TW. Rolle a Jeśli f jest ciągła w , różniczkowalna w (a,b) jest zbieżny do q to każdy jego podciąg jest zbieżny do q. Ciąg
oraz f(a)=f(b), to istnieje że f (c) = 0 jest rozbieżny gdy 2 jego podciągi są zbieżne do innych granic.
TW.Lagrange Jeżli f jest ciągła w i różniczkowalna w (a,b) Punkt skupienia  w każdym sąsiedztwie a są punkty należące do
zbioru a jest p. skupienia
to istnieje
Granica funkcji:
TW.Weierstrassa Jeśli funkcja jest ciągła w to jest w tym
Heinego: q jest granicą funkcjiw pkt. c jeżeli dla każdego ciągu
przedziale ograniczona i istnieją punkty w których f przyjmuje
o wyrazach , ciąg wartości funkcji jest zbieżny
swoje kresy.
do q.
TW. Darboux Jeśli f jest ciągła w oraz g jest
Cauchy ego:
między f(a) i f(b) to istnieje co najmniej 1 pkt taki, że f(c) = g
(przyjmuje każdą wartość pośrednią między f(a) i f(b).
Ciągłość funkcji:
TW. Farmata Jeśli f ma w ekstremum i ma pochodną to
Heinego: dla każdego o wyrazach z D zbieżnego do
jest zbieżny do ).
Zbiór ogra. z góry istnieje liczba M taka, że
Cauchy ego:
Kres górny  najmniejsze z ograniczeń górnych
Funkcja jest ciągła w gdy
Pochodna funkcji: wartość skończonej granicy
Własności:
1.
2. w zbiorze A i istnieje element większy
TW10. Jeśli f ma pochodną w to jest w tym pkt. ciągła.
od b.
D:
3. gdy
Ograniczenie dolne:
Kres dolny  największe z ograniczeń dolnych
TW. Bolzano-Weierstrassa Z każdego ciągu ograniczonego
można wybrać podciąg zbieżny.
Otoczenie punktu - dowolny zbiór otwarty zawierający
D: maximum wł. tzn. istnieje
otoczenie o promieniu r  zbiór
dla
Sąsiedztwo punktu jest to otoczenie bez tego punktu.
dla
Granica ciągu:
dla dowolnej dodatniej istnieje taka, że wszystkie wyrazy ciągu o
wskaz
nikach większych od różnią się od q mniej niż o . Liczbę q
nazywamy granicą ciągu jeżeli w dowolnym otoczeniu liczby q leżą
Różniczka funkcji w dla przyrostu
prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
TW11. Jeśli f określona w otoczeniu ma pochodną to dla
TW1. Jeśli ciąg jest zbieżny to ma dokładnie jedną granicę.
takiego że Otoczenia zachodzi równość
TW2. Jeżeli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony.
Z:
gdzie gdy
T:
TW12. Funkcja wypukła w (a,b) gdy dla takich że
D:
zachodzi ; dla
W zbiorze istnieje
wklęsłej znak
Z tego wynika, że gdzie
F  funkcja pierwotna f jeżeli (przedział)
Całka nieoznaczona  zbiór wszystkich funkcji pierwotnych f w
TW3. Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny. przedziale P.
Z: jest ograniczony i rosnący. T: Średnia podziału
Zbiór Z własności - długość przedziału
Suma całkowa
istnieje El. większy). Ponieważ ciąg jest rosnący to
Całka oznaczona  granica do której jest zbieżny ciąg sum
całkowych dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału.
TW13. Jeśli f i g są ograniczone w i g przyjmuje różne
Jeżeli
wartości od f w skończenie wielu pkt. to
TW4. Jeżeli oraz dla prawie wszystkich n
to F(x) = jest ciągła w
jest spełniona to Z:
oraz ma pochodną F(x) i zachodzi równość F (x)=f(x) funkcja
górnej granicy całkowania (w pkt. gdzie f jest ciągła)
D:
Średnia całkowa gdy istnieje że
Jeśli f jest całkowalna w i
jest ciągła w oraz ma pochodną F(x)
i zachodzi równość F (x)=f(x) funkcja górnej granicy całkowania (w
TW5. Jeśli ciąg jest ograniczony i to pkt gdzie f jest ciągła).
D:
Ponieważ dowolne więc pokazaliśmy, że
TW6. Jeżeli i oraz dla prawie wszystkich n
spełnia nierówność
TW7. Jeśli granica ciągu jest dodatnia to prawie wszystkie wyrazy
ciągu są dodatnie. Jeśli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele
wyrazów nieujemnych to granica jest nieujemna.
TW8. Ciąg jest zbieżny
TW9. Niech dany będzie ciąg oraz ciąg rosnący gdzie każdy
wyraz - podciąg ciągu odpowiadający ciągowi . Jeśli