Mechanika ogólna Mechanika ogólna Wykład nr 7 Wykład nr 7 Obliczanie sił wewnętrznych w Obliczanie sił wewnętrznych w ramach. ramach. 1 1 Przykład rama Przykład rama 15kN/m 10kNm 20kN 3m 2m 2 2 2m 2m Reakcje Reakcje 15kN/m C 10kNm 20kN 20kN X : H + 20kN = 0 A H A M A Y :VA + RB -15kN 5m = 0 R B V A 3m 2m 1 : M + RB 5m +10kNm - 20kN 2m -15kN / m 5m 5m = 0 M A A 2 p M : RB 5m -15kN / m 5m 1 5m = 0 C 3 3 2 Przyjęcie przekrojów, Przyjęcie przekrojów, przedziały przedziały a 15kN/m 3 C H = -20kN A D y 10kNm VA = 37,5kN a 2 RB = 37,5kN 20kN a a 4 4 M = 30kNm M = 30kNm A a 1 y a -a1 y 0;2m 1 a H A a -a y 2m;4m 2 2 M A x x R B a -a x 0m;3m V 3 3 3m 2m A a -a x 3m;5m y 0m;4m 4 4 óó x 0m;2m y 0m;4m óó punkt D x = 3m, y = 4m, x = 2m, y = 0 óó punkt B x = 5m, y = 0, x = 0, y = 4m 4 4 2m 2m 2m 2m a1 -a1 y 0;2m Przekrój Przekrój 15kN/m a 3 y 10kNm a 2 Na 1 = -VA = -37,5kN 20kN 20kN a a 4 Ta 1 = -H = 20kN a 1 A y a H Ma 1 = -M - H y = A A A M A x x = 20kN y - 30kNm R B V A 3m 2m y = 0 Ma 1 = -30kNm y = 2m Ma 1 = 10kNm 5 5 a2 -a2 y 2m;4m Przekrój Przekrój a 15kN/m 3 y 10kNm a 2 20kN a a 4 4 a 1 Na 2 = -37,5kN y a H A M A x x Ta 2 = -H - 20kN = 0 R B A V 3m 2m A Ma 2 = 20kN y - 30kNm - 20kN y - 2m = 10kNm ( ) 6 6 2m 2m 2m 2m a3 -a3 x 0;3m Przekrój Przekrój Na 3 = -H - 20kN = 20kN - 20kN = 0 A Ta 3 = VA -15kN / m x = 37,5kN -15kN / m x x = 0m Ta 3 = 37,5kN x = 3m Ta 3 = -7,5kN x Ma 3 = VA x - HA 4m - M - 20kN 2m -10kNm -15kN / m x = A 2 15kN/m a 3 =-7,5kN / m x2 + 37,5kN x y 10kNm a 2 20kN a 4 x = 0m Ma 3 = 0 a 1 y x = 3m Ma 3 = 45kNm a H A M A x x R B 7 7 V A 3m 2m Ekstremum Ekstremum a 15kN/m 3 y 10kNm a 2 Ta 3 = 37,5kN -15kN / m x = 0 20kN a a 4 4 x = 2,5m x = 2,5m a 1 y Ma 3 =-7,5kN / m x2 + 37,5kN x a H A M A x x R B Ma 3 2,5m = 46,875kNm ( ) V 3m 2m A 8 8 2m 2m 2m 2m a4 -a4 Przekrój Przekrój a 15kN/m 3 y 10kNm a4 -a4 x 3m;5m y 0m;4m a 2 óó x 0m;2m y 0m;4m 20kN a a óó óó 4 punkt D x = 3m, y = 4m, x = 2m, y = 0 4 punkt D x = 3m, y = 4m, x = 2m, y = 0 óó punkt B x = 5m, y = 0, x = 0, y = 4m a 1 y a H A M A x x R B V 3m 2m A 2m 4m cosa = = 0,447 sina = = 0,894 2 2 2 2 (4m) + (2m) (4m) + (2m) 9 9 a4 -a4 Przekrój (z lewej strony) Przekrój (z lewej strony) Na 4 = -H cosa - 20kN cosa +VA sina - q xsina = A kN = 37,5kN sina -15 x sina = m kN kN x = 3m N = -6,705kN x = 3m Na 4 = -6,705kN = -13,41 x + 33,525kN m x = 5m Na 4 = -33,525kN Ta 4 = HA sina + 20kN sina +VA cosa - q x cosa = kN = 37,5kN cosa -15 x cosa = m kN x = 3m Na 4 = -3,352kN =-6,705 x +16,763kN m x = 5m Na 4 = -16,762kN 10 10 2m 2m a4 -a4 Przekrój (z lewej strony) Przekrój (z lewej strony) x Ma 4 = VA x - HA y - 20kN y - 2m - M -15kN / m x -10kNm = ( ) A 2 = 37,5kN x + 20kN y - 20kN y + 40kNm + 15kN/m a3 kN - 30kNm - 7,5 x -10kNm = - 30kNm - 7,5 x2 -10kNm = y m 10kNm a2 kN =-7,5 x2 + 37,5kN x m 20kN a4 a1 y x = 3m Ma 4 = 45kNm a H A x = 5m Ma 4 = 0 M A x x R B V 3m 2m A 11 11 a4 -a4 (z prawej strony) Przekrój Przekrój (z prawej strony) kN óó Na 4 =-RB sina + q x sina =-37,5kN sina +15 x sina = m ó x = 0 Na 4 = -33,525kN kN ó = 13, 41 x - 33,525kN ó x = 2m Na 4 = -6,705kN m kN óó Ta 4 =-RB cosa + q x cosa =-37,5kN cosa +15 x cosa = m ó x = 0 Na 4 = -16,763kN kN ó = 6,705 x -16,763kN ó x = 2m Na 4 = -3,353kN m ó x ó ó Ma 4 = RB x -15kN / m x = ó x = 0 Ma 4 = 0 2 kN ó x = 2m Ma 4 = 45kNm ó2 ó = -7,5 x + 37,5kN x m 12 12 2m 2m Wykres sił normalnych Wykres sił normalnych N [kN] 13 13 Wykres sił tnących Wykres sił tnących T [kN] 14 14 Wykres momentów Wykres momentów zginających zginających M [kNm] 15 15 Kontrola wyników Kontrola wyników Sprawdzenie równowagi ogólnej Sprawdzenie równowagi ogólnej Suma rzutów sił na nową oś, Suma rzutów sił na nową oś, nierównoległą do wcześniej nierównoległą do wcześniej nierównoległą do wcześniej nierównoległą do wcześniej wykorzystywanych. wykorzystywanych. Suma momentów względem dowolnego Suma momentów względem dowolnego punktu na płaszczyznie. Punkt powinien punktu na płaszczyznie. Punkt powinien być dobrany tak, aby jak najwięcej reakcji być dobrany tak, aby jak najwięcej reakcji znalazło się w równaniu. znalazło się w równaniu. 16 16 Kontrola wyników Kontrola wyników Sprawdzenie równowagi w węzłach: Sprawdzenie równowagi w węzłach: NA-B X :TA-B + NA-C -TA-D + P = 0
TA-B P P NA-C Y : NA-B -TA-C - NA-D = 0 TA-C TA-D M A-B NA-D M M A-C M : M + M - M - M = 0 A A-B A-C A-D 17 17 M A-D Przykład rama Przykład rama 10kN/m 5kN/m 15kNm 20kN 2m 3,5m 2m 18 18 2 2m 2m Reakcje Reakcje 10kN/m 5kN/m 15kNm H 20kN A V A X : H + 20kN = 0 A 2m 3,5m 2m R B Y :VA + RB - 5 kN 7,5m - 1 5 kN 5,5m = 0 m 2 m kN 1 kN 1 : RB 5,5m -15kNm + 5 2m 2m - 5 5,5m 5,5m + M A m 2 m 2 1 kN 2 - 5 5,5m 5,5m = 0 2 m 3 19 19 Przyjęcie przekrojów, Przyjęcie przekrojów, przedziały przedziały x a4 10kN/m x a3 a2 5kN/m 15kNm a1 -a1 y 0;2m a5 a1 y y a -a x 0;2m a -a x 0;2m H H 20kN A 2 2 a6 V A a -a x 2m;5,5m 3 3 a a -a x 5,5m;7,5m 4 4 2m 3,5m 2m ó R x 0;2m B H = -20kN a -a x 5,5m;6,5m y 0;2m A 5 5 ó x 1m;2m VA = 27,424kN a -a x 6,5m;7,5m y -2m;0 6 6 RB = 23,826kN ó x 0;1m 20 20 2m 2m 2m 2m a1 -a1 y 0;2m Przekrój Przekrój x a x 4 10kN/m a 3 a 2 5kN/m 15kNm Na 1 = -VA = -27,424kN a 5 a 1 y H 20kN A Ta 1 = -H = 20kN A a 6 V A Ma 1 = -H y = 20kN y a A 2m 3,5m 2m R B y = 0 Ma 1 = 0 y = 2m Ma 1 = 40kNm 21 21 a2 -a2 x 0;2m Przekrój Przekrój x a x 4 10kN/m a 3 a 2 Na 2 = 0 5kN/m 15kNm kN a 5 a Ta 2 = -5 x 1 m y H 20kN H 20kN A A x = 0 Ta 2 = 0 a 6 V A a x = 2m Ta 2 = -10kN 2m 3,5m 2m R B kN x kN Ma 2 = -5 x = -2,5 x2 m 2 m x = 0 Ma 2 = 0 x = 2m Ma 2 = -10kNm 22 22 2m 2m 2m 2m a3 -a3 x 2m;5,5m Przekrój Przekrój Na 3 = -H = 20kN A kN 5 kN kN kN 5,5m m ó q = 0,909 x - 2m = 0,909 x -1,818 = ( ) mm2 m m2 m m ó ó q x - 2m q x - 2m kN 1 ó Ta 3 = VA - 5 x - q x - 2m = ( ) m 2 kN 1 kN kN ć0,909 x -1,818 = 27, 424kN - 5 x - x - 2m = ( )
mm2 m 2 Łł kN kN =-0, 455 x2 - 3,182 x + 25,606kN m2 m x = 2m Ta 3 = 17,422kN x = 5,5m Ta 3 = -5,659kN 23 23 a3 -a3 x 2m;5,5m Przekrój Przekrój kN x Ma 3 = VA x - 2m - HA 2m - 5 x + ( ) m 2 11 ó - q x - 2m x - 2m +15kNm = ( ) ( ) 23 kN kN = 27, 424kN x - 2m + 20kN 2m - 2,5 x2 + ( ) ( ) m 1 kN kN 2 ć - 0,909 x -1,818 ( ) x - 2m +15kNm = 6 m2 m Łł kN kN =-0,156 x3 -1,591 x2 + 25,606kN x +1,364kNm m2 m x = 2m Ma 3 = 44,964kNm x = 5,5m Ma 3 = 68,115kNm 24 24 Ekstremum Ekstremum kN kN x Ta 3 =-0, 455 x2 - 3,182 x + 25,606kN = 0 a x 4 m2 m 10kN/m a 3 a 2 5kN/m x = 4,78m 15kNm a 5 a a 1 y H 20kN A a 6 V A a 2m 3,5m 2m R B kN kN Ma 3 =-0,156 x3 -1,591 x2 + 25,606kN x +1,364kNm m2 m Ma 3 4.78m = 70,371kNm ( ) 25 25 a4 -a4 x 5,5m; 7,5m Przekrój Przekrój Na 4 = 0 kN 1 kN ć5 - qó ó Ta 4 = 5 (7,5m - x)+ q (7,5m - x)+ (7,5m - x)=
m 2 m Ł ł kN kN kN kN kN kN ć0,909 x -1,818 ć0,909 x -1,818 = 37,5kN - 5 x - (7,5m - x)+ = 37,5kN - 5 x - (7,5m - x)+
m m2 m Ł ł 1 kN kN kN ć5 - 0,909 x +1.808 + (7,5m - x)=
2 m m2 m Ł ł kN kN = -0,454 x2 - 3,182 x + 49,433kN m2 m x = 5,5m Ta 4 =18,199kN x = 7,5m Ta 4 = 0,031kN 0 26 26 2m 2m a4 -a4 x 5,5m; 7,5m Przekrój Przekrój kN 11 ó Ma 4 =-5 7,5m - x 7,5m - x - q 7,5m - x 7,5m - x + ( ) ( ) ( ) ( ) m 22 1 kN 2 ć5 - qó 7,5m - x 7,5m - x = - ( ) ( )
5 - 0,909 m2 -1,818 m 2 m 3 Łł Łł kN kN =-0,152 x3 -1,591 x2 + 49, 433kN x - 217,331kNm m2 m x = 5,5m Ma 4 = -18,886kNm x = 7,5m Ma 4 = -0,202kNm 0 27 27 a4 -a4 Przekrój Przekrój Zwiększenie dokładności przy x w Zwiększenie dokładności przy x w najwyższej potędze (większa liczba najwyższej potędze (większa liczba cyfr znaczących): cyfr znaczących): cyfr znaczących): cyfr znaczących): kN kN Ta 4 =-0, 4545 x2 - 3,182 x + 49, 433kN m2 m kN kN Ma 4 =-0,1515 x3 -1,591 x2 + 49, 433kN x - 217,331kNm m2 m x = 5,5m Ta 4 =18.183kN Ma 4 = -18,783kNm x = 7,5m Ta 4 = 0,002kN 0 Ma 4 = 0,009kNm 28 28 ó a6 -a6 x 0;1m Przekrój Przekrój x a4 10kN/m x a3 a2 5kN/m 15kNm a5 a1 y H 20kN A a6 V A a 2m 3,5m 2m R B 2m 4m cosa = = 0,447 sina = = 0,894 2 2 2 2 (4m) + (2m) (4m) +(2m) 29 29 ó a6 -a6 x 0;1m Przekrój Przekrój Na 6 =-RB sina =-23,826kN 0,894 =-21,300kN Ta 6 =-RB cosa =-23,826kN 0, 447 =-10,650kN óó óó Ma = R x = 23,826kN x Ma 6 = RB x = 23,826kN x x a x 4 10kN/m a 3 a 2 5kN/m ó x = 0 Ma 6 = 0 15kNm a 5 a 1 ó x =1m Ma 6 = 23,826kNm y H 20kN A a 6 V A a 2m 3,5m 2m R B 30 30 2m 2m 2m 2m ó a5 -a5 x 1m;2m Przekrój Przekrój Na 5 =-RB sina + 20cosa = =-23,826kN 0,894 + 20kN 0, 447 =-12,360kN Ta 5 =-RB cosa - 20sina = =-23,826kN 0, 447 - 20kN 0,894 =-28,530kN =-23,826kN 0, 447 - 20kN 0,894 =-28,530kN x a x 4 10kN/m a 3 a 2 5kN/m ó Ma 5 = RB x + 20 y = 15kNm ó a = 23,826kN x + 20kN y 5 a 1 y H 20kN A ó x = 1m y = 0 Ma 5 = 23,826kNm a 6 V A ó x = 2m y = 2m Ma 5 = 87,652kNm a 2m 3,5m 2m R B 31 31 Wykres sił normalnych Wykres sił normalnych N [kN] 32 32 2m 2m Wykres sił tnących Wykres sił tnących T [kN] 33 33 Wykres momentów Wykres momentów zginających zginających M [kNm] 34 34 Przykład rama ze ściągiem Przykład rama ze ściągiem 10kN/m 5kN/m 10kN 5kN/m 2m 2m 3m 35 35 Reakcje podporowe Reakcje podporowe 10kN/m 5kN/m 10kN a 5kN/m H B 2m 2m 3m V R A B 3m 5m cosa == 0,514 sina == 0,857 22 22 3m + 5m ( ) ( ) 3m + 5m ( ) ( ) 36 36 2m 1m 2m 2m 1m 2m Reakcje podporowe Reakcje podporowe 1 kN kN 22 X : HB + 10 3m - 5 3m + 5m sina = 0 ( ) ( )
2 mm 22 ( ) ( ) Y : RA +VB -10kN - 5 kN 3m + 5m cosa = 0 m -10kN 5m + M : RA 7m + 110 kN 3m ć 2m + 2 3m B 2 m 3 Łł kN 22 22 1 - 5 3m + 5m 3m + 5m = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) m 2 HB = 9,986kN RA = 10,714kN VB = 14, 272kN 37 37 Reakcje w przegubach Reakcje w przegubach ściągu ściągu X : HD - HE = 0 Y :VD +VE -10kN = 0 HD = 2, 247kN M :VE 5, 2m + HE 1m -10kN 2m = 0 HE = 2, 247kN D l M : RA 2m -VD 2m + HD 3m - 110 kN 3m 1 3m = 0 VD = 6,586kN C 2 m 3 C C 10kN/m 10kN/m 5kN/m V = 3, 414kN VE = 3, 414kN HE 10kN VE H E HD V D V VD E H 2m 2m 1,2m D 5kN/m H B 2m 2m 3m R V 38 A B 38 2m 1m 1m 2m Przyjęcie przekrojów, Przyjęcie przekrojów, przedziały przedziały a3 10kN/m 5kN/m a4 a2 a7 10kN a1 -a1 y 0;2m a6 a5 a2 -a2 y 2m;5m a1 a3 -a3 x 0;4m x 5kN/m y H x B 2m 2m 3m a4 -a x 4m;5, 2m y 3m;5m R V A B 4 ó x 1,8m;3m a6 -a6 x 0;2m y 2m; 2,6m a5 -a5 x 5, 2m;7m y 0;3m ó x 0;1,8m a7 -a7 x 2m;5, 2m y 2,6m;3m 39 39 a1 -a1 y 0;2m Przekrój Przekrój Na 1 =-RA =-10,714kN a3 10kN/m 5kN/m Ta 1 = 0 a4 a2 Ma 1 = 0 a7 10kN a6 a5 a1 x 5kN/m y H x B 2m 2m 3m V R A B 40 40 2m m 1m 2m 2m 1m 2m a2 -a2 y 2m;5m Przekrój Przekrój Na 2 =-RA +VD =-10,714kN + 6,586kN =-4,128kN a 3 10kN/m kN 5kN/m 10 3m m = a 4 ó ó q y - 2m q y - 2m a 2 a 10kN 7 kN ó q = 3,333 y - 2m ( ) a 6 m2 a 5 a 1 x 5kN/m y H x B 2m 2m 3m V R A B 41 41 a2 -a2 y 2m;5m Przekrój Przekrój 1 ó Ta 2 = HD - q y - 2m ( ) 2 1 kN 2 y = 2m Ta 2 = 2, 245kN = 2, 247kN - 3,333 y - 2m = ( ) 2 m2 y = 5m Ta 2 = -12,764kN kN kN =-1,667 y2 + 6,666kN y - 4.419kN =-1,667 y2 + 6,666kN y - 4.419kN m2 11 ó Ma 2 = HD y - 2m - q y - 2m y - 2m = ( ) ( ) ( ) 23 y = 2m Ma 2 = 0 1 kN 3 y = 5m Ma 2 = -8, 258kNm = 2, 247kN y - 2m - 3,333 y - 2m = ( ) ( ) 6 m2 kN kN =-0,5555 y3 + 3,333 y2 - 4, 419kN y - 0,050kNm m2 m 42 42 2m 1m 2m Ekstremum Ekstremum kN Ta 2 =-1,667 y2 + 6,666kN y - 4.419kN = 0 m2 a 3 10kN/m 5kN/m a y = 3.16m 4 a 2 a a 10kN 7 10kN 7 a 6 a 5 a 1 x 5kN/m y H x B 2m 2m 3m R V A B kN kN Ma 2 =-0,5555 y3 + 3,333 y2 - 4, 419kN y - 0,050kNm m2 m Ma 2 3,16m =1.739kNm ( ) 43 43 a3 -a3 x 0;4m Przekrój Przekrój 1 kN Na 3 = HD - 10 3m = 2 m = 2, 247kN -15kN = -12,753kN Ta = R -V = 10,714kN - 6,586kN = 4,128kN Ta 3 = RA -VD = 10,714kN - 6,586kN = 4,128kN 1 kN 1 Ma 3 = RA x -VD x + HD 3m - 10 3m 3m = 2 m 3 = 10,714kN x - 6,586kN x + 2, 247kN 3m -15kNm = = 4,128kN x - 8, 259kNm x = 0m Ma 3 = -8, 259kNm x = 2m Ma 3 = -0,003kNm 0 x = 4m Ma 3 = 8, 253kNm 44 44 2m 1m 2m ó a5 -a5 x 0m;1,8m Przekrój Przekrój Na 5 = HB cosa -VB sina = = 9,986kN 0,514 -14, 272kN 0,857 = -7,098kN kN ó2 ó2 T =-H sina -V cosa + 5 x + y2 = Ta 5 =-HB sina -VB cosa + 5 x + y2 = m kN ó2 =-9,986kN 0,857 -14, 272kN 0,514 + 5 x + y2 = m kN ó2 =-15,894kN + 5 x + y2 = m kN ó x = 0m Ta 5 = -15,894kN ó =-15,894kN + 9,720 x m ó x =1,8m Ta 5 =1,602kN 45 45 ó a5 -a5 x 0m;1,8m Przekrój Przekrój kN óó2 1 ó2 Ma 5 = VB x + HB y - 5 x + y2 x + y2 = m 2 kN óó2 =14, 272kN x + 9,986kN y - 2,5 x + y2 = ( ) ( ) m m kN 2 óó ó ó2 =14, 272kN x + 9,986kN 1,667x - 2,5 x + 1,667x = ( ) ( ) m kN ó2 ó =-9, 447 x + 30,919kN x m ó x = 0 Ma 5 = 0 ó x = 1,8m Ma 5 = 25,046kNm 46 46 Ekstremum Ekstremum kN ó Ta 5 =-15,894kN + 9,720 x = 0 a m 3 10kN/m 5kN/m ó x = 1.635m a 4 a a 2 a 10kN 7 a 6 a 5 a 1 x 5kN/m y H x B 2m 2m 3m V R A B kN Ma 5 1.635m = 25.299kNm ( ó2 ó ) Ma 5 =-9, 447 x + 30,919kN x m 47 47 ó a4 -a4 x 1,8m; 3m Przekrój Przekrój Na 4 =-7,098kN + HE cosa +VE sina = =-7,098kN + 2, 247kN 0,514 + 3, 414kN 0,857 = =-3,008kN kN kN ó Ta 4 =-15,894kN + 9,720 x - HE sina +VE cosa = m kN ó =-15,894kN + 9,720 x - 2,247kN 0,857 + 3,414kN 0,514 = m kN ó = 9,720 x -16,065kN m ó x = 0 Ta 4 = 1, 431kN ó x = 1,8m Ta 4 = 13,095kN 48 48 2m 1m 2m ó a4 -a4 x 1,8m; 3m Przekrój Przekrój kN ó2 ó ó Ma 4 =-9, 447 x + 30,919kN x + HE y - 3m -VE x -1,8m = ( ) ( ) m kN ó2 ó ó =-9, 447 x + 30,919kN x + 2, 247kN 1,667x - 3m + ( ) m m ó - 3, 414kN x -1,8m = ( ) ( ) kN ó2 ó =-9, 447 x + 31, 251kN x - 0,596kNm m ó x = 1,8m Ma 4 = 25,048kNm ó x = 3m Ma 4 = 8,134kNm 49 49 a6 -a6 x 0;2m Przekrój Przekrój 10kN/m 5kN/m 1m sinb == 0,189 22 1m + 5, 2m ( ) ( ) 5, 2m cosb == 0,982 10kN 10kN 22 22 1m + 5, 2m 1m + 5, 2m ( ) ( ) ( ) ( ) b 5kN/m H B 2m 2m 3m R V A B 50 50 2m 1m 2m a6 -a6 x 0;2m Przekrój Przekrój HE 10kN a 7 a 6 VE HD b VD Na 6 =-HD cos b -VD sin b = 2m 2m 1,2m =-2, 247kN 0,982 - 6,586kN 0,189 =-3, 451kN =-2, 247kN 0,982 - 6,586kN 0,189 =-3, 451kN Ta 6 =-HD sin b +VD cos b = =-2, 247kN 0,189 + 6,586kN 0,982 = 6,043kN Ma 6 =-HD y - 2m +VD x = ( ) x ć =-2, 247kN + 2m - 2m + 6,586kN x = 5, 2 Łł x = 0m Ma 6 = 0 =-0, 432x + 6,586x = 6,154x x = 2m Ma 6 =12,308kNm 51 51 a7 -a7 x 2m;5, 2m Przekrój Przekrój Na 7 =-3, 451kN +10kN sin b = =-3, 451kN +10kN 0,189 =-1,561kN Ta 7 = 6,043kN -10kN cosb = Ta 7 = 6,043kN -10kN cosb = = 6,043kN -10kN 0,982 = -3,777kN Ma 7 = 6,154x -10kN x - 2m = ( ) =-3,846x + 20kNm HE 10kN a 7 x = 2m Ma 7 = 12,308kNm a 6 VE x = 5, 2m Ma 7 = 0,001kNm 0 HD b VD 2m 2m 1,2m 52 52 1m 1m Wykres sił normalnych Wykres sił normalnych N [kN] 53 53 Wykres sił tnących Wykres sił tnących T [kN] 54 54 Wykres momentów Wykres momentów zginających zginających M [kNm] 55 55