - Ih sin 2f + 2Ixh cos 2f0 = 2Ihx = Ix - Ih sin 2f + 2Ixh cos 2f0 = 2Ihx ( ) ( ) df f dIy dIx =-2Ixy = 0 f = f0 = 2Ixy = 0 df df Ixy = 0 Iy Ix , ekstremalne , ekstremalne 7 7 Ekstremalne wartości Ekstremalne wartości momentów bezwładności momentów bezwładności Ix - Ih -2Ihx 1 cos2f0 == tg2f0 = 2 Ix - Ih 1+ tg2 2f0 Ix - Ih + 4Ihx 2 ( ) -2Ihx -2Ihx tg2f0 tg2f0 sin2f == sin2f0 == 2 1+ tg2 2f0 Ix - Ih + 4Ihx 2 ( ) 2 Ix + Ih Ix - Ih ć I =ą + Ixh 2 max
min 22 Łł 8 8 Główne centralne osie Główne centralne osie bezwładności bezwładności Osie wzajemnie prostopadłe względem Osie wzajemnie prostopadłe względem których moment odśrodkowy równy których moment odśrodkowy równy jest 0 to osie główne bezwładności. jest 0 to osie główne bezwładności. jest 0 to osie główne bezwładności. jest 0 to osie główne bezwładności. Jeżeli są one osiami środkowymi, to są Jeżeli są one osiami środkowymi, to są to główne centralne osie to główne centralne osie bezwładności. bezwładności. Ix, Iy = max min Ixy = 0 9 9 Obrót z osi głównych Obrót z osi głównych na dowolne na dowolne h y x = x cosf + y sinf h =-xsinf + y cosf h =-xsinf + y cosf ycosf ycosf x x xcosf ysinf f x xsinf Ix = Iy sin2f + Ix cos2f - 2Ixy sinf cosf = Iy sin2f + Ix cos2f Ih = Iy cos2f + Ix sin2f + 2Ixy sinf cosf = Iy cos2f + Ix sin2f 10 10 Koło Mohra(1) Koło Mohra(1) Ih B Imin=Ix Ixh 2f 0 momenty bezwładności O Ixh Ix A (Ix+Iy)/2=(Ix+Ih)/2 Imax=Iy 11 11 Koło Mohra(2) Koło Mohra(2) Etapy graficznego wyznaczania Etapy graficznego wyznaczania momentów bezwładności względem momentów bezwładności względem środkowych osi głównych: środkowych osi głównych: zaznaczenie na układzie współrzędnych zaznaczenie na układzie współrzędnych zaznaczenie na układzie współrzędnych zaznaczenie na układzie współrzędnych punktów : A(Jx , -Jxh) i B(Jh , Jxh); punktów : A(Jx , -Jxh) i B(Jh , Jxh); zaznaczenie środka okręgu O jako punktu zaznaczenie środka okręgu O jako punktu przecięcia osi rzędnych i linii łączącej przecięcia osi rzędnych i linii łączącej punkty AB; punkty AB; wyrysowanie okręgu o promieniu OA. wyrysowanie okręgu o promieniu OA. 12 12 o momenty od ś rodkowe Koło Mohra(3) Koło Mohra(3) Punkty przecięcia okręgu i osi Punkty przecięcia okręgu i osi rzędnych wyznaczają wartości rzędnych wyznaczają wartości ekstremalnych momentów ekstremalnych momentów bezwładności względem środkowych bezwładności względem środkowych bezwładności względem środkowych bezwładności względem środkowych osi głównych. osi głównych. Kąt pomiędzy osią rzędnych; a linią AB Kąt pomiędzy osią rzędnych; a linią AB jest równy 2fo. jest równy 2fo. Układ współrzędnych obracamy o kąt Układ współrzędnych obracamy o kąt fo przeciwnie do wskazówek zegara. fo przeciwnie do wskazówek zegara. 13 13 Wzory(1) Wzory(1) Figura, Współrzędne Momenty Momenty Figura, Współrzędne Momenty Momenty pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe w układzie xh w układzie xh Prostokąt Prostokąt bh3 b2h2 b Ix = Ixh = Ix = Ixh = x = x = 3 4 2 h hb3 h0 h Ih = h = Ix h = 0 3 0 0 2 x0 h bh3 Ix = 0 x b 12 hb3 Ih = 0 12 A = bh 14 14 Wzory(2) Wzory(2) Figura, Współrzędne Momenty Momenty Figura, Współrzędne Momenty Momenty pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe w układzie xh w układzie xh Trójkąt Trójkąt bh3 b2h2 b Ix = Ixh = Ix = Ixh = prostokątny prostokątny prostokątny x = prostokątny x = 12 24 3 hb3 h h h0 Ih = b2h2 h = Ix h0 =- 12 3 0 72 bh3 h Ix = x0 0 36 hb3 Ih = 0 b x 36 bh A = 2 15 15 Wzory(3) Wzory(3) Figura, Współrzędne Momenty Momenty Figura, Współrzędne Momenty Momenty pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe w układzie xh w układzie xh 4 Koło Koło 55 p d d 4 Ix = p r = p d Ix = p r4 = p d Ixh =p r = Ixh =p r4 = x = r = x = r = 464 464 16 h0 2 h 55 4 d Ix h = 0 Ih = p r4 = p d 0 0 h = r = r 464 x0 2 4 p r4 p d Ix = = 0 4 64 x 4 d = 2r p r4 p d Ih = = 0 4 64 2 p d 4 A =p r2 = p r4 p d 4 IC = = 2 32 16 16 Wzory(4) Wzory(4) Figura, Współrzędne Momenty Momenty Figura, Współrzędne Momenty Momenty pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe w układzie xh w układzie xh 4 Półkole Półkole p r4 p d Ixh = 0 Ixh = 0 Ix = = Ix = = x = 0 x = 0 8 128 h=h0 4 4 r p r4 p d Ix h0 = 0 h = = 0,4244r Ih = = 0 3 p 8 128 x0 r p 8
Ix = r4 ć - =
0 x 8 9p Łł d = 2r = 0,1098r4 2 4 p r2 p d p r4 p d A = = Ih = = 0 2 8 8 128 17 17 Wzory(5) Wzory(5) Figura, Współrzędne Momenty Momenty Figura, Współrzędne Momenty Momenty pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe pole powierzchni środka ciężkości bezwładności odśrodkowe w układzie xh w układzie xh 4 p r4 p d Ćwiartka koła Ćwiartka koła r4 4 r Ix = = x Ixh = Ixh = x = = 0,4244r x = = 0,4244r 16 256 16 256 8 3p p 4 h h0 p r4 p d 4 r 1 4 ć Ih = = h = = 0,4244r Ix h = - r4 = 16 256 0 0 3p 8 9p Łł r4 p 8 ć=-0,0165r4 x0 Ix =- =
0 2 8 9p Łł r = 0,0549r4 x d = 2r r4 p 8 ć Ih =- =
0 2 2 8 9p Łł p r2 p d A = = = 0,0549r4 4 16 18 18 Przykład 1 Przykład 1 19 19 Podział na figury proste Podział na figury proste r := 6 cm a := 9 cm 1 a := 12 cm a := 3 cm 2 b := 6 cm h := 6 cm h C1 C2 C C A B x 20 20 Pole powierzchni Pole powierzchni 2 p r - 3 2 2 AA = AA = 2.827 10 m AA = 28.274cm 4 - 3 2 2 AB = a b AB = 7.200 10 m AB = 72cm 1 - 3 2 2 AC1 = a1 h AC1 = 2.700 10 m AC1 = 27cm 2 1 - 4 2 2 AC2 = a2 h AC2 = 9.000 10 m AC2 = 9cm 2 A = AA + AB + AC1 + AC2 2 - 2 2 A = 136.274cm A = 1.363 10 m 21 21 Momenty statyczne (1) Momenty statyczne (1) 4 r 3 - 5 3 SAx = AA SAx = 72cm SAx = 7.200 10 m 3 p 1 3 - 4 3 SBx = AB b SBx = 216cm SBx = 2.160 10 m 2 3 - 4 3 ćb 1 SC1x = AC1 + h SC1x = 216cm SC1x = 2.160 10 m
3 Ł ł Sh = SAh + SBh + SC1h + SC2h 3 - 4 3 Sh = 612cm Sh = 6.120 10 m 23 23 Współrzędne środka Współrzędne środka ciężkości ciężkości Sx h0 = h0 = 4.227cm h0 = 0.042m A Sh - 2 x0 = x0 = 4.491cm x0 = 4.491 10 m h0 A A h C1 C2 x0 A B x 24 24 Warianty transformacji Warianty transformacji momentów bezwładności momentów bezwładności Wariant A Wariant A Transformacja z osi własnych każdej z figur Transformacja z osi własnych każdej z figur składowych do osi dowolnych, a następnie z tych składowych do osi dowolnych, a następnie z tych osi dowolnych do osi własnych całej figury osi dowolnych do osi własnych całej figury osi dowolnych do osi własnych całej figury osi dowolnych do osi własnych całej figury złożonej. złożonej. Wariant B Wariant B Transformacja z osi własnych każdej z figur Transformacja z osi własnych każdej z figur składowych do osi własnych całej figury złożonej, składowych do osi własnych całej figury złożonej, które dla każdej z figur prostych są dowolnymi które dla każdej z figur prostych są dowolnymi (nie przechodzą przez ich środki ciężkości). (nie przechodzą przez ich środki ciężkości). 25 25 Wariant A Wariant A Momenty bezwładności (1) Momenty bezwładności (1) 4 p r 4 - 6 4 IAx = IAx = 254.469cm IAx = 2.545 10 m 16 3 a b 4 - 6 4 IBx = IBx = 864cm IBx = 8.640 10 m 3 3 2 a1 h 4 - 5 4 ćb 1 IC1x = + AC1 + h IC1x = 1782cm IC1x = 1.782 10 m
36 3 Ł ł 3 2 a2 h 4 - 6 4 ćb 1 IC2x = + AC2 + h IC2x = 594cm IC2x = 5.940 10 m
36 3 Ł ł 4 - 5 4 Ix = IAx + IBx + IC1x + IC2x Ix = 3494.469cm Ix = 3.494 10 m 26 26 Wariant A Wariant A Momenty bezwładności (2) Momenty bezwładności (2) 4 p r 4 - 6 4 IAh = IAh = 254.469cm IAh = 2.545 10 m 16 3 a b 4 - 5 4 IBh = IBh = 3456cm IBh = 3.456 10 m 3 3 3 2 2 a1 h 2 4 - 5 4 ć IC1h = + AC1 a1 IC1h = 1093.5cm IC1h = 1.093 10 m
Ih0 - Ix0 Ł ł y = 0.563rad y = 32.240deg y f0 = f0 = 0.281rad f0 = 16.120deg 2 33 33 Główne centralne osie Główne centralne osie bezwładności (2) bezwładności (2) y h0 h C1 C2 x x x0 A B x 34 34 Ekstremalne wielkości Ekstremalne wielkości momentów bezwładności momentów bezwładności 2 Ix0 + Ih0 Ix0 - Ih0 ć 2 Imax = + + Ix0h0
2 2 Ł ł 4 - 6 4 Imin = 886.67cm Imin = 8.867 10 m 35 35 Koło Mohra Koło Mohra 36 36 Przykład 2 Przykład 2 37 37 Podział na figury proste Podział na figury proste h B B A C x 38 38 Pole powierzchni Pole powierzchni - 3 2 2 AA = a b AA = 4.000 10 m AA = 40cm 2 p r - 3 2 2 AB = AB = 3.927 10 m AB = 39.27cm 2 2 1 - 4 2 2 AC = c d AC = 6.000 10 m AC = 6cm 2 A = AA + AB - AC 2 - 3 2 A = 73.270cm A = 7.327 10 m 39 39 Momenty statyczne (1) Momenty statyczne (1) 1 3 - 5 3 SAx = AA b SAx = 80cm SAx = 8.000 10 m 2 3 - 4 3 ćb 4 r SBx = AB + SBx = 240.413cm SBx = 2.404 10 m
3 3 p p Ł ł Ł ł 1 3 - 6 3 SCx = AC d SCx = 6 cm SCx = 6.000 10 m 3 Sx = SAx + SBx - SCx 3 - 4 3 Sx = 314.413cm Sx = 3.144 10 m 40 40 Momenty statyczne (2) Momenty statyczne (2) 3 - 4 3 SAh = AA r SAh = 200cm SAh = 2.000 10 m 1 3 - 4 3 SBh = AB a SBh = 196.35cm SBh = 1.963 10 m 2 2 3 - 5 3 ća 1 SCh = AC - c SCh = 52cm SCh = 5.200 10 m
3 Ł ł Sh = SAh + SBh - SCh 3 - 4 3 Sh = 344.35cm Sh = 3.443 10 m 41 41 Współrzędne środka Współrzędne środka ciężkości ciężkości Sx h0 = h0 A - 2 h h0 = 4.291cm h0 = 4.291 10 m Sh h x = x0 = B A - 2 x0 x0 = 4.7cm x0 = 4.700 10 m A C x 42 42 Wariant A Wariant A Momenty bezwładności (1) Momenty bezwładności (1) 3 a b 4 - 6 4 IAx = IAx = 213.333cm IAx = 2.133 10 m 3 2 p 8 4 r 4 4 - 5 4 ć ć ć ć IBx = r - + AB b + IBx = 1540.422cm IBx = 1.540 10 m IBx = r - + AB b + IBx = 1540.422cm IBx = 1.540 10 m
8 3 9p p Ł ł Ł ł 3 2 c d 1 4 - 8 4 ć ICx = + AC d ICx = 9 cm ICx = 9.000 10 m
36 3 Ł ł 4 - 5 4 Ix = IAx + IBx - ICx Ix = 1744.755cm Ix = 1.745 10 m 43 43 Wariant A Wariant A Momenty bezwładności (2) Momenty bezwładności (2) 3 a b 4 - 5 4 IAh = IAh = 1333.333cm IAh = 1.333 10 m 3 4 p r p r 2 4 - 5 4 2 4 - 5 4 IBh = + AB r IBh = 1227.185cm IBh = 1.227 10 m IBh = + AB r IBh = 1227.185cm IBh = 1.227 10 m 8 3 2 c d 1 4 - 6 4 ć ICh = + AC a - c ICh = 456cm ICh = 4.560 10 m
36 3 Ł ł 4 - 5 4 Ih = IAh + IBh - ICh Ih = 2104.518cm Ih = 2.105 10 m 44 44 Wariant A Wariant A Momenty odśrodkowe (2) Momenty odśrodkowe (2) 2 2 a b 4 - 6 4 IAxh = IAxh = 400cm IAxh = 4.000 10 m 4 4 - 5 4 ćb 4 r IBxh = 0 + AB r + IBxh = 1202.065cm IBxh = 1.202 10 m
3 3 p p Ł ł Ł ł 2 2 c d 1 4 - 7 4 ća 1 ICxh = + AC d - c ICxh = 54cm ICxh = 5.400 10 m
72 3 3 Ł ł 4 - 5 4 Ixh = IAxh + IBxh - ICxh Ixh = 1548.065cm Ixh = 1.548 10 m 45 45 Momenty bezwładności Momenty bezwładności względem osi własnych względem osi własnych 2 4 - 6 4 Ix0 = Ix - A h0 Ix0 = 395.559cm Ix0 = 3.956 10 m 2 2 4 - 6 4 4 - 6 4 I = I - A x I = 486.165cm I = 4.862 10 m Ih0 = Ih - A x0 Ih0 = 486.165cm Ih0 = 4.862 10 m 4 - 7 4 Ix0h0 = Ixh - A x0 h0 Ix0h0 = 70.406cm Ix0h0 = 7.041 10 m 46 46 Wariant B Wariant B Momenty bezwładności (1) Momenty bezwładności (1) 3 2 a b 4 - 6 4 ćh0 b IAx0 = + AA - IAx0 = 263.31cm IAx0 = 2.633 10 m
12 2 Ł ł 2 p 8 4 ć h0 ćb 4 r ł IBx0 = r - + AB - + ę ś 8 3 8 3 9p p 9p p Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł 4 - 6 4 IBx0 = 200.239cm IBx0 = 2.002 10 m 3 2 c d 4 - 7 4 ćh0 1 ICx0 = + AC - d ICx0 = 67.99cm ICx0 = 6.799 10 m
36 3 Ł ł 4 - 6 4 Ix0 = IAx0 + IBx0 - ICx0 Ix0 = 395.559cm Ix0 = 3.956 10 m 47 47 Wariant B Wariant B Momenty bezwładności (2) Momenty bezwładności (2) 3 2 a b a 4 - 6 4 ć IAh0 = + AA x0 - IAh0 = 336.94cm IAh0 = 3.369 10 m
12 2 Ł ł 4 r 4 - 6 4 IBh0 = p + AB x0 - r IBh0 = 248.977cm IBh0 = 2.490 10 m IBh0 = p + AB x0 - r IBh0 = 248.977cm IBh0 = 2.490 10 m ( ) ( )2 8 8 3 2 c d x0 ća 1 ł ICh0 = + AC - - c ę ś 36 3 Ł ł 4 - 7 4 ICh0 = 99.752cm ICh0 = 9.975 10 m 4 - 6 4 Ih0 = IAh0 + IBh0 - ICh0 Ih0 = 486.165cm Ih0 = 4.862 10 m 48 48 Wariant B Wariant B Momenty odśrodkowe Momenty odśrodkowe 4 - 7 4 ćh0 b ćx0 a IAx0h0 = 0 + AA - - IAx0h0 = -27.518cm IAx0h0 = -2.752 10 m
2 2 Ł ł Ł ł 4 - 7 4 h0 ćb 4 r ł IBx0h0 = 0 + AB - + x0 - r IBx0h0 = 21.589cm IBx0h0 = 2.159 10 m ( ) ę ś 3 p Ł ł 2 2 c d ćh0 1 x0 ća 1 ł ICx0h0 = + AC - d - - c ę ś 72 3 3 Ł ł Ł ł 4 - 7 4 ICx0h0 = -76.335cm ICx0h0 = -7.633 10 m 4 - 7 4 Ix0h0 = IAx0h0 + IBx0h0 - ICx0h0 Ix0h0 = 70.406cm Ix0h0 = 7.041 10 m 49 49 Główne centralne osie Główne centralne osie bezwładności (1) bezwładności (1) 2Ix0h0 ć y = 2f0 y = atan f0
Ih0 - Ix0 Ł ł y = 0.999rad y = 57.241deg y f0 = f0 = 0.500rad f0 = 28.620deg 2 50 50 Główne centralne osie Główne centralne osie bezwładności (2) bezwładności (2) h0 y h x B B x0 A C x 51 51 Ekstremalne wielkości Ekstremalne wielkości momentów bezwładności momentów bezwładności 2 Ix0 + Ih0 Ix0 - Ih0 ć 2 Imax = + + Ix0h0