lista7

Podstawy Teleinformatyki
Lista 7
Widma amplitudowe, fazowe i energetyczne
1 Widmo amplitudowe i fazowe
Niech F (�) = F[f(t)] będzie transformatą Fouriera funkcji f. Transformata Fouriera jest funkcją w
ciągłej dziedzinie częstości kołowej �. W ogólności jest to funkcja zespolona (F (�) = a(�) + ib(�),
gdzie a(�), b(�) są funkcjami rzeczywistymi), którą można przedstawić w postaci wykładniczej:

b(�)
F (�) = |F (�)|eiŚ(�), |F (�)| = a2(�) + b2(�), Ś(�) = arc tg (1)
a(�)
Dla szeregu Fouriera mieliśmy do czynienia z charakterystyką amplitudowo-fazową. W przypadku
transformaty Fouriera mówimy o widmie amplitudowo-fazowym. W przeciwieństwie do charaktery-
styk, które były funkcjami dyskretnymi n�0, widma są funkcjami rzeczywistymi częstości kołowej
�.
Definicja 1 Funkcję |F (w)| nazywamy widmem amplitudowym.
Definicja 2 Funkcję Ś(�) nazywamy widmem fazowym.
Podobnie jak w przypadku charakterystyk, można udowodnić twierdzenia:
Twierdzenie 1 Widmo amplitudowe |F (�)| funkcji rzeczywistej f(t) jest zawsze funkcją parzystą.
Twierdzenie 2 Widmo fazowe Ś(�) funkcji rzeczywistej f(t) jest zawsze funkcją nieparzystą.
Twierdzenia 1 i 2 nie są prawdziwe dla funkcji zespolonych f(t).
1.1 Przykład
1
Dana jest transformata F (�) = . Należy wyznaczyć i narysować widmo amplitudowo-fazowe.
1+i�
Zaczniemy od wyznaczenia postaci wykładniczej transformaty:
1 1 �
F (�) = = - i
1 + i� 1 + �2 1 + �2
2
2
1 � 1
|F (�)| = + - =
1 + �2 1 + �2 1 + �2
1

�
-
1+�2
Ś(�) = arc tg = arc tg (-�)
1
1+�2
Czyli ostatecznie:

1
F (�) = ei arc tg(-�)
1 + �2
Rysunek 1: Widmo amplitudowe i fazowe dla funkcji z przykładu
Z reguły, jeżeli funkcja F (�) jest rzeczywista, szkicuje się bezpośrednio funkcję F (�). Jeżeli jest
zespolona szkicuje się widmo amplitudowe i fazowe.
Zadanie 1.1 Dla podanych funkcji wyznacz i naszkicuj widma amplitudowo-fazowe:
a. f(t) = G1(t), F (�) = 2Sa(�) (szkicujemy bezpośrednio funkcję F (�))
b. f(t) = Sa(t), F (�) = ĄG1(�) (szkicujemy bezpośrednio funkcję F (�))
c. f(t) = G1(t)e2it (korzystając z pkt. a)
d. f(t) = G1(2t)
1
e. f(t) = �(t), F (�) = Ą�(�) +
i�
f. f(t) = cos(t), F (�) = Ą(�(� + 1) + �(� - 1))
g. f(t) = sin(t), F (�) = iĄ(�(� + 1) - �(� - 1))
Ą
h. f(t) = cos(t - )
2
2
2 Widmo energii
Energia niesiona przez sygnał w pewnym przedziale czasu [t1, t2] może zostać wyrażona jako:

t2
E = f2(t) dt (2)
t1
W związku z tym całkowitą energię pewnego sygnału (o ile jest skończona) f(t) można obliczyć jako:

"
E = f2(t) dt (3)
-"
Można wykazać, że:

" "
1
E = f2(t) dt = |F (�)|2 d� (4)
-" 2Ą -"
gdzie |F (�)| jest widmem amplitudowym. Pozwala to obliczyć energię zawartą w pewnym paśmie
częstotliwości [�1, �2] jako:

-�1 �2 �2
1 1 1
E = |F (�)|2 d� + |F (�)|2 d� = |F (�)|2 d� (5)
2Ą -�2 2Ą �1 Ą �1
Umożliwia to analizę, jaka część energii sygnału jest zawarta w określonym paśmie częstotliwości.
Zadanie 2.1 Oblicz jaka energia jest zawarta w zakresie częstotliwości [0, Ą] dla sygnału postaci:
f(t) = e-t�(t)
Jaki jest to procent całkowitej energii sygnału?
Zadanie 2.2 Oblicz jaka całkowita energia jest zawarta w sygnale:
sin(t)
f(t) =
t
Jaka część tej energii znajduje się w zakresie częstotliwości [0, 1]?
Zadanie 2.3 Oblicz jaka całkowita energia jest zawarta w sygnale:
f(t) = e-|t|
Jaka część tej energii znajduje się w zakresie częstotliwości [0, Ą]?
3

Wyszukiwarka