K C Warszawa, styczeń 2010
Katedra Nauk Ścisłych
Materiały pomocnicze dla studentów I roku studiów I stopnia w SGSP
Przykładowe zadania egzaminacyjne z matematyki w roku akad. 2009/10
1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstremum funkcji f, gdy: a) f (x) =
ln (4 - x) 3 - x
= , b) f (x) = , c) f (x) = xe-x, d) f (x) = x2e-2x, e) f (x) = x3e-3x.
x - 4 ln (3 - x)
n
"
n3 - n2 - 3n + 2
n
2. Obliczyć: a) lim 32n-1 + 4 · 7n+2, b) lim ,
n" n"
n3 + n2 -
" "n
"
3 - x - 1 x + 1 - 1 3 - 3e2x
3
c) lim n3 + n - 1 - n + 2 , d) lim , e) lim " ,f) lim ,
n" x2 - x x
x0 x0 - tg 2x
2
2 - 4 - x
1 - cos 4x 3 - 3e-2x 1 - cos (5x)
"
g) lim , h) lim , i) lim , j) lim x2e-x.
x0 - sin 2x ex + e-x - 2
x0 x0 x+"
x
2 sin (3x)
x2 - 5x + 7 x 2
3. Naszkicować wykres funkcji f, gdy: a) f (x) = , b) f (x) = + ,
x2 - 3x + 3 2 x
2 x 5 x 1 x2 - 3x + 3
c) f (x) = - , d) f (x) = + , e) f (x) = x + , f) f (x) = ,
x2 2 x 5 x x2 - x + 1
x + 4x + 5 x2 - 4x + 5 x2 - 2x + 1 x3
g) f (x) = , h) f (x) = , i) f (x) = , j) f (x) = ,
x2+ 2 2 - x x2 - 2x - 8 1 - x2
x ln (3 - x) 1 + x
k) f (x) = " , l) f(x) = xe-3x, m) f (x) = , n) f (x) = .
3 - x ln (1 + x)
x2 - 1
"
x2 + x + 2 7 - x 6x - 2
4. Obliczyć: a) dx, b) dx, c) dx,
x x2 + 6x + 5 x2 + x - 6
6x + 2 x4 - 2x3 - 3x2 - 4 x4 + x2 + 2x + 1
d) dx, e) dx, f) dx,
x2 + 2x - 3 x2 - 2x - 3 x2 + 1
x3 + 8x2 + 17x + 1 x3 - 6x2 + 10x + 1 6x + 9 dx
g) dx, h) dx, i) " dx, j) " ,
x2 + 8x + 17 x2 - 6x + 10
2x +"3 x2 - 1
"
2
k) x2 - 4dx, l) (2 - 3x) cos xdx, m) (3 - 2x) e1-xdx, n) 6x + 4dx,
0
" "
2x3 + 8x2 + 8x 3x3 + 12x2 + 6x - 7
1 1 1 1
3
o) 24x + 1dx, p) 26x + 1dx, q) dx, r) dx,
0 0 0 0
x2 + 4x + 3 x2 + 4x + 3
x ln x ln x 1
Ä„ 1 2 e " +"
s) x cos xdx, t) xexdx, u) dx, v) dx, w) dx, x) dx,
-Ä„ 0 1 1 1 0
ex x x2 x2 - 2x + 2
xdx 1
+" +"
y) , z) " dx.
0 0 3
x2 + 4x + 5
2x + 1
5. Obliczyć pole figury ograniczonej liniami o równaniach: a) y = 0, x = -1, x = 2,
5
y = 2x2 + 1, b) y = -x i y = -4x - x2, c) xy = 1 i x + y = , d) y = 4x - x2 i y =
2
= x2 - 2x, e) y = xex, x = -1, x = 0 i y = 0.
6. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót figury F wokół osi x, gdy F jest ograni-
czona liniami o równaniach: a) y = 3x2, x = -1, x = 0, y = 0; b) y = x2, x = -1, x = 0,
"
y = 0; x = 1, y = 2x, y = 0; d) y = cos x, x = 0, x = Ä„, e) y = 0, x = 0, x = 2
"c)
3
i y = x, f) y = -x i y = -5x - x2, g) y = x2 - 5 i y = -1. h) y = x2 - 3x, y = x.
2 Matematyka
7. Obliczyć dÅ‚ugość krzywej L, gdy: a) L = {(cos t · et, sin t · et) : t " 2Ä„; 3Ä„ },
"
1 4 1
b) L = t2 - t, t t : t " 0; 1 , c) L = t3 - t, t2 + 6 : t " 0; 1 ,
2 3 3
d) L = {(4 cos t, 4 sin t, 5t): t " 0; Ä„ }.
8. Rozwiązać równanie: a) z2 + (6 - 6i) z - 20i = 0, b) z2 + (5i - 5) z - 13i = 0,
c) z2+(-4 - 2i) z+11-2i = 0, d) z2 -(3-7i)z-10-11i = 0, e) z2+(i - 1)z-25i = 0,
f) z2 - (7 - 7i) z - 29i = 0, g) z2 + (2 - 2i)z - 3i = 0.
9. Rozwiązać równanie i obliczyć sumę wszystkich jego rozwiązań:
a) 5x3 + 31x2 + 56x + 10 = 0, b) 4x3 + 9x2 + 22x + 5 = 0, c) 2x3 + 7x2 + 6x - 5 = 0,
d) 2x3 + 5x2 + 6x + 2 = 0, e) 3x3 - 13x2 + 28x - 8 = 0, f) x3 + 4x2 + 6x + 4 = 0,
g) 3x3 + 5x2 + 4x - 2 = 0, h) 3x3 + 2x2 + 2x - 1 = 0.
10. Rozwiązać równanie Ć (x) = 0, wiedząc, że jednym z rozwiązań jest liczba a, gdy:
a) Ć (x) = x4-3x3+2x2+x+5 i a = 2-i, b) Ć (x) = 2x4+7x3+26x2+35x+50 i a = -1-2i,
c) Ć(x) = x4 - 6x3 + 18x2 - 30x + 25 i a = 1 - 2i, d) Ć (x) = x4 - 6x3 + 30x2 - 62x + 117
i a = 2 - 3i, e) Ć (x) = x4 + 2x3 + x 2 + 20x + 156 i a = -3 - 2i.
1 2 1 2 1 -1 2 0
-1 0 1 1 2 1 -3 1
11. Obliczyć: a) , b) .
2 3 1 -1 -1 2 1 -3
1 -1 2 1 2 -3 1 -1
-1 2 2 5
12. Obliczyć: a) A-1 · BT, gdy A = , B = ; b) AT · B-1, gdy
-2 3 6
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚9 Å‚Å‚
6 12 0 1 -1 2 -1 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚,
A = -6 0 6 B = 1 0 3 c) A-1BT, gdy A = 0 3 1
12 6 -6Å‚Å‚ 2 1 1
îÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚1 1 2 Å‚Å‚
0 6 -6 1 4 -2 1 -1 1
ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚,
B = 12 6 0 d) A · B-1, gdy A = 2 -1 3 B = 2 -1 2
-6 6 12 -1 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-1 2 4 Å‚Å‚
1 -3 1 1 4 -1
ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚,
e) A-1 · B, gdy A = -1 -1 3 B = 4 1 2 f) . A-1BT, gdy
2 -1 -1 2 -2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 -1
ðÅ‚ ûÅ‚,
A = 2 3 1 B = 9 -18 27 .
-1 1 1
13.
ńłRozwiązać układ równań i w przypadku istnienia rozwiązania wykonać sprawdzenie:
Å„Å‚ Å„Å‚
2x + 3y = 13 2x
òÅ‚ òÅ‚ - 3y = -5 2x + 3y = 4
òÅ‚
x + 2y - z = 10
a) 3x + 5y = 21 b) 3x + 4y = 18 c) 3x - 4y = -11 d)
2x + y + 3z = 7,
ół ół ół
x - 4y = -10, 4x - y = 4, 2x + = 0,
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚y
2x
òÅ‚ - 3y + z = 0 2x 2x
òÅ‚ - y + 2z = 1
òÅ‚ - y + 4z = -1
e) x - 2y + 3z = -5 f) 3x + 2y - z = 9 g) x - 4y + z = 4
ół ół ół
3x + y - 2z = 9, 4x + 2y - z = 11,
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚2x - 2y + 3z = 1,
2x
òÅ‚ - y + 4z = 4 2x 2x
òÅ‚ - y + 4z = 4
òÅ‚ - y + 2z = -2
h) x - 4y + z = -6 i) x - 4y + z = -6 j) x + 2y - 3z = 8
ół ół ół
2x - 2y + 3z = 1, 3x - 5y + 5z = -2
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚3x - 4y - z = -4,
2x + y - 2z = -1 3x + y - z = -4 2x + y - 3z = -9
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
k) x + 3y - z = -3 l) 2x - 3y + 2z = -2 m) x + 2y - z = 0
ół ół ół
2x + 4y + 5z = 3, 5x - 2y + z = -8, 4x - y - 7z = -27.
Kazimierz Cegiełka
3
14.ńłDla jakich  " R układ równań ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli:
( + 1)x1 + 2x2 + x3 = 0
òÅ‚
a) 4x1 + ( - 1)x2 + ( - 2)x3 = 0
ół
( - 1) x1 + ( + 3) x2 + 3x3 = 0,
Å„Å‚
x1 + ( - 3) x2 + ( - 3)x3 = 0
òÅ‚
b) ( - 1)x1 + (7 - ) x2 + ( + 11) x3 = 0
ół
( - 2)x1 + 2x2 + 2xńł= 0,
3
Å„Å‚
( + 1) x + 2y + (2 + 1) z = 0 (2 + 1)x + ( + 1)y + 2z = 0
òÅ‚ òÅ‚
c) 3x + y + (2 + 1) z = 0 d) (2 + 1)x + 3y + z = 0
ół ół
4x - y + z = 0, x + 4y - z = 0.
Odpowiedzi
1
1. a) f (-"; 4 - e), f (4 - e; 4); fmin = f (4 - e) = - . b) f (-"; 3 - e),
e
f (3 - e; 2), f (2; 3); fmax = f (3 - e) = e. c) f (-"; 1), f (1; +"),
1
fmax = f (1) = . d) f (-"; 0), f (0; 1), f (1; +"); fmin = f (0) = 0,
e
fmax = f (1) = e-2. e) f (-"; 1), f (1; +"), fmax = f (1) = e-3.
"
1 1
2. a) 9. b) e-2. c) 2. d) . e) 2. f) 6. g) 0. h) 2. i) 12 . j) 0.
2 2
3. Na rysunkach nie ma równań asymptot wykresów funkcji.
f(x) f(x)
10
3
5
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-5
-10 -5 0 5 10
x
-10
3 a) 3 b)
f(x) f(x)
6 10
4
5
2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -10 -5 5 10
x x
-2
-5
-4
-6 -10
3 c) 3 d)
4 Matematyka
f(x) f(x)
3.0
4
2.5
2 2.0
1.5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1.0
x
-2
0.5
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-4
x
3 e) 3 f)
f(x) f(x)
6 10
4
5
2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x x
-2
-5
-4
-6 -10
3 g) 3 h)
f(x) f(x)
10 10
5 5
-10 -5 5 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x x
-5 -5
-10 -10
3 i) 3 j)
x
f(x) f(x)
10
-1 1 2
8
-0.5
6
4
-1.0
2
-1.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-2.0
3 k) 3 l)
Kazimierz Cegiełka
5
f(x) f(x)
2 10
5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x
-1 1 2 3 4 5
-2
x
-5
-4
-10
3 m) 3 n)
1 "
4. a) x2 + 2 x + 2 ln |x| + C. b) 2 ln |x + 1| - 3 ln |x + 5| + C.
2
c) 4 ln |x + 3| + 2 ln |x - 2| + C. d) 4 ln |x + 3| + 2 ln |x - 1| + C.
1
1
e) x3 + ln |x + 1| - ln |x - 3| + C. f) x3 + ln(x2 + 1) + arctg x + C.
3
3
3
1 1
g) x2 + arctg (4 + x) + C. h) x2 + arctg (x - 3) + C. i) (2x + 3) + C.
2 2
" " "
1
j) ln x + x2 - 1 + C. k) x x2 - 4 - 2 ln x + x2 - 4 + C,
2
32
4
l) 2 sin x -3 cos x - 3x sin x +C. m) e1-x (2x - 1) +C. n) 62. o) 34. p) 213. q) ln + 1.
9 9
27
3 3 1 3
r) + ln . s) 0. t) 1. u) 2e-1 - 3e-2. v) . w) 1. x) Ä„. y) +". z) +".
2 16 2 4
15
5. a) 9. b) 41. c) - ln 4. d) 9. e) 1 - 2e-1.
2 8
"
832
3
9 1 1 6 384 611
6. a) Ä„. b) Ä„. c) Ä„. d) Ä„2. e) Ä„ 4. f) Ä„. g) Ä„. h) Ä„.
5 5 2 5 5 30
15
" " "
3 4
7. a) 2e3Ä„ - 2e2Ä„. b) . c) . d) 41Ä„.
2 3
8. a) -4 + 2i, z = -2 + 4i. b)2 - 3i," - 2i. c) 3 + 4i, 1 - 2i. d) 1 - 4i, 2 - e) 4 + 3i,
3
" " "3i.
1 1 1
-3 - 4i. f) 2 - 5i, 5 - 2i, g) -1 + 2 + (1 2 + 1)i, -1 - 2 + (1 - 2)i.
2 2 2 2
31 9 7
1
9. a) -1, -3 + i, -3 - i; - . b) -1, -1 + 2i, -1 - 2i; - . c) ,-2 + i, -2 - i; - .
5 4 2
5 4 2
5 13
1 1
d) -1, -1+i, -1-i; - e) , 2 +2i, 2- 2i; f) -2, -1+i, -1-i; -4. g) , -1+i,
2 3
2" 3 3
"
5 2
1 1 1
-1 - i; - . h) , -1 + 3i, -1 - 3i; - .
3 2 2 2 2
3 3
" " " "
1 1 1 3 1
10. a) 2+i, 2-i, -1 + 3i, -1 - 3i. b) -3 +" 71i, -"- 71i, -1+2i, -1-2i.
2 2 2 2 4 4 4 4
" "
c) 2 + i, 2 - i, 1 + 2i, 1 - 2i. d) 2 + 3i, 2 - 3i, 1 + 2 2i,1 - 2 2i. e) 2 + 2 2i, 2 - 2 2i,
-3 + 2i, -3 - 2i.
11. a) 28 b) -64.
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-27 13 -3
2 2 2
6 0 0 2 -7 10
-4 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚. ïÅ‚ 3 1 1 śł.
12. a) . b) 5 -3 5 . c) 4 1 2 d)
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2 2
-1 3
-4 0 2 -6 3 0
9
-3 5
2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
7
-7 1 îÅ‚ -23 Å‚Å‚
2 2 2
15
ïÅ‚
-25 7 śł. f) ðÅ‚ ûÅ‚
e) 12 .
ðÅ‚ 8 8 8 ûÅ‚
-8
25
-15 9
8 8 8
13. a) (2, 3). b) Sprzeczny. c) (-1, 2). c) Zbiorem rozwiązań jest
6 Matematyka
19 5 23
4 5 13
-7t + ,y = t + ,t :t " R . e) , , - . f) (2, 1, -1). g) (1,-1,-1).
3 3 3 3
12 12 12
22 16
h) (1, 2, 1). i) Zbiorem rozwiązań jest -15t + , -2t + , t :t " R . j) (1, 2, -1).
7 7 7 7
k) (1, -1, 1). l) Sprzeczny. m) Zbiorem rozwiązań jest {(-5t + 9, t, -3t + 9) : t " R}.
14. Układ równań ma tylko jedno rozwiązanie, gdy: a)  " R {-2,1, 3},
2 2
b)  " R {-2, 1,4}, c)  " R - , 2 , d)  " R - , 2 .
3 3