Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008  Aproksymacja 1
Zadanie 1. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych:
i 0 1 2 3
x -Ä„/6 0 Ä„/6 Ä„/2
y 1 -8 -3 1
Znajdz
równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych kwa-
dratów. Jako funkcje bazowe przyjmij: Ś0 = 1, Ś1 = sin(x). Znajdz
wartość w punkcie
x0 = Ä„/4.
Odpowiedz
:
Funkcja aproksymujÄ…ca:
Õ (x) = a0 + a1 sin(x) .
BÅ‚Ä…d:
3

%EÅ‚ = [Õ(xi) - fi]2 =
i=0
1 1
=(a0 - a1 - 1)2 + (a0 + 8)2 + (a0 + a1 + 3)2 + (a0 + a1 - 1)2
2 2
"%EÅ‚
Z warunków = 0, j = 0, 1 dostajemy
"aj

8 2 a0 -18
= .
2 3 a1 2
5
Po rozwiązaniu powyższego układu a0 = - , a1 = 1.
2
5
Funkcja aproksymujÄ…ca Õ (x) = - + sin(x),
2
"
1
Õ (Ä„/4) = (-2 + 2) H" -1.79289
2
5
Odpowiedz
: Õ (x) = - + sin(x),
2
"
1
Õ (Ä„/4) = (-2 + 2) H" -1.79289
2
Zadanie 2. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych:
x -Ä„/6 0 Ä„/6 Ä„/2
y 1 -2 -3 1
a) Znajdz
równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych
kwadratów. Jako funkcje bazowe przyjmij :Ś0 = 1, Ś1 = sin x. Podaj wartość w punkcie
x0 = Ä„/4.
b) Oblicz błąd względny rozwiązania wiedząc, że wynik ścisły wynosi f(x0 = Ą/4) = -11/4.
Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008  Aproksymacja 2
Zadanie 3. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych. Wyznacz równanie krzy-
wej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych kwadratów.
Przyjmij funkcje bazowe:
3x
Åš1(x) = Åš2(x) = cos(x)
Ä„
Oblicz wartość funkcji aproksymującej w punkcie x0 = Ą/4.
i 0 1 2 3
x -Ä„/2 -Ä„/3 Ä„/3 Ä„/2
y -3 -10 20 3
Odpowiedz
:
Funkcja aproksymujÄ…ca:
Õ(x) = A1Åš(x) + A2Åš(x)
Korzystając z definicji błędu aproksymacji
n

µ = (Õ(xi) - yi)2
i=0
i warunków najlepszej aproksymacji
"µ
= 0
"A1
"µ
= 0
"A2
dostajemy układ równań na współczynniki A1 i A2 postaci
DT DA = DT y
gdzie:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Åš1(x0) Åš2(x0) y0
ïÅ‚Åš1(x1) Åš2(x1)śł A1 ïÅ‚y1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
D = y = .
ðÅ‚Åš1(x2) Åš2(x2)ûÅ‚ A = ðÅ‚y2ûÅ‚
A2
Åš1(x3) Åš2(x3) y3
Po wymnożeniu i rozwiązaniu poniższego układu

13
0 A1 39
2
=
1
0 A2 5
2
Ä„
otrzymujemy A1=6 i A2=10. Wartość funkcji aproksymującej w punkcie
4
"
Ä„ Ä„ Ä„
Õ( ) = 6Åš1( ) + 10Åš2( ) = 4.5 + 5 2
4 4 4
Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008  Aproksymacja 3
Zadanie 4. Na podstawie stabelaryzowanych danych wyznacz współczynniki funkcji dla
optymalnej aproksymacji liniowej. Oblicz wartość tej funkcji dla x0 = 0.5.
i 0 1 2 3
x -1 0 1 2
y -3 -10 1 3
Zadanie 5. Oblicz metodą najmniejszych kwadratów wielomiany aproksymacyjne stopnia
1, 2, 3 i 4 dla danych:
i 0 1 2 3 4 5
xi 0.00 0.15 0.31 0.50 0.60 0.70
yi 1.000 1.004 1.031 1.117 1.223 1.422
Który wielomian daje najlepszą aproksymację?
Zadanie 6.
i 0 1 2 3 4 5 6 7
xi -3 -1 0 2 4 5.5 6 9
yi -5 -8 4 4 3 7 -2 5
Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych. Wyznacz współczynnik A, jeśli funkcja
aproksymujÄ…ca okreÅ›lona jest wzorem: Õ (x) = A Åš(x), a funkcja bazowa Åš(x) = 1. Jaka to
aproksymacja?
Zadanie 7.
A. Oblicz metodą najmniejszych kwadratów wielomian aproksymacyjny stopnia 1-ego dla
f(x) " [a, b]:
a) f(x) = x2 - 2x + 3, [0, 1]
b) f(x) = x3 - 1, [0, 2]
c) f(x) = 1/x, [1, 3]
d) f(x) = e-x, [0, 1]
e) f(x) = cos Ä„x, [0, 1]
f) f(x) = ln x, [1, 2]
Przyjmij pięć równoodległych punktów węzłowych.
B. Powtórz zadanie dla wielomianu aproksymacyjnego stopnia 2-go dla funkcji z podpunktów
a), b), d) i e).