7 Siły wewnętrzne w ramach
Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 7
Wykład nr 7
Obliczanie sił wewnętrznych w
Obliczanie sił wewnętrznych w
ramach.
ramach.
1
1
Przykład rama
Przykład rama
15kN/m
10kNm
20kN
3m 2m
2
2
2m
2m
Reakcje
Reakcje
15kN/m
C
10kNm
20kN
20kN
X : H +� 20kN =� 0
�� A
H
A
M
A ��Y :VA +� RB -�15kN ��5m =� 0
R
B
V
A
3m 2m
1
: M +� RB ��5m +�10kNm -� 20kN �� 2m -�15kN / m ��5m �� 5m =� 0
��M A A
2
p
��M : RB ��5m -�15kN / m ��5m�� 1 5m =� 0
C
3
3
2
Przyjęcie przekrojów,
Przyjęcie przekrojów,
przedziały
przedziały
a�
15kN/m
3
C
H =� -�20kN
A
D
y
10kNm
VA =� 37,5kN
a�
2
RB =� 37,5kN
20kN
a�
a�
4
4
M =� 30kNm
M =� 30kNm
A
a�
1
y
a� -�a�1 y �� 0;2m
1
a�
H
A
a� -�a� y �� 2m;4m
2 2
M
A
x
x
R
B a� -�a� x �� 0m;3m
V 3 3
3m 2m
A
a� -�a� x �� 3m;5m y �� 0m;4m
4 4
ó�ó�
x �� 0m;2m y �� 0m;4m
ó�ó�
punkt D x =� 3m, y =� 4m, x =� 2m, y =� 0
ó�ó�
punkt B x =� 5m, y =� 0, x =� 0, y =� 4m
4
4
2m
2m
2m
2m
a�1 -�a�1 y �� 0;2m
Przekrój
Przekrój
15kN/m a�
3
y
10kNm
a�
2
Na� 1 =� -�VA =� -�37,5kN
20kN
20kN
a�
a�
4
Ta� 1 =� -�H =� 20kN a�
1
A
y
a�
H
Ma� 1 =� -�M -� H �� y =�
A
A A
M
A
x
x
=� 20kN �� y -� 30kNm
R
B
V
A 3m 2m
y =� 0 Ma� 1 =� -�30kNm
y =� 2m Ma� 1 =� 10kNm
5
5
a�2 -�a�2 y �� 2m;4m
Przekrój
Przekrój
a�
15kN/m
3
y
10kNm
a�
2
20kN
a�
a�
4
4
a�
1
Na� 2 =� -�37,5kN
y
a�
H
A
M
A
x
x
Ta� 2 =� -�H -� 20kN =� 0
R
B
A
V
3m 2m
A
Ma� 2 =� 20kN �� y -� 30kNm -� 20kN �� y -� 2m =� 10kNm
(� )�
6
6
2m
2m
2m
2m
a�3 -�a�3 x �� 0;3m
Przekrój
Przekrój
Na� 3 =� -�H -� 20kN =� 20kN -� 20kN =� 0
A
Ta� 3 =� VA -�15kN / m �� x =� 37,5kN -�15kN / m �� x
x =� 0m Ta� 3 =� 37,5kN
x =� 3m Ta� 3 =� -�7,5kN
x
Ma� 3 =� VA �� x -� HA �� 4m -� M -� 20kN �� 2m -�10kNm -�15kN / m�� x�� =�
A
2
15kN/m a�
3
=�-�7,5kN / m�� x2 +� 37,5kN �� x
y
10kNm
a�
2
20kN
a�
4
x =� 0m Ma� 3 =� 0
a�
1
y
x =� 3m Ma� 3 =� 45kNm
a�
H
A
M
A
x
x
R
B 7
7
V
A 3m 2m
Ekstremum
Ekstremum
a�
15kN/m
3
y
10kNm
a�
2
Ta� 3 =� 37,5kN -�15kN / m�� x =� 0
20kN
a�
a�
4
4
x =� 2,5m
x =� 2,5m
a�
1
y
Ma� 3 =�-�7,5kN / m�� x2 +� 37,5kN �� x
a�
H
A
M
A
x
x
R
B
Ma� 3 2,5m =� 46,875kNm
(� )�
V
3m 2m
A
8
8
2m
2m
2m
2m
a�4 -�a�4
Przekrój
Przekrój
a�
15kN/m
3
y
10kNm
a�4 -�a�4 x �� 3m;5m y �� 0m;4m
a�
2
ó�ó�
x �� 0m;2m y �� 0m;4m
20kN
a�
a�
ó�ó�
ó�ó�
4 punkt D x =� 3m, y =� 4m, x =� 2m, y =� 0
4 punkt D x =� 3m, y =� 4m, x =� 2m, y =� 0
ó�ó�
punkt B x =� 5m, y =� 0, x =� 0, y =� 4m
a�
1
y
a�
H
A
M
A
x
x
R
B
V
3m 2m
A
2m
4m
cosa� =� =� 0,447
sina� =� =� 0,894
2 2
2 2
(�4m)� +� (�2m)�
(�4m)� +� (�2m)�
9
9
a�4 -�a�4
Przekrój (z lewej strony)
Przekrój (z lewej strony)
Na� 4 =� -�H cosa� -� 20kN cosa� +�VA sina� -� q �� xsina� =�
A
kN
=� 37,5kN sina� -�15 x sina� =�
m
kN
kN
x =� 3m N =� -�6,705kN
x =� 3m Na� 4 =� -�6,705kN
=� -�13,41 x +� 33,525kN
m
x =� 5m Na� 4 =� -�33,525kN
Ta� 4 =� HA sina� +� 20kN sina� +�VA cosa� -� q �� x cosa� =�
kN
=� 37,5kN cosa� -�15 x cosa� =�
m
kN
x =� 3m Na� 4 =� -�3,352kN
=�-�6,705 x +�16,763kN
m
x =� 5m Na� 4 =� -�16,762kN
10
10
2m
2m
a�4 -�a�4
Przekrój (z lewej strony)
Przekrój (z lewej strony)
x
Ma� 4 =� VA �� x -� HA �� y -� 20kN �� y -� 2m -� M -�15kN / m�� x �� -�10kNm =�
(� )�
A
2
=� 37,5kN �� x +� 20kN �� y -� 20kN �� y +� 40kNm +�
15kN/m a�3
kN
-� 30kNm -� 7,5 x -�10kNm =�
-� 30kNm -� 7,5 x2 -�10kNm =�
y
m
10kNm
a�2
kN
=�-�7,5 x2 +� 37,5kN �� x
m
20kN
a�4
a�1
y
x =� 3m Ma� 4 =� 45kNm
a�
H
A
x =� 5m Ma� 4 =� 0
M
A
x
x
R
B
V
3m 2m
A
11
11
a�4 -�a�4 (z prawej strony)
Przekrój
Przekrój (z prawej strony)
kN
ó�ó�
Na� 4 =�-�RB sina� +� q �� x sina� =�-�37,5kN sina� +�15 x sina� =�
m
ó�
x =� 0 Na� 4 =� -�33,525kN
kN
ó�
=� 13, 41 x -� 33,525kN
ó�
x =� 2m Na� 4 =� -�6,705kN
m
kN
ó�ó�
Ta� 4 =�-�RB cosa� +� q �� x cosa� =�-�37,5kN cosa� +�15 x cosa� =�
m
ó�
x =� 0 Na� 4 =� -�16,763kN
kN
ó�
=� 6,705 x -�16,763kN
ó�
x =� 2m Na� 4 =� -�3,353kN
m
ó�
x
ó� ó�
Ma� 4 =� RB �� x -�15kN / m �� x �� =�
ó�
x =� 0 Ma� 4 =� 0
2
kN
ó�
x =� 2m Ma� 4 =� 45kNm
ó�2 ó�
=� -�7,5 x +� 37,5kN �� x
m
12
12
2m
2m
Wykres sił normalnych
Wykres sił normalnych
N [kN]
13
13
Wykres sił tnących
Wykres sił tnących
T [kN]
14
14
Wykres momentów
Wykres momentów
zginających
zginających
M [kNm]
15
15
Kontrola wyników
Kontrola wyników
Sprawdzenie równowagi ogólnej
Sprawdzenie równowagi ogólnej
Suma rzutów sił na nową oś,
Suma rzutów sił na nową oś,
nierównoległą do wcześniej
nierównoległą do wcześniej
nierównoległą do wcześniej
nierównoległą do wcześniej
wykorzystywanych.
wykorzystywanych.
Suma momentów względem dowolnego
Suma momentów względem dowolnego
punktu na płaszczyznie. Punkt powinien
punktu na płaszczyznie. Punkt powinien
być dobrany tak, aby jak najwięcej reakcji
być dobrany tak, aby jak najwięcej reakcji
znalazło się w równaniu.
znalazło się w równaniu.
16
16
Kontrola wyników
Kontrola wyników
Sprawdzenie równowagi w węzłach:
Sprawdzenie równowagi w węzłach:
NA-B
X :TA-�B +� NA-�C -�TA-�D +� P =� 0
��
TA-B
P
P
NA-C
��Y : NA-�B -�TA-�C -� NA-�D =� 0
TA-C
TA-D
M
A-B
NA-D
M
M
A-C
��M : M +� M -� M -� M =� 0
A A-�B A-�C A-�D
17
17
M
A-D
Przykład rama
Przykład rama
10kN/m
5kN/m
15kNm
20kN
2m 3,5m 2m
18
18
2
2m
2m
Reakcje
Reakcje
10kN/m
5kN/m
15kNm
H 20kN
A
V
A
X : H +� 20kN =� 0
�� A
2m 3,5m 2m
R
B
��Y :VA +� RB -� 5 kN ��7,5m -� 1 5 kN ��5,5m =� 0
m 2 m
kN 1 kN 1
: RB ��5,5m -�15kNm +� 5 �� 2m�� 2m -� 5 ��5,5m�� 5,5m +�
��M A
m 2 m 2
1 kN 2
-� 5 ��5,5m�� 5,5m =� 0
2 m 3
19
19
Przyjęcie przekrojów,
Przyjęcie przekrojów,
przedziały
przedziały
x
a�4 10kN/m
x
a�3
a�2
5kN/m
15kNm
a�1 -�a�1 y �� 0;2m
a�5
a�1
y
y
a� -�a� x �� 0;2m
a� -�a� x �� 0;2m
H
H 20kN
A
2 2
a�6
V
A
a� -�a� x �� 2m;5,5m
3 3
a�
a� -�a� x �� 5,5m;7,5m
4 4
2m 3,5m 2m
ó�
R x �� 0;2m
B
H =� -�20kN
a� -�a� x �� 5,5m;6,5m y �� 0;2m
A
5 5
ó�
x �� 1m;2m
VA =� 27,424kN
a� -�a� x �� 6,5m;7,5m y �� -�2m;0
6 6
RB =� 23,826kN
ó�
x �� 0;1m
20
20
2m
2m
2m
2m
a�1 -�a�1 y �� 0;2m
Przekrój
Przekrój
x
a�
x
4
10kN/m
a�
3
a�
2
5kN/m
15kNm
Na� 1 =� -�VA =� -�27,424kN
a�
5
a�
1
y
H
20kN
A
Ta� 1 =� -�H =� 20kN
A
a�
6
V
A
Ma� 1 =� -�H �� y =� 20kN �� y a�
A
2m 3,5m 2m
R
B
y =� 0 Ma� 1 =� 0
y =� 2m Ma� 1 =� 40kNm
21
21
a�2 -�a�2 x �� 0;2m
Przekrój
Przekrój
x
a�
x 4
10kN/m
a�
3
a�
2
Na� 2 =� 0 5kN/m
15kNm
kN
a�
5
a�
Ta� 2 =� -�5 �� x 1
m
y
H 20kN
H 20kN
A
A
x =� 0 Ta� 2 =� 0 a�
6
V
A
a�
x =� 2m Ta� 2 =� -�10kN
2m 3,5m 2m
R
B
kN x kN
Ma� 2 =� -�5 �� x �� =� -�2,5 �� x2
m 2 m
x =� 0 Ma� 2 =� 0
x =� 2m Ma� 2 =� -�10kNm
22
22
2m
2m
2m
2m
a�3 -�a�3 x �� 2m;5,5m
Przekrój
Przekrój
Na� 3 =� -�H =� 20kN
A
kN
5
kN kN kN
5,5m
m
ó�
q =� 0,909 x -� 2m =� 0,909 x -�1,818
=� (� )�
mm2 m
m2 m m
ó�
ó�
q x -� 2m
q x -� 2m
kN 1
ó�
Ta� 3 =� VA -� 5 �� x -� q x -� 2m =�
(� )�
m 2
kN 1 kN kN
ć�0,909 x -�1,818 ��
=� 27, 424kN -� 5 �� x -� x -� 2m =�
(� )�
����
mm2 m
2
Ł�ł�
kN kN
=�-�0, 455 x2 -� 3,182 x +� 25,606kN
m2 m
x =� 2m Ta� 3 =� 17,422kN
x =� 5,5m Ta� 3 =� -�5,659kN
23
23
a�3 -�a�3 x �� 2m;5,5m
Przekrój
Przekrój
kN x
Ma� 3 =� VA �� x -� 2m -� HA �� 2m -� 5 �� x�� +�
(� )�
m 2
11
ó�
-� q �� x -� 2m �� x -� 2m +�15kNm =�
(� )� (� )�
23
kN
kN
=� 27, 424kN �� x -� 2m +� 20kN �� 2m -� 2,5 �� x2 +�
(� )�
(� )�
m
1 kN kN
2
��
-� 0,909 x -�1,818
(� )�
������ x -� 2m +�15kNm =�
6 m2 m
Ł�ł�
kN kN
=�-�0,156 x3 -�1,591 x2 +� 25,606kN �� x +�1,364kNm
m2 m
x =� 2m Ma� 3 =� 44,964kNm
x =� 5,5m Ma� 3 =� 68,115kNm
24
24
Ekstremum
Ekstremum
kN kN
x
Ta� 3 =�-�0, 455 x2 -� 3,182 x +� 25,606kN =� 0
a�
x
4
m2 m 10kN/m
a�
3
a�
2
5kN/m
x =� 4,78m
15kNm
a�
5
a�
a�
1
y
H 20kN
A
a�
6
V
A
a�
2m 3,5m 2m
R
B
kN kN
Ma� 3 =�-�0,156 x3 -�1,591 x2 +� 25,606kN �� x +�1,364kNm
m2 m
Ma� 3 4.78m =� 70,371kNm
(� )�
25
25
a�4 -�a�4 x �� 5,5m; 7,5m
Przekrój
Przekrój
Na� 4 =� 0
kN 1 kN
ć�5 -� qó���
ó�
Ta� 4 =� 5 ��(�7,5m -� x)�+� q (�7,5m -� x)�+� (�7,5m -� x)�=�
�� ��
m 2 m
Ł� ł�
kN kN kN
kN kN kN
ć�0,909 x -�1,818 ��
ć�0,909 x -�1,818 ��
=� 37,5kN -� 5 �� x -� (�7,5m -� x)�+�
=� 37,5kN -� 5 �� x -� (�7,5m -� x)�+�
�� ��
�� ��
m m2 m
Ł� ł�
1 kN kN kN
ć�5 -� 0,909 x +�1.808 ��
+� (�7,5m -� x)�=�
�� ��
2 m m2 m
Ł� ł�
kN kN
=� -�0,454 x2 -� 3,182 x +� 49,433kN
m2 m
x =� 5,5m Ta� 4 =�18,199kN
x =� 7,5m Ta� 4 =� 0,031kN � 0
26
26
2m
2m
a�4 -�a�4 x �� 5,5m; 7,5m
Przekrój
Przekrój
kN 11
ó�
Ma� 4 =�-�5 �� 7,5m -� x 7,5m -� x -� q 7,5m -� x 7,5m -� x +�
(� )� (� )� (� )� (� )�
m 22
1 kN 2
ć�5 -� qó��� 7,5m -� x 7,5m -� x =�
-�
(� )� (� )�
����
2 m 3
Ł�ł�
kN 1 kN kN 1
kN 1 22
kN kN 1
��
��
=�-�5 �� 7,5m -� x -� 0,909 -�1,818 7,5m -� x +�
(� )� (� )�
����
m 2 m2 m 2
Ł�ł�
1 ć� kN kN kN �� 2 2
��
-� 7,5m -� x =�
(� )�
����
��5 -� 0,909 m2 -�1,818 m ��
2 m 3
Ł�ł�
Ł�ł�
kN kN
=�-�0,152 x3 -�1,591 x2 +� 49, 433kN �� x -� 217,331kNm
m2 m
x =� 5,5m Ma� 4 =� -�18,886kNm
x =� 7,5m Ma� 4 =� -�0,202kNm � 0
27
27
a�4 -�a�4
Przekrój
Przekrój
Zwiększenie dokładności przy x w
Zwiększenie dokładności przy x w
najwyższej potędze (większa liczba
najwyższej potędze (większa liczba
cyfr znaczących):
cyfr znaczących):
cyfr znaczących):
cyfr znaczących):
kN kN
Ta� 4 =�-�0, 4545 x2 -� 3,182 x +� 49, 433kN
m2 m
kN kN
Ma� 4 =�-�0,1515 x3 -�1,591 x2 +� 49, 433kN �� x -� 217,331kNm
m2 m
x =� 5,5m Ta� 4 =�18.183kN Ma� 4 =� -�18,783kNm
x =� 7,5m Ta� 4 =� 0,002kN � 0 Ma� 4 =� 0,009kNm
28
28
ó�
a�6 -�a�6 x �� 0;1m
Przekrój
Przekrój
x
a�4 10kN/m
x
a�3
a�2
5kN/m
15kNm
a�5
a�1
y
H
20kN
A
a�6
V
A
a�
2m 3,5m 2m
R
B
2m
4m
cosa� =� =� 0,447
sina� =� =� 0,894
2 2
2 2
(�4m)� +� (�2m)�
(�4m)� +�(�2m)�
29
29
ó�
a�6 -�a�6 x �� 0;1m
Przekrój
Przekrój
Na� 6 =�-�RB ��sina� =�-�23,826kN ��0,894 =�-�21,300kN
Ta� 6 =�-�RB ��cosa� =�-�23,826kN ��0, 447 =�-�10,650kN
ó�ó�
ó�ó�
Ma� =� R �� x =� 23,826kN �� x
Ma� 6 =� RB �� x =� 23,826kN �� x x
a�
x 4
10kN/m
a�
3
a�
2
5kN/m
ó�
x =� 0 Ma� 6 =� 0
15kNm
a�
5
a�
1
ó�
x =�1m Ma� 6 =� 23,826kNm
y
H 20kN
A
a�
6
V
A
a�
2m 3,5m 2m
R
B
30
30
2m
2m
2m
2m
ó�
a�5 -�a�5 x �� 1m;2m
Przekrój
Przekrój
Na� 5 =�-�RB ��sina� +� 20cosa� =�
=�-�23,826kN ��0,894 +� 20kN ��0, 447 =�-�12,360kN
Ta� 5 =�-�RB ��cosa� -� 20sina� =�
=�-�23,826kN ��0, 447 -� 20kN ��0,894 =�-�28,530kN
=�-�23,826kN ��0, 447 -� 20kN ��0,894 =�-�28,530kN
x
a�
x 4
10kN/m
a�
3
a�
2
5kN/m
ó�
Ma� 5 =� RB �� x +� 20�� y =�
15kNm
ó� a�
=� 23,826kN �� x +� 20kN �� y 5
a�
1
y
H 20kN
A
ó�
x =� 1m y =� 0 Ma� 5 =� 23,826kNm
a�
6
V
A
ó�
x =� 2m y =� 2m Ma� 5 =� 87,652kNm
a�
2m 3,5m 2m
R
B
31
31
Wykres sił normalnych
Wykres sił normalnych
N [kN]
32
32
2m
2m
Wykres sił tnących
Wykres sił tnących
T [kN]
33
33
Wykres momentów
Wykres momentów
zginających
zginających
M [kNm]
34
34
Przykład rama ze ściągiem
Przykład rama ze ściągiem
10kN/m
5kN/m
10kN
5kN/m
2m 2m 3m
35
35
Reakcje podporowe
Reakcje podporowe
10kN/m
5kN/m
10kN
a�
5kN/m
H
B
2m 2m 3m
V
R
A B
3m
5m
cosa� =�=� 0,514
sina� =�=� 0,857
22
22
3m +� 5m
(� )� (� )�
3m +� 5m
(� )� (� )�
36
36
2m
1m
2m
2m
1m
2m
Reakcje podporowe
Reakcje podporowe
1 kN kN 22
X : HB +� 10 ��3m -� 5 �� 3m +� 5m sina� =� 0
(� )� (� )�
��
2 mm
22
(� )� (� )�
��Y : RA +�VB -�10kN -� 5 kN �� 3m +� 5m cosa� =� 0
m
-�10kN ��5m +�
��M : RA ��7m +� 110 kN ��3m ��ć� 2m +� 2 3m��
B ����
2 m 3
Ł�ł�
kN 22 22
1
-� 5 �� 3m +� 5m �� 3m +� 5m =� 0
(� )� (� )� (� )� (� )�
m 2
HB =� 9,986kN
RA =� 10,714kN
VB =� 14, 272kN
37
37
Reakcje w przegubach
Reakcje w przegubach
ściągu
ściągu
X : HD -� HE =� 0
�� ��Y :VD +�VE -�10kN =� 0 HD =� 2, 247kN
��M :VE ��5, 2m +� HE ��1m -�10kN �� 2m =� 0 HE =� 2, 247kN
D
l
��M : RA �� 2m -�VD �� 2m +� HD ��3m -� 110 kN ��3m �� 1 3m =� 0 VD =� 6,586kN
C
2 m 3
C
C
10kN/m
10kN/m
5kN/m
V =� 3, 414kN
VE =� 3, 414kN
HE
10kN
VE
H
E
HD
V
D
V VD
E
H
2m 2m 1,2m
D
5kN/m
H
B
2m 2m 3m
R V
38
A B 38
2m
1m
1m
2m
Przyjęcie przekrojów,
Przyjęcie przekrojów,
przedziały
przedziały
a�3
10kN/m
5kN/m
a�4
a�2
a�7
10kN
a�1 -�a�1 y �� 0;2m
a�6
a�5
a�2 -�a�2 y �� 2m;5m
a�1
a�3 -�a�3 x �� 0;4m x
5kN/m
y
H
x
B
2m 2m 3m
a�4 -�a� x �� 4m;5, 2m y �� 3m;5m R V
A B
4
ó�
x �� 1,8m;3m
a�6 -�a�6 x �� 0;2m y �� 2m; 2,6m
a�5 -�a�5 x �� 5, 2m;7m y �� 0;3m
ó�
x �� 0;1,8m
a�7 -�a�7 x �� 2m;5, 2m y �� 2,6m;3m
39
39
a�1 -�a�1 y �� 0;2m
Przekrój
Przekrój
Na� 1 =�-�RA =�-�10,714kN
a�3
10kN/m
5kN/m
Ta� 1 =� 0
a�4
a�2
Ma� 1 =� 0
a�7
10kN
a�6
a�5
a�1
x
5kN/m
y
H
x
B
2m 2m 3m
V
R
A B
40
40
2m
m
1m
2m
2m
1m
2m
a�2 -�a�2 y �� 2m;5m
Przekrój
Przekrój
Na� 2 =�-�RA +�VD =�-�10,714kN +� 6,586kN =�-�4,128kN
a�
3
10kN/m
kN
5kN/m
10
3m
m
=�
a�
4
ó�
ó�
q y -� 2m
q y -� 2m
a�
2
a�
10kN
7
kN
ó�
q =� 3,333 y -� 2m
(� )�
a�
6
m2
a�
5
a�
1
x
5kN/m
y
H
x B
2m 2m 3m
V
R
A B
41
41
a�2 -�a�2 y �� 2m;5m
Przekrój
Przekrój
1
ó�
Ta� 2 =� HD -� q �� y -� 2m
(� )�
2
1 kN 2
y =� 2m Ta� 2 =� 2, 245kN
=� 2, 247kN -� 3,333 �� y -� 2m =�
(� )�
2 m2
y =� 5m Ta� 2 =� -�12,764kN
kN
kN
=�-�1,667 y2 +� 6,666kN �� y -� 4.419kN
=�-�1,667 y2 +� 6,666kN �� y -� 4.419kN
m2
11
ó�
Ma� 2 =� HD �� y -� 2m -� q �� y -� 2m �� y -� 2m =�
(� )� (� )� (� )�
23
y =� 2m Ma� 2 =� 0
1 kN 3
y =� 5m Ma� 2 =� -�8, 258kNm
=� 2, 247kN �� y -� 2m -� 3,333 y -� 2m =�
(� )� (� )�
6 m2
kN kN
=�-�0,5555 �� y3 +� 3,333 �� y2 -� 4, 419kN �� y -� 0,050kNm
m2 m
42
42
2m
1m
2m
Ekstremum
Ekstremum
kN
Ta� 2 =�-�1,667 y2 +� 6,666kN �� y -� 4.419kN =� 0
m2
a�
3
10kN/m
5kN/m
a�
y =� 3.16m
4
a�
2
a�
a�
10kN 7
10kN 7
a�
6
a�
5
a�
1
x
5kN/m
y
H
x
B
2m 2m 3m
R V
A B
kN kN
Ma� 2 =�-�0,5555 �� y3 +� 3,333 �� y2 -� 4, 419kN �� y -� 0,050kNm
m2 m
Ma� 2 3,16m =�1.739kNm
(� )�
43
43
a�3 -�a�3 x �� 0;4m
Przekrój
Przekrój
1 kN
Na� 3 =� HD -� 10 ��3m =�
2 m
=� 2, 247kN -�15kN =� -�12,753kN
Ta� =� R -�V =� 10,714kN -� 6,586kN =� 4,128kN
Ta� 3 =� RA -�VD =� 10,714kN -� 6,586kN =� 4,128kN
1 kN 1
Ma� 3 =� RA �� x -�VD �� x +� HD ��3m -� 10 ��3m�� 3m =�
2 m 3
=� 10,714kN �� x -� 6,586kN �� x +� 2, 247kN ��3m -�15kNm =�
=� 4,128kN �� x -� 8, 259kNm
x =� 0m Ma� 3 =� -�8, 259kNm
x =� 2m Ma� 3 =� -�0,003kNm � 0
x =� 4m Ma� 3 =� 8, 253kNm
44
44
2m
1m
2m
ó�
a�5 -�a�5 x �� 0m;1,8m
Przekrój
Przekrój
Na� 5 =� HB cosa� -�VB sina� =�
=� 9,986kN ��0,514 -�14, 272kN ��0,857 =� -�7,098kN
kN
ó�2
ó�2
T =�-�H sina� -�V cosa� +� 5 x +� y2 =�
Ta� 5 =�-�HB sina� -�VB cosa� +� 5 x +� y2 =�
m
kN
ó�2
=�-�9,986kN ��0,857 -�14, 272kN ��0,514 +� 5 x +� y2 =�
m
kN
ó�2
=�-�15,894kN +� 5 x +� y2 =�
m
kN ó�
x =� 0m Ta� 5 =� -�15,894kN
ó�
=�-�15,894kN +� 9,720 x
m
ó�
x =�1,8m Ta� 5 =�1,602kN
45
45
ó�
a�5 -�a�5 x �� 0m;1,8m
Przekrój
Przekrój
kN
ó�ó�2 1 ó�2
Ma� 5 =� VB �� x +� HB �� y -� 5 x +� y2 �� x +� y2 =�
m 2
kN
ó�ó�2
=�14, 272kN �� x +� 9,986kN �� y -� 2,5 x +� y2 =�
(� )�
(� )�
m
m
kN 2
ó�ó� ó�
ó�2
=�14, 272kN �� x +� 9,986kN ��1,667x -� 2,5 x +� 1,667x =�
(� )�
(� )�
m
kN
ó�2 ó�
=�-�9, 447 x +� 30,919kN �� x
m
ó�
x =� 0 Ma� 5 =� 0
ó�
x =� 1,8m Ma� 5 =� 25,046kNm
46
46
Ekstremum
Ekstremum
kN
ó�
Ta� 5 =�-�15,894kN +� 9,720 x =� 0
a�
m 3
10kN/m
5kN/m
ó�
x =� 1.635m
a�
4
a�
a�
2
a�
10kN
7
a�
6
a�
5
a�
1
x
5kN/m
y
H
x B
2m 2m 3m
V
R
A B
kN
Ma� 5 1.635m =� 25.299kNm
(�
ó�2 ó� )�
Ma� 5 =�-�9, 447 x +� 30,919kN �� x
m
47
47
ó�
a�4 -�a�4 x �� 1,8m; 3m
Przekrój
Przekrój
Na� 4 =�-�7,098kN +� HE cosa� +�VE sina� =�
=�-�7,098kN +� 2, 247kN ��0,514 +� 3, 414kN ��0,857 =�
=�-�3,008kN
kN
kN
ó�
Ta� 4 =�-�15,894kN +� 9,720 x -� HE sina� +�VE cosa� =�
m
kN
ó�
=�-�15,894kN +� 9,720 x -� 2,247kN ��0,857 +� 3,414kN ��0,514 =�
m
kN
ó�
=� 9,720 x -�16,065kN
m
ó�
x =� 0 Ta� 4 =� 1, 431kN
ó�
x =� 1,8m Ta� 4 =� 13,095kN
48
48
2m
1m
2m
ó�
a�4 -�a�4 x �� 1,8m; 3m
Przekrój
Przekrój
kN
ó�2 ó� ó�
Ma� 4 =�-�9, 447 x +� 30,919kN �� x +� HE �� y -� 3m -�VE �� x -�1,8m =�
(� )� (� )�
m
kN
ó�2 ó� ó�
=�-�9, 447 x +� 30,919kN �� x +� 2, 247kN 1,667x -� 3m +�
(� )�
m
m
ó�
-� 3, 414kN �� x -�1,8m =�
(� )�
(� )�
kN
ó�2 ó�
=�-�9, 447 x +� 31, 251kN �� x -� 0,596kNm
m
ó�
x =� 1,8m Ma� 4 =� 25,048kNm
ó�
x =� 3m Ma� 4 =� 8,134kNm
49
49
a�6 -�a�6 x �� 0;2m
Przekrój
Przekrój
10kN/m
5kN/m
1m
sinb� =�=� 0,189
22
1m +� 5, 2m
(� )� (� )�
5, 2m
cosb� =�=� 0,982
10kN
10kN
22
22
1m +� 5, 2m
1m +� 5, 2m
(� )� (� )�
(� )� (� )�
b�
5kN/m
H
B
2m 2m 3m
R V
A B
50
50
2m
1m
2m
a�6 -�a�6 x �� 0;2m
Przekrój
Przekrój
HE
10kN
a�
7
a�
6
VE
HD
b�
VD
Na� 6 =�-�HD cos b� -�VD sin b� =�
2m 2m 1,2m
=�-�2, 247kN ��0,982 -� 6,586kN ��0,189 =�-�3, 451kN
=�-�2, 247kN ��0,982 -� 6,586kN ��0,189 =�-�3, 451kN
Ta� 6 =�-�HD sin b� +�VD cos b� =�
=�-�2, 247kN ��0,189 +� 6,586kN ��0,982 =� 6,043kN
Ma� 6 =�-�HD �� y -� 2m +�VD �� x =�
(� )�
x
��
=�-�2, 247kN ���� +� 2m -� 2m�� +� 6,586kN �� x =�
5, 2
Ł�ł�
x =� 0m Ma� 6 =� 0
=�-�0, 432x +� 6,586x =� 6,154x
x =� 2m Ma� 6 =�12,308kNm
51
51
a�7 -�a�7 x �� 2m;5, 2m
Przekrój
Przekrój
Na� 7 =�-�3, 451kN +�10kN sin b� =�
=�-�3, 451kN +�10kN ��0,189 =�-�1,561kN
Ta� 7 =� 6,043kN -�10kN cosb� =�
Ta� 7 =� 6,043kN -�10kN cosb� =�
=� 6,043kN -�10kN ��0,982 =� -�3,777kN
Ma� 7 =� 6,154x -�10kN �� x -� 2m =�
(� )�
=�-�3,846x +� 20kNm
HE
10kN
a�
7
x =� 2m Ma� 7 =� 12,308kNm
a�
6
VE
x =� 5, 2m Ma� 7 =� 0,001kNm � 0
HD
b�
VD
2m 2m 1,2m
52
52
1m
1m
Wykres sił normalnych
Wykres sił normalnych
N [kN]
53
53
Wykres sił tnących
Wykres sił tnących
T [kN]
54
54
Wykres momentów
Wykres momentów
zginających
zginających
M [kNm]
55
55
Wyszukiwarka